转子平衡、临界转速与强度

dy dx
d2y M EJ 2 dx dM d3y Q EJ 3 dx dx dQ d4y q EJ 4 dx dx
(a) (b) (4-9)
(c)
(d)
式中y=f(x)为梁的挠度函数
化工机械强度与振动
在系统自由振动中，惯性力是作用在系统上的唯一载荷，惯性力的线集度 m为单位长度梁质量。从4-9(d)式中有
方位为
F 5m1e1 Ⅰ m Ⅰ 2 R 3R 1 1 F Ⅰ Ⅰ tan tan 1 2635 2 F Ⅰ FⅡ 2m1e1 mⅡ 2 R 3R
端面Ⅱ半径R处钻孔，去掉质量为 mⅡ ，则
F Ⅱ Ⅱ tan tan 1 1 45 F Ⅱ
2
薄圆盘装斜了也可产生动不平衡。在转速较高的情况下,只要有很小的偏斜（约 1°），就会引起超过静反力百倍以上的反力。 现有如图4-3所示长转子，长度为l，半径为R。在距左端l/3的平面内垂直方向有偏心 2 量 m1e1，在中间平面内水平方向有偏心量 m2e2 m1e1
3
化工机械强度与振动
偏心质量产生的离心惯性力总可以合成一通过旋转轴并与之垂直的合力和一个合力偶， 要平衡它们一般可选转子的两个端面和加配重或钻削掉一些重量。重量的大小和方位 很容易确定。
化工机械强度与振动
d2 m 2 x e cos t kx Cx dt d2 m 2 y e sin t ky Cy dt
或
cx kx me 2 cos t mx cy kx me 2 sin t my
转子平衡、临界转速与强度
第一节 转子平衡
在旋转机械中，由于转子质量偏心引起的强迫振动是很常见的。关于偏心质量引起 的强迫振动，在振动理论中得到系统的稳态响应为：
me x M
r2
1 r 2 r
2 2
2
sin t
(4-1)
tan
2 r 1 r2
(4-2)
式中M为系统的等效质量，m为转子偏心质量，e为偏心矩。从中可以看出振幅x与偏 心质量和偏心矩成正比，要减小振动就要使转子质量分布尽可能均匀。
化工机械强度与振动
一、转子刚性动平衡 叶轮机械转子的质量偏心来源于材质的不均匀，加工、装配误差等，实际上很难消 除。但如偏心量过大，则会使叶轮机械在运转中剧烈振动。所以转子在运行前都是 作平衡试验，力求偏心量尽量小，使得叶轮机械能平稳运行。 对于一个完全平衡的转子，理论上要求转子旋转时的离心惯性力的合力与合力偶都 等于零。转子对轴承只有自重引起的静力作用。反之转子即处于不平衡状态。 转子偏心质量可引起转子的 静不平衡或动不平衡。 1.静平衡问题 当偏心质量全部处于一个 平面内，如薄圆盘，在旋 转时将产生离心惯性力F力 在圆盘平面内，并通过转 轴，所以只有一个合力， 无合力偶，如图4-1a
化工机械强度与振动
第二节 转子的临界转速
一、单圆盘转子的临界转速 现考察一单圆盘无重量轴系统，如图 4-5所示，圆盘放置在中点。 在转子的加工及平衡过程中，使转子的重 心与其几何轴线完全重合是很难做到的， 总有残余不平衡度。设圆盘的质量为m， 对称安装在轴上，盘的质心c的偏心距为e， 即O’C=e，O’为圆盘的几何中心。轴承中 心线穿过盘平面O点。 图4-5 由质量不平衡产生的对称弓状旋曲 设转子以匀角速度ω 绕AO’B轴线旋转，由于离心力的作用，使转轴产生动挠度， 呈弓状。由图可见，轴中心的挠度为OO’。此弓状平面又以一定角速度绕轴承连心 线AOB旋转，这两种转动的角速度并不一定相同。此种现象称为转轴的弓状旋曲， 或称涡动，进动。这里仅讨论转速相等的情况，即所谓同步正进动。同步正进动是 工程中最为常见的。 取o点为坐标原点，O‘点的坐标为（x，y），则圆盘质心C的坐标为 （x+ecosω t,y+esin ω t），可得质心C的运动方程为
1
也可在相反的方向加配重，这样转子就可达到刚性动平衡。如 F1 , F2 不垂直，则可将 它们分解到垂直与水平方向，而后如上所算。
化工机械强度与振动
二、转子柔性动平衡（高速动平衡） 由离心惯性力引起的动挠度是和转速有关的。因此，在低速时平衡（又称刚性平衡） 的转子，到高速时又可能会失稳而剧烈振动。校正这种动不平衡必须把离心惯性力 引起的动挠度影响考虑进去，故称为柔性动平衡或高速动平衡。
图4-1
这种不平衡可用静力实验法来找，将转子放到一对水平轨道上，轻轻滚动，转 子总是在偏心质量垂直向下的位置停下来。这时只要在轮子相反的方向加配重 或在相同的方向钻孔，去掉一些重量就可以达到目的。最后要使转子在重力作 用下能随遇平衡。此时就称转子已达静平衡了。
化工机械强度与振动
2.动平衡问题 如图4-2转子，两个薄圆盘各有一同样大小的偏心质量m，其偏心距e也相等。显然 此转子是静平衡的（Σ F=0）。 但当转子旋转时，就会有一合力偶 M me l ，此合力偶最终作用到支承上，引 起机组振动。这就是所谓动不平衡。转子动不平衡需用动平衡机做试验才能检验。
当r<1时，R为正的有限值，表示动挠度与偏心距同向。当r>1时，R为负值，表示动 挠度与偏心距反向。当r→∞，R→e，这时轴绕圆盘质心旋转，质心C与O点重合， 称为自动定心。其幅值和相频图见图4-7 。
化工机械强度与振动
图4-7 无阻尼时单盘转子弓状旋曲的幅频图(a)与相频图(b) 由于在转子的同步正进动中，转子绕AO’B轴线旋转的角速度与弓状平面绕轴承连心线 AOB旋转的角速度相等，所以圆盘相对弓状平面并无旋转。因此转轴受拉伸的纤维始 终受拉而受压缩的总是受压，并无交变应力产生。此点和轴的横向弯曲振动是不同的， 所以说弓状旋曲的转轴并无振动。但转子的离心惯性力却对轴承产生一个交变力，并 导致支承系统发生强迫振动。这是在临界转速时感到剧烈振动的原因。正因为这样， 工程上常把临界转速是支承发生剧烈振动的现象和共振不加区分。实际上这是两种不 同的物理现象。
化工机械强度与振动
由于已经过静平衡，所以
m1 m2 m0 0
代入上式有
F m1r1 m2 r2 m0 r0 2
(4-3)
由上式知，当转速提高后由于动挠度的影响，经过低速动平衡的转子又出现了新的 不平衡惯性力，使转子产生振动。如转速进一步提高，使转子二阶以至更高振型出 现，那么由于振型的变化，将又有新的不平衡。 对柔性转子的平衡，常用的是振型平衡法。首先对转子进行低速平衡，以消除一些 明显的不平衡量，然后使转速接近第一阶临界转速，在转子中部配量以消除一阶振 型时的不平衡量（设为对称转子）；再使转速接近第二阶临界转速，在二阶振型的 反节点处加配重以消除二阶振型m不平衡量，这样一直进行到稍超过转子的工作转 速。然后再对转子进行一次刚性动平衡。
r
k c , n , n m 2 mk
化工机械强度与振动
O’(x,y)点的运动轨迹是一个圆，其半径即转轴的动挠度
OO R x y
2 2
er 2
1 r 2 r
2 2
2
(4-7)
从以上两式可见动挠度R随频率比r的变化而变化。当r值较小时（r<<1），线段O‘C=e 比盘心位移段OO’=R导前的相位角 / 2 ,动挠度R值亦较小。当r=1，即 n 时， / 2，如在无阻尼情况下，此时动挠度趋于无限大，实际上由于阻尼的作用， 动挠度为有限值。这个较大的动挠度仍将会导致转子的破坏，并使机组受到巨大的激振 力而剧烈振动。这时的转速称为临界转速，以 k nk 表示，及临界转速 k 在数值上 等于转子横振动的固有频率，所以它的数值可以用计算转子横振动固有频率的方法来计 算。
设转子以转速ω 旋转，令
F1 m1e1 2
F2 m2e2 2
2 m1e1 2 3
Ⅱ 代替，则应有 将 F1 用同在垂直平面且又分别位于两端面的平行力 F Ⅰ F
F Ⅰ
同理，对 F2 有
2 m1e1 2 3
1 FⅡ m1e1 2 3
1 F F m1e1 2 Ⅰ Ⅱ 3 Ⅱ F Ⅱ 几何相加，可得 将 F Ⅰ F Ⅰ F
化工机械强度与振动
二、等直径轴的临界转速 1.振动的微分方程及解 求等直径轴的临界转速，也就是求相应等 截面梁的横振固有频率。一般滑动轴承都 可视为铰链支坐。这样滑动支承的轴便可 作为简支梁讨论，如图示： 从材料力学中知梁某截面上参数间的静力关系为 转角 弯矩 剪力 分布力
图4-8 简梁的挠度和转角
k n
或
k m
(4-8)
nk
30
当r>1即 n 时，

2
k
rpm
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，如r>>1, 。
化工机械强度与振动
具有粘性阻尼的弓状旋曲转轴的振幅和相位的关系见下图
图4-6 具有粘性阻尼同步正进动时转轴的振幅和相位关系 为了明显，忽略系统的阻尼，
er 2 R 1 r2
s4 k 4 0 s1,2 k , s3,4 ik
Y x Aekx Be kx C eikx De ikx
e kx chkx shkx, e ikx coskx isinkx
y x, t Asinkx Bcoskx Cshkx Dchkx sin t
(4-14)
上式有A、B、C、D四个积分常数和 、 两个待定系数，但简梁有四个端点条 件，再加上两个振动初始条件，恰好可决定这六个常数。
化工机械强度与振动
2.固有频率和主振型 对于等截面简支梁端点条件为
1) x 0, Y 0 0 2) x l , Y l 0 3) x 0, Y 0 0 M 0 4) x l , Y l 0 M 0
5 2 1 2 2 F m e m e m1e1 2 Ⅰ 1 1 1 1 3 3 3
2 2
2 1 1 2 2 FⅡ m1e1 m1e1 m1e1 2 3 3 3
2
2
化工机械强度与振动
现可在端面Ⅰ半径R处，去掉质量为 m Ⅰ ，则
图4-4为一经过低速动平衡的转子，不平衡重量为 m0 ，配重为 m1 , m2 ，转子半径 为R。设转速提高后转子旋曲如图4-4（b）所示，这时离心惯性力为
F m1 R r1 2 m2 R r2 2 m0 R r0 2 m1 m2 m0 R 2 m1r1 m2 r2 m0 r0 2
4 y 2 y EJ 4 m 2 0 x t
y x, t Y x T t
T(t)为简谐函数 故 代入4-10式，得 或 式中
(4-10)
根据系统具有与时间无关的确定的振型之特性，可设上式的解为
y x, t Y x sin t
T t sin t
(4-11)
d 4Y EJ 4 2 mY 0 dx d 4Y 4 k Y 0 4 dx m 2 4 k EJ
(4-12)
(4-13)
化工机械强度与振动
式4-12是四阶常微分方程，它的解可取为 Y x e sx ，代入可得特征方程 它的四个根为 该式的解为 又 故通解形式为
(4-4)
式中k为转轴的横向弯曲刚度，c为阻尼
其解为
x y
er 2
1 r 2 r
2 2
2
cos t sin t
er 2
1 r
2 2

2 r
2
(4-5) (4-6)
tan
式中
2 r 1 r2