实变函数论课后答案第四章4

实变函数论课后答案第四章4

第四章第四节习题 1．

设

()()

n f x f x ⇒于

E

,

()()

n g x g x ⇒于

E

,证

明:()()()()n n f x g x f x g x +⇒+于E 证明:0ε∀>,

[||()()(()())|][||()()|][||()()|]

22

n n n n E x f x g x f x g x E x f x f x E x g x g x εε

ε+-+≥⊂-≥⋃-≥ A B εε⋃ (

否

则

,

若

[||()()(()())|]

n n x E x f x g x f x g x ε∈+-+≥,而

x A B εε∉⋃,()c c c x A B A B εεεε∈⋃=⋂|()()||()()|2

2

n n f x f x g x g x ε

ε

⇒-<

-<

|()()(()())||()()||()()|2

2

n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ε

ε

εε

⇒≤+-+≤-+-<

+

=矛盾),则

[||()()(()())|]

[||()()|][||()()|]0

22

n n n n mE x f x g x f x g x mE x f x f x mE x g x g x εεε

+-+≥≤-≥+-≥→

(()(),()()n n f x f x g x g x ⇒⇒) 从而()()()()n n f x g x f x g x +⇒+ 2．

设|()|n f x K ≤.a e 于E ,1n ≥,且()()n f x f x ⇒于E ,证明|()|f x K ≤.a e

于E

证明:由本节定理2(Riesz 定理)从()()n f x f x ⇒知∃{}()n f x 的子列

{}

()k

n f

x 使

()lim ()k n k f x f x →∞

=.a e 于E

设A E ⊂,(\)0m E A =,()()k

n f x f x →于A ,从条件|()|k

n f x K ≤.a e 于E ,

设

k n B E ⊂,(\)0k n m E B =,|()|k n f x K ≤.a e 于k n B 上

令1

()k

n k B B A +∞

==⋂,则B K ⊂,且

1

1

(\)()((

)(())k k c

c c c

c n n k k m E B m E B m E B A m E A B E +∞

+∞===⋂=⋂⋃=⋂⋃

⋂

1

1

1

()()(\)(\)00k k c

c

n n k k k m E A m E B m E A m E B +∞

+∞

+∞

===≤⋂+⋂=+=+∑∑∑

故(\)0m E B =

,,k n x B k B B A ∀∈∀⊂⋂,则|()|k n f x K ≤

令k →∞,|()|f x K ≤

故x B ∀∈有|()|f x K ≤,从而命题得证 3．

举例说明mE =+∞时定理不成立

解:取(0,)E =+∞,作函数列1(0,]

(){

0(,)

n x n f x x n ∈=∈+∞ 1,2,

n =

显然()1n f x →于E 上,但当01ε<<时

[;|1|](,)n E x f n ε->=+∞,[;|1|](,)n mE x f m n ε->=+∞=+∞不0→

故mE =+∞时定理不成立,即n f f →.a e 于E 不能推出()()n f x f x ⇒于E

周民强《实变函数》P108

Th2、25 若:n n T R R →就是非奇异线性变换,n E R ⊂,则

**(())|det |()m T E T m E =⋅ (2、8)

|det |T 表示矩阵T 的行列式的绝对值、

证明:记{}012(,,,);01,1n i I x i n ξξξξ==≤<≤≤

{}12(,,,);02,1k n i I x i n ξξξξ-==≤<≤≤

显然0I 就是2nk 个I 的平移集{}j I x +(1,2,2nk j =)的并集,0()T I 就是

2nk

个

{}()

j T I x +(

1,2,

2nk j =)的并集,且有

{}{}***()()()j j m T I x m TI T x m TI +=+=,

{}()()j mT I x m TI += 1,2,

2nk j =

现在假定(2、8)式对于0I 成立00(())|det |()|det |m T I T m I T =⋅= (2、9)

则 0|det |(())2(())nk T m T I m T I ==

因为()2nk m I -=,所以得到()2|det ||det |()nk m TI T T m I -=⋅=⋅

这说明(2、8)式对于I 以及I 的平移集成立,从而可知(2、8)式对可数个互不相交的二进方体的并集就是成立的(对任意方体

0a ∀>,{}12(,,

,);0a n i I x a ξξξξ==≤<

000(())()|det()|()|det ||det ||det |()n a m T I m T aI T aE m I T aE a T m I =⋅=⋅== 0|det |()|det |()a T m aE I T m I =⋅=)

对一般开集G ,1

i i G I +∞==

,i I 为二进方体,i I 互补相交

则1

1

1

()()()|det |()|det |i i i i i i m TG m TI m TI T m I T mG +∞

+∞

+∞

=======∑∑

T 1-1 1

i i TG TI +∞==

,T 连续,1T -连续 G 开,则()T G 开,从而可测

于就是应用等测包的推理方法立即可知,对一般点集(2、8)式成立 设G 为有界G δ集1

i i G G +∞==

,i G 开,1

n n i i S G ==

,则n S 开,1

n n G S +∞==

且不妨

设11S G =有界,否则令1S G U =⊂ U 有界,令1G G U =⋂即可、 1T -连续,