课程名称物理学中的群论基础
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
物理学中的群论基础第三章
H T (A )T † (A ),
A G
式中求和遍及群G的所有元素, 援引矩阵代数中的一个定理: 任一厄 米矩阵可以通过幺正变换完全对角化. 若U是所需要的变换, 则 U-1HU=Hd , 其中Hd是一对角矩阵, 其对角元是的实本征值. 前一式代入上式得
H d U
1
U T (A )U U 1T 唵 A )U T (A )T (A ), (
似乎可以得出结论, 集合T在矩阵乘法下是一个群. 在此必须注 意, 集合T的各矩阵未必全不相同. 若T的每个不同矩阵各取一次, 则所得到的集合肯定在矩阵乘法下是一个群. 若矩阵T的所有矩阵都不相同, 则明显存在着G的元素与T的矩 阵间的一一对应. 这种情况下, 群G与群T互相同构, 而由T的矩阵 生成的表示称为群G的忠实表示. 另外, 若T的矩阵并非全不相同, 则只存在群G到群T的一个同态, 这种表示称为群G的非忠实表示. 群的最简单表示就是, 每个元素与数1对应. 这样, 在群C4v的例 子中, 将有下列对应: 元素: 表示:
D (1) (A ) 0 T (A ) , X (A ) D (2) (A )
其中D(1)(A)和D(2)(A)分别是m阶和nm阶方阵, X(A)是nm行m
列矩阵, 而0是m行nm列的零矩阵. 采用行矢量来证明这一点: i=(0 0 0 1i 0 0). 第i列元素为1而其余元素全为零. 这样选定n个基矢的编号: 使头m 个基矢在Lm中, 于是AG对基矢(1≤≤m)的作用由下式给出:
0 D (1) (A ) 0 D (1) (B ) T (C ) X (A ) D (2) (A ) X (B ) D (2) (B ) D (1) (A )D (1) (B ) 0 X (A )D (1) (B ) D (2) (A )X (B ) D (2) (A )D (2) (B )
群论(1)第一章
左
右
具体的例子
变换群G：{E,D,F,A,B,C}
E：保持不变 D：绕O轴逆时针转动120度 F：绕O轴顺时针转动120度 A：绕a轴翻转180度 B：绕b轴翻转180度 C：绕c轴翻转180度
a轴
O c轴 b轴
O轴垂直纸面向上 abc三轴间夹角60度
变换群G对普通三角形的变换
量子力学中若干问题的分析
角动量，跃迁定则等
基本相互作用的规范对称性
弱电 ~ SU(2) ×U(1)，强作用 ~ SUc (3)
晶体的对称性 ……
对称性破缺
由于某种原因系统丢失了原有的对称性，例
破 缺
1.4 群的分类
有限群 vs 无限群 分类标准：群元个数是否有限
有限群中群元的个数称为群的阶。 例：置换群Sn，阶为n！ 平面转动群SO(2) 所有实数构成的群，群乘法为数的加法。
例：
所有正实数可以构成群G2，群的乘法规则为数的乘法 (1) a×1=1×a=a，1为恒元 (2) a×(1/a)=1，a和1/a互为逆元 (3) a×(b×c)=(a×b) ×c，结合律 (4) a×b为正实数，即属于群G2，封闭性
思考：如果乘法规则为数的加法能否构成群。
首先确定群 的乘法规则 判断集合 能否成为群
构成G的子群，所以n为群G阶g的因子。即群元 的阶一定是群阶的因子。 群阶为质数的群只有平庸子群，与同阶循环群同 构。 群G中的两元素R和T，但不属于子群H， 属于同一左陪集的充要条件：R-1T∈H 属于同一右陪集的充要条件：TR-1∈H
不变子群
不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右 陪集相等，则称H为G的不变子群。
物理学中的群论第一章线性代数
物理学中的群论第⼀章线性代数物理学中的群论第⼀章线性代数声明：这是我根据黄飞⽼师上课内容记的笔记（易懂）。
教材：马中骐的物理学中的群论书（不好懂，所以我没看）。
希望对学群论的⼈有所帮助。
这两章线性代数考试不会考，但⾮常重要，后⾯都在⽤。
1.1节线性空间和⽮量基1.⽮量基有加法和数乘、⼀组线性⽆关的客体2.⽮量3.m维线性空间：就是定义了加法和数乘m个基⽮量对应m维简单来说，线性空间就是⽮量空间，线性空间中只有加法和数乘（即只有两个⽮量相加、数乘），但是没有⽮量乘法，也没有长度这样的概念。
如果在线性空间中引⼊点乘，长度、垂直的概念，此时称为内积空间。
线性空间性质：4.实线性空间：5.⽮量、基⽮量的矩阵表⽰⽮量矩阵表⽰：列矩阵基⽮量矩阵表⽰：、、按基⽮量展开，其第个分量为基⽮量矩阵表⽰是只有⼀个分量为1，其他分量为零的列矩阵。
6.线性空间的维数1）线性相关、线性⽆关2）线性空间的维数线性空间的维数：线性空间中线性⽆关的⽮量的最⼤个数。
m 维线性空间中，线性⽆关的⽮量数⽬不能⼤于m 。
⽮量基是线性⽆关的，m 维线性空间中任何 m 个线性⽆关的⽮量都可以作为⼀组⽮量基。
7.线性空间的⼦空间⼦空间就是在m 维线性空间中，有⽐m 维数⼩的个数的线性⽆关⽮量的所有的线性组合，构成⼀个n 维线性空间。
⽐如三维空间中，两个基⽮量的所有线性组合构成x-y 平⾯，是⼆维线性空间，是⼦空间。
我们通常说的⼦空间是⾮平庸的⼦空间，不包括零空间和全空间。
8.两个⼦空间的和两个⼦空间的和：两个⼦空间和的所有⽮量及这些⽮量的线性组合的集合， 记作；注意并⾮和的所有⽮量的集合，因为除了将这些⽮量放在⼀块以外，还需要将它们线性组合。
例如，构成的⼦空间和构成的⼦空间的和是整个三维空间。
9.两个⼦空间的交两个⼦空间的交：，例如，构成的⼆维⼦空间和构成的⼀维⼦空间的交是零空间（零⽮量构成的空间）。
10.两个⼦空间的直和两个⼦空间的直和：若是、的和（即），且下⾯三个等价的条件中任意⼀条成⽴：则称为两个⼦空间和的直和，记作 ，此时与称为中互补的⼦空间。
群论
循环群:所有的元素可以由某一个元素的幂次来产生
n阶 同构：G G
C n {E , R , R , , R
2 n 1
},
R
n
E, R
1
R
n 1
Isomorphism
两个群的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系， 它们的乘积也按同一规则一一对应。
乘法表(群表)
元素的阶
R
n
R j H Rk H R j Rk H H (R j Rk ) H H Rj H Rj H H Rj H Rj H Rj H Rj Rj H H H
1 1
例：
§3. 共轭元素、类
共轭： 对群
G 中两元素 R 和 S ， 如存在 R~ S T G, 使得 R T S T
C 3 {e , d , f }
2 3 ; 4 3 ;
ad c , ad da
da b
乘法表(群表)
所有正负整数(包括零)；普通加法。 所有的实数(除去零)；普通乘法。 {1, -1}; 乘法。 {1, i, -1, -i} ; 乘法。 {1}; 乘法。 矩阵群 所有的 n 行 n 列方矩阵；矩阵的乘法？ 所有行列式不为零的 ； 所有行列式为 1 的 ； 所有行列式为 1 的 幺正矩阵； SU ( n ) 所有行列式为 1 的 实正交矩阵； SO ( n ) 六个矩阵：
1 E 0 1 A 0 0 , 1 0 , 1 11 D 2 3 1 1 B 2 3 3 , 1
Special Unitary Orthogonal
1 1 F 2 3 1 1 C 2 3 3 , 1 3 . 1
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
物理学中的群论基础第四章
当参数, 在区间[ 上取值. 转角θ当参数 θ在区间 π, π]或[0, 2π]上取值 这个群记作 或 上取值 这个群记作SO(2). 绕通过三维空间中固定点的所有轴的旋转的全体是一个群, 例5. 绕通过三维空间中固定点的所有轴的旋转的全体是一个群 其元素可由Euler角表征 此群记作 角表征. 其元素可由 角表征 此群记作SO(3). 4.1.1 拓扑群 由于群元素的连续性质, 需要在群中引入拓扑. 由于群元素的连续性质 需要在群中引入拓扑 简单起见, 只讨论这样的群, 其元素可与r维实内积空间的某个子集 简单起见 只讨论这样的群 其元素可与 维实内积空间的某个子集 Sr的点建立一一对应的关系 该子集将被称为参数空间 的点建立一一对应的关系. 该子集将被称为参数空间 参数空间. 代表与群G元素 对应的S 是元素x的象 令P(x)代表与群 元素 对应的 r中的点 称P(x)是元素 的象 代表与群 元素x对应的 中的点. 是元素 的象. 考虑S 中点P(x)的一个领域 这是 r中满足下列条件 的一个领域. 考虑 r中点 的一个领域 这是S ||P ′ P(x) ||< ε, (ε为一正实数 为一正实数) 的所有点P 的集合. 也可以将其称作P(x)的ε领域 记作 ε . 于是邻 的所有点 ′的集合 也可以将其称作 的 领域, 记作N 的点就是构成G的元素 的邻域z 的元素的象. 用符号表示, 的 的元素x的邻域 域Nε的点就是构成 的元素 的邻域 ε的元素的象 用符号表示 x的 邻域z 邻域 ε是满足下面条件 中元素x 的G中元素 ′的集合 中元素 的集合: ||P(x ′) P(x) ||< ε.
x i ′ = ∑ a ij x j , 1 ≤ i ≤ n , | a ij |≠ 0,
j =1
n
理论物理专业硕士研究生培养方案
理论物理专业硕士研究生培养方案一、培养目标培养符合国家建设需要, 为祖国和人民服务的, 具有良好道德品质和科学素质的, 具有集体主义精神, 实事求是, 追求真理, 献身科学教育事业的, 具有扎实基础知识和良好科研能力的理论物理专门人才和高等院校师资.获得本专业硕士学位的研究生应掌握理论物理学科坚实、宽厚的基础知识，较全面和深入的专业知识，熟悉本专业研究方向的发展前沿和热点. 硕士论文选题时，应对国内外研究现状进行较全面的调研和分析，在此基础上，完成具有创造性的研究成果。
熟练掌握一门外语, 包括专业阅读和写作，以及能用外语进行简单的学术交流。
二、本专业总体概况、优势与特色理论物理是研究物质结构、性质及其相互作用的基本规律的一门基础学科。
本学科于1990年获得硕士学位授予权，1996年成为湖南省重点学科，1999年其中的“非线性物理”成为“211工程”重点学科，1995年起招收博士生，2000年获得博士学位授予权。
该学科现已形成四个稳定的研究方向。
其特色在于抓住当前和未来高技术领域中的关键问题和物理学中的基本问题开展基础研究，把基础研究与高技术问题的探索相结合，在多个学科前沿领域的交叉点寻找突破。
三、本专业研究方向及简介本学科分四个方向，方向一：光与物质的的相互作用物理。
方向二：原子分子理论。
方向三：非线性理论。
方向四：引力与相对论天体物理。
五、专业课程开设具体要求课程编号：001课程名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechancs教学内容：第一章：量子态的描述；第二章：量子力学与经典力学的关系；第三章：路径积分；第四章：量子力学中的相位；第五章：二次量子化；第六章：角动量理论；第七章：量子体系的对称性；第八章：时空反演；第九章：散射理论；第十章：相对论量子力学预修课程：大学本科物理专业课程主要教材及参考文献：1、曾谨言．量子力学(卷Ⅱ) ［M］．2、余寿绵．高等量子力学［M］．3、P.Roman, Advanced Quantum Theory［M］．4、J.Bjorken etal．Relativistic Quantum Mechanics［M］．课程编号：002课程名称：群论英文名称：Group Theory教学内容：第一章：群的基本知识10学时，第二章：群的线性表示10学时；第三章：对称群及其表示10学时；第四章：点群及其表示10学时；第五章：连续群和李代数10学时；第六章：转动群的表示论10学时；第七章：Lorentz群的表示论10学时。
Group1-1
u
u v
v
v u
= C4
a a b d
C4 C42 C43 E
my mx m x my C4 C43 E C42
1-11
C42 C42 C43 C43 C43
=
b a c b
C4 C42 v
mx mx
u
v
my
mx v u
u
E
C42 C43 C4
my m y u u mx v my v
1 1 1 a 1 c）a R , R,使 a （有逆元） a a a d） a, b, c R ，有 a (b c) (a b) c （结合律）
1-1
群的例子
例2. 代数系统 {M, 矩阵积} （M：全体n 阶满秩方阵） a A, B M , 有 det(AB) = det(A)det(B) 0, AB M (封闭性）
1、交换群（阿贝尔群）：运算满足交换律的群
例如：{R ， }，{R，+} ，{D3 , 操作积} 等是阿贝群
1-6
阿贝尔群
例5. 设群 G ={A1=E，A2，，An}，若对 Ak , G 有
Ak Ak E
则G必为阿贝群。 证明：任取 Ai , Aj G 则令：
Al Ai Aj , Ak Aj Ai
集合上的任何一个等价关系r可以给出集合的一种划分划分出的每一子集称为集合的一个关系类集合用等价关系r对集中元素分类元素的共轭是群g上的一种等价关系因而给出群的一种划分划分出的每一子集称为群的一个共轭类117共轭类的定义几个结论定义14元素的共轭类设g是群对于元素ag将群中所有与a共轭的元素组成的子集合称为元素a的一个共轭类或称为群的一个类记作
课程名称物理学中的群论基础
课程名称：物理学中的群论基础一、课程编码：1800008课内学时： 64 学分： 4二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理、计算物理三、先修课程：线性代数、量子力学、固体物理（晶体结构部分）四、教学目标通过本课程的学习，使学生掌握群的基本概念与定理和群的线性表示理论及其在物理学中对称性分析上的一些基本应用。
此外，本课程还将使学生了解并掌握晶体点群与空间群、SU(2)与SO(3)群、以及李群的基本概念。
五、教学方式课堂讲授。
六、主要内容及学时分配1. 群的基本概念 6学时1.1 群1.2 子群与陪集1.3 共轭元与共轭类1.4 群的同态与同构1.5 群的直积2. 群表示理论 16学时2.1 群的表示2.2 舒尔引理2.3 正交性定理2.4 正规（正则）表示2.5 完全（完备）性关系2.6 特征标表2.7 函数变换和表示的构造2.8 对称变换群基函数的性质2.9 投影算符2.10 基础表示2.11 分导表示、诱导表示2.12 表示的直积与CG系数2.13 直积群的表示3. 置换群 6学时3.1 置换3.2 共轭类、配分和Young图3.3 Young盘和图形方法3.4 Young算符3.5 分支律与外积4. 点群和空间群 16学时4.1 点群的对称操作4.2 第一类点群4.3 第二类点群4.4 点群的特征标表4.5 晶体的宏观性质与对称性4.6 平移群和Bravais格子4.7 空间群简介5. 李群 6学时5.1 李群的概念5.2 无穷小生成元5.3 无穷小算符5.4 群上的不变积分5.5 李代数简介6. SO(3)群和SU(2)群 6学时6.1 三维幺模正交群SO(3)6.2 二维幺模幺正群SU(2)6.3 SU(2)群的不可约表示6.4 SO(3)群的不可约表示及双群7. 群论与量子力学 8学时7.1 哈密顿算符的群7.2 微扰引起的能级劈裂7.3 矩阵元定理与选择定则7.4 不可约张量算符和Wigner-Eckart定理7.5 实表示7.6 时间反演对称性和附加简并7.7 角动量的耦合七、考核与成绩评定成绩以百分制衡量，评定依据：平时作业及考勤占30%，期末笔试成绩占70%。
群论基础
群论6.1群论基础1 群的定义设 G是一些元素的集合，G = {g 0, g1 , …, g i , …}. 在 G中定义了乘法运算，如果 G对这种运算满足下面四个条件：(1) 有唯一的单位元 e .e G , 对任意f G , 都有ef = fe = f(2) 封闭性.对任意 f , g G , 若 f g= h, 必有 h G .(3)结合律 . 对任意 f , g, h G , 都有(f g ) h = f (g h )(4) 逆元素.对任意 f G , 有唯一的 f G ，使f f = f f = e ,则称 G为一个群. e 称为群 G 的单位元，f 称为 f的逆元素。
有限群中群元素的数目称为群的阶。
2 群的乘法表二阶群G 2 E AE E AA A E-1-1 -1–1三阶群G 3 EA BE E ABAABEB B E A2 2(i) 若 AA = A = E ->BB = B = E; ->AB = B -> A = E （不合理）(ii) 若 AA = A= B, AB = AA = A = E; BA = E, BB = A.G 3 EAAE EAAAAAE2 2A A EA— 循环群G = { X, X , X , …, X= E}— Abel群 AB = BA.四阶群(i) 四阶循环群2 3 4X = A X = B X = C X = EG4(1)E A BCE E A BCA ABC EB B CE AC C E AB2 23 2 2223 n(ii)G4(2) E A B CE E A B CA A E C BB BC E AC C B A E3 子群在G (2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子群。
4定理：g阶群G的任意子群H, 它的阶h必为g的除数。
即，g =hn, n为整数。
如：G6的子群的阶是：6和1，2，3。
物理学中的群论基础课程设计
物理学中的群论基础课程设计简介群论是一种数学工具，它在物理学中具有重要地位。
物理学中的许多问题都可以用群论的方式来描述和解决。
因此，作为一名物理学学生，了解群论的基本知识是必不可少的。
本文将介绍一种基础的群论课程设计，帮助学生了解群论在物理学中的应用和基础知识。
本设计适合本科物理学生，涵盖了群论的基本概念、群的分类和一些群的应用。
基础知识在开始学习群论之前，有一些基础知识是必须了解的，包括线性代数、微积分和复数。
首先，线性代数是群论的核心概念。
在学习线性代数的过程中，我们学习了矩阵、向量和行列式等概念。
这些概念在群论中也有应用。
例如，矩阵群和向量群都是群论中常见的概念。
其次，微积分也是学习群论的必要条件。
微积分提供了求导和积分的数学方法，这些方法在物理学中广泛应用。
例如，在量子力学中，我们需要求解薛定谔方程，这就需要用到微积分知识。
最后，复数也是学习群论的基础知识之一。
在群论中，我们会经常用到复数。
例如，复平面是群论中常见的图形，可以用来表示复数的幅角和大小等信息。
课程设计第一章：群论的基本概念在第一章中，我们将介绍群论的基本概念，包括群的定义、群的性质、群的运算、群的元素和群的子群等。
学生需要通过讲解、练习和作业来熟练掌握这些概念。
第二章：群的分类在第二章中，我们将介绍群的分类，包括交错群、对称群和李群等。
这些群的表示和性质都有着不同的特点，学生需要了解它们的基本特征。
第三章：群的应用在第三章中，我们将介绍群的应用，包括对称性、量子力学和场论等。
这些领域中的许多问题都可以用群论来解决，所以学生需要了解如何将群论应用到实际问题中。
实践项目通过学习以上章节，学生需要开展实践项目，例如可以尝试用群论解决某个物理学问题，或者实现群的运算等。
这些实践项目可以帮助学生练习和巩固理论知识。
结论群论是物理学中常用的数学工具，学习和了解群论的基本知识对于物理学生来说是必不可少的。
本文介绍了一种基础的群论课程设计，帮助学生了解群论的基本概念、群的分类和群的应用等知识。
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课程名称：物理学中的群论基础
一、课程编码：1800008
课内学时： 64 学分： 4
二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理、计算物理
三、先修课程：线性代数、量子力学、固体物理（晶体结构部分）
四、教学目标
通过本课程的学习，使学生掌握群的基本概念与定理和群的线性表示理论及其在物理学中对称性分析上的一些基本应用。
此外，本课程还将使学生了解并掌握晶体点群与空间群、SU(2)与SO(3)群、以及李群的基本概念。
五、教学方式
课堂讲授。
六、主要内容及学时分配
1. 群的基本概念 6学时
1.1 群
1.2 子群与陪集
1.3 共轭元与共轭类
1.4 群的同态与同构
1.5 群的直积
2. 群表示理论 16学时
2.1 群的表示
2.2 舒尔引理
2.3 正交性定理
2.4 正规（正则）表示
2.5 完全（完备）性关系
2.6 特征标表
2.7 函数变换和表示的构造
2.8 对称变换群基函数的性质
2.9 投影算符
2.10 基础表示
2.11 分导表示、诱导表示
2.12 表示的直积与CG系数
2.13 直积群的表示
3. 置换群 6学时
3.1 置换
3.2 共轭类、配分和Young图
3.3 Young盘和图形方法
3.4 Young算符
3.5 分支律与外积
4. 点群和空间群 16学时
4.1 点群的对称操作
4.2 第一类点群
4.3 第二类点群
4.4 点群的特征标表
4.5 晶体的宏观性质与对称性
4.6 平移群和Bravais格子
4.7 空间群简介
5. 李群 6学时
5.1 李群的概念
5.2 无穷小生成元
5.3 无穷小算符
5.4 群上的不变积分
5.5 李代数简介
6. SO(3)群和SU(2)群 6学时
6.1 三维幺模正交群SO(3)
6.2 二维幺模幺正群SU(2)
6.3 SU(2)群的不可约表示
6.4 SO(3)群的不可约表示及双群
7. 群论与量子力学 8学时
7.1 哈密顿算符的群
7.2 微扰引起的能级劈裂
7.3 矩阵元定理与选择定则
7.4 不可约张量算符和Wigner-Eckart定理
7.5 实表示
7.6 时间反演对称性和附加简并
7.7 角动量的耦合
七、考核与成绩评定
成绩以百分制衡量，评定依据：平时作业及考勤占30%，期末笔试成绩占70%。
八、参考书及学生必读参考资料
1. 徐建军，《物理学中的群论基础》，清华大学出版社，2010.
2. 徐婉棠，喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社，1999.
3. 马中骐，《物理学中的群论（第三版）——有限群篇》，科学出版社，2016.
4. 陶瑞宝，《物理学中的群论》，高等教育出版社，2011.
5. 谢希德、蒋平、陆奋，《群论及其在物理学中的应用》，科学出版社，2010.
九、大纲撰写人：刘贵斌。