模糊矩阵与模糊关系

第2章 模糊矩阵与模糊关系
2.1 模糊矩阵定义及其运算
定义：一个矩阵内所有元素均在[0，1]闭区间内取值的矩阵，称为模糊矩阵 并、交、补运算：两个模糊矩阵对应元素取大（取小、取补）作为新元素的矩阵，称为它们的并（交、补）运算 例：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∨∨∨∨=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2.06
.03.04
.00.82.00.69.00.35.00.47.0B R 8.09.05.07
.00.82.00.69.00.35.00.47.0B R 8.06.03.00.4B 2.09.05.07.0R
C
0.70.50.30.5R 10.90.20.10.8⎡⎤⎡⎤
=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
运算性质：注意不满足互补律
2.2 模糊矩阵的截矩阵
模糊矩阵截矩阵，类似于模糊集的截集
例如： 0.70.8R 0.91⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的0.7截矩阵为0.701R 11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 不难看出，模糊矩阵的截矩阵必然是布尔矩阵。

2.3 模糊矩阵的合成运算
模糊矩阵的合成运算类同于普通矩阵的乘法运算，只需将普通矩阵中的乘法运算和加法运算分别改为取小和取大运算即可。

例如：
0.20.50.60.5Q R 0.70.10.41(0.20.6)(0.50.4)(0.20.5)(0.51)0.40.5Q R (0.70.6)(0.10.4)(0.70.5)(0.11)0.60.5⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦∧∨∧∧∨∧⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
∧∨∧∧∨∧⎣⎦⎣⎦
性质：注意对交运算不满足分配律。

2.4 模糊矩阵的转置
模糊矩阵的转置：类同于普通矩阵的转置。

T T c T T c (R )R, (R )(R )==
2.5 模糊关系的定义及其运算
1. 定义：X 与Y 直积 (){},|, X Y x y x X y Y ⨯=∈∈中一个模糊子集R ，称为从X
到Y 的模糊关系，记为R
X Y →。

下面研究某一地区人的身高与体重的模糊关系：
某地区人身高与体重相互关系构成一个模糊关系
乙
丙 甲
叔侄关系 父子关系R
弟兄关系Q
S=Q ο R
2.1 模糊关系是普通关系的推广
人的身高与体重X ，Y 的论域分别为：
1234512345{,,,,}, {,,,,}X x x x x x Y y y y y y ==
它们之间构成的模糊关系R 表示论域X 中的元素i x 和论域Y 中的元素j y 对于关系R 的隶属程度,R i j ij x y r μ=（）。

10.80.20.100.810.80.20.1R 0.20.810.80.20.10.20.810.8000.20.81⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
23, 1.5,0.8
0.8R R x y μμ==例如：（）（） 模糊关系运算 并、交、补运算，包含、相等、转置均类同于模糊矩阵。

2.6 模糊等价关系 模糊关系的性质
R R R 2(1)(,)1
(2)(,y)(,)(3)R x x x y x R μμμ=⎫⎪
=⎬⎪
⊆⎭
自反性
对称性同时满足上述性质的模糊关系称为模糊等价关系
传递性 仅满足自反性、对称性的模糊关系称为模糊等容关系，或模糊相似关系。

例：已知123{,,}X x x x =，X X ⨯上的模糊关系R 为
10.40.80.410.40.80.41R ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因对角线元素均为1，又有
(,)(,)R i j R j i x x x x i j μμ=≠，，故R 具有自反
性、对称性，又
10.40.80.410.40.80.41R R R ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所以R 又具有传递性，故R 为一个模糊等价关系。

2.7 模糊关系的合成及运算性质
1. 定义：模糊关系Q 与R 的合成即为S Q R =，它们的隶属函数表示为
Q R Q R v V
(u,w)V ((u,v)(v,w))μμμ∈=∧
2. 性质：结合律，满足分配律，不满足分配律
例：已知模糊集合X ，Y ，Z 分别为1234{,,,}X x x x x =，123{,,}Y y y y =，12{,}Z z z =，并设Q X Y ∈⨯，R Y Z ∈⨯，S X Z ∈⨯，则Q 和R 分别为
0.5
0.60.30.70.4100.801
0.20.9Q ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，0.210.80.40.50.3R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则它们的合成S 为
0.60.50.50.70.80.40.51S Q R ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ .
2.8 模糊向量的定义及其运算
1. 模糊向量定义：由在[0,1]闭区间取值的元素构成的向量为模糊向量，其元素
为[]
()0,11,2,
,i
A i a u i m μ∈=
因此一个论域U 上的模糊子集，也视为从它的概念名称到论域的一个模糊关系，写成矩阵的形式即为模糊向量。

2. 模糊向量的笛卡尔乘积。

T a b a b ⨯
T a b
a b ⨯
注意：概念{}X α→论域，用向量a 表示，则从X 论域{}α→用T a 表示。

a b ⨯的意义表示{}α在不同的论域X 与Y 的转换关系。

例：(0.8,0.6,0.2)a =，(0.2,0.4)b =，则
[]0.80.80.20.80.40.20.40.60.20.40.60.20.60.40.20.40.20.20.20.20.40.20.2T
a b a b ∧∧⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯===∧∧=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥∧∧⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3. 模糊向量的内积
T a b a b ⋅
T a b
a b ⋅
模糊向量的内积表示同一论域U 内两个模糊概念{α}，{β}之间的相关程度。

(0.2,0.4,0.8)(0.3,0.7,0.8)
0.3(0.2,0.4,0.8)0.70.80.8T a b a b a b ==⎛⎫
⎪
⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭
例：
4. 模糊向量的外积 作为阅读，不讲
X
Y
b
2.2模糊向量的笛卡儿乘积
2.3模糊向量的内积
{α}
}
1
n
i i i a b
a b =∧∨， 易证c
c c a
b a b =⋅（）。