非稳态导热习题

第三章 非稳态导热习题

例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。

电热器以辐射换热方式散失的热量为：

44r f ()A T T σΦ=- （1）

以对流换热方式的热量为：

c f ()hA T T Φ=- （2）

电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能

r c d d T

cV

ρτ

-Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为：

44f f d ()()d T

A T T hA T T cV

σρτ

-+-=- （4） 初始条件为：

τ=0， t =t 0 （5）

上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。

例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。

[解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：

c f ()hA T T Φ=- （1）

保险丝的内热源为：

Q 0=IR 2 （2）

式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。

根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能

c 0d d T

Q cV

ρτ

-Φ+= （3）

因此，相应的微分方程式为：

2f d ()d T

hA T T I R cV

ρτ

--=- （4） 初始条件为：

τ=0， t =t f （5）

上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。

令2f I R

t t hA

θ=--，则上述微分方程改写为

d d ρθ

θτ

=-

cV hA （6）

该微分方程的解为

θθτθρ=-

=-00exp()exp(BiFo)hA

cV

（7） 以温度t 表示该解

τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hA

t t t t hA hA cV

（8）

由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为

τρ-=--2f [1exp()]I R hA

t t hA cV

（9）

上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度

变化的作用。

例3.3 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K)，且为常数。

求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。

[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。查取铝的物性参数，密度ρ=2702 kg/m 3，比热容c =903 J/kg ，导热系数λ=237 W/(m·K)。 λ-⨯⨯=

==⨯⨯4100.01'

Bi 2.11102372'

hV A A A （1） Bi<0.1, 可用集总参数法计算。

0exp()hA

cV

θθτρ=-

（2） 102'

2010(10010)exp()27029030.01'

A A τ⨯-=--

⨯⨯⨯ （3）

τ=2680 s （4）

铝板从100 ℃降到20 ℃时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数h 均为已知，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。 q =h ( t- t f )=10×(20-10)=100 W/m 2 （5）

例3.4 用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。现要求一个初温为t 0的球形热电偶与温度为t f 的被测流体接触后，在1 s 内所指示的过余温度比

f 00f

95%t t t t θθ-==-。现有一铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h =50 W/(m 2·K)，且为常数。试求该球形热电偶接点的最大允许半径r 0。

[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 。查取铜的物性参数，密度ρ=8954 kg/m 3，比热容c =384 J/kg ，导热系数λ=398 W/(m·K)；查取康铜的物性参数，密度ρ=8922 kg/m 3，比热容c =410 J/kg ，导热系数λ=22 W/(m·K)。球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度ρ=8938 kg/m 3，比热容c =397 J/kg ，导热系数λ=210 W/(m·K)。

λ=

=00

50Bi 210

hr r （1）

因半径r 0未知，比渥准则Bi 的数值无法计算。但可假定Bi<0.1，先用集总参数法计算， 然后进行较核。

0exp()hA

cV

θθτρ=-

（2）

ππ-⨯-⨯=-

=⨯⨯

2

5

030

504 4.206100.95exp(1)exp(

)489383973

r r r （3）

r 0=8.2×10-4 m (4)

校核r 0，λ=

= 00

50Bi 0.1210

hr r （5）

因为比渥准则Bi<<0.1，上述分析计算合理。

讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi ，一旦Bi<0.1，就可以用简单的集总参数法计算，但是Bi 数值的确定需要先知道定型尺寸的数值。本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定Bi<0.1，能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸