自动控制系统 线性与非线性的判断

自动控制原理教学探讨——叠加原理与线性系统的
判别问题
四川大学电气信息学院自动化系 赵耀
2014年9月
问题：初始状态不为零的标准线性系统是否满足叠加原理？
例：RC 电路，输入为)t (u i ，输出为)t (u o
dt )
t (du C i )
t (u Ri )t (u o i 0 =+= )t (u )t (u dt
)t (du RC
i o =+∴0 属于标准的线性系统，应当满足叠加原理。

设1=RC ，输出)t (u o 的初值为)(u o 0，输入)t (u i 为阶跃信号，其幅值为A ，则输出响应为
)e (A e )(u )t (u t t o o ---+=10
上式的第一项对应由初始状态引起的零输入响应，第二项对应由输入信号引起的零状态响应。

显然，由于零输入响应项的存在，若输入)t (u i 的幅值增大一倍，对应的输出只是零状态响应部分增大一倍，不会整体增大一倍，即整体并不满足叠加原理的均匀性；同样道理，整体看，把2个输入分别作用产生的响应叠加起来并不等于2个输入同时作用产生的响应，即不满足叠加原理的叠加性，只有零状态响应部分满足叠加性。

表面上看，似乎系统不满足叠加原理。

对于该问题，应当怎么看？
实际上，零输入响应对应的方程为
0 0=+)t (u dt )t (du RC o
即相当于输入0=)t (u i 时的响应，所以应当把系统总的响应看作两部分响应的叠加，即0=)t (u i 所对应的零输入响应加上0≠)t (u i 所对应的零状态响应。

这样看，系统就完全满足叠加原理了。

上述分析说明，叠加原理所讲的某个输入产生某个响应，指的是该响应完全由该输入引
起（即系统属于因果系统），即不施加该输入的情况下就不应当有输出，其他因素引起的任何响应都不应当考虑进来。

因此，使用叠加原理时，首先应当把每一种输入和输出的对应关系划分清楚。

再看一个例子，设系统的数学描述为 5+=u y ，式中u 和y 分别为系统输入和输出。

显然，该系统不满足叠加原理，似乎应当是非线性系统，但该系统在本质上仍然属于线性系统，和u y =所代表的系统没有本质区别。

这种情况下又应当如何看待不满足叠加原理这一问题呢？
对于该例，一种思路是可以认为该系统相当于初始值不为零的线性系统，即不加输入时系统的初始值为5。

也就是说，输入01=u 对应输出51=y ，输入02≠u 对应输出22u y =，则输入为21ku u u +=时，对应的输出为21ky y y +=，满足叠加原理。

另一种思路是进行线性变换，令51-=y y （相当于坐标平移）， 则u y =1， 为线性系统，满足叠加原理。

对于很多实际系统往往也是这样处理的，例如分析和设计温度控制系统时，由于不施加控制时系统的温度有一个初值（常温），所以系统的输出量一般并不是选取实际温度值，而是实际温度值减去温度初值，控制作用改变对应该温度差值的变化。

这样对应输入与输出，就可以把系统近似地看作线性系统了。