最新43空间直角坐标系--学生

43空间直角坐标系--
学生
知识梳理
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得
b ＝λa ，则向量b 与非
零向量a 共线．
推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →
＋t a ①
其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →
＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.
(2)平面向量定理的向量表达式：a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中x ，y ∈R ，e 1，e 2为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →
，其中x ＋y ＋z ＝1.
(3)空间向量基本定理
如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一 向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3. 空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹
角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23
. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，
则d AB ＝|AB →
|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.
典题精析
题型一 空间向量的线性运算
例1 在如图所示的三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量
OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.
题型二 共线定理、共面定理的应用
例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；
(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →
)．
题型三 空间向量数量积的应用
例3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．
(1)求以AB →，AC →
为边的平行四边形的面积；
(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →
垂直，求向量a 的坐标．
基础演练
1．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →
为空间的一个基底，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线 D ．O ，A ，B ，C 四点不共面
2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )
A ．2，12
B ．－13，1
2
C ．－3,2
D ．2,2
3．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →
〉＝33，若
以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为
( )
A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝
⎛⎭⎫1，1，3
2
D ．(1,1,2)
4．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )
A ．6 2
B ．6
C ．12
D ．144
5．如图，在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →
＝______________(用a ，b ，c 表示)．
6．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为8
9
，则λ＝________.
7．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)、B (10，－1,6)、C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．
能力提升
1 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12
EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →
＝
c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.
2 如图在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，试证：A 1B ∥平面AC 1D .
3 如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC 1的长；
(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．
随堂小测
1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________． 2．下列命题：
①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的等价条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；
④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面． 其中不正确．．．
的所有命题的序号为__________． 3．同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是________________________________．
4．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝
c ，则下列向量中与BM →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2
b ＋
c C ．－12a －1
2b ＋c
D.12a －1
2
b ＋
c 5.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝2
3
A 1D ，AF
＝1
3
AC ，则( ) A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直 B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面
师生互动 分数 评语
错题归档确认。