_线性代数_新教材精彩案例之一_李尚志

４ ３ ２ ） １ ５ １ ４ １ ３ １ ｎ（ ６ ｎ ＋１ ５ ｎ ＋１ ０ ｎ －１ Ｓ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ － ｎ＝ ． ｎ＝ ５ ２ ３ ３ ０ ３ ０ 例 １ 的一次方程组左边好像一个上宽下窄的三角形 ， 可以由下而上依次求出各未知数的值 ． 如果一
次方程组不是三角形 ， 但可以通过同解变形化成三角形 ， 仍能够仿照例 １ 的方法求解 ． 中学用加减消去法解二元一次方程组 ， 将原方程分别乘常数再相加得到新方程 ， 则原方程组的解都 是新方程的解 ． 一般地 ， 方程组 Ｕ 的各方程分别乘常数再相加到新方程称为方程组 Ｕ 的 线性组合 ． 如果 原方程组 Ｕ 的每个方程也都是新方程组 Ｗ 的线 新方程组 Ｗ 的每个方程都是原方程组 Ｕ 的线性组合 ， 性组合 ， 则方程组 Ｕ 与 Ｗ 同解 ， Ｕ →Ｗ 是同解变形 ． 易见方程组的如下三种变形是同解变形 ， 称为方程组的 初等变换 ． （ ）将第ｉ 个方程与第ｊ 个方程互相交换位置 ， 记为 Ｕ →Ｗ ． ｉ （ ）将第ｉ 个方程两边同乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． （ ）将第ｉ 个方程的λ 倍加到第ｊ 个方程 ： ｉ ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． ） （ ） ， （ ） ， （ ） ， ） 例 ２ 二次函数 ｙ＝ｆ（ 的图象经过三个已知点 求 ｆ（ ｘ １， １ ２， ２ ３， ０ ４ ．
烄 １ ０
） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３
烄 １ １ １
１烌
０ 烆 －２ ０烌 ２ －３ 烎
２ ８ －１ 烎
烄 １ ０ ０
－３烌 １ １ ２ ． ３ ２烎
→ ０ １ ３ ０ 烆
烄 ｃ
（ ） ） ， ） ） －２ ２ ＋（ ３ －（ ２ ＋（ １
３ ａ ａ ０ ａ ０， ３ －６ ４ ＋１ ５＝ ４ ａ ０ ａ ０， ４ －１ ５＝ ５ ａ １． ５＝
（ ） １ （ ） ２ （ ） ３ （ ） ４ （ ） ５
烅
烆
解得ａ ５） 由方程 （ ５＝ １ 得到 ａ ． １ ＝－ ３ ０
１， １， １， ， 代入方程（ 解出ａ 由 下 而 上 依 次 代 入， 解得ａ ４） ａ ４＝ ３＝ ２ ＝０ ５ ２ ３
（ ） １． ２
ａ ａ ａ ｂ＝ ｂ ２ ． １＝ １ ， ２＝ ２ ， ３＝ ４ ，
１ 烆 烎 ３ 烆 烎 ９ 烆 烎 在空间直 角 坐 标 系 中 分 别 以 ａ 如 果Ｏ ａ ａ ｂ 为 坐 标 作 几 何 向 量Ｏ Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， Ｏ Ａ３ ， Ｏ Ｂ． Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， １， ２， ３，
１ →Λ＝
３ ） （） （ ） ） ， ３ ＋（ １ － （ ３＋１ ２
０ １ ０
０
烆
０ ０ １ －
＝－３，
１ １ ｂ＝ ， 最后得到的矩阵 Λ＝烅 ２
烆
ａ＝－
３ ． ２
直接给出了原方程组的解 ， 仍得 １ ３ ２ １ ） ｘ） ＝－ ｘ ＋ ｘ－３， ４ ＝－５． ｆ（ ｆ（ ２ ２ 例 ３ 在一次智力测验中 ， 老师写出某个数列的前两项 １， 让学生按照前两项的规律写出第 ３ 项 ， ２， 有的学生写 ３， 有的学生写 ４， 老师都判为正确 ． 有一个学生给的答案是 ０， 老师判为错误 ． 试给出某个数列的通项公式使这个数列的前 ３ 项依次是 １， 来说明这个学生的答案也是正 确 ２， ０， 并按照这个通项公式写出第 ４ 项 ． 的， ３ ２ １ １ 解 与例 ２ 同样可求出二次函数 ｆ（ 以 ｘ） ＝－ ｘ ＋ ｘ－４ 满 足 ｆ（ １） ＝１， ２） ＝２， ３） ＝０． ｆ（ ｆ（ ２ ２ ３ ２ １ １ ） 第 ４ 项为 ｆ（ ａ ｎ） ＝－ ｎ ＋ ｎ－３ 为通项公式的数列的前 ３ 项就是 １， ２， ０． ４ ＝－５． ｆ（ ｎ＝ ２ ２ 例 ４ 方程组
ｂ ｙ＋ ｚ＝ １， ｘ＋２ ｚ＝ ｂ 烅 ｙ＋４ ２，
烄 ｘ＋
（ ） １． １
ｘ＋３ ｚ＝ ｂ ｙ＋９ ３ 烆
是否对任意实数ｂ ｂ ｂ １， ２， ３ 都有惟一解？ ） 解 方程组 （ 可以写成向量形式 １． １
ｘ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ｚ ａ３ ＝ ｂ ｙ
的形式 ， 其中
烄 烌 １ 烄 烌 １ 烄 烌 １ 烄 烌 ｂ １
５ ４ ） ， 满足恒等式 ｆ（ 则 式 ｆ（ ｎ） ＝ ａ ａ ｎ＋ … ＋ ａ ｎ ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ＝ ｎ ０＋ １ ５ ４ ４ ４ ｎ Ｓ ｎ ＝１ ＋２ ＋ … ＋
） ） ） ） ） ） ） ） ＝（ １ －ｆ（ ０ ＋（ ２ －ｆ（ １ ＋ … ＋（ ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ｆ（ ｆ（ ｆ（ ） ＝ｆ（ ｎ） －ｆ（ ０ ． ） ， 只要取 ｆ（ 则Ｓ 对所有的正整数 ｎ 成立 ． ０ ＝ ａ ｎ） ｆ（ ０ ＝０ ｎ＝
将方程组 （ 通过一系列初等行变换化成三角形 ： Ｕ） （ Ｕ） →烅
烆 ） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３ 烄 ｃ＋ 烄 ｂ＋ ａ＝１， ｃ＋ ｂ＋ ａ＝１， （ ） ） －２ ２ ＋（ ３ ｂ＋３ ａ＝１， ａ＝１， →烅 ｂ＋３ 烆
（ Ｔ）
第２ ７ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ７， №． ４ Ａ ｕ ． ２ ０ １ １ ｇ
《 线性代数 》 新教材精彩案例 （ 之一 ）
李尚志
（ ） 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ １
２ ｂ＋８ ａ＝－１
２ ａ＝－３．
１ １ 从三角形方程组 （ 由下而上解出 ａ＝－ ３ ， 所求函数 Ｔ） ｂ＝ ， ｃ＝－３． ２ ２ ３ ２ １ １ ） ｘ） ＝－ ｘ ＋ ｘ－３， ４ ＝－５． ｆ（ ｆ（ ２ ２ 考察以上例 ２ 通过初等变换化简方程组的过程可以发现 ， 实际上只有各项系数参与了加 、 减、 乘、 除 运算 ， 表示未知数的字母并没有参加运算 ． 可以将代表未知数的字母略去 ， 将等号也略去 ， 只剩下各项系 数及常数项 ， 将例 ２ 的线性方程组用矩形数表
３ 精彩案例
线性方程组 ． １．
４ ４ ４ 例 １ 已知正整数 ｎ， 求１ ＋２ ＋…＋ ｎ ．
ｋ ｋ ｋ ｋ ， ） 分析 Ｓ 是ｎ 的函数Ｓｎ ＝ｆ（ 满足条件 ｆ（ ｎ ｎ） ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ＝ ｎ ． ｎ ＝１ ＋２ ＋ … ＋
２
大 学 数 学 第 ２ ７卷 ） 如果ｆ（ 是多项式 ， 则 Δｆ＝ｆ（ 是比ｆ（ 低一次的多项式 ． 用待定系数法求５ 次多项 ｎ） ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ｎ）
２ ３ ４ ５ ４ ） ， 解 将 Ｓ 代入 ｆ（ 整理并比较对应项系 ｎ） ＝ ａ ｎ＋ ａ ｎ ＋ ａ ｎ ＋ ａ ｎ ＋ ａ ｎ ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ＝ ｎ ｆ（ ｎ＝ １ ２ ３ ４ ５ 数， 得
烄ａ １－
ａ ａ ０， ２＋ ａ ３－ ａ ４＋ ５＝ ２ ａ ａ ａ ａ ０， ２ －３ ３ ＋４ ４－ ５ ５＝
《 第 ４ 期 李尚志 ： 线性代数 》 新教材精彩案例 （ 之一 ）
烄 烌 １ １ １ １
３
Ｍ＝ １ ２ ４ ２
１ 烆 为矩阵的 初等行变换 ． （ ）将第ｉ 行与第ｊ 行互相交换位置 ： ｉ Ｍ →Ｍ１ ． （ ）将第ｉ 行乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｍ →Ｍ１ ． （ ）将第ｉ 行的λ 倍加到第ｊ 行 ： ｉ ｉ ｉ Ｍ →Ｍ１ ． 例 ２ 的方程组的变形过程成为用初等行变换化简矩阵 Ｍ 的过程 ：
２ 解 设所求二次函数为 ｆ（ 其中 ａ， 则 ｘ） ＝ ａ ｘ ＋ ｂ ｘ＋ ｃ， ｂ， ｃ 是待定常数 ， 烄 ｃ＋ ｂ＋ ａ ＝１，
（ ， ） ｉ ｊ
） ｉ λ（
） ） ｉ ＋（ λ（ ｊ
烅 ｃ＋２ ｂ＋４ ａ ＝２，
（ ） ６ （ ）（ ７ Ｕ） （ ） ８
ｂ＋９ ａ ＝０． 烆 ｃ＋３
烄 烌 １ １ １ １ ） ） ｉ ＋（ λ（ ｊ ） ｉ λ（ （ ， ） ｉ ｊ
３ ９ ０ 烎
来表示 ． 这样的矩形数表称为 矩阵 ． 线性方程组的三类初等变换分别由 矩 阵 的 各 行 的 如 下 变 换 表 示 ， 称
Ｍ ＝ １ ２ ４ ２ → ０ １ ３ １ １ 烆 ３ ９ ０ 烎
ｂ ３ 烆 烎 → → → →
→ →
４
→ →
大 学 数 学 第 ２ ７卷
→
则它们组成空间的一 组 基 ， 空 间 每 个 向 量Ｏ 满足条件 Ｏ Ａ３ 不共面 ， Ｂ在 这 组 基 下 有 惟 一 的 坐 标 （ ｘ， ｚ） ｙ， （ ） ） 就是方程组 （ 的惟一解 ， 也就是原方程组 （ 的惟一解 ． Ｏ Ｂ＝ｘ Ｏ Ａ１ ＋ Ｏ Ａ２ ＋ ｚ Ｏ Ａ３ ． ｘ， ｚ） １． ２ １． １ ｙ ｙ， 三个向量Ｏ Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， Ｏ Ａ３ 共 面 其 中 某 个 向 量 是 另 外 两 个 向 量 的 线 性 组 合 方 程 组 ｘ ａ１ ＋ｙ ａ２ ＋ ｚ ａ３ ＝０ 有非零解 当ｂ ｂ ｂ １＝ ２＝ ３ ＝０ 时原方程组有非零解 ． 将ｂ 解之得惟一解 （ 可见Ｏ 组 ｂ ｂ ｘ， ｚ） ＝（ ０， ０， ０） ． Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， Ｏ Ａ３ 不共面 ， ｙ， １＝ ２＝ ３ ＝０ 代入原方程组 ， 成空间的一组基 ， 原方程组对任意实数ｂ ｂ ｂ １， ２， ３ 有惟一解 ． 例 ４ 的推广 ： …， …， …， ， 一般地 ， 任给一组向量 ａ 如果方程 ｘ ａ ａ ｘｍ ａ１ ＝０ 有非零解 （ ｘ ｘｍ ） ０， ０） ≠（ １， ｍ， １ １＋ … ＋ １， …， …， …， ） ， 就称向量组 ａ 如果只有惟一解 （ 就称这个向量组 线性无关 ． ａ ｘ ｘｍ ） ＝（ ０， ０ １， ｍ 线性相关 ， １， 任意 ｎ 元线性方程组
李尚志为非数学专业编写的 《 线性代数 》 教材已于 ２ 本文介绍了 ０ １ １ 年 ８ 月由高等教育出版社出版 ． 书中一部分精彩内容 ．