一道高考试题的引申与推广

2
2
通过以上分析 , 再结合圆锥曲线的通性 , 我们可
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
34
x1 a
2 2
数 学 教 学 研 究 2006 年第 11 期
1 问题缘起
地的高考模拟题中也频频出“ 镜” , 颇受青睐 . 它主要考查排列组合中的计数问题 , 高二学生 多有困惑 , 高三时仍感疑惑 , 一次高三考试中 , 优等
1 生能选正确答案 ( C ) 的仅为 , 多数学生无明确的 3
kMA ・kMB =
由 A、 F、 B 三点共线 , 得
y1 x1 - c
1 1 x ,k = x ,得 2 1 MB 2 2 1 x x = - 1, 知 M A ⊥ M B. 4 1 2
即 x1 y2 - x2 y1 = c ( y2 - y1 ) ,
a ∴M ( , c
2 2 b ( x2 - x1 ) ). c ( y2 - y1 )
即 ( x′ + x0 ) 得
x′ + x0 p
y2 - y1
2
2p
-
y1 + y2
2
( y2 - y1 ) = 0,
即
y1 + y2 x1 + x2
=-
2 b ( x1 - x2 ) 2 a ( y1 - y2 )
= 1, ∴x ′= p = x0.
∴kOM = = y1 + y2 x1 + x2
再由 M A ⊥M B 、 FM ・ AB = 0, 即 FM ⊥ AB , 依据 直角三角形中的射影定理可得
| FA |・ | FB | = | M F | .
2
这说明点 M 在右准线 x =
F ( - c, 0 ) , 点 M 在左准线 x = ( 2 ) 设 AB 的中点为 N ,
a 上 . 同理可证明对 c a 上. c
AB = ( x2 - x1 , y2 - y1 ) .
∵M Q ⊥ AB , ∴ M Q ・AB = 0,
2 2 b ( x2 - x1 ) a ) ( x2 - x1 ) ( y2 - y1 ) = 0. 即 ( x′ -
-
y0 y b
2
= 1上 ; 曲线为抛物线时 , 点 M 在直线 y0 y
由 A、 G、 B 三 点 共 线 可 得 y1 y2 = - 2 px0 , 所 以
M ( - x0 , y1 + y2
-
y1 b
2
2
= 1,
x2 a
2
2
-
y2 b
2
2
= 1, ,
2
) . 即点 M 在垂直于对称轴的直线 x
得 即
( x1 + x2 ) ( x1 - x2 ) a
2 2 2 b ( x2 - x1 )
+
y2 y b
2
= 1. 联立方程组解得 ). = y2 , x2 - c
由上面的解答 :点 M 的坐标为 (
2 a ( y2 - y1 )
2
x1 y2 - x2 y1
, -
2 b ( x2 - x1 )
x1 y2 - x2 y1
知 , 点 M 在抛物线 x2 = 4 y的准线上 , 且点 M 与 AB 的 中点连线平行于对称轴 . 又由 kMA =
定点 . 证明 设抛物线为 y = 2 px, 定点 G ( x0 , 0 ) 则 抛物线在 A (
y1
2 2
由 A、 G、 B 三点共线 , 可得
x1 y2 - x2 y1 = x0 ( y2 - y1 ) , a ∴M ( , x0
2 2 b ( x2 - x1 ) ). x0 ( y2 - y1 )
x y ( 2 2 = 1, 定点 G x0 , a b
2 2
∴M F ⊥ AB. 对于双曲线可用相同方法证明 , 此处从略 . 推广 3 过抛物线对称轴上一定点的直线交抛 物线于 A、 B 两点 , 过 A、 B 两点作抛物线的切线 , 设其 交点为 M , 则
( 1 ) 点 M 在垂直于抛物线对称轴的直线上 ; ( 2 ) 点 M 与 AB 中点的连线平行于对称轴 ; ( 3 ) 过点 M 垂直于 AB 的直线必过对称轴上一
= p ( x + x0 ) 上 .
x0
x0 ( y2 - y1 ) c . x0
2
2 2 得 x0 x ′ - a - b = 0, ∴x ′=
题不在多联系则名 , 法不在全变化则灵
— — — 传球出智慧 蒋文彬
(安徽省淮南市第一中学 232001 )
数学离不开解题 , 但题要精彩 , 做题不在多而在 精 . 对待解题的思想认识和方法要对头 , 要通过做 题 , 深刻理解概念 , 扎实掌握基本知识 , 学会运筹帷 幄 , 纵横捭阖 , 使自己的思维水平不断上升 , 达到高 屋建瓴 . 只有这样 , 面对千变万化 , 面目各异的题时 , 才能做到胸有成竹 , 应付自如 , 使一道道难题“ 落花 流水 ” . 说具体些 , 我们应力求做到一题多解 , 多解归 一 , 多题归一 , 用“ 动” 的观点考虑问题 , 尽可能地拓 宽思路 , 训练发达的头脑 , 做到“ 八方联系 , 浑然一 体” , 最终达到“ 漫江碧透 , 鱼翔浅底 ” 的境界 . 下面 例谈示范 .
x0 x a
2Biblioteka Baidu
即点 M 与 AB 中点的连线过双曲线的中心 .
( 3 ) 过 M 作 AB 的垂线交 x轴于 Q, 设 Q ( x ′ , 0) ,
2 b ( x2 - x1 ) a ), 则 M Q = ( x′ , x0 x0 ( y2 - y1 ) 2
x0 x a
2
+
y0 y b
2
= 1上 ; 曲线为双曲线时 , 点 M 在直
0 ) , 则过 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两点处的切线方程分
别为
M (
x1 x a
2
-
y1 y b
2
= 1,
x2 x a
2
-
y2 y b
2
= 1. 联立解方程组得
2 2 a ( y2 - y1 ) b ( x2 - x1 ) ). , x1 y2 - x2 y1 x1 y2 - x2 y1
= .
( y1 + y2 ) ( y1 - y2 ) b
2
= - x0 上 , M 与 AB 中点的连线平行于对称轴 .
设点 Q ( x ′ , 0) , 则 M Q = ( x′ + x0 , -
y1 + y2
2
),
a ( y2 - y1 )
=
y1 + y2 x1 + x2
设 AB 的中点为 N , http://www.cnki.net
2006 年第 11 期 数学 教 学 研 究
33
一道高考试题的引申与推广
周建伟
(甘肃省白银市第一中学 730900 )
2006年全国高考数学 ( Ⅱ) 卷中有这样一道题 : 已知抛物线 x = 4 y 的焦点为 F, A、 B 是抛物线 上两动点 , 且 A F =λ FB (λ > 0 ) , 过 A、 B 两点分别作 抛物线的切线 , 设其交点为 M.
2 2
上;
( 2 ) 点 M 与 AB 中点的连线过椭圆 (或双曲线 )
的中心 ;
( 3 ) 过点 M 垂直于 AB 的直线必过焦点所在对
b ( x2 - x1 ) ( y2 - y1 ) = 0, + c ( y2 - y1 )
称轴上的一定点 . 下面以双曲线为例给予证明 . 证明 ( 1 ) 设双曲线为
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2006 年第 11 期 数学 教 学 研 究
2 b ( x2 - x1 ) x0 ( y2 - y1 )
( 1 ) 证明 FM ・AB 为定值 ; ( 2 ) 设 △ABM 的面积为 S, 写出 S = f (λ) 的表
2
以将该试题进行推广得到几个更一般性结论 . 推广 1 过抛物线 y2 = 2 px 焦点 F 的直线交抛 物线于 A、 B 两点 , 过 A、 B 两点作抛物线的切线 , 设其 交点为 M , 则
( 1 ) 点 M 在椭圆 (或双曲线 ) 与焦点对应的准线
x1 + x2 x1 x2 ). 联立方程组解得两切线交点 M ( ,
2
4
由 A F =λ FB 知 A、 F、 B 三点共线 , 且 F ( 0, 1 ) , 可 得 x1 x2 = - 4, 故 M (
x1 + x2
2
2
, - 1) .
2p
, y1 ) 、 B(
y2
2
2p
, y2 ) 两点处的切线分别
2 y2
为 y1 y = px +
2 y1
即点 M 在垂直于焦点所在的对称轴的直线 x =
. a 上. x0 ( 2) 由 x1 a
2 2 2
2
, y2 y = px +
2
联立解方程组得 M (
y1 y2 y1 + y2 ). , 2p 2
x1 x = 2 y + x1
2 2 x1
4
) , B ( x2 ,
2 x2
4
) , 则点 A、 B
4
, x2 x = 2 y +
x2
2
推广的证明与试题完全相似 , 限于篇幅这里不
,
4
再赘述 . 推广 2 过椭圆 (或双曲线 ) 焦点 F的直线交椭 圆 (或双曲线 ) 于 A、 B 两点 , 过 A、 B 两点作椭圆 (或 双曲线 ) 的切线 , 设其交点为 M , 则
35
故过点 M 垂直于 AB 的直线恒过焦点所在对称
=
2 b ( x2 - x1 )
∴kOM =
a x0 y1 + y2 x1 + x2
2
a ( y2 - y1 )
2
轴上的一定点 Q (
c , 0) . x0
2
推广 5 过平面上一定点 (非圆锥曲线中心 ) 的
= kON ,
=
直线交圆锥曲线于 A、 B 两点 , 过 A、 B 两点作圆锥曲 线的切线 , 设其交点为 M , 则点 M 在一定直线上 . 证明与上面类似 , 此处略 . 注 若定点为 G ( x0 , y0 ) , 曲线为椭圆时 , 点 M 在直线 线
y1 b
2 2
∵
+
= 1,
x2 a
2
2
+
y2 b
2
2
= 1,
AB = (
y2 - y1
2
2
2p
2
, y2 - y1 ) ,
两式相减得
( x1 - x2 ) ( x1 + x2 ) a
2
∵M Q ⊥ AB , ∴ M Q ・AB = 0,
+ ( y1 - y2 ) ( y1 + y2 ) b .
2
= 0,
2
上;
( 2 ) 点 M 与 AB 中点的连线过椭圆 (或双曲线 )
又 AB = ( x2 - x1 ,
FM = ( x1 + x2
x2 - x1
4
),
的中心 ;
( 3 ) M F ⊥ AB. x2 - x1
2 2
2
, - 2) , x1 + x2 ( x2 - x1 ) + ( - 2 )
证明 ( 1 ) 设椭圆方程为
( 1 ) 点 M 在垂直于焦点所在的对称轴的直线
故点 M 与 AB 中点的连结过椭圆的中心 .
( 3) ∵M F = ( 2 2 b b ( x2 - x1 ) ), , c c ( y2 - y1 )
AB = ( x2 - x1 , y2 - y1 ) , M F ・AB = b ( x2 - x1 ) c
2 b ( x2 - x1 ) c ( y2 - y1 )
故过 M 点垂直于 AB 的直线恒过对称轴上一定
=2 b ( x2 - x1 ) 2 a ( y2 - y1 )
a /c = kON .
2
点 Q ( p - x0 , 0 ) . 推广 4 过椭圆 (或双曲线 ) 焦点所在的对称轴 上一定点 (非曲线中心 ) 的直线与椭圆 (或双曲线 ) 交于 A、 B 两点 , 过 A、 B 两点作椭圆 (或双曲线 ) 的切 线 , 设其交点为 M , 则
( 1 ) 点 M 在抛物线的准线上 ; ( 2 ) 点 M 与 AB 中点的连线平行于对称轴 ; ( 3 ) M A ⊥ M B; ( 4 ) M F ⊥ AB;
2 ( 5 ) | FA |・ | FB | = | M F | .
达式 , 并求 S 的最小值 . 证明 ( 1 ) 设 A ( x1 , 两处的切线方程分别为
∴ FM ・AB =
= 0. ( 2) 略.
x y 2 + 2 = 1, 右焦点 a b
2
2
2
4
F ( c, 0 ) , 则过 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两点的切线方程
分别为
x1 + x2 , - 1) 可 M (
x1 x a
2
+
y1 y b
2
= 1,
x2 x a
2