简单复合函数的求导法则

解：（成3．1）yyc(2osx42)3x由由yyu3,cuou2 s,u x2 4复合x而复成合．而
（4） y （ 2l）n syi3 sn x in x1 2( )由由yy sliu u n n , ,u u s x2复v , i 合v 而n 3 成x ．1 复合而
练习
2、法则1 [u (x ) v (x )'] u '(x ) v'(x )
法则2 [ u ( x ) v ( x ) ] u '( x ) v ( x ) u ( x ) v '( x ), 法[C 则u(3x)]C u uv'(x )' u'vv2uv' (v0)
油膜半径r随着时间 t 的增加而扩大，其函数关
系为：
r(t)2t1
问：油膜面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率是多
少？
分析：
油膜面积 S 关于时间 t 的新函数：
S f(t)(2 t 1 )2
由于 f ( t ) f ( 2 t 1 ) ( 4 t 2 4 t 1 )
由复合函数的求导法则知：
y f( u )( x ) f( u ) 2 x 2 x f( x 2 )
（2）函数由 yf(u)与 u(x)sinx复合而成，
由复合函数的求导法则知：
y f ( u ) ( x ) f ( u ) c o s x c o s x f ( s i n x )
可知：
(2x1)3 f(u)(x)
3u2 26(2x1)2
总结
利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清 其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作 一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中 特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量 转换成自变量的函数。
一、教学目标：1、了解简单复合函数 的求导法则；2、会运用上述法则，求简 单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法 则的应用
教学难点：简单复合函数的求导法则的 应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
复习：两个函数的和、差、积、商的 求导公式。 1、 常见函数的导数公式：
C'0 (xn)'nxn1 (sixn) ' coxs (cox)s ' sixn
复合函数的导数
例题讲解
例3 求
y(2x1)5的导数．
解：设 yu5,u2x1， 则
y x y u u x ( u 5 ) u ( 2 x 1 ) x 5 u 4 2 5 ( 2 x 1 ) 4 2 1 ( 2 x 0 1 ) 4
例1 求函数 y 3x1的导数。 解析
f(x)yu u x
复合函数的导数
新授课
一般地，设函数 u(x)在点 x处有导数 ux(x)，函
数 yf(u)在点 x的对应点 u处有导数 yu f(u)，则复合
函数 yf((x))在点 x处也有导数，且
或写作
yxyu ux
fx ((x ) )f( u )(x )
yu 2u ux 3 f ( x ) [ 3 x ( 2 ) 2 ] ( 9 x 2 1 x 4 2 ) 8 x 12
函数 f (x)可由 yu2,u3x2复合而成． y u u x 2 u 3 2 ( 3 x 2 ) 3 1 x 1 82
43x y 143 0
例4
动手做一做
求下列函数的导数：
(1) y f ( 1 ) x
× f ( 1 ) x

1 x2

f
( 1 ) x
(2)y f ( x2 1)
2x
f ( x2 1)
x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式：f (x) f (u)(x)
给定 x的一个值，可得 u 的值，进而确定 y 的值，
这就确定了新函数 yf(axb)，它是由 y f(u)
和u(x)axb复合而成的，我们称之为复合函
数，其中 u 是中间变量。
复合函数 y f (ax b) 的导数：
f (u) f (u)(x) af (ax b)
解：
1
令 u(x)3x1，则函数是由 f (u) u u2
与 u(x)3x1复合而成，由复合函数求导法则
可知：
(3 x 1 )f(u )(x )13 3 2u 23 x 1 例2
解：
令u(x)2x1，则函数是由 f (u) u3与 u(x)2x1复合而成，由复合函数求导法则
所以由导数的运算法则可得：
f (t) (8 t 4 ) 4 (2 t 1 )
∵ f(r) 2 r,r (t) 2
∴ f( t) 2 ( 2 t 1 ) 2 f( 2 t 1 )( t)
概括
一般地，对函数 y f(u)和 u(x)axb，
成．
复合函数的导数
新授课
例2 写出由下列函数复合而成的函数：
（1）yln u,uln x （2）ycou,u s1x2
解：（1） （2）
yln(x l)n.
yco1s(x2)
引例
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形
成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 r的函数：
Sf(r)r2
复合函数的导数
新授课
函数 y u2 ，u3x2， y(3x2)2构成间的关系？ y(3x2)2可由 y u2与 u3x2 复合得到．
例1 指出下列函数的复合关系：
（1） y(2x2)3
（2） ysinx2
（3）ycos4x
（4） y ln si3 n x 1 ( )
关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。
＊ 抽象复合函数的导数：
对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其
结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
系的求导法则。
结束
分析： 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要
弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的 关键。
（4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
(1)y (5x 2)10 (2)y e1cosx
y 50(5x 2)
y sin x e1cosx
2. 求曲线 yx(2x1)2在 x6处的切线方程。
例2 求函数 y(2x1)3的导数。 解析
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程
中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位： s）的函数为 yh(t) 100，求函数在t=3时的导数，
2t 1
并解释它的实际意义。
解：函数 yh(t) 百度文库00 是由函数 f (x) 100
注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中
阶段我们只讨论 u (x) 的ax情况b 。
推广：
复合函数 yf(x)中，令 u(x)，则
对x求导 f (x) f (u)(x) 注意：不要写成 f (x)！
对 ( x )求导
复合函数的导数
新授课 若 yu2,u3x2，f(x)(3x2)2，求 yu ,ux,f(x) 并分析三个函数解析式以及导数之间的关系．
概括
分析:
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪 个变量对哪个变量求导。
而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式 上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充 分运用复合关系的求导法则。
解：
（1）函数是由 yf(u)与 u(x)x2复合而成的，
(1)y f (x2) (2)y f (sin x)
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们 的导数如何求得？？
解析
复合函数求导法则的注意问题：
（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；
（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；
（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用；
2t 1
x
与
x(t)2t1复合而成的，其中x是中间变量。
yth(t)f(x)(t)1 x20 2 0(2t21 0 )2 0 将t=3代入 h(t)
得它：表示h(当3)t=3时240，90水（面c高m度/s）下。降的速度为 200 cm/s。 49
例4 求下列函数的导数：