3.1_独立性检验讲

例 2. 在 500 人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们 一年中的感冒记录与另外 500 名未用血清的人的感冒记 录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防 感冒的作用？ 未感冒 感冒 合计
使用血清 未使用血清
合计
258 216
474
242 284
526
2
500 500
1000
解（设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。）
患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 合计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 合计 205 134 339
上面表格称为2×2列联表
这一检验问题称为2×2列联表的独立性检验
• 为了把问题讨论清楚，并便于向一般情况 推广，我们用字母来代替2×2列联表中的 事件和数据，得到一张用字母来表示的 2×2列联表：
2
合计 98 95 193
解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。
2
19358 31 64 40 1.3896 ＜2.072 122 71 98 95 因当H0成立时，χ2≥1.3896的概率大于15%，故不能否定假设 H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。
例5
• 一台机器生产的零件长度服从正态分布 N(5.74,0.082)（单位mm），为了检验机器 是否处于正常工作状态，每隔一小时抽取 一个零件，测量其长度，某天检查的头5个 零件长度如下：5.91 5.83 5.71 5.75 5.45 试判断该机器是否处于正常工作状态
• 第5个零件的尺寸落在控制下限以下，表明 小概率事件竟然发生了，根据实际推断原 理，我们有理由怀疑此时机器还在正常生 产。比如，可能原料有问题，可能操作有 误，可能机器出故障……此时可以停机检 修和调整，以免产生大量不合格产品 • 假定5个零件的尺寸都落在控制上限与控制 下限之间，则表明机器处于正常工作状态， 可以继续生产下去
1、经过对X2统计量分布的研究，已经的到了 两个临界值：3.814,6.635。下列说法正确的 是（ D ） A、当根据具体的数据算出的X2<3.814时， 有百分之95的把握说事件A与B有关 B、有X2<6.635时，有百分之99的把握说 事件A与B有关 C、当X2》3.814时，认为事件A与B无关 D、当X2《3.814时，认为事件A与B无关
• 例1的解答： 由 2的计算公式可知，
2 2
339 43 121 162 13 7.469， 205 134 56 283 因为7.469 6.635, 所以我们有99%的 把握说： 50岁以上的人患慢性气管炎 与吸烟习惯有关 • 注意： • 50岁以上吸烟的人一定患慢性气管炎吗？ • 是不是表示得病概率是百分之九十九？
例6
• 据调查，某地市场上的假冒品牌香烟占15 ％，某商家声称他商店里卖的香烟全是真 货，一顾客决定在他的商店里随机挑选20 包烟，若没有买到一包假烟，就相信商家 的说法。试分析该顾客的做法是否合理
• （1）作统计假设：商店里有假烟 • （2）在上述假设成立的条件下，计算该顾 客买到全部真烟的概率 • 0.039 • （3）我们以概率0.961认为商店里没有假 烟 • 当然，如果顾客买的烟中发现有假烟，自 然就认为假设成立，即商店里有假烟
简 单 随 机 抽 样
分 层 抽 样
系 统 抽 样
用样本 的频率 分布估 计总体 分布
用样本数字 特征估计总 体数字特征 （平均值、 方差）
线 性 回 归 分 析
1000 258 284 242 216 2 7.075 6.635 474 526 500 500 （因当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，）故有99%的把 握认为该血清能起到预防感冒的作用。
例3.在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客 在飞机上晕机的情况如下表所示 , 据此资料你是 否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机
晕机 男性 女性 24 8 不晕机 31 26 合计 55 34
合计
32
57
89
例4.睡觉时“打呼噜”不仅影响别人休息，而且 可能与患某种疾病有关。下表是一次调查所得的 数据，试问：每晚都“打呼噜”与患心脏病有管 吗？
患心脏病 30 24 54 未患心脏病 224 1355 1579 合计 254 1379 1633 每晚都打呼噜 不打呼噜 合计
4：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果 P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 （有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查， x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数 据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？ 口服 注射 合计 有效 58 64 122 无效 40 31 71
2、如果根据性别与饮酒的联表，得到X2约为 3.852，那么判断性别与饮酒有关时这种判断 出错的可能性是（ C ） A、20％ B、10 ％
C、 5 ％
D、 1 ％
3、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集 数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关” 的结论，并且在推断结论为错误的可能性为 0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列 说法中正确的是（ D ） A、100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B、1个人吸烟，那么这个人有99％的概率
• 对于例1，最理想的解决办法是向所有50岁 以上的人做调查，然后对得到的数据进行 统计处理，但这花费的代价太大，实际上 是行不通的 • 339个人相对于全体50岁以上的人，只是一 个小部分 • 现在我们用部分对全体作推断，推断可能 正确，也可能错误 • 我们有95％的把握说事件A与B有关，是指 推断犯错误的可能性为5％，这也常常说成 是“以95％的概率”，其含义是一样的
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吃含三聚氰胺的三 鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系时，我们说某一个婴幼儿 吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉，那么他有99%的可能患 肾结石病; C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吃含三聚氰胺的 三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，是指有5% 的可能性 使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确。
n1 n1 n12 n1 n2 n11 或者说， － － , , n n n n n n n2 n1 n22 n2 n2 n21 － － , 应该 n n n n n n 比较小，
n1 n1 n11 － n n n 从而 n1 n1 n n n2 n1 n21 － n n n n2 n1 n n 也应该比较小
2 2
2
2
2
2
n1 n2 n12 － n n n n1 n2 n n
5：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员 P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？
第三章 统计案例
3.1 独立性检验
有人对一个老年烟民 劝到：“你快戒烟吧， 否则一定会患慢性气 管炎的。”
这是真的吗？ 他的话有没有道理？
老年人患慢性气管炎与吸烟习惯有没有关系？
• 为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关， 例1 调查了339名50岁以上的人，调查结果如下 表所示，试问：50岁以上的人患慢性气管 炎与吸烟习惯有关吗？
患有肺癌 C、在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D、在100个吸烟者中可能一个换肺癌的人也没有
4．对长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石 这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（C ）
A. 若K 2 的值大于 6.635,我们有99%的把握认为长 期吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关 系，那么在100个长期吃含三聚氰胺的三鹿奶粉的 婴幼儿中必有99人患有肾结石病;
思考
• 在本题的情况下，另一顾客决定，在商店 里随机购买18包烟进行检查，就可以作出 推断：商店里没有假烟。试分析他的做法 是否合理？ • 0.054 0.946 • 假设检验是拿局部的情况来推断全体的情 况，这就可能犯错误 • 显然检查得越多，犯错误的概率就越小 • 实际推断原理关于小概率的值没有统一界 定
复方江剪刀草 胆黄片 合计
有效 184 91 275
无效 61 9 70
2
合计 245 100 345
解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。
345184 9 61 91 2 11.098 275 70 245 100
因当H0成立时，χ2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握 认为，两种药物的疗效有差异。
2
2
n2 n2 n22 － n n n n2 n2 n n
1
• （2）上面的表达式(1)就是统计中非常有用 的卡方统计量，它可以化简为 2 n n11n22 n12 n21 2 2 n1 n2 n1n2 • 用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假 设 H0 • 如果算出的卡方值较大，就拒绝H0，也就是 拒绝“事件A与B无关”，从而就认为它们是 有关的了
反证法原理与假设检验原理 反证法原理：
在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。