有限元分析及应用

引子：

有限元方法是求解各类复杂问题的工具；

广泛用于机械、桥梁、建筑、航空航天等领域；

本课程主要内容：

1.数学力学原理；

2.力学建模；

3.专题实践。

1 引论

知识点1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学主要内容：

力学分类；

变形力学的的要点；

微分方程求解方法；

关于函数逼近的方式；

针对复杂几何域的函数表征及逼近；

有限元的核心；

有限元发展的历史与分析软件。

质点、刚体、变形体之间的关系

以卫星绕地球旋转为例：

变形体：简单形状；

复杂形状。

知识点1.2 变形体力学的要点：

涉及三个方面：力的平衡、变形状态、材料行为；引入三大变量，三大方程

应力：

应变：

弹性模量：

定义力学变量：

知识点1.3 微分方程求解的方法 实例：左端固定的1D 拉杆问题

建立方程:

022=⋅+E A p

dx u d 为基本力学变量)(x u

左端固定

右端为自由

A

F =

σL

με=

ε

σ=

E ⎪

⎩⎪

⎨⎧====0|0|0L x x dx

du u

求解该方程的方法： (1) 解析方法：

得到的结果：

Lx AE

p

x AE p x u +-

=221)(

(2) 近似方法（差分） 把研究对象分成若干段

差分格式：

222112dx

u

d l u u u i i i =∆+-+-

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=⋅++-=⋅++-=⋅++-=⋅

++-405123

051220512105122

25432

24

32223212

2210节点节点节点节点AE PL u u u AE PL u u u AE PL u u u AE PL u u u ⎩⎨

⎧==5

400

u u u 代入边界条件

代入后得到

01111511-10012-10012-10012-224321=⎪⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⋅+⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛AE PL u u u u 解得

()

()T

T

AE

PL u u u u 625.05625

.04375.025.0243

21

⋅=

研究对象分成n 段：

⎩⎨

⎧==-1

00

n n u u u 代入边界条件 011111111000012-100000000

02-1000

012-1000012-2212321=⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⋅+⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-- AE PL n u u u u u n n 分段数 L/5 2L/5 3L/5 4L/5 L 5 0.250 0.438 0.563 0.625 0.626 20 0.185 0.329 0.431 0.491 0.510 100 0.183 0.324 0.425 0.486 0.505 500 0.180 0.321 0.421 0.481 0.501 解析解 0.180

0.320

0.420

0.480

0.500

趋近于解析解

(3) 近似方法（试函数）

几种求解方法的对比：1 精度

2 特点

知识点1.4 关于函数逼近的方式

以一个一维函数[]L x x x x f ,),(0∈为例，分析它的展开与逼近形式 展开方式之一：基于全域的展开形式

如果采用傅里叶展开，则有：[]⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈=

++≈∑=L n

i i

i x x x c c c x f ,)(00

1100ϕϕϕ 其中[]()L i x x x ,0∈ϕ为所采用的基底函数，它定义在全域[]L x x ,0上， ,,10c c 为展开的系数。

展开方式之二：基于子域的展开形式

知识点1.5 针对复杂几何域上构造函数或者级数取局部，再拼接。

知识点1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近知识点1.7 有限元发展历史及分析软件

有限元分析的主要软件

本讲重点：

1.直接刚度法构建弹簧单元的平衡关系；

2.通过直接的对应关系获得杆单元的刚度方程；

3.杆单元的坐标变换；

4.杆系结构的实例分析；

5.基于ANSYS平台的实例分析

知识点2.1 弹簧的力学分析原理

称为弹簧的平衡方程，或刚度方程。矩阵系数节点位移节点力

例：双弹簧系统分析

知识点2.2 弹簧单元与杆单元的比较

例：两拉杆系统分析

知识点2.3 杆单元的坐标变换平面杆单元

空间杆单元的坐标变换

知识点2.4 四杆结构实例分析

2.5 四杆结构的ANSYS实例分析

知识点3.1 力学描述的思路及关于变形材料的基本假设