概率论-3

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第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
第一节 条件概率
• 条件概率 • 例1设有两个口袋,第一个口袋装有3个黑 球、2个白球;第二个口袋装有2个黑球和4 个白球。今从第一个口袋任取一球放到第 二个口袋,再从第二个口袋任取一球,求 已知从第一个口袋取出的是白球条件下从 第二个口袋取出白球的条件概率。 • 乘法定理(乘法公式) • n个事件情形下的乘法公式
几个例子
• 例12甲、乙二人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7。今各 投3次,求 (1)二人投中的次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率; (3) (3)乙比甲投中次数多的概率。 • 例13 有n个人,每个人都以同样的概率1/N被分配在 N(n<=N)间房中的每一间中,求下列各事件的概率: (1) A:某指定的n间房中各有一人; (2) B:恰有n间房,其中各有一人; (3) C: 某指定的房中恰m(m<=n)人;
几个例子
• 例6 设两个相互独立的事件A和B都不发生的 概率是1/9,A发生、B不发生的概率与B发生、 A不发生的概率相等。问P(A)为多少? • 例7 设A、B为任意两个事件,且A包含于B,B 的概率大于零,则A的概率与B发生条件下A 的条件概率之间的关系是怎样的? • 例8 已知事件A, B相互独立,A,C互补相容。 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(C)=0.4, P(B/C)=0.2. 求: (1)A 发生或者B发生的概率;(2)A发生或 者B发生条件下,C的条件概率;(3) C不发生 条件下,A与B同时发生的概率。
几个例子
• 例9 设A,B是任意两个事件,其中A的概率不等于0和1,求 P 证: ( B / A) = P( B / A) 是事件A与B独立的充分必要条件。 (2002年考研题数学四) • 例10 口袋中有10张卡片,其中两张卡是中奖卡。甲、乙、 丙三个人依次从口袋摸出一张,分别求甲、乙、丙三个人 中奖的概率。 • 例11在一个标准英语字典中有55个由二个不相同的字母所 组成的单字。若从26个英文字母中任取二个字母予以排列, 问能排成上述单字的概率是多少?
几个例子
• 例17 有一根长为l的木棒,任意折成三段, 问恰好能构成一个三角形的概率。 • 例18 随机地向半圆0<y<sqrt(2ax-x*x)(a为 正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域 的概率与区域的面积成正比,则原点和该 点的连线与X轴的夹角小于45度的概率是多 少?(1991年考研题数学一)
几个例子
• 例3 袋中有10个球,9个白的,1个红的。10 个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不 再放回袋中,问第一人,第二人,最后一人 取得红球的概率各为多少? • 例4 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率是多少? • 例5 假设一批产品一、二、三等品各占60%、 30%、10%,从中随意取出一件,结果不是 三等品,则取到的是一等品的概率为多少?
几个例子
• 例14 从5双不同鞋子中任意去4只,4只鞋子中至 少有2只鞋子配成一对的概率是多少? • 例15 园丁把3棵枫树、4棵橡树和5棵白桦树栽称 一行,12棵树的排序是随机的。每一种排列都是 12 等可能的,求没有两棵白桦树相邻的概率。 • 例16 将3个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中 球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少?
第三节 贝叶斯公式
带菌 阳性 非阳性 总和 0.95 0.05 1.00 不带菌 1.99 197.01 199 总和 2.94 197.06 200
第四节 事件的独立性
• 例6一袋中装有4个白球、2个黑球,从中有放回 取两次,每次取一个. A: {第一次取到白球}, B: {第二次取到白球}, 求:P(B),P(B/A), ( B / A ) . P(B) P(B/A) P • B与A独立 • 相互独立 • n个事件情形下的独立 • (n=3时)相互独立与两两独立
几个例子
• 例1 某光学仪器厂制造的透镜,在第一次落 下时打破的概率为0.5,第二次落下时打破 的概率为0.3,第三次落下时打破的概率为 0.9.如果透镜落下三次,它打破的概率是多 少? • 例2 猎人在距离100处射击一动物,其命中 率为0.5,如第一次未中,在150米处时进 行第二次射击,若仍未中,则在距离200米 处进行第三次射击(只允许射击三次)。假设 命中率与距离平方成反比,问猎人击中动 物的概率。
第四章 事件的独立性
• 例10(保险赔付)设有n个人向保险公司购买 人身意外险(保鲜期为1年),假定投保人在 一年内发生意外的概率为0.01,求: (1) 该保险公司赔付的概率; (2) 多大的n使得以上的赔付的概率超Baidu Nhomakorabea0.5.
第五节 伯努利试验和二项概率
• • • • 独立重复试验 伯努利试验 二项概率 例11从次品率为p=0.2的一批产品中,有放 回抽取5件,每次取一件,分别求抽到的5 件中恰好有3件次品以及至多有3件次品这 两个事件的概率。
第四节 事件的独立性
• 事件独立性的重要性质 在 A, B; A, B; A, B; A, B 这四对事件中,只要其中 有一对独立,则其余三对也独立。 • 可推广到任意n个事件的情形 • 例9设有n个元件分别依串联、并联两种情 形组成系统I和II。已知每个元件正常工作的 概率为p,分别求系统I和II的可靠性(即系统 正常工作的概率)。
第六节 主观概率
• • • • • 随机试验 (可重复进行或不可重复进行) 可重复随机试验 (频率方法) 不可重复试验 (主观概率) 事件A={上市后盈利} 事件B={手术成功的概率}
第六节 主观概率
• 例12某超市经理要知道一种新饮料畅销(记为事件 A) 的概率是多少,以决定是否向生产厂家订货以 及订多少。他在了解该饮料的质量和顾客对饮料 口味需求信息后,再基于他近年来成功销售的经 验认为事件A发生的可能性比事件A不发生 (表示 不畅销)高出大约一倍,此即 P( A) : P( A) = 2 :1,求 饮料畅销的概率。 • 专家咨询法[Group Decision Making] 信息融合[Information Fusion]
第二节 全概率公式
• 例1(续)设有两个口袋,第一个口袋装有3个 黑球、2个白球;第二个口袋装有2个黑球 和4个白球。今从第一个口袋任取一球放到 第二个口袋,再从第二个口袋任取一球, 求从第二个口袋取出白球的概率。 A:{从第一个口袋取出白球} B:{从第二个口袋取出白球}
第二节 全概率公式
• 全概率公式 • 例4 设某工厂有两个车间生产同型号家用电 器,第1车间的次品率为0.15,第2车间的 次品率为0.12. 两个车间生产的成品都混合 堆放在一个仓库中,假设第1、2车间生产 的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓 库中随机提一台产品,求该产品合格的概 率。
第三节 贝叶斯公式
• 例4(续) 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器, 第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为 0.12. 两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库 中,假设第1、2车间生产的成品比例为2:3,今 有一客户从成品仓库中随机提一台产品,经检验 是合格品,求该产品是第一车间生产的概率。 • 例5 (血液化验)一项血液化验以概率0.95将带菌病 人检出阳性,但也有1%的概率误将健康人检出阳 性. 设已知该种疾病的发病率为0.5%,求已知一 个个体检出为阳性条件下,该个体确实患有此种 疾病的概率。
例2 (生命表)
年龄 每十万人中存活人数 每千个人存活者的死亡率
50 51 52 53 54
90718 90135 89501 88822 88085
6.43 7.00 7.62 8.30 9.03
第一节 条件概率
• 例3 一批零件共100个,其中次品有10个, 今从中不放回抽取2次,每次取1件,求第 一次为次品,第二次为正品的概率。
第四节 事件的独立性
• 例7 设有四张卡片,其中分别涂上红色、白色、 黄色,而余下一张同时涂有红、白、黄三色。今 从中随机抽取一张,记事件A为抽取的卡片有红 色,B为抽出的卡片有白色,C为抽出的卡片有黄 色,考察A、B、C的独立性。 • 例8设某车间有三台车床,在一小时内机器不要求 工人维护的概率分别是:第一台为0.9,第2台为 0.8,第三台为0.85. 求一小时内三台车床至少有 一台不需工人维护的概率。
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