第5章线性规划问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q1 工厂1 Q2 工厂2
既要满足江河的防治污染的标准，又要使两个工厂因处 理污水而花费的经费最少，试问这两个工厂需要处理的 污水单位是多少？ Q1 工厂1 工厂2 Q2
解：设x1和x2分别为第1个工厂和第2个工厂的污水处理 单位,两个工厂所要花费的污水处理费为1000x1+800x2, 使其为最小，因此目标函数为： Z=1000x1+800x2→min
C
5 B
0
5
10
15
20
x1
2 寻找最优解
① 在A、B、C、D 4个极点中选取。
边界点 A B (20,0) 20000 C (20,14) 31200 D (10,14) 21200
各点坐标 (10,8) 目标函数值 16400
②已知目标函数为： Z 1000x1 800x2
将目标函数方程转换为：
' j 1 n
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
四
线性规划问题的单纯形解法
二 图解法解线性规划问题
(一）线性规划问题的可行解与最优解
1 可行解：满足所有约束条件的决策变量的 一组值，称为线性规划问题的一个可行解。 常写成向量的形式：
并使总费S=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23的 值最小
这个问题的数学模型可表示为:
min S=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23
x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≧0(i=1,2;j=1,2,3)
第5章 线性规划方法
Linear Programming
线性规划是最优规划模型的一种，在地理 系统中，经常碰到制定最优规划方案的问 题，如：
在区域工业规划中，要谋求制定最优的工业 结构与投资规划，使工业经济发展快，效益好。 在城市规划中，要使社会、经济与环境协调 起来，使城市达到最优状态。
任何规划问题，均有两个基本部分，即 规划目标和约束条件。
这个问题的数学模型可表示为:
minS= 2x1+1.6x2
6x1+2x2 ≧ 12 2x1+2x2 ≧ 8 4x1+12x2 ≧24 x1≧0 , x2 ≧0
线性规划问题是满足下述特点的最 优决策问题：
①每个问题的决策方案可用一组变量的取值表示， 这组变量称为决策变量； ②有一定的约束条件，约束条件是决策变量的线 性等式或不等式； ③有一个可表示为决策变量的线性函数的决策目 标（称为目标函数），决策目的是使目标函数 达到最大或最小。
约束条件分析表
工 厂 排污量（单位） 排入 处理 剩余 单位污 水处理 费 河流来 河流允许 最大允许 水量m3/s 排放污染 容污量/ 物标准 单位
1
2
20
14
x1
x2
20-x1
14-x2
1000
800
Q1=5
Q1+ Q2=7
2
2
5×2=10
7×2=14
（1）对于第1个工厂来说： 20-x1≤10 （2）对于第2个工厂来说：0.8( 20-x1)+(14-x2) ≤14 （3）两个工厂处理掉的污水量既不能为负也不能超过它 们的总排放量，即 0≤ x1≤20 0≤ x2≤14
9x1+4x2≦360 4x1+5x2 ≦ 200 3x1+10x2 ≦ 300 x1≧0 , x2 ≧0
3.最小成本问题
某公司有两个服装加工厂B1，B2，生产３种型号的服装A1， A2，A3，预测市场对３种型号的服装最低需求量分别为12， 8，24（百套），两个工厂Ｂ1，B2每日产量、生产成本列于 表5.4中。问B1，B2两厂生产多少天，即满足市场的需求， 又使总成本最低？
AX b X 0
(b 0)
a1n x1 x a2 n X 2 amn xn
b1 b b 2 bm
（二）非标准形化为标准形的方法
1 将常数项都化为非负数；
设x1,x2分别为两种产品A，B的计划产量，根据 题意就是要求x1,x2的一组取值，满足约束条件： 9x1+4x2≦360 4x1+5x2 ≦ 200 3x1+10x2 ≦ 300 x1≧0 , x2 ≧0 并使总利润S= 0.7x1+1.2x2最大
这个问题的数学模型可表示为:
max S= 0.7x1+1.2x2
x1 x X 2 xn
Βιβλιοθήκη Baidu20
x1
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
三 线性规划问题的标准形式
（一）线性规划问题的标准形式 为给出线性规划问题的一般解法，首 先需要把线性规划问题多样形式的数学 模型统一为标准形式。
线性规划问题数学模型的标准形式为：
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
二 图解法解线性规划问题
(一）线性规划问题的可行解与最优解
1 可行解：满足所有约束条件的决策变量的 一组值，称为线性规划问题的一个可行解。 常写成向量的形式：
x1 x X 2 xn
max Z c j x j
j 1 n
即：
n aij x j bi (bi 0, i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, n) j
max Z CX
用矩阵的形式表示为： 其中：C c1 c2 cn
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2
若第i个约束条件右边的常数bi<0,则第i个 约束式两边乘-1.
2 化约束条件为等式
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入变量 x nk 0 , 第K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
因此这个问题的约束条件可归纳为：
20-x1≤10 0.8( 20-x1)+(14-x2) ≤14 0≤ x1≤20 0≤ x2≤14
0.8x1+x2≥16 10 ≤x1 ≤20 0 ≤x2 ≤14
1 求可行解
x2
20
0.8x1+x2≥16 10 ≤x1 ≤20 0 ≤x2 ≤14
15
10
D
可行域 A
令
k Z 800
Z 5 x2 x1 800 4
则 x2 k
5 x1 4
其中-5/4为目标函数的斜率，依此斜率可在图中画一 组平行线，在这些具有相同斜率的平行线中，居于 最低位置的目标函数所切的点即为最优解。
x2
20
15
10
x2 5 x1 4
D
可行域 A
C
5 B
0
5
10
15
规划目标即为规划方案优劣的准则； 约束条件为规划的限制条件，比如资源、资金、 技术、政策限制等； 解决问题的定量方法就是最优规划模型。
最优规划模型是系统分析和系统设计中 最 常见的一类数学模型，内容极为丰富，应 用也极为广泛。
单目标规划 ①根据规划目标的多少 多目标规划 线性规划、非线性规划 ②根据约束条件与目标函数的形式 静态规划 ③根据规划阶段 动态规划 整数规划、0-1规划
发量(吨)
23 27
17
18
15
50
表5.2 冶炼厂 采矿厂 A1 A2 B1 B2 B3 发量(吨) 23 27 50
x11 x21
17
x12 x22
18
x13 x23
15
收量(吨)
根据题意就是要求变量xij(i=1,2;j=1,2,3)的一组取值, 满足约束条件
x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≧0(i=1,2;j=1,2,3)
2.资源最优配置问题
某工厂生产两种产品A,B,生产1千克A产品需用煤9吨,电 力4千瓦,劳动力3个(以工作日计);生产1千克B产品需用 煤4吨,电力5千瓦,劳动力10个.已知生产1千克A,B产品创 造利润分别为0.7万元和1.2万元。由于条件限制，工厂 只有煤360吨，电力200千瓦，劳动力300个，如表5.3所 示。问如何安排生产，使工厂总利润最大？
表 5.1
运费(元/吨冶炼厂 ) 采矿厂
B1 50 60
B2 60 110
B3 70 160
A1 A2
设xij表示由采矿厂 Ai(i=1,2)运往冶炼厂 Bj (j=1,2,3)的矿石数量(吨),如表5.2所示.
表5.2 冶炼厂 采矿厂 A1 A2 收量(吨) B1 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23
目标函数
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
约束方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
表5.4
日产量
型号 工厂
B1
B2
需求量 12 8 24
A1 A2 A3 日成本(万元)
6 2 4
2
2 2 12
1.6
表5.4
日产量 型号 工厂
B1
B2
最低需求量
12 8 24
A1 A2 A3 日成本(万元)
6 2 4
2
2 2 12
1.6
设x1,x2为工厂B1，B2的生产天数，根据题意就是求 x1,x2的一组取值，满足约束条件： 6x1+2x2 ≧ 12 2x1+2x2 ≧ 8 4x1+12x2 ≧24 x1≧0 , x2 ≧0 并使总成本S= 2x1+1.6x2最大
表5.3
消耗定额
产品
A
资源
B （千克）
现有资源(吨) 360 200 300
煤（吨） 电力（千瓦） 劳动力（个）
9 4 3
0.7
4 5 10
1.2
利润(万元)
消耗定额 资源
产品
A
B （千克）
现有资源(吨)
煤（吨） 电力（千瓦） 劳动力（个）
利润(万元)
9 4 3
0.7
4 5 10
1.2
360 200 300
线性规划问题的一般数学模型为：
min(max) S cjxj
n j1
a
j1
n
ij
xj bi (或 bi, 或 bi) (i=1,2,…,m)
其中aij, bi,cj (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)为已知量， xj(j=1,2,…n)为决策变量，S为目标函数。
线性规划问题的特征是目标函数和约 束条件都是线性关系。
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
1.运输问题
某公司下属3个冶炼厂B1,B2,B3, 需要某种矿石原料 分别为17,18,25吨,公司从两个采矿厂A1,A2分别采得 此种矿石23,27吨,从各采矿厂到各冶炼厂的运价列 于表5.1中,问如何调运,可使总费用最小?
2 可行域 所有可行解的集合称为可行域。
3 最优解 使目标函数取最优值的可行解，称为线性 规划问题的最优解。
（二）线性规划问题的图解法
现有某一江段，沿江有两个工厂，第1个工厂每日向江中排 放污染物为20个单位，第2个工厂每日向江中排放污染物为 14个单位.每处理掉一个单位的污水处理费在第一个工厂为 1000元，第二个工厂为800元。两个工厂沿江位置如图。流 经第一个工厂的河流在经过工厂以前为未受污染的河流， 其江水流量Q1为5m3/s,在第1个工厂到第2个工厂之间又有一 小支流汇入，其流量Q2为2m3/s,也未受污染。另外，在第1 个工厂排入江中的污染物在未到第2个工厂以前由于自净作 用而自净掉20%。按国家城乡环保局的规定，这条江污染 物的允许含量为每m3不得超过2个单位。
则目标函数标准形式为：
Z c j x j c j x j o xn k
j 1 j 1 n n
松弛 变量
3 将目标函数化为求最大值 若目标函数是求最小值 令
Z ' Z
min Z c j x j
j 1 n
则目标函数变为：
max Z c j x j
既要满足江河的防治污染的标准，又要使两个工厂因处 理污水而花费的经费最少，试问这两个工厂需要处理的 污水单位是多少？ Q1 工厂1 工厂2 Q2
解：设x1和x2分别为第1个工厂和第2个工厂的污水处理 单位,两个工厂所要花费的污水处理费为1000x1+800x2, 使其为最小，因此目标函数为： Z=1000x1+800x2→min
C
5 B
0
5
10
15
20
x1
2 寻找最优解
① 在A、B、C、D 4个极点中选取。
边界点 A B (20,0) 20000 C (20,14) 31200 D (10,14) 21200
各点坐标 (10,8) 目标函数值 16400
②已知目标函数为： Z 1000x1 800x2
将目标函数方程转换为：
' j 1 n
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
四
线性规划问题的单纯形解法
二 图解法解线性规划问题
(一）线性规划问题的可行解与最优解
1 可行解：满足所有约束条件的决策变量的 一组值，称为线性规划问题的一个可行解。 常写成向量的形式：
并使总费S=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23的 值最小
这个问题的数学模型可表示为:
min S=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23
x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≧0(i=1,2;j=1,2,3)
第5章 线性规划方法
Linear Programming
线性规划是最优规划模型的一种，在地理 系统中，经常碰到制定最优规划方案的问 题，如：
在区域工业规划中，要谋求制定最优的工业 结构与投资规划，使工业经济发展快，效益好。 在城市规划中，要使社会、经济与环境协调 起来，使城市达到最优状态。
任何规划问题，均有两个基本部分，即 规划目标和约束条件。
这个问题的数学模型可表示为:
minS= 2x1+1.6x2
6x1+2x2 ≧ 12 2x1+2x2 ≧ 8 4x1+12x2 ≧24 x1≧0 , x2 ≧0
线性规划问题是满足下述特点的最 优决策问题：
①每个问题的决策方案可用一组变量的取值表示， 这组变量称为决策变量； ②有一定的约束条件，约束条件是决策变量的线 性等式或不等式； ③有一个可表示为决策变量的线性函数的决策目 标（称为目标函数），决策目的是使目标函数 达到最大或最小。
约束条件分析表
工 厂 排污量（单位） 排入 处理 剩余 单位污 水处理 费 河流来 河流允许 最大允许 水量m3/s 排放污染 容污量/ 物标准 单位
1
2
20
14
x1
x2
20-x1
14-x2
1000
800
Q1=5
Q1+ Q2=7
2
2
5×2=10
7×2=14
（1）对于第1个工厂来说： 20-x1≤10 （2）对于第2个工厂来说：0.8( 20-x1)+(14-x2) ≤14 （3）两个工厂处理掉的污水量既不能为负也不能超过它 们的总排放量，即 0≤ x1≤20 0≤ x2≤14
9x1+4x2≦360 4x1+5x2 ≦ 200 3x1+10x2 ≦ 300 x1≧0 , x2 ≧0
3.最小成本问题
某公司有两个服装加工厂B1，B2，生产３种型号的服装A1， A2，A3，预测市场对３种型号的服装最低需求量分别为12， 8，24（百套），两个工厂Ｂ1，B2每日产量、生产成本列于 表5.4中。问B1，B2两厂生产多少天，即满足市场的需求， 又使总成本最低？
AX b X 0
(b 0)
a1n x1 x a2 n X 2 amn xn
b1 b b 2 bm
（二）非标准形化为标准形的方法
1 将常数项都化为非负数；
设x1,x2分别为两种产品A，B的计划产量，根据 题意就是要求x1,x2的一组取值，满足约束条件： 9x1+4x2≦360 4x1+5x2 ≦ 200 3x1+10x2 ≦ 300 x1≧0 , x2 ≧0 并使总利润S= 0.7x1+1.2x2最大
这个问题的数学模型可表示为:
max S= 0.7x1+1.2x2
x1 x X 2 xn
Βιβλιοθήκη Baidu20
x1
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
三 线性规划问题的标准形式
（一）线性规划问题的标准形式 为给出线性规划问题的一般解法，首 先需要把线性规划问题多样形式的数学 模型统一为标准形式。
线性规划问题数学模型的标准形式为：
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
二 图解法解线性规划问题
(一）线性规划问题的可行解与最优解
1 可行解：满足所有约束条件的决策变量的 一组值，称为线性规划问题的一个可行解。 常写成向量的形式：
x1 x X 2 xn
max Z c j x j
j 1 n
即：
n aij x j bi (bi 0, i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, n) j
max Z CX
用矩阵的形式表示为： 其中：C c1 c2 cn
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2
若第i个约束条件右边的常数bi<0,则第i个 约束式两边乘-1.
2 化约束条件为等式
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入变量 x nk 0 , 第K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
因此这个问题的约束条件可归纳为：
20-x1≤10 0.8( 20-x1)+(14-x2) ≤14 0≤ x1≤20 0≤ x2≤14
0.8x1+x2≥16 10 ≤x1 ≤20 0 ≤x2 ≤14
1 求可行解
x2
20
0.8x1+x2≥16 10 ≤x1 ≤20 0 ≤x2 ≤14
15
10
D
可行域 A
令
k Z 800
Z 5 x2 x1 800 4
则 x2 k
5 x1 4
其中-5/4为目标函数的斜率，依此斜率可在图中画一 组平行线，在这些具有相同斜率的平行线中，居于 最低位置的目标函数所切的点即为最优解。
x2
20
15
10
x2 5 x1 4
D
可行域 A
C
5 B
0
5
10
15
规划目标即为规划方案优劣的准则； 约束条件为规划的限制条件，比如资源、资金、 技术、政策限制等； 解决问题的定量方法就是最优规划模型。
最优规划模型是系统分析和系统设计中 最 常见的一类数学模型，内容极为丰富，应 用也极为广泛。
单目标规划 ①根据规划目标的多少 多目标规划 线性规划、非线性规划 ②根据约束条件与目标函数的形式 静态规划 ③根据规划阶段 动态规划 整数规划、0-1规划
发量(吨)
23 27
17
18
15
50
表5.2 冶炼厂 采矿厂 A1 A2 B1 B2 B3 发量(吨) 23 27 50
x11 x21
17
x12 x22
18
x13 x23
15
收量(吨)
根据题意就是要求变量xij(i=1,2;j=1,2,3)的一组取值, 满足约束条件
x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≧0(i=1,2;j=1,2,3)
2.资源最优配置问题
某工厂生产两种产品A,B,生产1千克A产品需用煤9吨,电 力4千瓦,劳动力3个(以工作日计);生产1千克B产品需用 煤4吨,电力5千瓦,劳动力10个.已知生产1千克A,B产品创 造利润分别为0.7万元和1.2万元。由于条件限制，工厂 只有煤360吨，电力200千瓦，劳动力300个，如表5.3所 示。问如何安排生产，使工厂总利润最大？
表 5.1
运费(元/吨冶炼厂 ) 采矿厂
B1 50 60
B2 60 110
B3 70 160
A1 A2
设xij表示由采矿厂 Ai(i=1,2)运往冶炼厂 Bj (j=1,2,3)的矿石数量(吨),如表5.2所示.
表5.2 冶炼厂 采矿厂 A1 A2 收量(吨) B1 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23
目标函数
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
约束方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
表5.4
日产量
型号 工厂
B1
B2
需求量 12 8 24
A1 A2 A3 日成本(万元)
6 2 4
2
2 2 12
1.6
表5.4
日产量 型号 工厂
B1
B2
最低需求量
12 8 24
A1 A2 A3 日成本(万元)
6 2 4
2
2 2 12
1.6
设x1,x2为工厂B1，B2的生产天数，根据题意就是求 x1,x2的一组取值，满足约束条件： 6x1+2x2 ≧ 12 2x1+2x2 ≧ 8 4x1+12x2 ≧24 x1≧0 , x2 ≧0 并使总成本S= 2x1+1.6x2最大
表5.3
消耗定额
产品
A
资源
B （千克）
现有资源(吨) 360 200 300
煤（吨） 电力（千瓦） 劳动力（个）
9 4 3
0.7
4 5 10
1.2
利润(万元)
消耗定额 资源
产品
A
B （千克）
现有资源(吨)
煤（吨） 电力（千瓦） 劳动力（个）
利润(万元)
9 4 3
0.7
4 5 10
1.2
360 200 300
线性规划问题的一般数学模型为：
min(max) S cjxj
n j1
a
j1
n
ij
xj bi (或 bi, 或 bi) (i=1,2,…,m)
其中aij, bi,cj (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)为已知量， xj(j=1,2,…n)为决策变量，S为目标函数。
线性规划问题的特征是目标函数和约 束条件都是线性关系。
一 二 三 四
线性规划问题及其数学模型 图解法解线性规划问题 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的单纯形解法
1.运输问题
某公司下属3个冶炼厂B1,B2,B3, 需要某种矿石原料 分别为17,18,25吨,公司从两个采矿厂A1,A2分别采得 此种矿石23,27吨,从各采矿厂到各冶炼厂的运价列 于表5.1中,问如何调运,可使总费用最小?
2 可行域 所有可行解的集合称为可行域。
3 最优解 使目标函数取最优值的可行解，称为线性 规划问题的最优解。
（二）线性规划问题的图解法
现有某一江段，沿江有两个工厂，第1个工厂每日向江中排 放污染物为20个单位，第2个工厂每日向江中排放污染物为 14个单位.每处理掉一个单位的污水处理费在第一个工厂为 1000元，第二个工厂为800元。两个工厂沿江位置如图。流 经第一个工厂的河流在经过工厂以前为未受污染的河流， 其江水流量Q1为5m3/s,在第1个工厂到第2个工厂之间又有一 小支流汇入，其流量Q2为2m3/s,也未受污染。另外，在第1 个工厂排入江中的污染物在未到第2个工厂以前由于自净作 用而自净掉20%。按国家城乡环保局的规定，这条江污染 物的允许含量为每m3不得超过2个单位。
则目标函数标准形式为：
Z c j x j c j x j o xn k
j 1 j 1 n n
松弛 变量
3 将目标函数化为求最大值 若目标函数是求最小值 令
Z ' Z
min Z c j x j
j 1 n
则目标函数变为：
max Z c j x j