江苏省南通市2014届高三第一学期期末考试及讲评答案(word)

2014届高三期末测试数学参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i 2i

z =

-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表

示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. 函数()

221

()x x

f x -=的值域为 ▲ ．

4. 分别在集合

A ={1，2，3，4}和集合

B ={5，6，7，8}中

各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ▲ ． 5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点

在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 ▲ . 6． 如图是计算10

1

121k k =-∑

的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ▲ ．

7. 函数y =()

πsin 23

x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =

sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；

B. 图象上所有点向右平移π3

个单位；

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；

D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.

请按顺序写出两次变换的代表字母： ▲ .（只要填写一组）

8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x

都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 ▲ 条件．

（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆

C 2的方程为 ▲ ．

10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311

x >+，③2220x m x m ++<．若③的解

6 7 8 5 5 6 3 4 0 1

集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ▲ ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ．

12. 设平面向量a ，b

满足3-a b a ·b 的最小值为 ▲ ．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线2

2491x y

+=上的点到原点O 的最短距离为 ▲ ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知

函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，

，

． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ▲ ．

【填空题答案】

1. 25

2. 72

3. (]04，

4. 34

5. 2

6. (]1921，

7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y += 10.[)10-， 11.

12. 5

13. 16- 14. 15

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．

（1）若⊥a b

，求+a 的值；

（2）设向量

c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．

【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……………2分

因为⊥a b ，所以a ·b = 0．…………………………………………………………4分

于是2

2234=++⋅=a a b b

，故2=a ． ……………………6分

（2）因为a + b (

)(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，

所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩

，

………………………………………………………………8分

由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，

又0πα<<，故παβ=-． ………………………………………………………10分

代入sin sin αβ+=，

得s i n s i n αβ==．……………………………………12分

E

A

D

C

F

P

东

北

而0πβα<<<，所以2ππ33

αβ==，．……………………………………………14分

16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠= ，E ，F 分别是AP ，AC 的中

点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；

（2）平面DEF ⊥平面P AC ．

【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，

AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分

（2）连结CD ．因为60BAC ∠= ，AD AC =，所以△ACD 为正三角形．

因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．………………………………………7分 因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． …………………………………………………………11分 因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分

17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60 的方向，且在港口A

北偏西30 的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30 的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间

能和科考船相遇？

【解】（1）由题意知，在△OAB 中，

OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，．

于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，

所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分 （2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与

科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分

在△OAB 中，可计算得OB =

而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，

，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，