指数与指数幂的运算(基础)

指数与指数幂的运算 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；

(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；

(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；

4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．

学习策略：

学习实数指数幂及其运算时，应熟练掌握基本技能：运算能力、处理数据能力以及运用科学计算器的能力．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（1）零指数幂：a0= （a0）

（2）负整数指数幂：a -p = （a 0, p 是 数）

（3）一般地，如果一个数x 的 等于a ，即a x =2，那么，这个数x 就叫做a 的平方根。也叫做二次方根． 一个正数有 个平方根，它们是互为 ；0只有 个平方根，它是 ；负数 平方根．

（4）一般地，如果一个数的 等于a ，这个数就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）．

要点一：整数指数幂的概念及运算性质

1．整数指数幂的概念

()*

....................................n a n Z =∈；

()0......................................0a a =；

...................................(0,)n a a n Z*-=∈．

2．运算法则

（1）m n a a ⋅= ；

（2）()n m a = ；

（3）()............................0m

n a m n a a =>≠，；

（4）()m ab = ．

要点二：根式的概念和运算法则

1．n 次方根的定义：

若x n =y (n ∈N *，n >1，y ∈R )，则x 称为y 的n 次方根．

n 为奇数时，正数y 的奇次方根有 个，是 数，记为n y ；负数y 的

奇次方根有 个，是 数，记为n y ；零的奇次方根为 ，记为

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源

ID ：#10160#391630

00n =；

n 为偶数时，正数y 的偶次方根有 个，记为n y ±；负数 偶次方

根；零的偶次方根为 ，记为．

2．两个等式

（1）当1n >且*n N ∈时，()n n a = ；

（2）,()||()n n a n a a n ⎧=⎨⎩................为数为数．

要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取 时，开方后

的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．

要点三：分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a >0，n ，m ∈N *，且m

n 为既约分数，分数指数幂可如下定

义：

1

n a = ；

....................................()m

m n n a ==；

m

n a -= ．

要点四：有理数指数幂的运算性质

1．有理数指数幂的运算性质

()00,a b Q αβ>>∈，，

（1）a a αβ⋅=

（2）()a αβ=

（3）()ab α=

当a >0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适

用．

要点诠释：

（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时

不能交换．如2244(4)(4)-≠-；

（3）幂指数不能随便约分．如21

42(4)(4)-≠-．

2.指数幂的一般运算步骤

有括号先算 的；无括号先做 ．负指数幂化为 ．

底数是负数，先确定 ，底数是小数，先要化成 ，底数是带分数，

先要化成 ，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．

在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝ ，

（a ±b ）2＝ ，

（a ±b ）3＝ ，

a 3－

b 3＝ ，

a 3＋

b 3＝ 的运用，能够简化运算.

类型一：根式

例1. 求下列各式的值：

（1）5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()a b π----.

【答案】

【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.

（1）

（2）

（3）

（4）

【总结升华】

举一反三：

【变式1】计算下列各式的值：

（1）33(2)-；（2）24(9)-；（3）66(4)π-；（4）88(2)a -.

【答案】

典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID ：

#10169#391630