第二章 特殊三角形、
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的点是哪一个点？
C
E
D
B
轴对称图形中沿对称轴对折后能重合的两个点称为对称点。
（2）连结BC，交AD于点E.把四边形ABCD沿 AD对折，BE与CE重合吗？ ∠AEB与∠AEC呢？
由轴此对你称得图到什形么的结性论质？：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
图请
形大
家
再
看
看
左
面
两 组
•每一组里，左边的图形沿直线对折后与 右边的图形完全重合吗？
二、知识归纳
2.等腰三角形的性质 等腰三角形的性质1：等腰三 角形的两个底角相等． (简写成“等边对等角”） 等腰三角形的性质2：等腰三 角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．(简写成“三线合一”）
二、知识归纳
3.等腰三角形的判定方法: (1)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 （定义） (2)如果一个三角形有两个角 相等，那么这两个角所对的边 也相等.简写成“等角对等边”.
三、典型例题
-计算题
例2. 已知等腰三角形的一个角是70°,求其
余两角．
；
思路分析：已知等腰三角形的一个角是70°,
那么这个70°的角可能为等腰三角形的底角
或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定
理易求出其余两7角0°．、40°或55°、55°
三、典型例题 -计算题
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°，求其余 两角．
三、典型例题
-计算题
在DBC中，
DBC 2 C 1800 , 1200 3x 1800 ,
∠ 思路DB分C析的：度由数BD.平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
1
D
=x，由AB=AC可得
2
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中 B
C
由三角形内角和定理可列出x
三、典型例题
-计算题
解：设1 x,
BD平分ABC， 1 2 x,
AB AC,
A
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
答案:其余两角为35°、35°．
三、典型例题
-计算题
归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角； 底角只能是锐角．所以，看到 等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要 分类讨论．
三、典型例题
-计算题
例3.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分
∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求
由一个图形变为另一个图形，并使这两 个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，这 样的图形改变叫做图形的轴对称。
这条直线就是对称轴。
成轴对称的两个图形是全等图形。
在图形中标出点和关于直线的对称点
A
D
B
C
C
B
A
D
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
轴对称图形
两个图形成 轴对称
图形
A
B
C
A
B
C
A'
请用轴对称的知识把下列图形进行归 类，并帮它们找到家。
一般等腰三角形
一般长方形
一般平行四边形
等腰梯形
一般三角形
等边三角形
圆
一般梯形
正方形
一条对称轴 一般等腰三角形
等腰梯形
Biblioteka Baidu两条对称轴
一般长方形
三条对称轴
等边三角形
四条对称轴
正方形
无数条对称轴
圆
1.在0 ，1，2，3，4，5 ，6 ，7 ，8 ，9 这几个数字 中，哪几个是轴对称图形？
(1)三边相等的三角形是等边三角形（定义）
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰
A
三角形是等边三角形．
B
C
二、知识归纳
7.直角三角形的性质: 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
A
B
C
三、典型例题
-计算题
例1.已知：如图，房屋顶角∠BAC=100°，
C'
B'
共同点 区别 联系
沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合
(1)轴对称图形是指( 一个 ) (1)轴对称是指( 两个 )图形
具有特殊形状的图形,
的位置关系,必须涉及
只对( 一个 ) 图形而言; ( 两个 )图形;
(2)对称轴(不一定) 只有一条 (2)只有(一条 )对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴 如果把两个成轴对称的图形 分成两部分,那么这两个图形 拼在一起看成一个整体,那 就关于这条直线成轴对称. 么它就是一个轴对称图形.
03 8
2.在26个英文字母中，有几个是轴对称图形？
A B CDEH I KM O T U VW XY
3.你能说出汉字中哪些是轴对称图形吗？ 中田
2.2-2.4等腰三角形
中学高级教师，毕业于东北师范大学数学 系，曾在吉林市524厂子弟中学、山东省信 息技术学院、北京市十一学校担任数学教 师，连续多年带毕业班，中考成绩优异．
一、本专题考察的知识点
1.等腰三角形的性质与应用 2.等边三角形的性质与应用 3.含30°直角三角形的性质 4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中
的应用
二、知识归纳
1.等腰三角形的概念: 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的 两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
如果一个图形沿着一条直线 折叠，直线两侧的部分能够相互 重合，那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴。
轴用
1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？
对对 称折
图的
形方
法
判
断
一
个
图
形
是
不
对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪 是
些方法？
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.（1） 四边形ABCD是轴对称图形吗？如果你 认为是，请说出它的对称轴.与点B对称 A
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC．求顶
架思上路分的析∠：B已，知∠顶C角，∠BAD，∠CAAD的度数．
∠BAC=100°，利用等腰三角
形顶角与底角的关系，易求 B
DC
∠B和∠C；利用三线合一，易
求∠BAD和∠CAD的度数．
三、典型例题
-计算题
解：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵∠BAC=100° ∴∠B=∠C=1/2(180°－100°)=40° ∵在△ABC中， AB=AC，AD⊥BC（三线 合一） ∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=50°
二、知识归纳
4.等边三角形的有关概念 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三
角形——三条边都相等的三角形，我 们把这样的三角形A叫做等边三角形。
B
C
二、知识归纳
5.等边三角形的性质: (1)等边三角形的三边相等（定义） (2)等边三角形的三个内角都相等,都等于60°.
A
B
C
二、知识归纳
6.等边三角形的判定:
C
E
D
B
轴对称图形中沿对称轴对折后能重合的两个点称为对称点。
（2）连结BC，交AD于点E.把四边形ABCD沿 AD对折，BE与CE重合吗？ ∠AEB与∠AEC呢？
由轴此对你称得图到什形么的结性论质？：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
图请
形大
家
再
看
看
左
面
两 组
•每一组里，左边的图形沿直线对折后与 右边的图形完全重合吗？
二、知识归纳
2.等腰三角形的性质 等腰三角形的性质1：等腰三 角形的两个底角相等． (简写成“等边对等角”） 等腰三角形的性质2：等腰三 角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．(简写成“三线合一”）
二、知识归纳
3.等腰三角形的判定方法: (1)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 （定义） (2)如果一个三角形有两个角 相等，那么这两个角所对的边 也相等.简写成“等角对等边”.
三、典型例题
-计算题
例2. 已知等腰三角形的一个角是70°,求其
余两角．
；
思路分析：已知等腰三角形的一个角是70°,
那么这个70°的角可能为等腰三角形的底角
或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定
理易求出其余两7角0°．、40°或55°、55°
三、典型例题 -计算题
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°，求其余 两角．
三、典型例题
-计算题
在DBC中，
DBC 2 C 1800 , 1200 3x 1800 ,
∠ 思路DB分C析的：度由数BD.平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
1
D
=x，由AB=AC可得
2
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中 B
C
由三角形内角和定理可列出x
三、典型例题
-计算题
解：设1 x,
BD平分ABC， 1 2 x,
AB AC,
A
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
答案:其余两角为35°、35°．
三、典型例题
-计算题
归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角； 底角只能是锐角．所以，看到 等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要 分类讨论．
三、典型例题
-计算题
例3.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分
∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求
由一个图形变为另一个图形，并使这两 个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，这 样的图形改变叫做图形的轴对称。
这条直线就是对称轴。
成轴对称的两个图形是全等图形。
在图形中标出点和关于直线的对称点
A
D
B
C
C
B
A
D
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
轴对称图形
两个图形成 轴对称
图形
A
B
C
A
B
C
A'
请用轴对称的知识把下列图形进行归 类，并帮它们找到家。
一般等腰三角形
一般长方形
一般平行四边形
等腰梯形
一般三角形
等边三角形
圆
一般梯形
正方形
一条对称轴 一般等腰三角形
等腰梯形
Biblioteka Baidu两条对称轴
一般长方形
三条对称轴
等边三角形
四条对称轴
正方形
无数条对称轴
圆
1.在0 ，1，2，3，4，5 ，6 ，7 ，8 ，9 这几个数字 中，哪几个是轴对称图形？
(1)三边相等的三角形是等边三角形（定义）
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰
A
三角形是等边三角形．
B
C
二、知识归纳
7.直角三角形的性质: 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
A
B
C
三、典型例题
-计算题
例1.已知：如图，房屋顶角∠BAC=100°，
C'
B'
共同点 区别 联系
沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合
(1)轴对称图形是指( 一个 ) (1)轴对称是指( 两个 )图形
具有特殊形状的图形,
的位置关系,必须涉及
只对( 一个 ) 图形而言; ( 两个 )图形;
(2)对称轴(不一定) 只有一条 (2)只有(一条 )对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴 如果把两个成轴对称的图形 分成两部分,那么这两个图形 拼在一起看成一个整体,那 就关于这条直线成轴对称. 么它就是一个轴对称图形.
03 8
2.在26个英文字母中，有几个是轴对称图形？
A B CDEH I KM O T U VW XY
3.你能说出汉字中哪些是轴对称图形吗？ 中田
2.2-2.4等腰三角形
中学高级教师，毕业于东北师范大学数学 系，曾在吉林市524厂子弟中学、山东省信 息技术学院、北京市十一学校担任数学教 师，连续多年带毕业班，中考成绩优异．
一、本专题考察的知识点
1.等腰三角形的性质与应用 2.等边三角形的性质与应用 3.含30°直角三角形的性质 4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中
的应用
二、知识归纳
1.等腰三角形的概念: 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的 两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
如果一个图形沿着一条直线 折叠，直线两侧的部分能够相互 重合，那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴。
轴用
1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？
对对 称折
图的
形方
法
判
断
一
个
图
形
是
不
对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪 是
些方法？
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.（1） 四边形ABCD是轴对称图形吗？如果你 认为是，请说出它的对称轴.与点B对称 A
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC．求顶
架思上路分的析∠：B已，知∠顶C角，∠BAD，∠CAAD的度数．
∠BAC=100°，利用等腰三角
形顶角与底角的关系，易求 B
DC
∠B和∠C；利用三线合一，易
求∠BAD和∠CAD的度数．
三、典型例题
-计算题
解：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵∠BAC=100° ∴∠B=∠C=1/2(180°－100°)=40° ∵在△ABC中， AB=AC，AD⊥BC（三线 合一） ∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=50°
二、知识归纳
4.等边三角形的有关概念 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三
角形——三条边都相等的三角形，我 们把这样的三角形A叫做等边三角形。
B
C
二、知识归纳
5.等边三角形的性质: (1)等边三角形的三边相等（定义） (2)等边三角形的三个内角都相等,都等于60°.
A
B
C
二、知识归纳
6.等边三角形的判定: