6-2单服务台指数分布排队系统

5 p0 = = ≈ 0.56 µ +λ 5+4
µ
4 p1 = = ≈ 0 . 44 µ+λ 5+4
λ
每小时接待的顾客数为 µλ λe =λP0+0P1 = =2.2（辆/h） （ ） µ +λ 每小时损失的顾客数为 λ损=λ-λe = 4-2.2=1.8（辆/h） （ ） 可见, 系统中可容纳的顾客数太少时, 可见 , 系统中可容纳的顾客数太少时 , 将导致 系统损失太多的顾客。 系统损失太多的顾客。
注 意 基本单服务台排队模型 M/M/1 M/M/1/N/∞/FCFS
N→∞ N=1
等待制系统
损失制系统
课堂练习6-1
试画出M/M/1客源无限的损失制排 试画出M/M/1客源无限的损失制排 队系统的状态转移速度图 队系统的状态转移速度图，写出相应的 的状态转移速度图， 状态转移速度矩阵及相应的基本数量指 标表达式。 标表达式。
1个服务台 个服务台 有限源 排队系统 C个服务台 个服务台
M/M/1/m/m/FCFS M/M/C/m/m/FCFS
6.1 客源无限的排队系统
6.1.1单服务台指数分布排队系统 M/M/1 M/M/1无限源排队系统 一、最基本的单服务台排队模型
M/M/1/N/∞/FCFS
1、系统的意义
顾客按泊松流输入,平均到达率为λ 顾客按泊松流输入,平均到达率为λ； 服务时间服从负指数分布,平均服务率为µ 服务时间服从负指数分布,平均服务率为µ； 1个服务台； 个服务台； 系统容量为N, 顾客源无限 系统容量为 N,顾客源无限, 排队规则为先到先 顾客源无限, 服务的混合制排队系统 服务的混合制排队系统。 混合制排队系统。 当顾客来到系统时,若系统中的顾客已经等于N 当顾客来到系统时,若系统中的顾客已经等于N， 则自动离去, 则自动离去,另求服务 。
（ 6 -1 ）
其中， P=（ 其中， P=（P0，P1，P2，P3，……，PN） ……，
把状态概率方程( 把状态概率方程(6-1)打开,写成状态概率 打开, 方程组,即可求出基本概率指标。 方法1 方程组,即可求出基本概率指标。(方法1) ①基本概率指标： 基本概率指标： PΛ=0 第一项： 第一项：
例6-1 某汽车加油站有一台油泵为汽车加油， 某汽车加油站有一台油泵为汽车加油， 站内可容纳4 辆汽车， 当站内停满车时， 站内可容纳 4 辆汽车 ， 当站内停满车时 ， 后来 的汽车只能到别处加油。 的汽车只能到别处加油。若需加油的汽车按泊 松流到达， 平均每小时4 松流到达 ， 平均每小时 4 辆 。 每辆车加油所需 时间服从负指数分布，平均每辆需12 min， 时间服从负指数分布 ， 平均每辆需 12min， 试 求系统有关运行指标。 求系统有关运行指标。 分析为什么是 分析为什么是M/M/1/4/∞/FCFS排队系统？ 为什么是M/M/1 /∞/FCFS排队系统 排队系统？ 选用适当公式计算有关指标
② Ls=P1+2P2+3P3+4P4=1.5629 ③ λe=λ(1-P4)=4(1-0.1218)=3.5128 =λ(1 )=4 1218)=3 ④ Ws=Ls/λe=1.5629/3.5128=0.4450(h) 5629/ 5128= 4450(h) ⑤ Wq=Ws-1/µ=0.245(h) /µ=0 245(h) ⑥ Lq=Wqλe=0.86 ⑦λ损=λ-λe=0.4872 ⑧T忙=(1-P0)/λP0=0.59(h) =(1 59(h)
（3）写出状态转移速度矩阵Λ，进而 写出状态转移速度矩阵Λ 写出系统稳态条件下 写出系统稳态条件下的状态概率平衡方 系统稳态条件下的 程（简称状态概率方程） 简称状态概率方程 状态概率方程） 注 意
转入率＝转出率 转入率＝
状态转移速度矩阵的特点是: 状态转移速度矩阵的特点是: 每一行元素之和等于0 每一行元素之和等于0。
λ = µ
（6-4） ）
pn
λ ≠ µ
得到状态概率方程组的第2 得到状态概率方程组的第2种方法
当系统处于稳态时，对每个状态来说，转入 当系统处于稳态时，对每个状态来说， 率应等于转出率。 率应等于转出率。 根据这个结果， 根据这个结果，即可获得系统稳态条件下的 状态概率方程， 状态概率方程，进一步即可计算稳态系统的各 项运行数量指标。 项运行数量指标。 当系统状态为0 当系统状态为0时，有 所以
（1）M/M/1损失制系统状态转移速度图和状 M/M/1 态转移速度矩阵： 态转移速度矩阵：
λ 0 μ 1
−λ λ Λ= µ −µ
（2）系统在平稳时的状态概率方程： 系统在平稳时的状态概率方程： − λ λ ( p 0 , p1 ) PΛ = 0 µ − µ = 0
第6章 典型的排队模型分析
排队论模型逻辑框架
M/M/1/∞/∞/FCFS 等待制排队系统 1个服务台 个服务台 无限源 排队系统 C个服务台 个服务台 M/M/C/N/∞/FCFS 混合制排队系统 M/M/C/∞/∞/FCFS 等待制排队系统 M/M/C/C/∞/FCFS 损失制排队系统 M/M/1/N/∞/FCFS 混合制排队系统 M/M/1/1/∞/FCFS 损失制排队系统
Ws =
λe
Ls
Wq =
Lq
λe
（6-9） ）
由平均服务率µ 由平均服务率µ的定义可得到每个顾客的平 均服务时间为1/µ 因此有： 均服务时间为1/µ，因此有：
W s = Wq + 1
µ
（6-10） ）
其它： 其它： 由李泰勒公式还可得到： 由李泰勒公式还可得到： 平均队长和平均队列长的另一组计算公式： 平均队长和平均队列长的另一组计算公式 ：
2、状态转移速度图 （1）系统状态 ：系统中的顾客数。 系统中的顾客数。 （2）状态转移速度图： 状态转移速度图：
λ 0 μ 1 μ λ 2 …… N-2 μ λ N-1 μ λ N
M/M/1/N/∞/FCFS系统状态转移速度图 系统状态转移速度图
圆圈表示状态符号 ，箭头表示从一个状态 到另一个状态的转移； 到另一个状态的转移；
生灭随机过程— 生灭随机过程—平稳状态的涵义
一般来说，要求得系统在任一时刻的任意状 一般来说， 态出现的概率是很困难的， 态出现的概率是很困难的，通常是求当系统 达到平稳状态【顾客到达（ 达到平稳状态【顾客到达（生）=顾客离开 后的状态分布。 （灭）】后的状态分布。 假设系统处于任一状态n 假设系统处于任一状态n，记录一段时间内系 统进入状态n和离开状态n的次数， 进入” 统进入状态n和离开状态n的次数，“进入” 离开” 与“离开”两种事件发生的平均概率是相等 的。 当系统平稳后，对任意状态n 当系统平稳后，对任意状态n，单位时间内进 入该状态的平均次数和离开该状态的平均次 数应该相等，即系统在统计平衡下“转入率= 数应该相等，即系统在统计平衡下“转入率= 转出率” 转出率”。
p
n
λ = ( ) µ
N
n
p 0 ，1≤n≤N （6-2） ）
代入 ∑
p
n = 0
n
= 1
得
λ n ∑0 ( µ ) p 0 = 1 n=
N
于是，得到P0的表达式（6-3）和Pn的表达 于是，得到P 的表达式（ 式（6-4）。
P0为系统空闲的概率，因此系统不空的概率 为系统空闲的概率， 即服务台忙的概率（ 即服务台忙的概率（系统满的概率 或系统的 P忙=1-P0 损失概率 ） （ 6 -5 ） ②平均队长（系统中顾客数的期望值）LS和 平均队长（系统中顾客数的期望值） 平均队列长L 平均队列长Lq：
二、M/M/1等待制排队系统 M/M/1
1、系统的意义：顾客按泊松流输入、平均 、系统的意义：顾客按泊松流输入 泊松流输入、 到达率为λ，服务时间服从负指数分布 负指数分布、 到达率为λ，服务时间服从负指数分布、平 均服务率为µ， 个服务台， 均服务率为 ，1个服务台，系统容量和顾客 源均为无限。当顾客来到系统时，若服务台 源均为无限。当顾客来到系统时， 则顾客排队等待服务，排队规则为先到 忙，则顾客排队等待服务，排队规则为先到 先服务的排队系统 的排队系统。 先服务的排队系统。
λe = µ e =
∑λ
n=0
N −1
n
pn =
∑µ
n =1
N
n
pn
（6-8） ）
逗留时间w 和等待时间w 逗留时间ws和等待时间wq： 李泰勒(Little)证明了在很宽的条件下排队 李泰勒(Little)证明了在很宽的条件下排队 系统数量指标之间成立以下的关系式： 系统数量指标之间成立以下的关系式：
（3）M/M/1损失制系统特征量计算公式 M/M/1损失制系统特征量计算公式
p0 =
µ
(6-13)
µ +λ λ p1 = µ +λ
p损 = p忙 = p1 =
λ µ +λ
例6-2 将例6-1中N改为1，则转化为损失 将例6 改为1 制系统， 即加油站中只能停放1 辆汽车， 制系统 ， 即加油站中只能停放 1 辆汽车 ， 当站中有车正在加油，后来的车辆均离去， 当站中有车正在加油，后来的车辆均离去， 另求服务。试计算相应的数量指标。 另求服务。试计算相应的数量指标。 由题中知λ=4 由题中知 λ=4（ 辆 / h），µ=5（ 辆 / h）， 代 µ=5 入公式（ 13）计算得到： 入公式（6-13）计算得到：
n
p
0
，1≤n≤N （6-2） ）
λ n ∑0 ( µ ) p 0 = 1 n=
N
代入 ∑ 于是
N
n = 0
n
得
λ n −1 p 0 = [∑ ( ) ] n =0 µ
N
1 N +1 1− λ = µ 1 − ( λ ) N +1 µ
λ=µ
（6-3）
λ≠µ
则
1 N +1 (1 − λ )( λ ) n = µ µ 1 − ( λ ) N +1 µ
从服务台闲到下一个顾客来到的平均间 隔时间是1 隔时间是1/λ，因此平均闲期长为 T闲=1/λ （6-11） 11）
由于服务台忙闲间隔出现，故有： 由于服务台忙闲间隔出现，故有： 平均忙期长T 平均闲期长T 平均忙期长T忙/平均闲期长T闲 =P忙/P闲=(1-P0)/P0，于是 =(1 T忙=T闲[(1-P0)/P0]=1/λ [(1-P0)/P0] (6-12) [(1[(1(6-
λ − λ P0 + µ P1 = 0 ⇒ P1 = P0 µ
λp0 − (λ + µ ) p1 + µp 2 = 0 ⇒ µp 2 = (λ + µ ) p1 − λp0
λ ⇒ p 2 = p0 µ
2
继续打开，计算整理得： 继续打开，计算整理得：
p
n
λ = ( ) µ
p = 1
LBiblioteka Baidu =
Lq =
∑
N n>0
N
nP
n=0
n
（6-6） ） （ 6-7）
∑
( n − 1) Pn
③ 有效到达率 λe（ 有效离去率 µe ）—— 平 有效到达率λe（ 有效离去率µe ——平 均每单位时间进入（离去）系统的顾客数； 均每单位时间进入（离去）系统的顾客数； 在稳态情况下两者相等，因此有： 在稳态情况下两者相等，因此有：
λ=4(辆 小时) µ=1/(12/60)=5(辆 小时),于是 λ=4(辆/小时)，µ=1/(12/60)=5(辆/小时),于是： 于是： λ 4 1− 1− µ 5 = 0.2 ≈ 0.2975 = ① p0 = λ N +1 4 4+1 0.67232 1− ( ) 1− ( ) µ 5 P1≈0.2380 P2≈0.1904 P3≈0.1523 P4≈0.1218
λ p0 = µp1
λ p1 = ( ) p0 µ
λ 0 μ 1
λ 2 μ …… N-2
λ N-1 μ
λ N μ
当系统状态n≥1时 当系统状态n≥1时，有 λ pn−1 + µpn+1 = (λ + µ) pn 当系统状态n=N时 当系统状态n=N时，有 λ p N −1 = µ p N
于是得到简化形式的稳态概率方程组： 于是得到简化形式的稳态概率方程组：
0 1 2 3 …… N-1 N λ − λ λ µ − (λ + µ ) − (λ + µ ) λ µ Λ= L L L µ − (λ + µ ) λ µ − µ
0 1 2 … N-1 N
状态概率方程：PΛ=0 状态概率方程：PΛ=0
Ls = W sλe
Lq = W q λe
有效到达率的另一种计算公式 λe=λ（1-PN）+0PN (系统不满时顾客以λ的速度 =λ（ 系统不满时顾客以λ
进入系统） 进入系统）
=µ（1-P0）+0P0 （系统不空时顾客以µ的速度 系统不空时顾客以µ
离开系统） 离开系统）
系统平均每单位时间损失的顾客数 λ损=λ-λe=λPN 闲期和忙期