图像处理课件05频域变换.ppt
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图像频域分析PPT课件
5、iffshift用于颠倒这种居中。 6、ifft2（F）用于计算傅里叶逆变换。
>> f=imread('Fig0403(a)(image).tif'); >> imshow(f) >> F=fft2(f); >> S=abs(F); >> imshow(S,[]) >> Fc=fftshift(F); >> imshow(abs(Fc),[]) >> S2=log(1+abs(Fc)); >> imshow(S2,[])
F=fft2（f，PQ（1），PQ(2)）; 3、生成一个大小为PQ（1）*PQ(2)的滤波函数H; 4、将变换乘以滤波函数：
G=H.*F; 5、获得G的傅里叶逆变换的实部：
g=real（ifft2（G））； 6、将左上角的矩形修剪为原始大小:
g=g(1:size(f,1):size(f,1))
4、4 从空间滤波器获得频域滤波器
4、6 锐化频域滤波器
基本的高通滤波器 Hhp（u，v)=1- Hhp（u，v)=
例：高通滤波 f=imread('Fig0413(a)(original_test_pattern).tif'); imshow(f) PQ=paddedsize(size(f)); D0=0.05*PQ(1); H=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0); g=dftfilt(f,H); figure,imshow(g,[])
Magnitude
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
0.5
0 -0.5
Fy
数字图像处理课件ppt
06 数字图像处理的应用案例
人脸识别系统
总结词
人脸识别系统是数字图像处理技术的重要应 用之一，它利用计算机视觉和图像处理技术 识别人的面部特征，实现身份认证和安全监 控等功能。
详细描述
人脸识别系统通过采集输入的人脸图像，提 取出面部的各种特征，如眼睛、鼻子、嘴巴 等部位的形状、大小、位置等信息，并与预 先存储的人脸特征进行比对，从而判断出人 的身份。该系统广泛应用于门禁系统、安全
分类器设计
总结词
分类器设计是图像识别技术的核心，它通过训练分类器，使其能够根据提取的特征对图 像进行分类和识别。
详细描述
分类器设计通常采用机器学习算法，如支持向量机、神经网络和决策树等。这些算法通 过训练数据集进行学习，并生成分类器模型，用于对新的未知图像进行分类和识别。
模式识别
总结词
模式识别是图像识别技术的最终目标，它通 过分类器对提取的特征进行分类和识别，实 现对图像的智能理解和处理。
源调查和环境监测。
计算机视觉
为机器人和自动化系统提供视 觉感知能力，用于工业自动化
、自主导航等。
数字图像处理的基本流程
特征提取
从图像中提取感兴趣的区域、 边缘、纹理等特征，为后续分 类或识别提供依据。
图像表示与压缩
将图像转换为易于处理和分析 的表示形式，同时进行数据压 缩，减少存储和传输成本。
预处理
详细描述
模式识别在许多领域都有广泛应用，如人脸 识别、物体识别、车牌识别等。通过模式识 别技术，可以实现自动化监控、智能安防、 智能驾驶等应用。随着深度学习技术的发展 ，模式识别的准确率和鲁棒性得到了显著提 高。
05 数字图像处理中的常用算 法
傅里叶变换算法
傅里叶变换
频域处理-数字图像处理
图5 7 DFT和 DCT的频谱分布
频域处理
5.5 频域中图像处理的实现
5.5.1 理解数字图像的频谱图 数字图像平移后的频谱中,图像的能量将集中到频谱中
心(低频成分),图像上的边缘、线条细节信息(高频成分)将分 散在图像频谱的边缘。也就是说,频谱中低频成分代表了图 像的概貌,高频成分代表了图像中的细节。
频域处理
H(u,v)称作滤波器,它具有允许某些频率成分通过,而阻 止其他频率成分通过的特性。该处理过程可表示为
H 和G 的相乘是在二维上定义的。即,H 的第1个元素乘 以F 的第1个元素,H 的第2个元素乘以F 的第2个元素,以此类 推。滤波后的图像可以由IDFT 得到:
频域处理 图5 9给出了频域中图像处理的基本步骤。
频域处理
图5 10 基本滤波器的频率响应
频域处理
图5 11分别为采用D0=10、D0=30、D0=60、D0=160进行 理想低通滤波的结果。图5 11(c)存在严重的模糊现象,表明 图像中多数细节信息包含在被滤除掉的频率成分之中。随着 滤波半径的增加,滤除的能量越来越少,图5 11(d)到图5 11(f) 中的模糊现象也就越来越轻。当被滤除的高频成分减少时, 图像质量会逐渐变好,但其平滑作用也将减弱。
式中:u 取0,1,2,…,M -1;v 取0,1,2,…,N-1。
频域处理 对二维离散傅里叶变换,则有:
图像处理实践中,除了 DFT 变换之外,还可采用离散余弦 变换等其他正交变换。
频域处理
5.4 离散余弦变换(DCT)
离散余弦变换(DiscreteCosineTransform,DCT)的变换核 为余弦函数,因其变换核为实数,所以,DCT 计算速度比变换核 为复数的 DFT 要快得多。DCT 除了具有一般的正交变换性 质外,它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号、图 像信号的相关特征。因此,在对语音信号、图像信号的变换 中,DCT 变换被认为是一种准最佳变换。
频域处理
5.5 频域中图像处理的实现
5.5.1 理解数字图像的频谱图 数字图像平移后的频谱中,图像的能量将集中到频谱中
心(低频成分),图像上的边缘、线条细节信息(高频成分)将分 散在图像频谱的边缘。也就是说,频谱中低频成分代表了图 像的概貌,高频成分代表了图像中的细节。
频域处理
H(u,v)称作滤波器,它具有允许某些频率成分通过,而阻 止其他频率成分通过的特性。该处理过程可表示为
H 和G 的相乘是在二维上定义的。即,H 的第1个元素乘 以F 的第1个元素,H 的第2个元素乘以F 的第2个元素,以此类 推。滤波后的图像可以由IDFT 得到:
频域处理 图5 9给出了频域中图像处理的基本步骤。
频域处理
图5 10 基本滤波器的频率响应
频域处理
图5 11分别为采用D0=10、D0=30、D0=60、D0=160进行 理想低通滤波的结果。图5 11(c)存在严重的模糊现象,表明 图像中多数细节信息包含在被滤除掉的频率成分之中。随着 滤波半径的增加,滤除的能量越来越少,图5 11(d)到图5 11(f) 中的模糊现象也就越来越轻。当被滤除的高频成分减少时, 图像质量会逐渐变好,但其平滑作用也将减弱。
式中:u 取0,1,2,…,M -1;v 取0,1,2,…,N-1。
频域处理 对二维离散傅里叶变换,则有:
图像处理实践中,除了 DFT 变换之外,还可采用离散余弦 变换等其他正交变换。
频域处理
5.4 离散余弦变换(DCT)
离散余弦变换(DiscreteCosineTransform,DCT)的变换核 为余弦函数,因其变换核为实数,所以,DCT 计算速度比变换核 为复数的 DFT 要快得多。DCT 除了具有一般的正交变换性 质外,它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号、图 像信号的相关特征。因此,在对语音信号、图像信号的变换 中,DCT 变换被认为是一种准最佳变换。
《图像频域分析》课件
图像离散傅里叶变换
1
图像的频率表示
将图像转换到傅里叶频域，使用矩形表示图像的幅度谱，颜色越深表示幅值越大。
2
图像离散傅里叶变换的原理
通过将空间域图像转换为频率域的方法，进行图像处理。
3
图像频域滤波
用于去除图像中的噪声，提高图像的质量和清晰度。
小波变换和小波分析
小波变换的概念
一种对信号的局部分析方 法，能够提供信号的时间 和频率分辨率，对非平稳 信号有很好的处理效果。
包括进一步提高精度和准确性，加速计算速度，并将频域分析应用于实际场景中。
参考文献
• 华伟，林旭，李雨松. 图像处理[M]. 清华大学出版社, 2002. • 唐业光,刘红岩.数字图像处理及MATLAB实现[M]. 清华大学出版社, 2009. • 岑凯利,李兆洪.高清数字图像处理[M]. 电子工业出版社, 2018.
《图像频域分析》PPT课 件
图像频域分析是一种对数字图像进行分析和处理的方法，通过变换图像的表 示方法，使得在一些应用中更容易描述和处理。
介绍
频域分析是什么
频域分析是将信号或数据在频域上进行变换，以便更好地理解其特征。
频域分析的作用
频域分析可以用于改善图像的清晰度、对比度和边缘处理，从而实现数字图像的改进。
图像频域分析的意义
图像频域分析在图像处理、模式识别、图像压缩和通信等领域中有着广泛的应用和意义。
傅立叶变换
离散傅立叶变速傅立叶变换（FFT）
将一个长度为n的序列变换成 一组长度为n/2，处理速度比 DFT更快。
傅立叶变换的应用
用于声音、图像、信号的分析 和处理。
小波变换的基本原理
通过对信号进行分解和重 构的方法，寻找其中的与 不同尺度有关的特征。
数字图像处理_图像的频域变换处理
图像的频域变换处理1 实验目的 1. 掌握Fourier ，DCT 和Radon 变换与反变换的原理及算法实现，并初步理解Fourier 、Radon和DCT 变换的物理意义。
2、 利用傅里叶变换、离散余弦变换等处理图像，理解图像变换系数的特点。
3、 掌握图像的频谱分析方法。
4、 掌握图像频域压缩的方法。
5、 掌握二维数字滤波器处理图像的方法。
2 实验原理1、傅里叶变换 fft2函数：F=fft2(A);fftshift 函数：F1=fftshift(F);ifft2函数：M=ifft2(F);2、离散余弦变换：dct2函数 ：F=dct2(f2)；idct2函数：M=idct2(F)；3、 小波变换对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT 变换， 将图像信息分解为高频成分H 、V 和D 和低频成分A 。
对低频部分A ，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法， 如Huffman 、 DPCM 等；对H 、V 和D 部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。
（1）dwt2[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,LO_D,HI_D’)()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ψ=dt a b t t Rf a 1b ,a W *()⎪⎭⎫ ⎝⎛-ψ=ψa b t a 1t b ,a 112()00(,)[(,)](,)ux vy M N j M N x y f x y eF f x y F u v π---+====∑∑1100(21)(21)(,)(,)()()cos cos 22M N x y x u y v F u v f x y C u C v M Nππ--==++=∑∑CA 图像分解的近似分量,CH 水平分量,CV 垂直分量,CD 细节分量； dwt2(X,’wname ’) 使用小波基wname 对X 进行小波分解。
实验五--图像频域变换
实验五图像频域变换一、实验目的1.了解傅里叶变换在图像处理中的应用2.利用Matlab语言编程实现图像的频域变换。
二、实验内容1. 打开并显示一幅图像，对其进行Fourier变换，观察其频谱图像。
2. 用两种方法将图像的频域中心移动到图像中心，然后观察其Fourier变换后的频谱图像。
（见Fourier变换的性质：f(x,y) (-1)x+y F(u-N/2,v-N/2)）对图像的Fourier变换频谱进行滤波，如：将频谱超过某个给定的值（均值或2/3均值）的变换值变为0，然后再求其Fourier逆变换，比较所得图像与原图像的差别。
3.对图像进行离散余弦变换，并观察其变换域图像。
要求：用Matlab语言进行编程实现上述功能，同时也应该熟悉用Matlab中现有的函数来实现。
傅里叶变换A)傅里叶变换基本操作I = imread(你的图像);imshow(I);title('源图像');J = fft2(I);figure, imshow(J);title('傅里叶变换');%频移JSh = fftshift(J);figure, imshow(JSh);title('傅里叶变换频移');%直接傅里叶反变换Ji = ifft2(J);figure, imshow(Ji/256);title('直接傅里叶反变换');%幅度JA = abs(J);iJA = ifft2(JA);figure, imshow(iJA/256);title('幅度傅里叶反变换');%相位JP = angle(J);iJP = ifft2(JP);figure, imshow(abs(iJP)*100);title('相位傅里叶反变换');B)利用MATLAB软件实现数字图像傅里叶变换的程序I=imread(‘原图像名.gif’); %读入原图像文件imshow(I); %显示原图像fftI=fft2(I); %二维离散傅里叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅里叶变换的实部II=imag(sfftI); %取傅里叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225;%归一化figure; %设定窗口imshow(A); %显示原图像的频谱C)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅里叶函数可视化。
数字图像处理(冈萨雷斯)课件5-频域增强
滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小 的滤波器模板
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域 使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导
频率域滤波
高斯频率域低通滤波器函数
H u Ae
u 2 / 2 2
对应空间域高斯低通滤波器为 h x 2 Ae 2 x
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
半径是5的理想低通滤 原图 波,滤除8%的总功率， 模糊说明多数尖锐细 节在这8%的功率之内
半径是15的理想低通 滤波,滤除5.4%的总 功率
半径是30的理想低通滤 波,滤除3.6%的总功率
半径是230的理想低通 滤波,滤除0.5%的总功 半径是80的理想低通 滤波,滤除2%的总功率 率，与原图接近说明 边缘信息在0.5%以上 的功率中
2 2
1 2
频率域图像增强
理想低通滤波器
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
频率域图像增强
理想低通滤波器
总图像功率值PT
P T Pu, v
u0 v0
M 1 N 1
Pu, v F u, v Ru, v I u, v
说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的 乘法
频率域滤波
定义：在(x0,y0)，强度为A的冲激函数表示为
Axx0, y y0 ,定义为
M 1 N 1 x0 y 0
sx, yA x x , y y Asx , y
数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT
F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率 成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进 行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱
Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原 图的二维傅里叶变换频域图， 第四列为第二列图像的二维傅里叶变换 频域图。 可以看见在 lines-f， 也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中， 存在明 显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图 本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的 像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数 的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中 看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什 么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直 的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的 后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做 赘述。 首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对 原图进行傅里叶二维变换。 这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法， 其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行 了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换 （没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y） 后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变 换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。 代码如下：
第4章-频域变换20161013
6
The Big Idea (cont…)
Taken from www.tfh-berlin.de/~schwenk/hobby/fourier/Welcome.html
Notice how we get closer and closer to the original function as we add more and more frequencies
O
x
的傅里
43
离散傅里叶变换的投影定理
s
y
P ® (f)
v
pa (t)
f (x;y) , F (u;v)
B
v
傅里叶变换具有共轭对称性：
D
0
S1
C0
式中， 表示复数的共轭。 傅里叶谱是关于原点对称的：
M =2
M ¡ 1
SS 3
D
3
S2
C
u
共轭对称性和周期性示意图
20
DFT的频谱分布与统计特性
一幅图像的傅里叶谱关于原点对称，低频成分反映在傅 立叶谱的4个角部分，且由于图像的能量主要集中于低频 成分，因此，4个角部分的幅度较大。 为了便于观察频谱分布以及进行频域滤波等频域处理与 分析，必须对频谱进行中心移位变换，将直流成分移动 到频谱 的中心 。
25
DFT的幅频特性和相频特性
方形仪表指针图像
圆形仪表指针图像
突出频率特征的傅里叶谱
26
DFT的幅频特性和相频特性
离散傅里叶变换是频域滤波的基础。允许低频成分通过 而限制高频成分通过的滤波器称为低通滤波器，具有相 反特性的滤波器称为高通滤波器。 低通滤波器的作用是滤除图像中的边缘和细节，平滑和 模糊图像；而高通滤波器滤除整体灰度水平，突出灰度 的变化。
频率域图像处理
利用神经网络算法，根据提取的 频谱特征进行分类，实现图像识 别。
基于频谱的图像识别算法
基于频谱的特征匹配算法
基于频谱的聚类算法
通过将待识别图像的频谱与已知频谱 库进行匹配，实现图像识别。
通过将待识别图像的频谱特征进行聚 类分析，实现图像识别。
基于频谱的分类算法
通过将待识别图像的频谱特征输入到 分类器中进行分类，实现图像识别。
在频率域中，图像的频 率特征可以被提取和操 作，从而实现图像增强 、噪声去除、特征提取 等任务。
傅立叶变换通过将图像 表示为一系列不同频率 的正弦和余弦函数的和 ，将图像的时域信息转 换为频域信息。
在频域中，可以使用各 种滤波器对图像进行滤 波处理，以实现图像的 平滑、锐化、边缘检测 等效果。
频谱分析
04
频率域图像压缩
离散余弦变换（DCT）
总结词
离散余弦变换是一种将图像从空间域转换到频率域的算法，广泛应用于图像压缩 领域。
详细描述
通过将图像的像素值进行余弦函数变换，将图像数据从空间域转换到频率域。在 频率域中，图像的能量主要集中在少数几个变换系数上，这些系数代表了图像的 主要特征。通过去除低频系数并量化高频系数，可以实现图像的压缩。
滤波器设计
滤波器是频率域图像处理中的重要工 具，它可以用于提取或抑制图像中的 特定频率分量。
滤波器的设计可以通过傅立叶变换和 频谱分析等方法来实现，常用的滤波 器包括低通滤波器、高通滤波器、带 通滤波器和陷波滤波器等。
滤波器设计是频率域图像处理中的一 个关键步骤，需要根据具体的应用需 求和图像特征来设计合适的滤波器。
小波变换
总结词
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于图像压缩领域。
详细描述
基于频谱的图像识别算法
基于频谱的特征匹配算法
基于频谱的聚类算法
通过将待识别图像的频谱与已知频谱 库进行匹配，实现图像识别。
通过将待识别图像的频谱特征进行聚 类分析，实现图像识别。
基于频谱的分类算法
通过将待识别图像的频谱特征输入到 分类器中进行分类，实现图像识别。
在频率域中，图像的频 率特征可以被提取和操 作，从而实现图像增强 、噪声去除、特征提取 等任务。
傅立叶变换通过将图像 表示为一系列不同频率 的正弦和余弦函数的和 ，将图像的时域信息转 换为频域信息。
在频域中，可以使用各 种滤波器对图像进行滤 波处理，以实现图像的 平滑、锐化、边缘检测 等效果。
频谱分析
04
频率域图像压缩
离散余弦变换（DCT）
总结词
离散余弦变换是一种将图像从空间域转换到频率域的算法，广泛应用于图像压缩 领域。
详细描述
通过将图像的像素值进行余弦函数变换，将图像数据从空间域转换到频率域。在 频率域中，图像的能量主要集中在少数几个变换系数上，这些系数代表了图像的 主要特征。通过去除低频系数并量化高频系数，可以实现图像的压缩。
滤波器设计
滤波器是频率域图像处理中的重要工 具，它可以用于提取或抑制图像中的 特定频率分量。
滤波器的设计可以通过傅立叶变换和 频谱分析等方法来实现，常用的滤波 器包括低通滤波器、高通滤波器、带 通滤波器和陷波滤波器等。
滤波器设计是频率域图像处理中的一 个关键步骤，需要根据具体的应用需 求和图像特征来设计合适的滤波器。
小波变换
总结词
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于图像压缩领域。
详细描述
数字图像处理技术PPT图像几何频域变换
1、图像的位置变换
三、图像的旋转
x' x cos y sin y' xsin y cos
30
x' 0.866x 0.5y
y'
0.5x
0.866y
x'min 0.866 0.5*3 0.634
x'max 0.866 *3 0.5 2.098
wN M
wN
wNM
wN
exp(
j
2M N
)
wN exp( j ) wN
F( M )
1 2
Fe () wN Fo ()
2、快速Fourier变换（FFT）
二、FFT的设计思想是:
首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通 过不断的一个奇数一个偶数的相加（减）， 最终得到需要的结果。
1 2
F (0) (3)
w83F (1) (3)
3、二维Fourier变换的应用
1.Fourier变换在图像滤波中的应用
首先，我们来看Fourier变换后的图像， 中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。
因此，我们可以在Fourier变换图中，选 择所需要的高频或是低频滤波。
3、二维Fourier变换的应用
0 0
其中：
1 c(x) 2
1
x0
x 1,2,...,N 1
图象变换
主要内容： 图像的几何变换 图像的频域变换
一、图像的几何变换
我们知道，图像是对三维实际景物 的平面投影。为了观测需要，常常需要 进行各种不同的几何变换。注意一点， 实际上几何变换不改变像素值，而是改 变像素所在的位置。
数字图像处理——图像频域变换
图像频域变换_离散余弦变换
离散余弦变换的频谱分布
程序：DCTFFT.m DCTspectrum.m
离散余弦变换之后的图像左上角对应于频谱的低频成分，最亮。
图像频域变换_离散余弦变换
离散余弦变换总结
（1）离散余弦变换相对于傅立叶变换而言，只有实数运算，没有复数运算，计 算量大大降低。 （2）离散余弦变换是可分离的变换，其变换核为余弦函数，且正反变换核相同。
u 0 v 0 M 1 N 1
2 x 1 u cos 2 y 1 v
2M 2N 2M 2N
2 x 1 u cos 2 y 1 v
式中：
u, x 0,1, 2, v, y 0,1, 2,
1 M a u 2 M
根据二维离散余弦变换核可以分离性，一般将二维DCT变换可以分成两个一维 DCT变换来完成：
f x, y F行 f x, y F x, v
T T T 转置 F x, v F列 f x, v F u, v 转置 F u, v
f t e j2t dt
j2 t
f t t k T e
dt
f t t k T e j2t dt
f k T e j2 k T
周期为 1 T
图像频域变换_傅里叶变换
f t e j t dt
o
t
F
1
t e j t dt f 0 1
单位冲激串
-
o
sT
sT t
数字图像的频域变换
18fourier变换4fourier变换示例matlab实现将频谱图的低频部分移将频谱图的低频部分移将频谱图的低频部分移将频谱图的低频部分移动到图像中心动到图像中心动到图像中心动到图像中心原始图像原始图像原始图像原始图像19fourier变换的性质1平移不变性在空域中图像原点平移到x0y0时其对应的频谱fuv要乘上一个负的指数项当空域中fxy产生移动时在频域中只发生相移而fourier变换的幅值不变vyuxvyux20fourier变换的性质2旋转不变性如果引入极坐标sincossincos21fourier变换的性质3旋转不变性空间域函数空间域函数空间域函数空间域函数fxyfxy旋转旋转旋转旋转角度后角度后角度后角度后相应的相应的相应的相应的fourierfourierfourierfourier变换变换变换变换在频域中也旋转同一在频域中也旋转同一在频域中也旋转同一在频域中也旋转同一反之反之反之反之fuv在频域中在频域中在频域中在频域中旋转旋转旋转旋转其反变换其反变换其反变换fxy在空间域中也旋转在空间域中也旋转在空间域中也旋转在空间域中也旋转22fourier变换的性质4卷积定理设f和g的fourier变换结果分别为f和g23fourier变换的性质5空间域的卷积可以通过空间域的卷积可以通过空间域的卷积可以通过空间域的卷积可以通过fourier频率域的乘积实现频率域的乘积实现频率域的乘积实现频率域的乘积实现从而降低计算的复杂度从而降低计算的复杂度从而降低计算的复杂度从而降低计算的复杂度提高效率提高效率提高效率提高效率fourier变换变换变换变换有快速算法有快速算法有快速算法有快速算法24离散余弦变换1离散余弦变换discretecosinetransform简称dct是fourier变换的一种特殊情况其变换核是为实数的余弦函数因而dct的计算速度比dft快得多dct计算复杂性适中又具有可分离特性还有快速算法所以被广泛地用在图象数据压缩编码算法中如jpegmpeg1mpeg2及h261等压缩编码国际标准都采用了离散余弦变换编码算法25离散余弦变换226离散余弦变换3原始图像原始图像原始图像原始图像dct频谱图频谱图频谱图频谱图dct变换频域图上的每个点和空间域的原始图变换频域图上的每个点和空间域的原始图变换频域图上的每个点和空间域的原始图变换频域图上的每个点和空间域的原始图像的每个象素点具有一一对应关系吗像
图像处理课件05频域变换.ppt
连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子 ，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱 。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（ 正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。
傅里叶变换在数学中的定义是： 如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位：
(u) arctan(I (u) / R(u))
能量：
E(u) R 2 (u) I 2 (u）
离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离 散傅里叶变换定义为:
: F (u,v)
N 1
:
F (u)
1 N
f (x)e j2ux / N
x0
u 0,1,2,N 1。
F(u)一维的离散傅里叶反变换为：
1 :
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N u0
傅里叶变换F(u)复数形式：
F(u)的实部为R(u)，虚部为I (u) F(u) R(u) jI(u)
的幅值最大。 对（c）傅里叶变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当
长方形旋转了 45o 时，频谱也跟着旋转 45o，此实例验证了傅 里叶变换的旋转性。
二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图
对中心为一小正方形和斜长方形求其傅里叶变换的谱分布
（a）正方形原图 （b）正方形的谱分布（c）长方形的原始图像（d）长方形的谱分布
傅里叶变换谱分布实例
左边均为原始图像，右边分别是他们变换后的谱分布。 图（a）是中心为一小正方形，周边为空； 图(c)是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最亮区域表示其变换后
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◦ 在图像领域就是将图像亮度（灰度值）作为正弦变量。 ◦ 如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频
率f、幅值A、相位γ 这三个value可以描述正弦图像中的 所有信息。
（1）频率（frequency）
◦ 频率在空间域上表现为亮度的变化快慢 ◦ 例如：左图的频率比右图的frequency低
（2）幅值（magnitude）
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位：
(u) arctan(I (u) / R(u))
能量：
E(u) R 2 (u) I 2 (u）
离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离 散傅里叶变换定义为:
: F (u,v)
1
vy) / N
N x0 y0
u 0,1,2,N 1 v 0,1,2,N 1。
二维离散傅里叶的反变换定义为：
1 :
f (x, y)
1
N 1 N 1
F (u, v)e j2 (uxvn) / N
N u0 v0
u、v是频率变量
x 0,1,2,N 1 y 0,1,2,N 1。
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
函数的时域表示
正弦波的时域叠加示意图
频域：
频域也称为频率域，是描述信号的频率结构及频率与 该频率信号幅度的关系。自变量是频率,即横轴是频率,纵 轴是该频率信号的幅度 。
波形的时域表示
波形的幅频表示
正弦波的时域叠加示意图
(a)幅频特性
里叶变换及反变换：
：Ff (x, y) F(u,v) f (x, y)exp j2 (uxvy) dxdy -1：F 1 f (u,v) f (x, y) F(u,v)exp j2 (uxvy) dudv
式中u 、v 是表示频率的变量，与一维的意义类似。
函数f (x)的一维离散傅里叶变换定义如下：
点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积，则f (x)定义的傅 里叶变换公式为
：F (u) f (x)e j2uxdx
其中 j 2 1 ，u 是表示频率的变量。
由于欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系起来：
e j cos j sin
傅里叶变换定义可以写成：
F (u) f (x)[cos(2ux) j sin(2ux)]dx
（a）
（b）
图（a）在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个
尺寸为 20 × 40的白色矩形的图像，
（b）应用了频率谱，变换后显示的中心傅里叶谱
（a）原始图像
（b）离散傅里叶频谱
二维图像及其离散傅里叶频谱的显示
快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅 里叶变换(DFT)的一种算法。
N 1
:
F (u)
1 N
f (x)e j2ux / N
x0
u 0,1,2,N 1。
F(u)一维的离散傅里叶反变换为：
1 :
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N u0
傅里叶变换F(u)复数形式：
F(u)的实部为R(u)，虚部为I (u) F(u) R(u) jI(u)
◦ sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和 最暗的峰值之间的差
（3）相位表示相对于原始波形，这个波形偏移量
由二维离散傅里叶变换得到图像傅里叶中心谱
例 一个简单二维函数的中心谱 在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个尺寸为 20
× 40的白色矩形的图像；（b）应用了频率谱，用对数 变换后显示的中心傅里叶谱。
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位： (u) arctan(I (u) / R(u))
能量： E(u) R 2 (u) I 2 (u）
一维的傅里叶反变换定义为：
-1：f (x) F (u)e j2uxdu
傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。 设f (x, y)函数是连续可积的，且F(u, v)则存在如下的二维傅
将F(u) 用复数形式表示为
其中：
F(u) R(u) jI(u)
R(u) f (t) cos(2ut)dt
I (u) f (t)sin(2ut)dt
=
任何函数周期函数都可以表示为不同频率的正弦及余弦函数的
线性表达 – Fourier基数
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子 ，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱 。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（ 正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。
傅里叶变换在数学中的定义是： 如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断
这种方法消除(DFT)中重复工作，所以在运算中大大节省
了工作量，达到了快速的目的。
对于一个有限长序列 { f (x )}(0 ≤ x ≤ N − 1)，它的傅里 叶变换由下式表示:
（b）相频特性
波形的频域表示
1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为 复正弦信号的叠加。
1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交 变换，它的理论完善，应用程序多。
在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成 图像分析、图像增强及图像压缩等工作。
二维函数离散傅里叶的谱、能量和相位谱为: 傅里叶频谱：
F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v）
能量： E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v）
相位:
(u, v) arctan I (u, v)
R(u, v)
傅里叶用于图像处理：
◦ 任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号 的叠加；
第五讲：频域变换
1.频域与频域变换 2.连续傅里叶变换 3.离散傅里叶变换 4.快速傅里叶变换 5.傅里叶变换的性质 6.用傅里叶变换进行图像处理 7.其他离散变换
时域与频域 ◦ 时域
时域又称为时间域，是描述信号 在不同时刻取值的函 数。自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。
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率f、幅值A、相位γ 这三个value可以描述正弦图像中的 所有信息。
（1）频率（frequency）
◦ 频率在空间域上表现为亮度的变化快慢 ◦ 例如：左图的频率比右图的frequency低
（2）幅值（magnitude）
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位：
(u) arctan(I (u) / R(u))
能量：
E(u) R 2 (u) I 2 (u）
离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离 散傅里叶变换定义为:
: F (u,v)
1
vy) / N
N x0 y0
u 0,1,2,N 1 v 0,1,2,N 1。
二维离散傅里叶的反变换定义为：
1 :
f (x, y)
1
N 1 N 1
F (u, v)e j2 (uxvn) / N
N u0 v0
u、v是频率变量
x 0,1,2,N 1 y 0,1,2,N 1。
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-4
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0.2
0.3
0.4
0.5
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函数的时域表示
正弦波的时域叠加示意图
频域：
频域也称为频率域，是描述信号的频率结构及频率与 该频率信号幅度的关系。自变量是频率,即横轴是频率,纵 轴是该频率信号的幅度 。
波形的时域表示
波形的幅频表示
正弦波的时域叠加示意图
(a)幅频特性
里叶变换及反变换：
：Ff (x, y) F(u,v) f (x, y)exp j2 (uxvy) dxdy -1：F 1 f (u,v) f (x, y) F(u,v)exp j2 (uxvy) dudv
式中u 、v 是表示频率的变量，与一维的意义类似。
函数f (x)的一维离散傅里叶变换定义如下：
点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积，则f (x)定义的傅 里叶变换公式为
：F (u) f (x)e j2uxdx
其中 j 2 1 ，u 是表示频率的变量。
由于欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系起来：
e j cos j sin
傅里叶变换定义可以写成：
F (u) f (x)[cos(2ux) j sin(2ux)]dx
（a）
（b）
图（a）在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个
尺寸为 20 × 40的白色矩形的图像，
（b）应用了频率谱，变换后显示的中心傅里叶谱
（a）原始图像
（b）离散傅里叶频谱
二维图像及其离散傅里叶频谱的显示
快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅 里叶变换(DFT)的一种算法。
N 1
:
F (u)
1 N
f (x)e j2ux / N
x0
u 0,1,2,N 1。
F(u)一维的离散傅里叶反变换为：
1 :
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N u0
傅里叶变换F(u)复数形式：
F(u)的实部为R(u)，虚部为I (u) F(u) R(u) jI(u)
◦ sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和 最暗的峰值之间的差
（3）相位表示相对于原始波形，这个波形偏移量
由二维离散傅里叶变换得到图像傅里叶中心谱
例 一个简单二维函数的中心谱 在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个尺寸为 20
× 40的白色矩形的图像；（b）应用了频率谱，用对数 变换后显示的中心傅里叶谱。
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位： (u) arctan(I (u) / R(u))
能量： E(u) R 2 (u) I 2 (u）
一维的傅里叶反变换定义为：
-1：f (x) F (u)e j2uxdu
傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。 设f (x, y)函数是连续可积的，且F(u, v)则存在如下的二维傅
将F(u) 用复数形式表示为
其中：
F(u) R(u) jI(u)
R(u) f (t) cos(2ut)dt
I (u) f (t)sin(2ut)dt
=
任何函数周期函数都可以表示为不同频率的正弦及余弦函数的
线性表达 – Fourier基数
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子 ，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱 。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（ 正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。
傅里叶变换在数学中的定义是： 如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断
这种方法消除(DFT)中重复工作，所以在运算中大大节省
了工作量，达到了快速的目的。
对于一个有限长序列 { f (x )}(0 ≤ x ≤ N − 1)，它的傅里 叶变换由下式表示:
（b）相频特性
波形的频域表示
1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为 复正弦信号的叠加。
1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交 变换，它的理论完善，应用程序多。
在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成 图像分析、图像增强及图像压缩等工作。
二维函数离散傅里叶的谱、能量和相位谱为: 傅里叶频谱：
F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v）
能量： E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v）
相位:
(u, v) arctan I (u, v)
R(u, v)
傅里叶用于图像处理：
◦ 任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号 的叠加；
第五讲：频域变换
1.频域与频域变换 2.连续傅里叶变换 3.离散傅里叶变换 4.快速傅里叶变换 5.傅里叶变换的性质 6.用傅里叶变换进行图像处理 7.其他离散变换
时域与频域 ◦ 时域
时域又称为时间域，是描述信号 在不同时刻取值的函 数。自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。
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