构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】

已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有

x x x ≤+≤+-

)1ln(1

11

分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

11

1)1ln()(-++

+=x x x g ，从其导数入手即可证明。

【解】1

11

1)(+-=-+=

'x x x x f

∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m

a x

==f x f ，因此，当1->x 时，

0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）

， 现证左面，令11

1)1ln()(-+++=x x x g ， 2

2

)

1()

1(11

1)(+=

+-

+=

'x x x x x g 则

当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x

∴11

1)1ln(+-

≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11

1

,1有时

【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），

那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2

1)(2

x x x f +=

求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =

的

图象的下方；

分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即

3

2

3

2ln 2

1x

x x <

+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有

3

2

3

2ln 2

1x

x x <

+成立，设

)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=

F

要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。 【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2

13

2)(2

3

--

=

，

则x

x x x F 12)(2

-

-='=

x

x x x )

12)(1(2

++-

当1>x 时，)(x F '=

x

x x x )

12)(1(2

++-

从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴06

1)1()(>=>F x F

∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =

的图象的下方。

【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），

并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式3

2

11)11ln(n

n

n -

>

+ 都成立.

分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令

x n

=1，则问题转化为：当0>x 时，

恒有3

2

)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2

3

++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

【解】令)1ln()(2

3

++-=x x x x h ，

则1

)

1(31

123)(2

3

2

+-+=++

-='x x x x x x x h 在),0(+∞∈x 上恒正，

所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h 即0)1ln(23>++-x x x ，∴3

2)1ln(x x x ->+ 对任意正整数n ，取3

2

11)11ln(

),0(1n

n

n n

x -

>

++∞∈=

，则有

【警示启迪】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝

()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．