排序问题

a13 机床3
a14 机床4 a24 机床4
产品3
a33 机床3
分析 该问题每件产品在各机床上加工时间已知，决策者唯一 能够决定的就是产品在机床上的加工开始时刻。故令 xij 表示第i产品在第j机床上的开始加工时刻，i=1,2,3;j=1,2,3,4 需要注意的是，同一机床不能同时加工两种产品，每种产品 的加工顺序的要求。具体分析如下： 1. 同一件产品在不同机床上的加工顺序的约束 产品1：
2、 工件排序（两台机器加工顺序）
工厂根据合同定做一些零件，这些零件要求先在车床上车削， 然后再在磨床上加工，每台机器上各零件的加工时间如下表
零
件
1
1.5 0.5
2
2.0 0.25
3
1.0 1.75
4
1.25 2.5
5
0.75 1.25
车 床 磨 床
问：如何安排这五个零件的先后加工顺序，才能使得完成这5 个零件的总时间最少？
计算结果为
即总加工 时间为7小时， 具体加工方 案用计算结 果反推。
本题也可以参考例8 面试问题求解。
Variable Value Reduced Cost X31 1.000000 0.000000 X41 2.000000 0.000000 X11 3.250000 0.000000 X21 4.750000 0.000000 X52 0.7500000 0.000000 X32 2.000000 0.000000 X42 3.750000 0.000000 X12 6.250000 0.000000 X22 6.750000 0.000000 T 7.000000 0.000000
[1] 变量设置
i=1,2,3,4，表示甲乙丙丁四个同学；j=1,2,3表示秘书、主管、 经理；
tij 表示第i个同学在第j处的面试时间；
xij 表示第i个同学在第j处的面试初始时刻； T 表示全部面试结束时刻；
1 yik 0
[2] 建立模型 优化目标为
第i个人在第k个人前面面试， 第i个人在第k个人后面面试.
w0 x ij 0, i 1,2,3; j 1,2,3,4 y j 0,1 j 1,2,3,4
4、面试问题
有四名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每 个同学都必须先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最 后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同 学的顺序都是一样的）。由于4名同学专业背景不同，所以每个 人在三个阶段的面试时间也不同。如表3-5所示。这4名同学约 定他们全部面试完后一起离开公司。假定现在时间是早晨8：00, 请问他们最早何时能离开公司？
1 , 先加工产品1 y1 先加工产品2 0 ，
1 , 先加工产品2 y2 先加工产品3 0，
1 , 先加工产品1 y3 先加工产品3 0 ，
1 , 先加工产品1 y4 先加工产品2 0 ，
那么机床加工产品的顺序约束可以表达为 机床1 y1 (x11 a11 ) (1 y1 )(x 21 a 21 ) y1x 21 (1 y1 )x11
x13 a13 x 33 M(1 y3 ) x 33 a 33 x13 M y3
机床4 x14 a14 x 24 M(1 y 4 )
x 24 a 24 x14 M y 4
3. 产品2的加工时间约束
x 24 a 24 x 21 d
模型求解方法
要使得6p1+5p2+…+p6尽可能小，需要将p1,…,p6做如下 排序：p1<p2<p3<p4<p5<p6。
所以，这6个零件的加工顺序为 3， 4， 1.8 2.0 5 ，6， 1， 1.3 2 1.5 0.5 0.9
总逗留时间为T=6*0.5+5*0.9+4*1.3+3*1.5+2*1.8+2=22.8（h）
x11 a11 x13 x13 a13 x14
产品2：
x 21 a 21 x 22 x 22 a 22 x 24
产品3：
x 32 a 32 x 33
2．同一机床，对不同产品的加工约束 注意到， 每台机床都只加工两种产品， 故引入0-1变量表达机床对产品的选择：
x13 a13 x 33 M(1 y3 ) x 33 a 33 x13 M y3
x14 a14 x 24 M(1 y 4 ) x 24 a 24 x14 M y 4
x 24 a 24 x 21 d
w x14 a14 w x 24 a 24 w x 33 a 33
表3-5
同学甲 同学乙 同学丙
秘书初试 13 10 20
主管复试 15 20 16
经理面试 20 18 10
同学丁
8
10
15
[分析] 这个问题就是安排4名同学面试顺序，使得花费的总时间 最短。必须主要到两个顺序，即（1）同一个人的面试顺序： 秘书主管经历离开；（2）不同人的面试顺序。每个同 学在每处的面试时间既定，就只能确定他们的面试初试时刻。 [建立模型]
1 去掉工件1所在列，即 零 件 3 4 1.25 2.5 5
2 （3）再选最小加工时间 0.75，i=1，将工件5朝 前排，即 5 1 2
车 床 1.0 磨 床 1.75
0.75 1.25
划去工件5所在列，即 零 件 3 1.0 1.75 4 1.25 2.5
（4）再去最短加工时间1.0， i=1,将工件3往前排，即
车 床 磨 床
5
3
1
2
（5）最后得到总的排序为
5
3
4
1
2
下面就这个最优排序的加工总时间进行计算
5
3
4
1
2
设工件j在工序i上的加工时间为tji,i=1,2;j=1,2,3,4,5； xji表示工件i在工序j上的加工初始时刻； T为总逗留时间，则应有
min T
x 51 t 51 x 31 , x 31 t 31 x 41 , x 41 t 41 x11 , x11 t11 x 21 ,
应该按照什么样的顺序加工这6个零件，才能使得这6个零 件在车间停留的总时间（平均停留时间）为最少；
解 设这6个零件的从前往后的加工时间分别为p1,p2,…,p6，这6 个零件分别逗留时间为t1,t2,…,t6.
根据题意，则
p2 加工时间 p1 逗留时间 t1 显然有 t1 p1 ,
p3
t2 t3
4. 建立问题的数学模型 设w表示全部产品加工结束时间，故
w maxx14 a14 , x 24 a 24 , x 33 a 33
也等价于
w x14 a 14 w x 24 a 24 w x a 33 33
所以该问题的数学模型为
min
w
x 21 a 21 x 22 x 22 a 22 x 24
排序问题
1、 工件排序问题（一台机器前的加工排序）
某车间只有一台高精度磨床，常常出现许多零件同时要求 这台磨床加工的情况，现有6个零件同时要求加工，加工完即送 到其它车间，这6个零件的加工时间如下表： 零 件 1 1.8 2 2.0 3 0.5 4 0.9 5 1.3 6 1.5 加工时 间/小时
例3 工件排序问题
3、 工件排序问题
用4台机床加工3件产品，各产品的机床加工顺序， 以及产品i在机床j上的加工工时aij如表。由于某种原因， 产品2的加工总时间不超过d。现在要求确定各件产品 在机床的加工方案，使在最短时间内加工完全部产品。
产品1 产品2
a11 机床1 a21 机床1 a22 机床2 a32 机床2
T x 22 t 22 , xi, j 0, i 1,2; j 1,2,3,4,5.
计算程序为
x51+t51<x31;x31+t31<x41;x41+t41<x11;x11+t11<x21; x51+t51<x52;x31+t31<x32;x41+t41<x42;x11+t11<x12;x21+t21<x22; x52+t52<x32;x32+t32<x42;x42+t42<x12;x12+t12<x22;t>x22+t22; t11=1.5;t12=0.5;t21=2;t22=0.25;t31=1;t32=1.75;t41=1.25; t42=2.5;t51=0.75;t52=1.25; min=t;
每个人的面试顺学约束
x ij t ij x i, j1 , j 1,2
解
等待时间发生如下三种情况：（1）工件按顺序在某台机 器上加工时发生等待；（2）工件按照加工要求等待另一台机 器先加工发生等待。
如果发生第一类等待，加工时间短的工件先安排；如果发 生第二类等待，加工时间短的后安排。因此，从车床加工时间 看，加工时间短的工件往前排，而从磨床加工时间看，需要等 待车床加工，所以加工时间短的工件往后排，加工时间长的工 件尽量前排，充分利用等待时间。 这类加工排序的安排方法如下： （1）在加工时间表上选择最短加工时间tij，这是第i个工序加工 第j零件所需时间，当i=1时,将零件j的加工顺序尽量靠前，若i=2, 将零件j的加工顺序尽量朝后排； （2）在表上划去零件j所在行，回到步骤（1），直到剩下最后 一列为止。
零
件
1
1.5 0.5
2
2.0 0.25
3
1.0 1.75
4
1.25 2.5
5
0.75 1.25
车 床 磨 床
（1）首先选最小加工时间0.25，此时i=2，所以工件2朝后排，即 2 划去工件2所在列，得 零 件 1 3 4 5
车 床
磨 床
1.5
0.5
1.0
1.75
1.25
2.5
0.75
1.25
（2）再选最小加工时间0.5，i=1，将工件1朝后排，即
x11 a11 x 21 M(1 y1 ) 两种写法等价，但一 个是非线性规划，一 x 21 a 21 x11 M y1 个是线性规划 机床2 x 22 a 22 x 32 M(1 y 2 ) x 32 a 32 x 22 M y 2
机床3
则6个零件的逗留时间总和为
T t1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6
6p1 5p2 4p3 3p4 2p5 p6 ,
所以该问题的数学模型为
min T T 6p1 5p 2 4p3 3p 4 2p5 p6 , s.t. p1 , p 2 ,...,p6为这 6个零件加工时间的任一 个全排列.
p4
t4
p5
t5
p6
t7
t 2 p1 p 2 , t 3 p1 p 2 p 3 , t 4 p1 p 2 p 3 p 4 , t 5 p1 p 2 p 3 p 4 p 5 , t 6 p1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 .
x11 a11 x13 x13 Fra Baidu biblioteka13 x14
x 32 a 32 x 33
x11 a11 x 21 M(1 y1 ) x 21 a 21 x11 M y1
x 22 a 22 x 32 M(1 y 2 ) x 32 a 32 x 22 M y 2
第一道工序的加工顺序 两道工序顺序约束
x 52 x 51 t 51 , x 32 x 31 t 31 ,
s.t.
x 42 x 41 t 41 , x12 x11 t11 , x 22 x 21 t 21 ,
x 52 t 52 x 32 , x 32 t 32 x 42 , 第二道工序的加工顺序 x 42 t 42 x12 , x12 t12 x 22 ,
i,=1,2,3,4;k>i
min T
T max{x13 t13 , x 23 t 23 , x 33 t 33 , x 43 t 43}
等价于下面的不等式组
T x13 t13 , T x 23 t 23 , T x 33 t 33 , T x 43 t 43 .