第二章 谓词逻辑1PPT课件
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离散数学 第二章 谓词逻辑1PPT课件
解: (1) 设 P(x): x是动物, x∈{动物},b: 熊猫,b 是个体常元, 则命题可符号化为P(b)或P(熊猫)。 (2) P(x, y, z): x位于y与z之间。a: 上海, b: 南京, c: 杭州, 则命题可符号化为P(a, b, c)或 符号化为P(上海, 南京, 杭州)。 (3) P(x): x是偶数, Q(x): x是素数, a: 2, 则命 题可符号化为P(a)∧Q(a) 或 P(2)∧Q(2)。
(2)对于存在量词(x),刻划其对应个体域的 特性谓词作为合取式之合取项加入。
特性谓词的例子
为什么要这样规定特性谓词加入的原则呢?若 不遵循会出现什么样的问题?
例如,符号化“所有的老虎都要吃人”这个命题 若P(x):x会吃人 U(x):x是老虎
则若符符号号化化的为正(确x形)(式U(应x)该∧是P(x))
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简 单命题依次符号化为p,q,r,将推理的形式结构 符号化为(p∧q)→r。由于上式不是重言式,所以 不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性,就应该将简单命 题再细分,分析出个体词,谓词和量词,以期达到 表达出个体与总体的内在联系和数量关系,这就是 本章所研究的内容。
n元谓词:含有n个变元。
例如: F(x): x是人。 G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词, G(x,y)是二元谓词。
一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例: 将下列命题符号化: (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。 (3) 2是偶数且是素数。
设:H(x):x是人 M(x):x是要死的
则前提:H(x)→M(x) H(Socrates)
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(2)令F(x,y):x是y的学生;a:小王;b: 李老师。则原句形式化为:
F(a,b)。 (3)令F(x,y):x≤y;G(x,y):x=y。 式化为:
(F(x,y)∧F(y,x))→G(x,y)。
2-9
第2章 谓词逻辑
前两句均是命题,第三句因为含有变元 所以是命题函数。但实际上我们知道,只要 将x、y限制在数的范围内,第三句是定理, 是永真的。这就涉及到了个体域。在简单命 题中,常有一些表示数量关系的词语,诸如" 所有的"、"有一些"等等,用来表示论域中的 全体或部分个体,在谓词逻辑中,我们用量 词把它们形式化。
人,就存在着医生y,使得x相信y。因此,本 命题符号化为:
x(F(x)→ y(G(y)∧H(x,y)))
2-20
第2章 谓词逻辑
例2.1.5】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题: (1)任意一个整数x,均有另一个整数y,使得x+y等
于0。 (2)存在这样的实数x,它与任何实数y的乘积均为y。
定义2.2.1 “项”的定义: (1)任何一个个体变元或个体常元是项。 (2)如果f是n元运算符,t1,t2,…,tn是项,
则f(t1,t2,…,tn)是项。 (3)所有的项由且仅由有限次使用(1)、
(2)所生成。
2-25
第2章 谓词逻辑
例如,x,a,f(x,a),f(g(x,a, b),h(x))均是项,其中h、f和g分别是一 元、二元和三元运算符。而h(a,b)不是项, 因为h是一元运算符,但h(a,b)中h的后面 跟了两个项,同样g(x)也不是项。
2-22
第2章 谓词逻辑
2.2 谓词逻辑公式及解释
上一节中我们在谓词逻辑中符号化得到的命 题和命题函数就是谓词逻辑公式(谓词公式)。 至此,在谓词逻辑中,我们已涉及到以下这些 符号:
F(a,b)。 (3)令F(x,y):x≤y;G(x,y):x=y。 式化为:
(F(x,y)∧F(y,x))→G(x,y)。
2-9
第2章 谓词逻辑
前两句均是命题,第三句因为含有变元 所以是命题函数。但实际上我们知道,只要 将x、y限制在数的范围内,第三句是定理, 是永真的。这就涉及到了个体域。在简单命 题中,常有一些表示数量关系的词语,诸如" 所有的"、"有一些"等等,用来表示论域中的 全体或部分个体,在谓词逻辑中,我们用量 词把它们形式化。
人,就存在着医生y,使得x相信y。因此,本 命题符号化为:
x(F(x)→ y(G(y)∧H(x,y)))
2-20
第2章 谓词逻辑
例2.1.5】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题: (1)任意一个整数x,均有另一个整数y,使得x+y等
于0。 (2)存在这样的实数x,它与任何实数y的乘积均为y。
定义2.2.1 “项”的定义: (1)任何一个个体变元或个体常元是项。 (2)如果f是n元运算符,t1,t2,…,tn是项,
则f(t1,t2,…,tn)是项。 (3)所有的项由且仅由有限次使用(1)、
(2)所生成。
2-25
第2章 谓词逻辑
例如,x,a,f(x,a),f(g(x,a, b),h(x))均是项,其中h、f和g分别是一 元、二元和三元运算符。而h(a,b)不是项, 因为h是一元运算符,但h(a,b)中h的后面 跟了两个项,同样g(x)也不是项。
2-22
第2章 谓词逻辑
2.2 谓词逻辑公式及解释
上一节中我们在谓词逻辑中符号化得到的命 题和命题函数就是谓词逻辑公式(谓词公式)。 至此,在谓词逻辑中,我们已涉及到以下这些 符号:
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作用变元、 指导变元
量词 的辖域
xA(x),xA(x)
例如:D=全班同学的集合。A(x):今天x迟到了。
Hale Waihona Puke 西 华xA(x) 表示今天x迟到了。x∈D,从而x指同学。
大 学
xA(x)表示今天有同学迟到了。
xA(x)就表示为今天所有的同学都迟到了。
显然,当D为有限集合时,D={a1,a2,……,an}
(课堂 作业)
例4.在成都工作的人未必是成都人。
西 华
D={人类集合}
大
学
• 解:设P(x):x在成都工作;Q(x):x是成都 人。
• ⑴存在这样的x,x在成都工作但是x不是 成都人。x(P(x) ∧ Q(x))
• ⑵ 并不是说,所有的x在成都工作,x就是 成都人。 (x(P(x) Q(x)))
L(a,b)才是命题,并且是假命题。 c为2,d为0
时,L(c,d)是真命题。
有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词。 0元谓词 中的谓词的意义确定后, 0元谓词是命题。
使用谓词注意:
(1) n元谓词中,客体变项的次序很重要 。
例:F(x,y)表示x是y的父亲,
西
a:张三,b:张小明。
华
F(a,b)表示张三是张小明的父亲。
(2)存在x,使得:x+5=2
大 学
要求:
1)个体域为自然数集合
2)个体域为实数集合
例4 :在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1)凡偶数均能被2整除
西 华
(2)存在着偶素数
大 学
(3)没有不吃饭的人
(4)素数不全是奇数
例5.对任意的x都存在y,使得x +y=2。
D=实数集合
离散-3-2-谓词逻辑(1)
主要内容:
第二章 一阶谓词逻辑
命题符号化
基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系
合式谓词公式
永真公式
1
第二章 一阶谓词逻辑
»
苏格拉底(Socrates)论证:
所有的人都是要死的,苏格拉底是人, 所以,苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配)
(对∨可分配)
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域, E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解: (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1:将下列命题符号化: (1)存在小于 0 的实数;(2)任意实数的平方都不小于 0. 解:设个体域为实数集,L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域,设 R(x): x是实数 (1) x(R(x)∧L(x,0)) 特性谓词
第二章 一阶谓词逻辑
命题符号化
基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系
合式谓词公式
永真公式
1
第二章 一阶谓词逻辑
»
苏格拉底(Socrates)论证:
所有的人都是要死的,苏格拉底是人, 所以,苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配)
(对∨可分配)
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域, E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解: (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1:将下列命题符号化: (1)存在小于 0 的实数;(2)任意实数的平方都不小于 0. 解:设个体域为实数集,L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域,设 R(x): x是实数 (1) x(R(x)∧L(x,0)) 特性谓词
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化:我送他这本书。
解:令 A(e1,e2,e3)表示“e1送e3给e2”; B(e)表示“e为书”; a表示“我”; b表示“他”; c表示“这”;
则原句译为: A(a,b,c) B(c)
27/44
例4 符号化:这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解: 设 C(e)表示e为计算机学院的人; T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为:
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中:x就取值于全总个体域U, 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意:x,A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x,y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意:x,y,A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目:
14/44
个体域{a,b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目:
15/44
个体域{a,b,c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
第二章谓词逻辑(1)
(1)原子公式是合式公式. (2)若A是合式公式,则(┐A)也是合式公式. (3)若A,B是合式公式,则(A∧B),(A∨B), (A→B),(AB)也是合式公式. (4)若A是合式公式,则 xA, xA也是合式公式. (5)只有有限次的应用(1)~(4)构成的符号串 才是合式公式. 合式公式也称为谓词公式,简称公式.
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中,命题是最基本的单位,对简单 命题不再进行分解,并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性,甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除;6是偶数.所以,6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题,但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p, q,r,将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式,所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止,对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星,所以对任何人a, M(a)∧H(a)均为假,因而 x(M(x)∧H(x))为假, 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生,G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词,例如,F(a),G(a,b),P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F,G,P为谓词常项时,0 元谓词为命题.这样一来,命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词,因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化, 并讨论它们的真值:
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中,命题是最基本的单位,对简单 命题不再进行分解,并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性,甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除;6是偶数.所以,6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题,但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p, q,r,将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式,所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止,对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星,所以对任何人a, M(a)∧H(a)均为假,因而 x(M(x)∧H(x))为假, 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生,G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词,例如,F(a),G(a,b),P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F,G,P为谓词常项时,0 元谓词为命题.这样一来,命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词,因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化, 并讨论它们的真值:
离散数学谓词逻辑课件
第二章谓词逻辑
第二章 小结
本章重点掌握内容: 1.各基本概念清楚。 2.会命题符号化。 3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。 4.会写前束范式。 5.熟练3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F (4)b)对约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) (yA(u,y)→xB(x,v))∧ xzC(x,w,z)
第二章谓词逻辑
(6)判断下面推证是否正确。 x(A(x)→B(x)) ⑴ x(A(x)∨B(x)) ⑵ x(A(x)∧B(x) ⑶ x(A(x)∧B(x)) ⑷ (xA(x)∧xB(x)) ⑸ xA(x)∨xB(x) ⑹ xA(x)∨xB(x) ⑺ xA(x)→xB(x) 第⑷步错,由⑶到⑷用的是公式: x(A(x)∧B(x))(xA(x)∧xB(x)) 无此公式,而是 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x),应将⑷中的换成 即:
第二章谓词逻辑
例2.7.1 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。 令 M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。 符号化为: x(M(x)→C(x)),M(a) C(a) ⑴ x(M(x)→C(x)) P ⑵ M(a)→C(a) US ⑴ ⑶ M(a) P ⑷ C(a) T ⑵⑶ I11
2-7 谓词演算的推理理论
第二章谓词逻辑
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2.1 谓词的概念与表示
▪ 谓词 在反映判断的句子中,用以刻划客体
的性质或关系的即是谓词。 例:(1)3是有理数。 (2)x是无理数。
(3)阿杜与阿寺同岁。 (4)x与yL。 其中,“是有理数”、“是无理数”、 “与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。 前两个是指明客体性质的谓词,后两个是指 明两个客体之间关系的谓词。
▪ 原子公式 元谓词,t1,
t2若, …A,(xtn1是, xF2,的…任, x意n)是n个F 项的,任则意称n
A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
2.3 谓词公式与翻译
▪ 谓词演算的合式公式/谓词公式
(1)原子公式是合式公式。 (2)若A 是合式公式,则 (A) 也是合式公式。 (3)若A和B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值,对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例:R(x)表示“x是大学生”,如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生,则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生, 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众,那么对某些观众,R(x)为真,对另 一些观众,R(x)为假。
2.2 命题函数与量词
▪ 简单命题函数 由一个谓词,一些客体变
元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。
▪ 复合命题函数 由一个或n个简单命题函数
以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命 题函数。
2.2 命题函数与量词
▪ 命题函数不是一个命题,只有客体变元取特 定名称时,才能成为一个命题。
比y 跑得快。则 xy(T(x)∧S(y) F(x,y))
▪ 谓词 在反映判断的句子中,用以刻划客体
的性质或关系的即是谓词。 例:(1)3是有理数。 (2)x是无理数。
(3)阿杜与阿寺同岁。 (4)x与yL。 其中,“是有理数”、“是无理数”、 “与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。 前两个是指明客体性质的谓词,后两个是指 明两个客体之间关系的谓词。
▪ 原子公式 元谓词,t1,
t2若, …A,(xtn1是, xF2,的…任, x意n)是n个F 项的,任则意称n
A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
2.3 谓词公式与翻译
▪ 谓词演算的合式公式/谓词公式
(1)原子公式是合式公式。 (2)若A 是合式公式,则 (A) 也是合式公式。 (3)若A和B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值,对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例:R(x)表示“x是大学生”,如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生,则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生, 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众,那么对某些观众,R(x)为真,对另 一些观众,R(x)为假。
2.2 命题函数与量词
▪ 简单命题函数 由一个谓词,一些客体变
元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。
▪ 复合命题函数 由一个或n个简单命题函数
以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命 题函数。
2.2 命题函数与量词
▪ 命题函数不是一个命题,只有客体变元取特 定名称时,才能成为一个命题。
比y 跑得快。则 xy(T(x)∧S(y) F(x,y))
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第二章 谓词演算
2-1 谓词的概念与表示 2-2 命题函数与量词
2-3 谓词公式与翻译 2-4 变元的约束 2-5 谓词演算的等价式与蕴含式 2-6 前束范式 2-7 谓词演算的推理理论
10
2-1 谓词的概念与表示 • 命题是具有真假意义的陈述句。从语法上
分析,一个陈述句由主语和谓语两部分组 成。在谓词逻辑中,为了揭示命题内部结 构及其不同命题的内部结构关系,就按照 这两部分对命题进行分析,并且把主语称 为个体或客体,把谓语称为谓词。
• 应注意的是,命题的谓词填式中的客体出现 的次序影响命题的真值,不是随意变动,否 则真值会有变化。如上述例子中,L(b,a,c) 是假。
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2-2 命题函数与量词
一般来说,当谓词P给定, x1,x2,…,xn是客体 变元 ,P(x1,x2,…,xn) 不是一个命题,因为他的 真值无法确定,要想使它成为命题,要用n个客 体常项代替n个客体变元。 P(x1,x2,…,xn) 就是 命题函数。
比如L(x,y)表示“x小于y”,那么L(2,3)表示 了一个真命题“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个 假命题“5小于1”
定义2-2.1 由一个谓词,一些客体变元组成的表 达式称为简单命题函数。
18
• 对于n元谓词P(x1,x2,…,xn),当n=1时,称 一元谓词;当n=2时,称为二元谓词,…。特 别地,当n=0,称为零元谓词。零元谓词是命 题,这样命题与谓词就得到了统一。
12
谓词的概念
定义1:谓词(predicate) 在命题中,用以刻画客体的性质或客体之间关系的词
即是谓词,谓词相当于命题中的谓语部分。 例如: (1) 他是三好学生 (2) “他”是个体,“是三好学生”是表示个体性质
第二章 谓词演算
2-1 谓词的概念与表示 2-2 命题函数与量词
2-3 谓词公式与翻译 2-4 变元的约束 2-5 谓词演算的等价式与蕴含式 2-6 前束范式 2-7 谓词演算的推理理论
10
2-1 谓词的概念与表示 • 命题是具有真假意义的陈述句。从语法上
分析,一个陈述句由主语和谓语两部分组 成。在谓词逻辑中,为了揭示命题内部结 构及其不同命题的内部结构关系,就按照 这两部分对命题进行分析,并且把主语称 为个体或客体,把谓语称为谓词。
• 应注意的是,命题的谓词填式中的客体出现 的次序影响命题的真值,不是随意变动,否 则真值会有变化。如上述例子中,L(b,a,c) 是假。
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2-2 命题函数与量词
一般来说,当谓词P给定, x1,x2,…,xn是客体 变元 ,P(x1,x2,…,xn) 不是一个命题,因为他的 真值无法确定,要想使它成为命题,要用n个客 体常项代替n个客体变元。 P(x1,x2,…,xn) 就是 命题函数。
比如L(x,y)表示“x小于y”,那么L(2,3)表示 了一个真命题“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个 假命题“5小于1”
定义2-2.1 由一个谓词,一些客体变元组成的表 达式称为简单命题函数。
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• 对于n元谓词P(x1,x2,…,xn),当n=1时,称 一元谓词;当n=2时,称为二元谓词,…。特 别地,当n=0,称为零元谓词。零元谓词是命 题,这样命题与谓词就得到了统一。
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谓词的概念
定义1:谓词(predicate) 在命题中,用以刻画客体的性质或客体之间关系的词
即是谓词,谓词相当于命题中的谓语部分。 例如: (1) 他是三好学生 (2) “他”是个体,“是三好学生”是表示个体性质
第2章 谓词逻辑-1
定义2.1.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表 达式H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题 函数.当n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题 函数不是命题;特殊情况0元谓词就变成一个命题. 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及 逻辑联结词组合而成的表达式.
(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) (x) A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
例6:在谓词逻辑中将下列命题符号化. (1)所有的人都长头发。 (2)有的人吸烟。 (3)没有人登上过木星。 (4)清华大学的学生未必都是高素质的。 解:令 M(x): x是人。(特性谓词) (1) 令F(x): x长头发。则符号化为: (x)(M(x) F(x)) (2) 令S(x): x吸烟。则符号化为: (x)(M(x)∧S(x)) (3) 令D(x): x登上过木星。则符号化为: ┐(x)(M(x)∧D(x))
(4)一般来说,当多个量词同时出现时,它们的顺序不能
随意调换。如: 在实数域上用H(x,y)表示x+y=5,则命题“对于任意的x, 都存在y使得x+y=5”可符号化为: xyH(x,y) ,其真值 为1.若调换量词顺序后为: yx H(x,y) , 其真值为0。 (5) 当个体域为有限集合时,如D={a1, a2 …, an},对任 意谓词A(x),有
所有的人都是要死的, 苏格拉底是人, 所以苏格拉底是要死的。 根据常识,认为这个推理是正确的。但是,若用命题逻辑 (Ls)来表示,设P、Q和R分别表示这三个原子命题,则 有 P,QR 然而,(P∧Q)→R 并不是永真式,故上述推理形式又是错 误的。一个推理,得出矛盾的结论,问题在哪里呢? 问题就 在于这类推理中,各命题之间的逻辑关系不是体现在原子 命题之间,而是体现在构成原子命题的内部成分之间,即 体现在命题结构的更深层次上。对此,Ls是无能为力的。 所以,在研究某些推理时,有必要对原子命题作进一步分 析,分析出其中的个体词,谓词和量词,研究它们的形式 结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则,这些正是谓词 逻辑(简称为Lp)的基本内容。
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谓词可以
( x ) A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) ( x ) A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n )
( ! x ) A ( x ) ( c ) ( ( x ) ( A ( x ) ( x c ) )
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• 类似的还有很多,例如:
– 所有软件学院的学生在毕业之前都要通过离散数学考 试,王思奇是软件学院的学生,所以王思奇在毕业之 前需要通过离散数学考试。
– 所有的正整数都大于0,3是正整数,所以3大于0。
• 本章介绍的谓词逻辑,对原子命题的成份、结构和原子 命题间的共同特性等作了进一步分析。引入了个体词、 谓词、量词、谓词公式等概念,在此基础上研究谓词公 式间的等值关系和蕴含关系,并且对命题逻辑中的推理 规则进行扩充和进行谓词演绎。
• 注意:命题的n元谓词表示形式和n元命题
函数不同?
–a:张明。
–命题函数:P(x)
x是学生。
–谓词表示形式:P(a) 张明是学生。
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个体域
任何个体的变化都有一 个范围,这个变化范围 称为个体域(或论域)。
• 个体域可以是有限的,也可以是无限的。所有 个体域的总和叫作全总个体域。以某个个体域 为变化范围的变元叫个体变元。
– 令 P(x):x 是素数
– 则命题可表示成 x P(x)
– 取个体域为正整数集,是假命题。
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存在量词
• 符号“(x)P(x) ”表示命题:“在个体域中存 在某些个体使谓词P(x)为T”其中“ ”叫作
存在量( 词x ) ,读作“存在x”。谓词P(x)称为存在量 词的辖域或作用范围。
• 个体域的变换范围影响到谓词公式的真假
• R(x):x是大连理工大学软件学院的学生.
– 如果x的讨论范围是大工软件学院某个班级的学生永真 – 如果x的讨论范围是某个幼儿园里的小朋友 永假
– 如果x的讨论范围是大连的所有市民 可满足
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谓词的阶• 在谓词 P(x来自,x2,,x中n),如果个体变元是一 些简单的事物,那么P为一阶谓词;
• 例如:
– 有些正整数是素数;
–
令 P(x):x 是素数
–
则命题可表示成 x P(x)
–
取个体域为正整数集,是真命题。
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存在唯一量词!
• 符号“(!x)P(x)”表示命题:“在个体域中存 在一个且只存在一个个体使谓词P(x)为T”其
中“ ”叫作存( !在x ) 唯一量词,读作“恰有一个
• 若个体变元中有一些是一阶谓词,那么P 为二阶谓词;二阶以上递推。
本门课程仅研究 一阶谓词
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量词
• 使用前面介绍的谓词和个体变元,还不足 以描述自然界的所有命题。
• 例:
– 描述命题“所有的正整数都大于0”以及命题 “有些正整数是素数”。
• 量词的引入:量词指在命题里表示数量的 词。
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和…之间 –一元谓词: …是学生 –二元谓词: …比…高 –三元谓词: …坐在… 和…之间
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谓词和个体
(1)李明是学生; (2)张亮比陈华高; (3)陈华坐在张亮与李明之间。
– 一般用大写的英文字母表示谓词,而用小写 的英文字母表示个体。
–上述命题可分别表示为 Q(a),P(b,c),R(c,b,a)
–一般地,由n个个体和n元谓词所组成的命题 可表示为F(a1,a2, … ,an),其中F表示n元 谓词, a1,a2, … ,an 分别表示n个个体。
–注意:a1,a2, … ,an的排列次序是重要的。
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谓词和个体
• 对于F(a1,a2, … ,an),如果括号内的 个体是抽象的可变化的,那么F (a1,a2, … ,an)称为n元原子谓词公式 或n元命题函数。
• 谓词:用来刻划个体的性质或个体之间关系的 词称为谓词,刻划一个个体性质的词称为一元 谓词;刻划n个个体之间关系的词称为n元谓词 。
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谓词和个体
• 例:
–(1)李明是学生; –(2)张亮比陈华高; –(3)陈华坐在张亮与李明之间。
–个体:李明,张亮,陈华 –谓词:…是学生; …比…高; …坐在…
全称量词
• 符号“(x)P(x)”表示命题:“对于个体域中所 有个体x,谓词P(x)均为T”。其中“ ”叫作
全称(量 x词) ,读作“对于所有的x”。谓词P(x)称为 全称量词的辖域或作用范围。
• 例如: – 所有的人都是要死的
– 令D(x):x 是要死的。
– 则命题可表示为 x D(x) – 取个体域为全体人的集合,是真命题。 – 所有的正整数都是素数;
第二章 谓词逻辑
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谓词逻辑的引入
• 在命题逻辑中,试进行下列推理:
– “苏格拉底三段论”: – 凡人都是要死的, P – 苏格拉底是人, Q – 所以苏格拉底是要死的。R
(PΛQ)→R
命题逻辑中,命题被当作一 个基本的,不可分割的单位, 只研究由原子命题和联接词 所组成的复合命题,没有研 究命题内部的内部结构以及 命题之间的内在关系。
• 由量词确定的命题真值与个体域有关。
– 令 P(x):x 是素数
– 则 x P(x),如果取个体域为素数集,为真; 如果个体域为整数集,为假。
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量词
以后不加强调个体域
• 为了方便起见,个体均域指一全律总用个全体总域个体域,
每个个体变元的真正变化范围则用一个特
性谓词来刻划。
• 注意:对于全称量词应使用单条件逻辑联 结词;对于存在量词应使用逻辑联结词合 取。
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本章内容
• 谓词、个体、量词 • 合式谓词公式 • 自由变元和约束变元 • 含有量词的等价式和永真蕴含式 • 谓词逻辑中的推理理论 • 前束范式、斯柯林范式
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2.1谓词演算
本质上是把数学中的逻辑 论证加以符号化。
• 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体:可以独立存在的事物 。
– 老师,计算机,证书,道德,智商等。
x”。谓词P(x)称为存在量词的辖域或作用范围。
• 例如:
– 恰有一个正整数是素偶数;
–
令 P(x):x 是素偶数
–
则命题可表示成 !x P(x)
–
取个体域为正整数集 ,是真命题。
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量词
• 量词本身不是一个独立的逻辑概念,可以 用 , 联结词取代。
– 设个体域 S:S{a1,,a2,,an} 表示成以下形式: