概率论第六章 习题答案

∴ EZ = µ Ea + µ Eb = µ E( a+ b) = µ E(1) = µ.
第6章
一、 1.
自测题答案
1 1 2 , N (0 , ) , χ ( n) n n
解：①由题意可知： EX i = 0, DXi = 1, i = 1, 2,⋯ , n 所以
DX = D(
1 n 1 n 1 1 X ) = DXi = 2 ⋅ n = ∑ i 2∑ n i =1 n i =1 n n 1 DX = , n
故选择 A 3. C . 解：虽然随机变量
X 和 Y 都服从标准正态分布,但只有当 X 和 Y 相互独立时，
A, B, D 才能成立，而 X 2 ~ χ 2 (1) , Y 2 ~ χ 2 (1) , 故选择 C .
4. B .
解：由 6.3 定理 2 可知： ( n −1) S 2 = 5. A .
② 因为 EX = E (
1 n 1 n X ) = EX i = 0 , ∑ i n∑ n i =1 i =1
1 X i （ i = 1, 2,⋯ , n ）相互独立且均服从 N (0,1) , 所以 X ~ N (0, ) n
③ 由 X i （ i = 1, 2,⋯, n ）相互独立且均服从 N (0,1) 可知： 2. λ ,
(2) 因为总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) ，且 µ 已知， σ 2 未知 由统计量的定义可知：
X12 + 3 X 2 − X 3 , X 2 + µ , ,
(3) 由样本观测值为 0,1,1 得：
X −µ 为统计量. 2
0 +1+1 2 = , 3 3 . 1⎡ 2 2 2 2 2 2⎤ 1 2 S = ⎢ (0 − ) + (1− ) + (1 − ) ⎥ = 2⎣ 3 3 3 ⎦ 3
习题 6 答案
1. µ ,
σ2 n
解： 因为总体的均值为 µ ，方差为 σ 2 ， X1 , X 2 ,⋯ , X n 是来自总体 所以
X 的样本，
EX = E(
1 n 1 n 1 X ) = EX i = ⋅ nµ = µ. ∑ i ∑ n i =1 n i =1 n 1 n 1 n 1 σ2 2 X ) = DX = n σ = . ∑ i n2 ∑ i n i =1 n2 n i =1
14. 解：∵ X ∼ N (80, 20 2 ), ∴ X ∼ N (80,
20 2 X − 80 ). 故 ∼ N (0,1) . 100 2
⎧ X − 80 3 ⎫ ∴ P X − 80 > 3 = P ⎨ > ⎬ 2 2⎭ ⎩ = 2(1 − Φ (1.5)) = 2 × (1 − 0.9332) = 0.1336.
1 , n = 2. 3
2
11.解：∵
X1 + X 2 ∼ N (0,1), X 32 + X 42 + X 52 ∼ χ 2 (3) 且相互独立， 2 X1 + X 2 3 2 = 2 2 2 2 X3 + X4 + X5 3
由Y =
( X1 + X 2 )
X +X +X
2 3
2 4
2 5
∼ t (3) 可知： c =
Xi ~ N (0,1) 2
i = 1, 2,⋯ ,n
且 Z1 , Z2 相互独立。由 F 分布的定义可知：
Y=
Z1 /10 ~ F (10, 5) Z2 / 5
5
二、 1.
D.ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：由总体 X ~ N ( µ , σ 2 ), EX = −1, EX 2 = 4 可得：
DX = EX 2 − ( EX ) 2 = 3 ，即 X ~ N (− 1, 3)
∵ X ∼ N ( µ , 6) ∴σ 2 = 6 24 S 2 ∼ χ 2 (24) 6 ∴ P { S 2 < 9.1} = P {4 S 2 < 4 × 9.1} ∵ = 1 − P { χ 2 (24) ≥ 36.4} = 1− 0.05 = 0.95
3 2
12. B . 解：由 6.3 定理 2 中（2）可知：应选择 B . 13.证明：∵ X ∼ N ( µ , σ 2 ), ∴ X ∼ N ( µ,
σ2 ) n
于是
X −µ Y Y ∼ N (0,1) 且与 2 相互独立。由 2 ∼ χ 2 ( n) 得： σ σ σ/ n
X −µ σ / n = X − µ ∼ t (n ) Y Y/n 2 σ n
10.解：∵ X ∼ N (0,1)
∴ X 1 + X 2 + X 3 ∼ N (0, 3) , X 4 + X 5 + X 6 ∼ N (0, 3) 且相互独立， ∴(
X1 + X 2 + X 3 2 X 4 + X 5 + X 6 2 ) +( ) ∼ χ 2 (2) 3 3
1 3
得： c =
即 Y ∼ χ 2 (2)
1
(3)
ES 2 = E(
n 1 n 1 ( X i − X ) 2) = E( ∑ X i2 − nX 2 ) ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1 1 n n = EX i2 − EX 2 ∑ n − 1 i =1 n −1 n 1 n = ( DX + ( EX ) 2 ) − ( DX + ( EX) 2 ) ∑ n − 1 i =1 n −1 1 n DX n = ( nDX + n( EX ) 2 ) − − ( EX ) 2 n −1 n −1 n n −1 n −1 = DX = DX n −1
3
17.解：∵U =
X −Y
2σ 2 n
=
n ( X − Y ) ∼ N (0,1) 2σ
⎧ ⎪ n ∴P X −Y > σ = P⎨ X −Y > 2 σ ⎪ ⎩
{
}
⎧ n⎫ ⎪ ⎪ ⎬= P⎨U > 2⎪ ⎪ ⎭ ⎩
n⎫ ⎪ ⎬ 2⎪ ⎭
⎡ ⎛ n ⎞⎤ ⎛ n⎞ = 2 ⎢1 − Φ ⎜ = 0.01 ∴Φ ⎥ ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎟ = 0.995 ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
查表得：
n = 2.58 ， n = 13.3128 ，故取 n = 14. 2
2 2 18.解：∵ X 与 S12 、 Y 与S 2 、 X 与 S2 、 Y 与S12 分别相互独立
∴ a与X ，b与Y 也分别相互独立。 ∴ EZ = E ( aX + bY ) = EaEX + EbEY
而 EX = EX = µ , EY = EY = µ
X=
3. 证明： （1） EX = E (
1 n 1 n 1 X ) = EX i = nEX = EX . ∑ i ∑ n i =1 n i =1 n
(2) DX = D(
n 1 n 1 1 DX X ) = D ( X i ) = 2 nDX = . ∑ ∑ i 2 n i =1 n n n i =1
所以， X ~ N (− 1, ) .故选择 D . 2. A 解：由题意可知： X ~ N (0,
3 n
σ2 ) n
故
X ( n −1) S 2 ~ N (0,1) ,而 ~ χ 2 (n − 1) 且二者相互独立 2 σ/ n σ
所以有
X σ / n = n X ~ t ( n −1) S ( n −1) S 2 σ 2 (n − 1)
n
∑X
i =1
2 i
~ χ 2 (n )
λ ,λ n
4
解：因为 X ~ P (λ ) , ∴ EX = λ , DX = λ 由习题 6 中题 3 的结论可知：
EX = EX = λ, DX =
3. F (1, 6)
1 λ DX = , ES2 = DX = λ. n n
解：由 6.2 中例 1 的结论可知：若 X ~ t (6) , 则 X 2 ~ F (1, 6) 4. N (10,10) 解：由 X i （ i = 1, 2,⋯, n ）相互独立且均服从 N (10,10) 可知：
{
}
15.解：∵ n − 1 = 9, σ 2 = 4 2 ∴
9S 2 ∼ χ 2 (9) 2 4
由 P S2 > a = P ⎨
{
}
⎧9S2 9a ⎫ 9a 2 (9) ≈ 14.684 > 2 ⎬ = 0.1 查表得： 2 = χ0.1 2 4 4 4 ⎩ ⎭ 16 ≈ 26.105. 9
解得： a ≈ 14.684 × 16.解:
7 2
⎛X ⎞ ∴ ∑ ⎜ i ⎟ ∼ χ 2 (7) ，于是查表得： i =1 ⎝ 0.5 ⎠ ⎧ 7 ⎛ X i ⎞2 ⎫ ⎧ 7 2 ⎫ 4 ⎪ ⎪ P ⎨∑ X i > 4 ⎬ = P ⎨∑ ⎜ > ⎟ 2⎬ (0.5) ⎪ ⎩ i =1 ⎭ ⎪ ⎩ i =1 ⎝ 0.5 ⎠ ⎭ = P { χ 2 (7) > 16} ≈ 0.025
EX = 10, DX =
100 = 10 10
所以 X ~ N (10,10) 5.
2 . 15
解：因为 X ~ N ( µ , σ 2 ) , n = 16 ， 所以
15S 2 ~ χ 2 (15) . 2 σ
于是有： D (
15 S 2 S2 2 ) = 15 D ( ) = 2 ×15 σ2 σ2
故选择 C.
6. 查标准正态分布表得： 1.65 , 1.96 , − 1.28 , − 1.65 . 7. 查 χ 2 分布上侧 α 分位数表得： 3.94 , 18.31, 8. 查 t 分布上侧 α 分位数表得： 2.353 ,
0.55 , 15.09 . −2.228 .
3.365 , −1.330 , 1 1 9. 查 F 分布上侧 α 分位数表得: 8.45, 4.53 , . 6.16 27.7
1 DX i = 2 . n
6
∵ X ∼ U ( −1,1) ∴ EX = 0, DX = ∴ EX = EX = 0, DX =
4 1 = 12 3
DX 1 1 = , ES2 = DX = . n 3n 3 Xi ∼ N (0,1) i = 1, 2,⋯ , 7 0.5
2 解： ∵ X ∼ N (0, 0.52 ) ∴
4. χ 2 (25) , 10 , 30 . 解：由题意及 χ 2 分布的性质可知：
X + Y ~ χ 2 (25) , EX = 10 , DY = 30 .
5. C .
解：由题意可知：
X 10Y 2 ~ N (0,1) , ~ χ 2 (10) 且二者相互独立， 2 σ σ
所以
X X σ = ~ t (10) . Y 10Y 2 σ 2 ⋅ 10
P { max( X1 , X 2 ,⋯ , X 5 ) > 15} = 1− P { max( X1 , X 2 ,⋯ , X 5 ) ≤ 15}
5 ⎡ 15 − 12 ⎤ = 1 − ⎢Φ ( ) ⎥ = 1 − [Φ (1.5) ] = 1 − 0.93325 ≈ 0.2923. 2 ⎦ ⎣ 5
DX = D(
2.解：
(1) 因为总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) , X1 , X 2 , X3 是来自总体 X 的样本， 所以样本的联合概率密度函数为
f ( x1 , x2 , x3 ) = Π f (xi ; µ ,σ 2 )
i =1
n
1 ⎧ 1 n ⎫ = exp ⎨− ( xi − µ ) 2 ⎬ , . 2 ∑ 3 ( 2πσ ) ⎩ 2σ i =1 ⎭ (−∞ < x1 , x2 , x3 < +∞ )
得， D ( 6. F (10, 5)
S2 2 )= . 2 σ 15
解：因为 X1 , X 2 ,⋯ , X n 是来自总体 X ~ N (0, 22 ) 的样本， 所以 有：
2 X12 + X 22 + ⋯ + X10 Z1 = ~ χ 2 (10), 4 2 2 2 X + X 12 + ⋯ + X 15 Z2 = 11 ~ χ 2 (5) 4
(n − 1)S 2 ~ χ 2 ( n −1) ， 故选择 B. 2 1
解：因为 X1 , X 2 ,⋯ , X n 是来自总体 χ 2 ~ χ 2 (n ) 的样本， 所以有： EX i = n , DXi = 2 n ，得： EX = EX i = n , DX = 故选择 A. 三、1.解：
3.解：∵ X ∼ N (40, 25) ∴ X ∼ N (40,
25 ) n
⎧ X − 40 1 ⎫ n P X − 40 < 1 = P ⎨ < ⎬ = 2Φ ( ) − 1≥ 0.90 5 5/ n⎭ ⎩ 5/ n
{
}
于是有 Φ ( 4.解：
n n ) ≥ 0.95 . 查表得： ≥ 1.65, n ≥ 68.06 .故取 n = 69. 5 5