几何推理的教学研究

专题讲座

初中数学“几何推理论证”的教学研究与案例评析

李延林( 首都师范大学基础教育发展研究院副教授 )

一、对几何推理论证的深层次理解

（一）不可偏颇合情推理或演绎推理

自课程改革以来，教师对合情推理和演绎推理各自的意义及重要性认识逐渐清晰，特别是对以归纳和类比为主要方法的合情推理在教学中给予了足够的重视。

波利亚在他的《数学与猜想》一书中讲到：“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”，与之相匹配的推理方式分别是演绎推理和归纳推理。

课程标准对学生推理能力的培养提出了明确的要求，即“发展合情推理和演绎推理能力”。

合情推理包括归纳推理、类比推理等或然推理。归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理，可以说合情推理是从范围较小的命题得到范围较大的命题；而演绎推理则是从范围较大的命题得到范围较小的命题。

在数学学习中，演绎推理的地位已不容置疑，发展演绎推理的能力也受到广大师生的重视。新课程特别强调了合情推理能力的培养，这与长期以来人们对此的忽视有关，也与我们对学生能力要求的变化有关。现在更强调培养学生的创新精神和实践能力，让学生经历探索、发现结论的过程。合情推理尽管不能保证其

推出的结论一定正确，但是，每一次合情推理过程的背后都闪烁着推理者创造的火花。

（二）几何直观与逻辑推理

有人可能认为，几何直观是根据见到的图形直接看出结论，不是逻辑推理。这是偏见！

有一篇文章，讲直观实验和逻辑推理的关系，分析了牛顿发现万有引力的故事。文章说：“直观实验确实可以启发人们发现新事物，但是创新不能仅仅停留在这个层次上，而需要在此基础上进行科学的思考、探究、论证，这就需要逻辑思维，否则无法实现真正的创新。相传牛顿见到苹果从树上掉在地上，才受到启发发现了万有引力定律。如果把苹果落地看作直观实验，这个故事给人的印象似乎是直观实验对创新起了主要作用。但是认真考虑它，你会发现故事背后隐含了逻辑思维对创新所起的关键作用。实际上物体下落是无数人司空见惯的现象，由它引发重大发现的关键，在于牛顿在观察现象之后进行了合乎逻辑的思考：为什么物体会垂直下落？因为有向下的力作用于它；地球上各处的物体为什么都有这种性质？因为它们都受到指向地球中心的力；这些力是谁给的？是地球……，一系列因果关系的思考，导致进一步的实验检验，又引发更深层的思考，终于产生了新的科学成果。”

现在我们来看几何直观和逻辑推理。

什么是几何直观？它是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。几何直观与逻辑、推理是不可分的，几何直观往往靠逻辑支撑，它不仅是看到了什么，而是通过看到的图形思考到了什么，想象到了什么。几何直观是个过程，是在把现在看到的与过去学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路。这其实就是合情推理。当沿着图形提供的信息，经过一步步分析，逐步建立起元素间联系，并推出结论，这里就有了演绎推理，有了论证。

2001年一本叫做《直观几何》的中文书出现在读者面前，这是一本译著，是俄国数学家沙雷金写的俄国中学几何教材。在上个世纪60年代以前，前苏联的几

何是公理化体系，经过千锤百炼的几何教材，追求严格，论证明白无误，叙述简明扼要，中国也长期仿照苏联风格办教育。到上个世纪中期，苏联开始反思，几何教育应当帮助青少年“更好地了解世界、发现新事物、领会周围世界的美和智慧。”严谨的演绎推理是重要的，而充满想象力的合情推理同样是非常重要，“丰富的想象力——对数学家和诗人都是同样必要的。”

1967年以后，苏联开始了数学教育改革，向量方法、几何变换成为教材的核心思想。《几何直观》就是教育改革的显现。张奠宙先生为这本译著校对，并写了译校记，他写道：“几何学习大致有四个步骤：直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算。但是中国的几何教学，把前两个步骤忽略了，变成纯粹的思辨论证以及论证基础上的计算。缺乏直观，实际上就是扼杀了几何。”几何课程的教育价值，最主要的是两个方面，一是逻辑推理能力，二是几何直观能力。

几何直观与逻辑推理在几何学习中的作用是相辅相成的，几何直观可以从图中感知性质，从图中析出关系。在通过看到的图形思考结论时，如果让看到的图形在头脑中动起来，将看似没有关系的几何元素在有规律地移动后，建立起关系，这就是几何变换的直观视角。运动图形是动态直观，按照规律运动是逻辑支撑。

比如，求证：凸四边形的面积不大于它的对边乘积之和的一半。如图，结论可以表示成：

S ABCD≤ (AB ∙ CD + AD ∙ BC )

先从结论上看，此式在形式上不熟悉，但又似曾相识，原来，所熟悉的式子

形式是 S ABC≤ AB∙BC ，所以，如果结论是 S ABCD≤ ( AB∙BC + AD∙CD ) 就显然成立了。这与要证的结论只是一字之差，即：对边改为邻边就显然成立了。这就是几何直观引出的思考。进一步就是让图形动起来，真的将邻边“挪到”对边位置上，这就是作△ABC 关于 AC 的中垂线 l 的对称图形△CB’A ，这时，AB = CB’，BC = B’A ，S ABC= S CB’A，于是有：

S ABCD = S AB’CD≤ ( C B’∙ CD + AD ∙ B’A )= ( AB ∙ CD + AD ∙ BC ) 结论得到证明。

（三）证明的基本方法及课程要求

学习几何，一来是了解、认识几何图形，把握图形的性质，服务于我们生活的空间世界；二来是学习研究图形的方法，感受几何学的特征，获得推理论证等基本的科学素养。正像杨乐院士所讲：就几何而言，“似乎很难找到别的东西来代替它对中学生进行严格的逻辑思维培养”。学生结合几何图形，利用图形语言学习逻辑推理，在一定程度上可以降低认识和理解逻辑推理的难度。

在欧式几何中，任何一个完整的证明都要依赖几何公理和已证明过的定理，同时经过一系列正确的推理。

在义务教育数学课程中，几何的构成是演绎体系，但为了学习方便，并不是基于严格的欧式几何公理体系，而是事先承认9个基本事实。即

（1）两点确定一条直线；

（2）两点之间线段最短；