西安交大复变函数1习题课PPT课件

则z2 r2e . i(21) z1 r1
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2) 幂与根 (a) n次幂:
n个相z同 的复 乘数 z积 的 n次 称 ,幂 为 记zn 作 , zn z z z.
n个
对于任n,何 有 zn 正 rn(c整 n o si数 sin n ).
n为负整 , 有 数 zn时 z1n.
因而 z n zn ,有 Az n r n A gz .rg
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2. 复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1) 两复数的和
z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ). 2) 两复数的积
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3)两复数的商
称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
arctanxy ,
z0 辐角的主值 argz
, 2
x 0, x 0, y 0,
arctanxy , x 0, y 0,
,
x 0, y 0.
(其中 arcyta)n
2
x2
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（3）三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
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几何意义
从几何上看,
两复数对应的向量分别为
z1,
z2,
先把z1按逆时针方向
•z
y
旋转一个 2,角
r •z 1
2 1
再 所 把它得 的 z 就 模扩向 r大 2表 倍 z 1 到 ,z 2 量 .示 o r1 r2• 积 z 2 x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
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两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个
判别定理
三角及指数表示法
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1.复数的概念
对于任x意 ,y,我 两 们 z实 x称 数 yi 或 zxiy为复 . 数 其中 x,y分别称 z的为 实部,和虚部 记 x 作 R z )e ,y (Im z ). ( 当 x0, y0时 ,ziy称为;纯虚数 当y0时 , zx0i,我们把它x看 . 作实 当 x 0 ,y 0 时 ,z 0 .
复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
若 z 1 r 1 (c 1 i o s1 i ） s ,n
z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
则有
z2 z2 , z1 z1
Arzzg1 2Arz2gArz1g.
设复z1数 和z2的指数形式分别为
z1 r1ei1,
z2r2ei2,
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(b)棣莫佛公式
(c i o si s ) n n cn o isn i.n
(c计 ) 算 w n 方 z的 程 w 根 ,其z为 中已.知
w nzrn 1 c o 2 sk π isi n 2 k π
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 )
在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
若 z 1 r 1 (c 1 o iss i 1 ） ,n
z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
则有 z 1 z 2 r 1 r 2 [c 1 2 ) o i ss 1 i 2 n ( )](
A (z 1 z r 2 ) g A z 1 r A g z 2 .rg
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
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4)共轭复数
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与z共轭的复数记 z, 为 若 z x i,y 则 z x i.y
共轭复数的性质
(1 )z1 z2 z1 z2;z1z2z1z2;
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角 记作Azrg. 当 z0时 , z0,而辐角 . 不
任何一 z0有 个无 复穷 数 . 多个辐
如果 1是其中一个 , 那 辐么 z角 的全部辐角
Ar zg12kπ(k为任意 ). 整数
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辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
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5.复球面与扩充复平面
(1) 复球面
南极、北极的定义
取一个与复平 点z面 0切 的于 球, 原 面 球面上S一 与点 原点, 重合 N
来表 . 示 y zxiy
y
P(x,y)
z r
o
x
Байду номын сангаас
x
复数的模(或绝对值) 向量的长 z的 度模 称或 为,绝对值
记z为 rx2y2.
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模的性质 x z, y z, zxy, zzz2z2.
三角不等式 (1 )z1 z2z1 z2;(2 )z1 z2z1z2. 复数的辐角
在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
用来表示复 , 通数常把横轴叫实 x轴轴 , 纵或轴
叫虚轴y或 轴.这种用来表示复面数叫的复平平
面.
y
复数 zxiy可以用复平 y
zxiy
(x,y)
面上的(x点 ,y)表示 .
o
x
x
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（2）向量表示法
在复平 ,复 面 数 z与 上从指 原向 点 z点 xiy的
平面向量成 ,因一 ,此 复一 z数 也 对可 应用 O向 P
z1 z2
z1 z2
;
(2)zz; (3 )zz R z )2 e I (m z )2 ; (
( 4 ) z z 2 R z )z , e z ( 2 i Iz m ). (
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3.复数的其它表示法
（1）几何表示法
复 数z xiy与 有 序 实 数 (x,对 y)成 一 一
对应 . 因此, 一个建立了直角的坐平标面系可以
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
2
二、内容提要
复 球 面
扩 充
复 平 面
曲线 与区域
极限 的计算
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根
复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
极限 连续性
x
y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(c o iss i)n
（4）指数表示法
利用欧拉公式 eico sisin ,
复数可以表示成 zrei 称为复数 z 的指数表示式.
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4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.