清华大学微积分(高等数学)第14讲不定积分(二)PPT课件

2(tln1t)C
28.11.2020
2( xln1 ( x)C4
定理2：（变量代换法）
若 f[(t)](t)d tF (t)C ,且 x(t)
有反 t 函 1(x)数 则 , 有
f(x)d xF [1(x) ]C
[证] dF [1(x)c]dF (t)dF dt
dx
dx dtdx
dF 1
dt
x2 2
lnx12
xd
x
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x2
(12lnx)C
4
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[例 4]计算 xarcxta dn x
[解]
x2
xarcxtd ax n arcxt(d a2n )
x2
1 x2
2arcxt a2n1x2dx
x2
1 1x21
2arcxta2n1x2 dx
x2
11
arcxtaxn arcxtaCn
x2cox s2x(dsx i)n x2co xs2xsixn 2sixndx
x 2 cx o 2 x s sx i n 2 cx o C s
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[例 3] 计 算 xlnx d x
[解] 选 择 ln xu, xd d xv
则
x2 v
,
u1dx
2
x
于是 xln xd x 2 x 2ln xx 221 xdx
直角三角形
I 4x2dx
2x
t
4 x2
2arcxsixn 4x2C 22
28.11.2020
8
[例 3]求I
dx x29
[解] 令x3tant
x 2 9 3ta 2t n 1 3s2 e t c 3 stec dx3se2ctdt
xd2x93 3ssee2ttccd tsetd ct
ln set ctatn C
2
一、变量代换法
凑微分法
f[(x)](x)dx f((x))d(x)
难求 ！
容易求 ！
常常遇到相反的情况
令x(t)
f(x)dx f[(t)](t)dt
难求 ！
容易求 ！
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3
[例]
求11
dx x
[解] 令xt, xt2, 于 是
11
xdx12ttdt
2
(1t)1 dt
1t
2[dt11tdt]
a2t21ca 12
a2x2c x
12
二、分部积分法
d(u)vvduudv
d(u)vvdu ud v
容易求 ！ 难求 ！
分部积分公式
ud vuvvdu
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难求 ！
容易求 ！ 13
[例 1]计 算 xexdx
[解] 关键：如何正确选择u 和dv?
若 选 exu 择 , xdd xv
1ex(sixncoxs)C
2
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[解法三] exco xsd x co x d(sex)
解 excoxs exs ixndx
法
三 不
问题出在此
excox s exdcoxs
可
取
Ias1htashdt t1dt
“双曲代换” 和 “倒数代换”
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例 如 I： d 求 x (a0)
x2 a2x2
dx 1 1 1
d( )
x2 a2x2 x a2(1 x)21 x
当x0时,令x1 t
11 1
t
I
d( )
dt
x a2(1 x)21 x
a2t21
1 2 a 28.11.2020
作业
P137 习题5.4
1(2)(6)(10). 2(4)(13). 3. P142 习题5.5
1(3)(12). 2(3). 3(2). 7(4). (10).
复习: P135—141 预习: P143—155
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第十四讲 不定积分（二）
一、变量代换法 二、分部积分法
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exsixn exco x se ex x c coo sx xdsxdx
1ex(sixncoxs)C
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2
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[解法二] exco xsd x co x d(sex)
excoxs exs ixndx
excoxs six ndxe
exco x s exsixn exco xs dx
[Hale Waihona Puke Baidu]
令x2sint
( t )
22
4x221si2n t2co 2ts2cot s
2cot s dx2cotsdt
I 4co2stdt 41c2o2st dt
2(t1sin2t)C 2
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为了作变量,回 将I代 改写为
I2 (t sitn cto ) C s
根据代x换 2s函 itn,数 作一个
dx dt
f[(t)](t)1(t)f(x)
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[例 1]求 I
1 dx ex2
[解] 令ex2t2
即xlnt(22),
dx
2t t2
2
dt
I
1 t
2t
t2
dt 2
2
t2
1
2
dt
2 1 arctatnC
2
2
2arctaenx2C
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2
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[例 2 ]求 I4x2dx
则xx edx exx2 x x 2 2 e e xxddx x
2 2 2 更难求 ！
故 选 xu,择 exd xdv
xxe d xxxeeexxddx容x易求 ！
xx eexCex(x1)C
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[例 2]计 算 x2six ndx
[解] x2sixnd xx2d(cx o) s x2co x sco x(sd x2) x2cox s2xcoxsdx
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Iln setc tatn C
sect x2 9 3
x2 9
x
t
3
xd2x9lnx2 393 xc1
l nx
x2 3
9
c1
lnx
x2 9 c
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问 ： 二 次 根 式 去 掉还 根有 号其 他 的方法吗？
例,如 求 I dx (a0)
x2a2
令 xach(0 tt)
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[例 5]计算 se3x cdx
[解] se 3xc d xsexsce 2xc dx
sexcd(taxn)
出现回方归程式
se x tc a x n ta x s ne x tc a xd nx
se x tc a x n (s2x e 1 c )se x d cx
se x tc a x n ssec33 e xx dd c x x se x dcx
1
1
sextcax nln sex ctaxn C
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2
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[例 6]计 算 excoxsdx
[解法一] excoxsdxexdsix n
exsixn exsixndx
exsix nexdcoxs 回归