大学物理光学答案

A1An A2 An A3 An
v
•
即宏观波面是以端点An
为顶点的锥面，成为“马赫锥”，锥角大小由sin
u v
确定。
3费马原理
• 2证明图2-3中光线 A1D1 ，A2B2D2 ，A3B3D3 ，AnBn …. 的光程相等。
• 分析：本题就是证明折射光束是等光程的。我们任取其中两条，即证下面图中的 L(A1B1D1) L(A2B2D2 )
L(B2D2' ) B1B2n2 sin i2
• 由折射定律可知 n1 sin i1 n2 sin i2
• 于是
L( A1'B1) L(B2D2 )
• 所以光程 L(A1'B1D1) n1 A1A1' n1 A1'B1 n2 B1D1 L(A2B2D2 ) n1 A2B2 n2 B2D2' n2 D2'D2
•
2惠更斯原理
• 5拖着棒的一端在水中以速度v 移动，v 比水波的速度 u 为大，用惠更斯作图法证明：在水中出现一圆锥形波前，其半顶角 由下
式给出，sin u v
• 船后的弓形波，超管速飞机在空气中产生的冲击波，都是这样产生的。
•
证明： 由于棒对水的撞击（压缩），使棒端沿途各点先后成为水波源。如附图所示，设棒端在水中依次经过A1, A2, A3...An 点，
f
'
n'r n' n
•得
n' f 'n f ' r
•
按题意 f ' 2r
，n 1 ，代入上式得
n' 2rn 2n 2 2r r
• 即此透明体的折射率二倍于周围介质的折射率。
• 9如图，一平行平面玻璃板的折射率为 n，厚度为 h，点光源Q发出的傍轴光束（即接近于正入射的光束）经上表面反射，成像
• 证明：如图，由次波源 B1 向光线 2作" 垂线，垂足标为 D2'
• 显然 D2'D2 B1D1
• 再比较 A1'B1 ，B2D2' 两段的光程，在直角三角形 A1'B1B2 和 D2'B1B2 • 中，有
A1'B1 B1B2 sin i1
L(A1'B1) B1B2n1 sin i1
B2D2' B1B2 sin i2
•
解：结果示于图（b）（c）（d）（e）中。
• （b）n n' ，实物，实像 • （c）n n' ，虚物，实像 • （d）n n' ，实物，虚像 • （e）n n' ，虚物，虚像
• 8若空气中一均匀球形透明体能讲平行光束会聚于其背面的顶点上，此透明体的折射率应等于多少？
•
解：由球面折射成像的焦距公式
5共轴球面组傍轴成像
• 3凹面镜的半径为40cm，物体放在何处成放大两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？
•
解：实物形成两倍实像时，球面反射镜的横向放大率V1 2 ，实物形成两倍虚像时 V2 2 。联立反射镜物像距公式及横向
放大率公式
1 s'
1 s
2 r
s' Vs
• 解得
s 1V r 2V
• 进一步得到
S0
n' n
sin i ' sin u
R
S0
'
sin i ' sin(u i
i
')
R
n n'
sin u sin(u i
i
')
S0
•
由此可见，只在
u i ' 的特殊情况下有
S0
n' n
R
S0
'
n n'
R
• 此时Q ' 位置与出射角u无关，使 Q ，Q ' 成为宽光束严格成像的一对共轭点。
• 是相等的 。同理可证其他的折射光束都是等光程的 。
•
4成像
• 1以一节例题2所用的光线追迹法证明图4-6中Q 和 Q '是一对共轭点。
• 证明：如图，设球面半径为R，物像方折射率分别为n ，n ' ，按我们的符号法则，
•
由顶点A算其起的距离 AQ S ，AQ ' S ' ，AC R
• • 由球心算起的距离 CQ S0 ，CQ' S0 ' ，于是 S S0 (R)
•
折射定律有
sin i1 n sin i2
•
所以
x
t
sin
i1
(1
cos i1 n cos i2
)
•
在 i2 i1《1的条件下，取小角近似
•
•
于是有
sin i1 i1,cosi1 cosi2 1
x
n
n
1
i1t
• 12如图所示，在水中有两条平行线1和2，光线2射到水和平行平板玻璃的分界面上。
• 按题意，r 40cm ，V1 2 ，V2 2，代入，分别算出
s1 30cm
s2 10cm
• 即物体影分别置于凹面镜前30cm和10cm 处。
• 6按以约定的正负号法则（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）（Ⅴ）等，标示出下列各图中的物距 s ，s' ，曲率半径 r ，光线倾角 u ，u' 的绝对值。比较各图中折射率 n ，n' 的大小，指明各图中物，像的虚实。
S ' S0 ' R
• 在 CMQ 和 CMQ ' 中分别应用正弦定理，则有 sin u R R sin i S0 S R
sin u ' R R
sin i ' S0 ' S ' R
• 解得
S0
R
sin i sin u
S0
'
R
sin i ' sin u '
• 又根据折射定律 nsin i n'sin u 以及角度关系 u u ' (i ' i)
sin in
i2
n1 n3
sin
i1
sin ik
nk 1 nk
sin ik1
n1 nk
sin i1
• 由此可见，最后出射光线的方向只与当初入射方向及两边介质的折射率有关。
• (1)由上面结论可知本题光线1和2射到空气中仍保持平行。
• (2)如图所示，当 i1' 900 时，也有 i2' 900，所以光线1发生全反射时，光线2也不能进入空气，光线2在玻璃与空气的界面上发生 全反射。
• （1）两光线射到空气中是否还平行？ • （2）如果光线1发生全反射，光线2能否进入空气？
•
解: 我们先推到一下光线经过几个平行界面的多层媒质时出射光线的方向。
•
因为界面都是平行的，所以光线在同一媒质中上界面的的折射角与下界面的入射角相等，如下图所示：
由折射定律有 • 以此类推得
sin i2
n1 n2
• 则当棒端到达 An 点时，A1, A2 , A3... 发出的水波面分别是半径为u A1 An ，u A2 An ， u A3 An ... 的球面。作这些球面的包络面，即
v
v
v
• 为宏观波面(总扰动的水波面)。设v总扰动的水波面与次波面分别相切与 C1,C2,C3... 各点，则 A1C1 A2C2 A3C3 ... u