高中数学推理案例赏析

在上式中分别令 n＝1,2，…，n，得 n 个等式：a1 ＝1＋1，a2＝a1＋2，…，an＝an－1＋n. 把它们加起来，得到 an＝1＋(1＋2＋…＋n)＝1＋ nn2＋1＝n2＋2n＋2. 因此一个平面内的 n 条直线最多能把平面分成 n2＋2n＋2个区域．
演绎推理的应用
演绎推理在数学命题的证明中是常用的推理方法， 它是必然推理，是以对某一数学问题或数学对象的 一般判断为前提，作出关于该类问题的一些特殊情 况的判断的思维形式，是从一般到特殊的推理．只 要前提条件正确，推理过程无误，结论必然正确， 其中推理过程尤为重要．
知新益能
1．合情推理的作用 合情推理是富于创造性的__或__然__推理，在数学发 现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具 有 _提__出__猜__想___ 、 __发__现__结__论__ 、 _提__供__思__路___ 的 作 用．
2．演绎推理的作用 演绎推理是形式化程度较高的____必__然推理，在数学
如图，在圆内画一条线段,将圆分成两
部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同
时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割
成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，
彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部
分．
那么： (1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条 线段？将圆最多分割成多少部分？ (2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最 多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不
仅为合情推理提供了____前__提，而且可以对猜想作出 “判决”和____证__明,从而为调控探索活动提供依据．
问题探究
1．在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时 做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题, 你能说出他的想法用的是什么推理吗？ 提示：类比推理．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①在 圆内画线段；②在圆内画一、二、三、四条线段， 所画线段彼此分割线段的条数和将圆分割的部分的 个数．
解答本题可先从几个特殊的数值入手，再根据给出 的数值特点进行归纳猜想．
【规范解答】 设圆内两两相交的 n 条线段彼此最
多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部
2．1.3 推理案例赏析
学习目标 1.了解和体会推理案例的启示． 2．了解推理在数学命题发展中的作用． 3．会利用合情推理和演绎推理进行简单的推理．
课前自wk.baidu.com学案
温故夯基
数学命题推理有合情推理和演绎推理，_归__纳__推__理__ 和_类__比__推__理__是常用的合情推理．从推理形式上看, _归__纳__推__理__是由部分到整体、个别到一般的推理， _类__比__推__理__是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是 由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看， _合__情__推__理__的结论不一定正确，有待于进一步证明, _演__绎__推__理__在前提和推理形式都正确的前提下，得 到的结论一定正确．
分.2 分 法一：(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
(2)根据题意猜测： 圆内两两相交的 n(n≥2)条线段，彼此最多分割为 f(n)＝n2 条线段，将圆最多分割为 g(n)＝n2＋2n＋2 部分.14 分 法二：(1)求 f(n)同法一， ∵g(2)－g(1)＝2，g(3)－g(2)＝3，g(4)－g(3)＝4， ∴g(5)－g(4)＝5，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16
课堂互动讲练
考点突破
合情推理的应用
合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比 较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想．要 合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求 规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性, 不能盲目进行类比．合情推理得出的结论要进行证 明，这样可靠性才能得到保证．
例1
(2)由(1)归纳猜测 g(n)－g(n－1)＝n，
∴累加得 g(n)－g(1)＝2＋3＋4＋…＋n.
∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1 ＝nn2＋1＋1＝n2＋2n＋2.
【名师点评】 在几何中随着点、线、面等元素 的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的 增加情况常用归纳推理解决，分析时递推关系的 寻找是重点．
2．合情推理的结论不一定正确，我们为什么还 要学习合情推理？
提示：合情推理具有发现新知识和探索真理的功 能，在数学学习中有预测答案、探索解题思路的 作用．对于较复杂的问题，当难以找到解决问题 的方法时，可以通过归纳、类比预测结论，从而 找到解决问题的途径．利用类比的方法，可以找 到新知识与已有知识的相似之处、不同之处，便 于理解新的知识，掌握新的知识．
正方形是菱形，(小前提)
正方形的对角线互相垂直．(结论)
(2)如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的 差都相等，那么这个数列是等差数列，(大前提)
满足2a2＝a1＋a3的三个数a1，a2，a3显然有a2－a1 ＝a3－a2，(小前提) 满足2a2＝a1＋a3的三个数a1，a2，a3成等差数列．( 结论)
例2 用三段论写出下列演绎推理． (1)正方形的对角线互相垂直； (2)满足2a2＝a1＋a3的三个数a1，a2，a3成等差数 列． 【思路点拨】 证明中应用三段论常常是省略大 前提的，要揭示证明的逻辑过程就要还原三段论 的结构，而关键是抓住结论成立的根源——大前 提与小前提．
【解】 (1)菱形的对角线互相垂直，(大前提)
变式训练1 一个平面内的n条直线最多能把平面分 成几个区域？
解：设(n－1)条直线把平面分成an－1块， 现在我们再添加第n条直线， 它与前面(n－1)条直线相交可得到(n－1)个交点， 这(n－1)个交点将第n条直线分成n段，每段将其穿 过的平面一分为二，这样就比原来多增加了n个区 域，于是得到递推公式：an＝an－1＋n.