清华大学微积分(高等数学)第14讲不定积分(二)PPT课件
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《不定积分教学》课件
《不定积分教学》PPT课 件
这是一份关于不定积分教学的精彩课件，旨在向大家详细介绍不定积分的概 念、常见公式以及各种积分技巧和应用。让我们一起探索不定积分的奥秘！
I. 介绍不定积分
什么是不定积分？为什么它在数学和实际应用中如此重要？在这一部分中，我们将深入研究不定积分的1
线性函数的积分
学习对一次函数进行积分运算的基本方法和公式。
2
常数函数的积分
研究对常数函数进行积分的简便技巧和运算步骤。
3
多项式函数的积分
探索多项式函数在不定积分中的运算特点和求解方法。
IV. 分部积分法
1
分部积分法的原理
理解分部积分法的基本原理和概念，
常用分部积分公式
2
并掌握应用技巧。
学习常见函数的分部积分公式和运算
步骤。
3
应用实例
通过实际问题的分部积分求解，加深 对这一方法的理解和掌握。
V. 替换积分变量法
1 变量替换的思路
介绍使用替换变量法解决复杂积分问题的基本思路。
2 常见变量替换技巧
学习变量替换法的常见技巧和应用场景。
3 求解实际问题
通过实际问题的例子，练习和巩固替换积分变量的方法。
3
高级积分方法
介绍高级积分方法，如换元积分法、特殊曲线的积分等。
基本函数积分表
e^x, sin(x), cos(x), ln(x)等常见函数的积分公 式详解。
三角函数积分法则
sin(x), cos(x), tan(x)等三角函数的积分运算 规则和技巧。
幂函数积分法则
x^n的不定积分的计算方法，包括n不等于-1 和n等于-1两种情况。
常用特殊函数积分
学习Gamma函数、Beta函数等特殊函数的 积分方法和应用。
这是一份关于不定积分教学的精彩课件，旨在向大家详细介绍不定积分的概 念、常见公式以及各种积分技巧和应用。让我们一起探索不定积分的奥秘！
I. 介绍不定积分
什么是不定积分？为什么它在数学和实际应用中如此重要？在这一部分中，我们将深入研究不定积分的1
线性函数的积分
学习对一次函数进行积分运算的基本方法和公式。
2
常数函数的积分
研究对常数函数进行积分的简便技巧和运算步骤。
3
多项式函数的积分
探索多项式函数在不定积分中的运算特点和求解方法。
IV. 分部积分法
1
分部积分法的原理
理解分部积分法的基本原理和概念，
常用分部积分公式
2
并掌握应用技巧。
学习常见函数的分部积分公式和运算
步骤。
3
应用实例
通过实际问题的分部积分求解，加深 对这一方法的理解和掌握。
V. 替换积分变量法
1 变量替换的思路
介绍使用替换变量法解决复杂积分问题的基本思路。
2 常见变量替换技巧
学习变量替换法的常见技巧和应用场景。
3 求解实际问题
通过实际问题的例子，练习和巩固替换积分变量的方法。
3
高级积分方法
介绍高级积分方法，如换元积分法、特殊曲线的积分等。
基本函数积分表
e^x, sin(x), cos(x), ln(x)等常见函数的积分公 式详解。
三角函数积分法则
sin(x), cos(x), tan(x)等三角函数的积分运算 规则和技巧。
幂函数积分法则
x^n的不定积分的计算方法，包括n不等于-1 和n等于-1两种情况。
常用特殊函数积分
学习Gamma函数、Beta函数等特殊函数的 积分方法和应用。
第五章 不定积分 (《微积分》PPT课件)
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C; (11) csc x cot xdx csc x C; (12) e xdx e x C; (13) a xdx a x C;
6. x xdx ______________________；
7.
dx
x2 x
_______________________；
8. ( x2 3x 2)dx _________________；
9. ( x 1)( x3 1)dx _____________；
10.
(1
x)2 x
dx
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数(.primitive function )
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
清华大学微积分高等数学课件第4讲不定积分二市公开课金奖市赛课一等奖课件
e
x
x
ln
1 e2x C
10/10/
29
第29页
[例10] 求
x2e x ( x 2)2 dx
[解]
(
x2e x x 2)2
dx
x2ex d( 1 ) x2
x2e x ( 1 ) 1 (2x x2 )e x dx
x2 x2
x2e x xe x dx
x2
x2e x ( x 1)e x c 10/10/ x 2
x
a2(
1 x
)2
1
x
当x 0时, 令 x 1 t
11
1
t
I
d( )
dt
x
a2(
1 x
)2
1
x
a2t2 1
1
10/10/
a
2
a
2t
2
1
c
1 a2
a2 x2 c
x
12
第12页
二、分部积分法
d (uv) vdu udv
d (uv) vdu udv
容易求 ！ 难求 ！
例如：n 2
1x
1 dx
I2 2a 2 x 2 a 2 2a 2 x 2 a 2
1 x1
x
2a2 ( x2 a2 a arctan a ) C
10/10/
26
第26页
[小结]: 下列积分能够用分部积分法
Pn( x)eaxdx Pn( x)sin axdx Pn( x)cos axdx
1
1
x
dx
2t 1
t
dt
2
(1
1
t) t
1 dt
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
不定积分ppt课件
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f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
高等数学(第二版)上册课件：不定积分
性质3可以推广到有限个函数的情形． 不定积分的性质以及基本积分公式是求不定积分的
基础，记忆常见函数的积分公式，便能熟练计算可化为 几个基本初等函数线性组合的积分．在应用这些公式时, 有时需要对被积函数作适当变形,化成能直接套用基本积 分公式的情况，一般称这种不定积分计算方法为直接积 分法.
现将常见的一些基本积分公式列表如下：
就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成
基本积分公式的形式．
例4.2.5
求
x
1 ln
dx x
分析 将 1 作为 x ，将其凑成微分部分.
x
解：
x
1 ln
dx x
1 dln
ln x
x
lnlnxC
例4.2.6
求
1 a2 x2 dx
分析
凑微分，利用积分公式
1
1 x
2
dx
arc
tan
x
C
计算.
sin
udu
1cosu C 3
1 cos3x C 3
例4.2.3
求
1 dx. 2 x +7
解
被积函数
1 2x+7
可看成
1 u与
u 2x+7
构成的复合
函数，虽没有 u 2 这个因子，但我们可以凑出这个
因子： 1 1 1 2 1 1 (2x 7) 2x+7 2 2x+7 2 2x 7
xC，
例4.1.3 求
x 1 x 1 dx x
分析 首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分.
解
x 1 x 1 dx x
x
x x 1
1 x
dx
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
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28.11.2020
2
22
17
[例 5]计算 se3x cdx
[解] se 3xc d xsexsce 2xc dx
sexcd(taxn)
出现回方归程式
se x tc a x n ta x s ne x tc a xd nx
se x tc a x n (s2x e 1 c )se x d cx
直角三角形
I 4x2dx
2x
t
4 x2
2arcxsixn 4x2C 22
28.11.2020
8
[例 3]求I
dx x29
[解] 令x3tant
x 2 9 3ta 2t n 1 3s2 e t c 3 stec dx3se2ctdt
xd2x93 3ssee2ttccd tsetd ct
ln set ctatn C
28.11.2020
9
Iln setc tatn C
sect x2 9 3
x2 9
x
t
3
xd2x9lnx2 393 xc1
l nx
x2 3
9
c1
lnx
x2 9 c
28.11.2020
10
问 ： 二 次 根 式 去 掉还 根有 号其 他 的方法吗？
例,如 求 I dx (a0)
x2a2
令 xach(0 tt)
1ex(sixncoxs)C
2
28.11.2020
20
[解法三] exco xsd x co x d(sex)
解 excoxs exs ixndx
法
三 不
问题出在此
excox s exdcoxs
可
取
[解]
令x2sint
( t )
22
4x221si2n t2co 2ts2cot s
2cot s dx2cotsdt
I 4co2stdt 41c2o2st dt
2(t1sin2t)C 2
28.11.2020
7
为了作变量,回 将I代 改写为
I2 (t sitn cto ) C s
根据代x换 2s函 itn,数 作一个
se x tc a x n ssec33 e xx dd c x x se x dcx
1
1
sextcax nln sex ctaxn C
2 28.11.2020
2
18
[例 6]计 算 excoxsdx
[解法一] excoxsdxexdsix n
exsixn exsixndx
exsix nexdcoxs 回归
a2t21ca 12
a2x2c x
12
二、分部积分法
d(u)vvduudv
d(u)vvdu ud v
容易求 ！ 难求 ！
分部积分公式
ud vuvvdu
28.11.2020
难求 ！
容易求 ！ 13
[例 1]计 算 xexdx
[解] 关键：如何正确选择u 和dv?
若 选 exu 择 , xdd xv
作业
P137 习题5.4
1(2)(6)(10). 2(4)(13). 3. P142 习题5.5
1(3)(12). 2(3). 3(2). 7(4). (10).
复习: P135—141 预习: P143—155
28.11.2020
1
第十四讲 不定积分（二）
一、变量代换法 二、分部积分法
28.11.2020
exsixn exco x se ex x c coo sx xdsxdx
1ex(sixncoxs)C
28.11.2020
2
19
[解法二] exco xsd x co x d(sex)
excoxs exs ixndx
excoxs six ndxe
exco x s exsixn exco xs dx
则xx edx exx2 x x 2 2 e e xxddx x
2 2 2 更难求 ！
故 选 xu,择 exd xdv
xxe d xxxeeexxddx容x易求 ！
xx eexCex(x1)C
28.11.2020
14
[例 2]计 算 x2six ndx
[解] x2sixnd xx2d(cx o) s x2co x sco x(sd x2) x2cox s2xcoxsdx
Ias1htashdt t1dt
“双曲代换” 和 “倒数代换”
28.11.2020
11
例 如 I： d 求 x (a0)
x2 a2x2
dx 1 1 1
d( )
x2 a2x2 x a2(1 x)21 x
当x0时,令x1 t
11 1
t
I
d( )
dt
x a2(1 x)21 x
a2t21
1 2 a 28.11.2020
x2cox s2x(dsx i)n x2co xs2xsixn 2sixndx
x 2 cx o 2 x s sx i n 2 cx o C s
28.11.2020
15
[例 3] 计 算 xlnx d x
[解] 选 择 ln xu, xd d xv
则
x2 v
,
u1dx
2
x
于是 xln xd x 2 x 2ln xx 221 xdx
dx dt
f[(t)](t)1(t)f(x)
28.11.2020
5
[例 1]求 I
1 dx ex2
[解] 令ex2t2
即xlnt(22),
dx
2t t2
2
dt
I
1 t
2t
t2
dt 2
2
t2
1
2
dt
2 1 arctatnC
2
2
2arctaenx2C
28.11.2020
2
6
[例 2 ]求 I4x2dx
x2 2
lnx12
xd
x
28.11.2020
x2
(12lnx)C
4
16
[例 4]计算 xarcxta dn x
[解]
x2
xarcxtd ax n arcxt(d a2n )
x2
1 x2
2arcxt a2n1x2dx
x2
1 1x21
2arcxta2n1x2 dx
x2
11
arcxtaxn arcxtaCn
2(tln1t)C
28.11.2020
2( xln1 ( x)C4
定理2：（变量代换法）
若 f[(t)](t)d tF (t)C ,且 x(t)
有反 t 函 1(x)数 则 , 有
f(x)d xF [1(x) ]C
[证] dF [1(x)c]dF (t)dF dt
dx
dx dtdx
dF 1
dt
2
一、变量代换法
凑微分法
f[(x)](x)dx f((x))d(x)
难求 ！
容易求 ！
常常遇到相反的情况
令x(t)
f(x)dx f[(t)](t)dt
难求 ！容易求 ！来自28.11.20203
[例]
求11
dx x
[解] 令xt, xt2, 于 是
11
xdx12ttdt
2
(1t)1 dt
1t
2[dt11tdt]