轴向拉伸与压缩
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
l 纵向线应变 l
b
F
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
b1
F l l1 b F
杆件在横向的收缩为
b b1 b
P15更正
b 横向线应变 b
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
FN F 杆件横截面上的正应力为 A A 工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系 的初始阶段都是线弹性的。即当应力不超过材 料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是 胡克定律。可写成 E
x
d
1
d ( x)
l
d
2
解：如图，设任一截面的直径为d(x) :
d 2 d1 d ( x ) = d1 x l
则该截面面积为:
x
d
1
d ( x)
l
d
2
dx
d 2 d1 2 A( x) ( d1 x) 截面的轴力为F 4 l 在d(x)处取长为dx的段，在该段上可认为截面 不变，则杆件的伸长量为：
当轴力为正号时(拉伸),正应力也为正号, 称为拉应力。 当轴力为负号时(压缩),正应力也为负号, 称为压应力。
如用与外力系静力等效的 合力来代替原力系, 则除在 原力系作用区域内有明显 差别外, 在离外力作用区域 略远处 ( 例如 , 距离约等于 截面尺寸处 ), 上述代替的 影响就非常微小, 可以不计。 这就是圣维南原理, 它已被 实验所证实。
Fdx 4 Fl l 0 d 2 d1 2 Ed1d 2 E ( d1 x) 4 l
l
例3 如图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知 杆端铰接，两杆与铅垂线均成 a ＝ 30º 的角度， 长度均为2 m，直径均为25 mm，钢的弹性模 量为E＝210 GPa。设在A点处悬挂一重物 P＝ 100 kN，试求A点的位移A。
['epsilən] 厄普西隆 ['zi:tə] ['i:tə] ['θi:tə] [ai'outə] ['kæpə] ['læmdə] [mju:] 接塔 厄塔 太塔 依奥塔 卡帕 拉姆塔 缪
斜截面上的应力
a cos a a sin 2a
2
n
F
k
a
k
a 0
2
a
pa
a
B
① C
a a
A
②
解：列平衡方程，考虑销钉A的受力，求杆的 轴力
x
a max
a 2
a 0
a max 2
a 45
a 90
a a 0
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆在轴向拉伸时，将引起轴向尺寸的增大和 横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下， 将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。
b1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
F
l l1
杆件在轴线方向的伸长为 l l1 l
1.3 横截面上的应力
当等直杆在不同的截面上受几个轴向外力 作用时, 由轴力图求出最大轴力 FN,max, 进 一步可求得杆内的最大正应力为 FN,max max A 最大轴力所在的截面称为 危险截面 , 危险 截面上的正应力称为最大工作应力。 如果不是等直杆，则需分段考虑。
例1-1: 右端固定的阶梯形圆截面杆，同时 承受轴向载荷F1与F2作用。试计算杆的轴 力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN，杆件AB段与BC段的直径分别 为d1=20 mm与d2=30 mm。
汉语近似音 纽 克西
a
[ou'maikrən] 奥米克戎 [pai] [rou] ['sigmə] [tau] [ju:psilon] [fai] [kai] [psi:] ['oumigə] 派 柔 西格马 陶 宇普西隆 斐 克黑 普西 奥米伽
FR 40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
3
D
3 25kN
3 D
E
20kN
E
FN3
FN3 25 20 0
FN3 20 25 5 kN
同理得DE段内的轴力
(-)
FN4 20 kN
补充: 作出杆的轴力图如图所示。
40kN A 600 B 300
50
55kN C
25kN D
F1
A
B
C
F2
由式 (1.1a) 可知， AB 段内任一横截面上 的正应力为：
FN1 4 2.0 104 7 1 6.37 10 Pa 63.7 MPa 2 A1 0.020
同理得BC段内任一横截面上的正应力为：
FN2 4 (3.0 104 ) 7 2 4.24 10 Pa 42.4 MPa 2 A2 0.030
1.2.2 截面法· 轴力及轴力图 要求拉（压）杆横截面上的内力, 可沿截面 m-m假想地把杆件分成两部分，杆件左右两段 在m-m上相互作用的内力是一个分布力系。
m
F
m m
F
F FN’
{
m m m
}
FN
x
F
由平衡方程得： Fx 0, FN F 0
FN F
1.2.2 轴力及轴力图
说明P16:表1-1
例1 试分析杆AC 的轴向变形 l。
分段求解:
FN2 F2
FN1 F2 F1
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 l EA EA EA EA F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
例2 如图所示圆锥形杆，两端受轴向力F 作用。 设轴长为l ，左右端的直径分别为d1与d2，试计算 杆件的伸长量。
F1 A
F2
B
C
解: 1. 计算轴力
取1-1截面左侧研究求AB段轴力
FN1＝F1＝20 kN
F1 F1
A
1 1
B
F2
2
C
2
FN1
取2-2截面左侧研究求BC段轴力
F1 F2 FN2
FN2＝F1－F2＝－30 kN
FN1 2.0 10 N, FN2 3.0 10 N
4 4
2. 应力计算
40kN 55kN A 600 B 300 C 500 D 400 E
解：求支座反力
FR A
40kN
B
55kN 25kN C D
20kN
E
Fx 0,
FR 40 55 25 20 0
FR 10 kN
求AB 段内的轴力
FR A
1
40kN B
55kN 25kN C D
20kN E
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题
力学模型如图
F
轴向拉伸, 对应的力称为拉力。
F
F
F
轴向压缩, 对应的力称为压力。
1.2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力
1.2.1 内力的概念
物体在受到外力作用而变形时 , 其内部各质 点间的相对位臵将有变化。与此同时, 各质点间 相互作用的力也发生了改变。上述相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量, 就是材 料力学中所研究的内力。 内力实际上是一个连续分布的力系 , 而将 分布力系的合成结果(力或力偶), 简称为内力。 也就是说 , 内力是指由外力作用所引起的、物 体内相邻部分之间分布内力系的合成结果。
FN F A A 设与横截面成a角的斜截面k-k的面积为Aa ,
Aa与A之间的关系应为
A Aa cos a
斜截面上的应力
k
假想地用一平面 沿斜截面 k － k 将 杆分成两个部分, 取左段为研究对 象。
F
a
k k k
F
F
Fa
pa
以pa表示斜截面上的应力。与证明横截面 上的应力是均匀分布的方法一样 , 可以证 明斜截面上的应力也是均匀分布的。 分析该对象的平衡得
是压应力
斜截面上的应力
不同材料的实验表明, 拉(压)杆的破坏并不 总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截面发生 的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
现在求与横截面成 a 角的斜截面 k － k 上的 应力。
k F
F
a
k
斜截面上的应力
k
F
a
k
F
设直杆的轴向拉力为 F, 横截面面积为 A, 由公式(1.1a), 横截面上的正应力为
FN l Fl l EA EA
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形 b l l b 试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横 向应变' 与纵向应变之比的绝对值是一个常 数。即
/
称为横向变形因数或泊松比，是一个无量纲
的量。 因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短 时横向增大，所以'和的符号是相反的。'和 的关系可以写成
F
k k pa
Fa
F
k
a
a
pa
k a
a pa cos a cos a
2
(2.3) (2.4)
a pa sin a sin 2a 2
希腊字母
英文读音
['ælfə] ['bi:t ə] ['gæmə] ['deltə]
汉语近似音
阿尔法 倍塔 伽马 迭耳塔
希腊字母
英文读音 [nju:] [ksai]
FR
1F N1 1
FN1 FR 0
FN1 FR 10 kN
(+)
求BC 段内的轴力
FR A 40kN B
2
55kN 25kN
C 2 2 D
20kN E
FR A
40k N B
FN2
FN2 40 FR 0
FN2 FR 40 50 kN
(+)
求CD段内的轴力
因为外力 F 的作用线与杆件轴线重 合, 内力的合力FN的作用线也必然与杆件 的轴线重合 , 所以 FN 称为轴力。习惯上 , 把拉伸时的轴力规定为正, 压缩时的轴力 规定为负。 注意: 在不知道截面上轴力的正负时,一 般假设其为正。
例1：一等直杆其受力情况如图所示, 求杆 的轴力。 25kN 20kN
Fa F
斜截面上的应力
FN F A A A Aa cos a
k
F
a
k k k pa Fa
F
F
Fa F
斜截面上的全应力为
Fa F F pa cos a cos a Aa Aa A
斜截面上的应力
pa cos a
把 应 力 pa 分 解 成 垂 直于斜截面的正应 力 a 和相 切 于斜 截 面的切应力a。
式中的弹性模量E随材料而不同。 l E l l FN F A A
FN l Fl EA EA
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
这表示：当应力不超过比例极限时，杆 件的伸长 Δl 与拉力 F 和杆件的原长度 l 成正比， 与横截面面积 A 成反比。这是 胡克定律的另 一表达形式 。以上结果同样可以用于轴向压 缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸 长Δl看作是缩短就可以了。 从上式看出，对长度相同，受力相等的杆 件， EA越大则变形 Δl 越小，所以 EA称为杆件 的抗拉(或抗压)刚度。
应力:分布在单位面积上的内力。
研究应力可以通过实验观察得到相关的 结果。
1.3 横截面上的应力
实验 取一等直杆, 在其侧面上画出与轴线平 行的纵向线和与轴线垂直的横向线。
在两端施加一对轴向拉力F。
1.3 横截面上的应力
观察现象
F
F
所有的纵向线伸长都相等 , 而横向线保 持为直线且与纵向线垂直。
1.3 横截面上的应力 结论
20kN
E
500
400
FAB＝10 kN （拉力） FBC＝50 kN （拉力）
20 10
FCD＝ －5 kN （压力）
FDE＝20 kN （拉力）
5
轴力图
可见，FNmax发生在BC段内的任意截面上。
1.3 横截面上的应力
只根据轴力并不能判断杆件是否有 足够的强度，如用同一材料制成粗细不 同的两根杆，需用应力来度量杆件的受 力聚集程度。
第一章
轴向拉伸与压缩
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题 工厂中采用的悬臂吊车如图:
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题
液压传动机构中的活塞杆在 油压和工作阻力作用下受拉
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题
受力特征： 杆受一对大小相等、方向相反的纵向 力, 力的作用线与杆轴线重合。 变形特征： 沿轴线方向伸长或缩短 , 横截面沿轴 线平行移动, 伴随横向收缩或膨胀。
F
F
(1)假设杆是由无数纵向纤维所组成的，各 纵向纤维的伸长相同, 得到它们所受的力也 相同。 (2) 平截面假设 : 变形前为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
1.3 横截面上的应力
公式推导 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正 应力。 F
}
FN
FN (1.1a) A 式中, FN为轴力, A为杆的横截面面积。的符号 与轴力FN的符号相同。 的单位为: Pa 或 MPa
b
F
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
b1
F l l1 b F
杆件在横向的收缩为
b b1 b
P15更正
b 横向线应变 b
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
FN F 杆件横截面上的正应力为 A A 工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系 的初始阶段都是线弹性的。即当应力不超过材 料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是 胡克定律。可写成 E
x
d
1
d ( x)
l
d
2
解：如图，设任一截面的直径为d(x) :
d 2 d1 d ( x ) = d1 x l
则该截面面积为:
x
d
1
d ( x)
l
d
2
dx
d 2 d1 2 A( x) ( d1 x) 截面的轴力为F 4 l 在d(x)处取长为dx的段，在该段上可认为截面 不变，则杆件的伸长量为：
当轴力为正号时(拉伸),正应力也为正号, 称为拉应力。 当轴力为负号时(压缩),正应力也为负号, 称为压应力。
如用与外力系静力等效的 合力来代替原力系, 则除在 原力系作用区域内有明显 差别外, 在离外力作用区域 略远处 ( 例如 , 距离约等于 截面尺寸处 ), 上述代替的 影响就非常微小, 可以不计。 这就是圣维南原理, 它已被 实验所证实。
Fdx 4 Fl l 0 d 2 d1 2 Ed1d 2 E ( d1 x) 4 l
l
例3 如图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知 杆端铰接，两杆与铅垂线均成 a ＝ 30º 的角度， 长度均为2 m，直径均为25 mm，钢的弹性模 量为E＝210 GPa。设在A点处悬挂一重物 P＝ 100 kN，试求A点的位移A。
['epsilən] 厄普西隆 ['zi:tə] ['i:tə] ['θi:tə] [ai'outə] ['kæpə] ['læmdə] [mju:] 接塔 厄塔 太塔 依奥塔 卡帕 拉姆塔 缪
斜截面上的应力
a cos a a sin 2a
2
n
F
k
a
k
a 0
2
a
pa
a
B
① C
a a
A
②
解：列平衡方程，考虑销钉A的受力，求杆的 轴力
x
a max
a 2
a 0
a max 2
a 45
a 90
a a 0
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆在轴向拉伸时，将引起轴向尺寸的增大和 横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下， 将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。
b1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
F
l l1
杆件在轴线方向的伸长为 l l1 l
1.3 横截面上的应力
当等直杆在不同的截面上受几个轴向外力 作用时, 由轴力图求出最大轴力 FN,max, 进 一步可求得杆内的最大正应力为 FN,max max A 最大轴力所在的截面称为 危险截面 , 危险 截面上的正应力称为最大工作应力。 如果不是等直杆，则需分段考虑。
例1-1: 右端固定的阶梯形圆截面杆，同时 承受轴向载荷F1与F2作用。试计算杆的轴 力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN，杆件AB段与BC段的直径分别 为d1=20 mm与d2=30 mm。
汉语近似音 纽 克西
a
[ou'maikrən] 奥米克戎 [pai] [rou] ['sigmə] [tau] [ju:psilon] [fai] [kai] [psi:] ['oumigə] 派 柔 西格马 陶 宇普西隆 斐 克黑 普西 奥米伽
FR 40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
3
D
3 25kN
3 D
E
20kN
E
FN3
FN3 25 20 0
FN3 20 25 5 kN
同理得DE段内的轴力
(-)
FN4 20 kN
补充: 作出杆的轴力图如图所示。
40kN A 600 B 300
50
55kN C
25kN D
F1
A
B
C
F2
由式 (1.1a) 可知， AB 段内任一横截面上 的正应力为：
FN1 4 2.0 104 7 1 6.37 10 Pa 63.7 MPa 2 A1 0.020
同理得BC段内任一横截面上的正应力为：
FN2 4 (3.0 104 ) 7 2 4.24 10 Pa 42.4 MPa 2 A2 0.030
1.2.2 截面法· 轴力及轴力图 要求拉（压）杆横截面上的内力, 可沿截面 m-m假想地把杆件分成两部分，杆件左右两段 在m-m上相互作用的内力是一个分布力系。
m
F
m m
F
F FN’
{
m m m
}
FN
x
F
由平衡方程得： Fx 0, FN F 0
FN F
1.2.2 轴力及轴力图
说明P16:表1-1
例1 试分析杆AC 的轴向变形 l。
分段求解:
FN2 F2
FN1 F2 F1
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 l EA EA EA EA F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
例2 如图所示圆锥形杆，两端受轴向力F 作用。 设轴长为l ，左右端的直径分别为d1与d2，试计算 杆件的伸长量。
F1 A
F2
B
C
解: 1. 计算轴力
取1-1截面左侧研究求AB段轴力
FN1＝F1＝20 kN
F1 F1
A
1 1
B
F2
2
C
2
FN1
取2-2截面左侧研究求BC段轴力
F1 F2 FN2
FN2＝F1－F2＝－30 kN
FN1 2.0 10 N, FN2 3.0 10 N
4 4
2. 应力计算
40kN 55kN A 600 B 300 C 500 D 400 E
解：求支座反力
FR A
40kN
B
55kN 25kN C D
20kN
E
Fx 0,
FR 40 55 25 20 0
FR 10 kN
求AB 段内的轴力
FR A
1
40kN B
55kN 25kN C D
20kN E
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题
力学模型如图
F
轴向拉伸, 对应的力称为拉力。
F
F
F
轴向压缩, 对应的力称为压力。
1.2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力
1.2.1 内力的概念
物体在受到外力作用而变形时 , 其内部各质 点间的相对位臵将有变化。与此同时, 各质点间 相互作用的力也发生了改变。上述相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量, 就是材 料力学中所研究的内力。 内力实际上是一个连续分布的力系 , 而将 分布力系的合成结果(力或力偶), 简称为内力。 也就是说 , 内力是指由外力作用所引起的、物 体内相邻部分之间分布内力系的合成结果。
FN F A A 设与横截面成a角的斜截面k-k的面积为Aa ,
Aa与A之间的关系应为
A Aa cos a
斜截面上的应力
k
假想地用一平面 沿斜截面 k － k 将 杆分成两个部分, 取左段为研究对 象。
F
a
k k k
F
F
Fa
pa
以pa表示斜截面上的应力。与证明横截面 上的应力是均匀分布的方法一样 , 可以证 明斜截面上的应力也是均匀分布的。 分析该对象的平衡得
是压应力
斜截面上的应力
不同材料的实验表明, 拉(压)杆的破坏并不 总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截面发生 的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
现在求与横截面成 a 角的斜截面 k － k 上的 应力。
k F
F
a
k
斜截面上的应力
k
F
a
k
F
设直杆的轴向拉力为 F, 横截面面积为 A, 由公式(1.1a), 横截面上的正应力为
FN l Fl l EA EA
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形 b l l b 试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横 向应变' 与纵向应变之比的绝对值是一个常 数。即
/
称为横向变形因数或泊松比，是一个无量纲
的量。 因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短 时横向增大，所以'和的符号是相反的。'和 的关系可以写成
F
k k pa
Fa
F
k
a
a
pa
k a
a pa cos a cos a
2
(2.3) (2.4)
a pa sin a sin 2a 2
希腊字母
英文读音
['ælfə] ['bi:t ə] ['gæmə] ['deltə]
汉语近似音
阿尔法 倍塔 伽马 迭耳塔
希腊字母
英文读音 [nju:] [ksai]
FR
1F N1 1
FN1 FR 0
FN1 FR 10 kN
(+)
求BC 段内的轴力
FR A 40kN B
2
55kN 25kN
C 2 2 D
20kN E
FR A
40k N B
FN2
FN2 40 FR 0
FN2 FR 40 50 kN
(+)
求CD段内的轴力
因为外力 F 的作用线与杆件轴线重 合, 内力的合力FN的作用线也必然与杆件 的轴线重合 , 所以 FN 称为轴力。习惯上 , 把拉伸时的轴力规定为正, 压缩时的轴力 规定为负。 注意: 在不知道截面上轴力的正负时,一 般假设其为正。
例1：一等直杆其受力情况如图所示, 求杆 的轴力。 25kN 20kN
Fa F
斜截面上的应力
FN F A A A Aa cos a
k
F
a
k k k pa Fa
F
F
Fa F
斜截面上的全应力为
Fa F F pa cos a cos a Aa Aa A
斜截面上的应力
pa cos a
把 应 力 pa 分 解 成 垂 直于斜截面的正应 力 a 和相 切 于斜 截 面的切应力a。
式中的弹性模量E随材料而不同。 l E l l FN F A A
FN l Fl EA EA
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
这表示：当应力不超过比例极限时，杆 件的伸长 Δl 与拉力 F 和杆件的原长度 l 成正比， 与横截面面积 A 成反比。这是 胡克定律的另 一表达形式 。以上结果同样可以用于轴向压 缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸 长Δl看作是缩短就可以了。 从上式看出，对长度相同，受力相等的杆 件， EA越大则变形 Δl 越小，所以 EA称为杆件 的抗拉(或抗压)刚度。
应力:分布在单位面积上的内力。
研究应力可以通过实验观察得到相关的 结果。
1.3 横截面上的应力
实验 取一等直杆, 在其侧面上画出与轴线平 行的纵向线和与轴线垂直的横向线。
在两端施加一对轴向拉力F。
1.3 横截面上的应力
观察现象
F
F
所有的纵向线伸长都相等 , 而横向线保 持为直线且与纵向线垂直。
1.3 横截面上的应力 结论
20kN
E
500
400
FAB＝10 kN （拉力） FBC＝50 kN （拉力）
20 10
FCD＝ －5 kN （压力）
FDE＝20 kN （拉力）
5
轴力图
可见，FNmax发生在BC段内的任意截面上。
1.3 横截面上的应力
只根据轴力并不能判断杆件是否有 足够的强度，如用同一材料制成粗细不 同的两根杆，需用应力来度量杆件的受 力聚集程度。
第一章
轴向拉伸与压缩
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题 工厂中采用的悬臂吊车如图:
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题
液压传动机构中的活塞杆在 油压和工作阻力作用下受拉
1.1 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题
受力特征： 杆受一对大小相等、方向相反的纵向 力, 力的作用线与杆轴线重合。 变形特征： 沿轴线方向伸长或缩短 , 横截面沿轴 线平行移动, 伴随横向收缩或膨胀。
F
F
(1)假设杆是由无数纵向纤维所组成的，各 纵向纤维的伸长相同, 得到它们所受的力也 相同。 (2) 平截面假设 : 变形前为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
1.3 横截面上的应力
公式推导 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正 应力。 F
}
FN
FN (1.1a) A 式中, FN为轴力, A为杆的横截面面积。的符号 与轴力FN的符号相同。 的单位为: Pa 或 MPa