高考数学《统计》专题 总体特征数的估计学案

高考数学《统计》专题 总体特征数的估计学案

1．在统计学中，我们是用样本的数字特征来估计总体相应的数字特征的． 2．样本平均数（也称样本期望值）x

（1）121

11()n

n i i x x x x x n n ==+++=∑反映的是这组数据的平均水平．

（2）当12,,,n x x x 数值较大时，可将各个数据同时减去一个适当的数a ，得112,,,n n x x a x x a x x a

'''=-=-=-＝2,,

,n n x x a x x a x x a '''=-=-=-,那么x x a '=+

（3）如果n 个数据中，1x 出现1n 次， 2x 出现2n 次,…, k x 出现k n 次，那么：

11221122k k

n n x n x n x n x n

x p x p x p +++=

=+++ 这里12

k n n n n =++

3．方差（1）()

2

2

1

1n

i i S x x

n ==-∑

2,(0)S S S >分别称为数据12,,

,n x x x 的方差和标准差，它们反映的是数据的稳定与波动，

集中与离散的程度．

（2）2

222

2121

[()]n S x x x nx n

=++

+-

（3）12,,,n x x x 数值较大时，可以将各数据减去一个恰当的常数a ,得到

1122,,

,,n n x x a x x a x x a '''=-=-=-则2

2222121

[()]n

S x x x nx n

''''=+++-

例1．某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量

级别

平均

标准差

第一组 90 6 第二组

80

4

求全班的平均成绩和标准差．

解：设第一组20名学生的成绩为(1,2,,20)i x i =;

第二组20名学生的成绩为(1,2,

,20)i y i =,

典型例题

基础过关

12201

90()20

x x x =+++

12201

80()20

y y y =

+++故全班平均成绩为：

122012201

()

401(90208020)8540

x x x y y y +++++++=⨯+⨯=

又设第一组学生的成绩的标准差为1S ，第二组学生的成绩的标准差为2S ，则

2

2222112201(20)20

S x x x x =+++- 22222212201(20)20

S y y y y =

+++-

此处(90,80x y ==)

又设全班40名学生的标准差为S,平均成绩为(85)Z Z =故有

2

222

2222

1220122022222

12222221(40)

40

1(2020202040)401

(649080285)512

S x x x y y y Z S x S y Z =++++++

+-=

+++-=+++-⨯=

51S =

变式训练1：对甲乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下： 甲：60 80 70 90 70 乙：80 60 70 80 75

问：甲乙谁的各科平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？

解：74x =甲 73x =乙 2104S =甲 256S =乙 因为x x >甲乙，22

S S >甲乙

．所以甲的平均成绩较好,乙的各门发展较平衡．

例2. 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ）

甲： 10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1

乙： 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10

分别计算上面两个样本的平均数与方差．如果图纸上的设计尺寸为10mm ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适． 解：1

10

x =甲（10.2+10.1+10.9+

+10.1）=10

1

(10.310.49.610)1010

x =

++++=乙

2110

S =

22甲2

[（10.2-10)+(10.1-10)++(10.1-10)]=0.228

222

21

[(10.310)(10.410)10

(1010)]0.06

S =

-+-+

+-=乙 10x x ∴==甲乙，22

S S >甲乙

所以乙比甲稳定，用乙较合适．

变式训练2：假定下述数据是甲乙两个供货商的交货天数： 甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12

估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性． 10.1x =甲 10.5x =乙

20.49S =甲 22

6.05S S =>乙甲

从交货天数的平均值看来，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此是较具一致性与可靠性的供货商．

例3. 个体户王某经营一家餐馆，下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资：

王某 厨师甲 厨师乙 杂工 招待甲 招待乙 会计 3000元

450元

400元

320元

350元

320元

410元

（1）计算平均工资；

（2） 计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？ （3）去掉王某工资后，再计算平均工资； （4）后一个平均工资能代表帮工人员的收入吗？

（5）根据以上计算，从统计的观点看，你对（1）、（3）的结果有什么看法？ 解：(1)平均工资750元；

(2)因为帮工人员的工资低于平均工资，所以(1)中算出的平均工资不能反映帮工人员在这个月份的月收入的一般水平；(3)去掉王某的工资后的平均工资375元;(4)(3)中计算的平均工资接近于帮工人员月工资收入，所以它能代表帮工人员的收入；(5)从本题的计算可见，个别特殊值对平均数具有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不要选特殊数据．