第三章第二次课

什么是二阶系统？
二阶系统由一个惯性环节(非周期环节）和一个积 分环节串联组成。
分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被看 做基准。虽然实际中的控制系统更多的是三阶或 者更高阶的系统，但是它们有可能用二阶系统去 近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应 的合成。
因此，应重点研究二阶系统的响应。
C（s） = L1S2s2ncost
C (t) = 1 - cos ωn t (t≥0)
无阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为 等幅振荡，其振荡频率为ωn 。
2. ζ=1（临界阻尼）
C（s） = C (t) = (1 t ()te≥0)t /T
T
临界阻尼时，二阶系统的单位阶跃响是 单调的衰减过程。
ξ:阻尼比 ωn：无阻尼自然振荡频率
单位阶跃响应
C（s）=
1 s s2
s2n 2nsn2
C (t) = £ -1 C（s）
对阻尼比ζ进行讨论
阻尼比取值不同，特征根（极点）不同。
1.阻尼比 ζ=0（无阻尼）
方程的特征根为：
s 1, 2 = -ξωn ± ωn
2 1
S1，2 = ±jω
R（s）
二阶系统的框图
k1 s1
k2
C（s）
s
R（s）
k n2
s(s 2 n )
C（s）
R（s）
Βιβλιοθήκη Baiduk n2
s2 2ns n2
C（s）
二阶系统传递函数的标准型：
k n2
s2 2ns n2
系统的特征方程 = s2 + 2ξωns ± ωn2 = 0
方程的特征根为： s 1, 2 = -ξωn ± ωn 2 1
阻尼比： 由 2n 得1
1 0.25 2n
超调量Mp:
%e12 10% 04% 7
调节时间Ts:
3
ts(5%)n 6 s
当要求 0.7时0, 7
n
1 2
Kk n2 0.5
所以必须降低开环放大系数值， 才能满足二阶工程最佳参数的要求。 但应注意到，降低开环放大系数将使 系统稳态误差增大。
2.设系统的初始条件为零，根据二阶系
统的传递函数，求出在阶跃输入信号下
的时间响应。 y（t）= 1 —
1
l nt sin(d)
12
3.根据指标定义，结合时间响应求指标计 算公式。
1）上升时间 t r: 令 y（tr）=1
2）峰值时间t p: 将 y（t）对时间微分，并令
它等于零。
3）最大过超调量Mp: 最大过超调量发生在峰
例1: 已知单位反馈系统的传递函数为:
G(s)
5KA
s(s34.5)
设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放 大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能 指标。当KA增大到1500时或减小到KA =13.5, 这时系统的动态性能指标如何?
临界阻尼系统的特点
系统的响应随时间推移而单调增长， 在时间 t 趋向于无穷时达到稳态值。
系统响应的最大超调量为0. 临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使
用。
0＜ζ＜1（欠阻尼）
C（s）
=
1 s(s s n )2n d 21 2 (s n ) d 2 d2
C = 1 – (t)
结论
ξ影响了时间响应曲线的形状。 ωn影响了系统响应速度的快慢。
二阶系统的 暂态响应指标
根据线性定常系统暂态指标的定义， 结合二阶系统的特点，推导出二阶系
统：各项暂态指标与ξ、ωn之间定量
关系的计算公式。
推导思路
1.欠阻尼二阶系统在实际中应用最广， 多数机电控制系统都与欠阻尼二阶系统
性能相似，因此设系统是欠阻尼的。
求该系统的: （1）自然振荡角频率； （2）系统的阻尼比； （3）超调量和调节时间；
（4）如果要求 0.7,应07怎样改变系统参数 Kk 值。
解：系统的闭环传递函数为
W B s K k /s 2 T s K k, K k 4
写成标准形式
WB(s)s2
2 n
2nsn2
由此得自然振荡频率 n Kk 2
1
12
ent
s(ti≥n(0dt))
欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应是：
衰减的正弦振荡。（振幅随时间按指数规律衰减
的周期函数）（ζ越大，振幅衰减越快）。
欠阻尼系统的特点
该系统在实际中应用最广，多数电
机控制系统都与该系统性能类似。
1＜ζ（过阻尼）
C（s）
=
2 n
1
(sn 2n 21)(sn n 21s
4. 过阻尼 1﹤ζ
S1 = - ζωn - ωn
2 1
S2 = - ζωn + ωn 2 1
※ 系统有两个负实数极点。
极点分布见 教材64页 图3-5-2.
对阶跃时间响应进行讨论
ζ≤0 时
系统响应呈现等幅甚至是发散的振荡， 在实际工程中根本无法使用，因此不讨 论这一种情况。
1. ζ=0（无阻尼）
※ 系统有一对共扼虚数极点
极点分布见 教材64页 图3-5-2.
2. 阻尼比 ζ=1（临界阻尼）
S1，2 = - ζωn = - ωn ※ 系统有二重负实数极点。 极点分布见 教材64页 图3-5-2.
3. 欠阻尼 0﹤ζ<1
S1，2 = - ζωn + j 2 1 ※ 系统有一对共轭复数极点。 极点分布见 教材64页 图3-5-2.
二阶系统在阶跃输入下的响应
二阶系统实质上是一个振荡环节。
阻尼的大小、极点位置、时间响应 三者之间的关系。
教材64页 图3－5－2
自然振荡角频率ωn的概念
当阻尼＝0 时，系统输出为等幅振荡，振荡 频率为ωn. 它由系统的参数决定，是系统故有的， 故称为自然频率，或称无阻尼自然振荡频率。
振荡角频率ω的单位本为 rad/s,但因为弧度 本身没有量纲，只表示比值的概念，在研究控 制系统时习惯上写为 s-1, 同时也常简称ω为频 率。
值时间t p： Mp= y （t p）-1
4）调整时间 t s: 根据系统精度要求计算。
其阶跃响应中的暂态分量为振幅随时间 按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡 频率为：
ωd ＝ ωn
3
Ts ≈ n 取σ=5%
Mp= e-( ξ/
*100% )
例：某位置随动系统
系统结构图如图所示，其中 K k = 4，Ts=1。
C = 1 + (t)
(t≥0) n
e e s1t
s2t
()
2 2 1 s1 s2
响应中含有两个指数衰减项，其响应曲线为
单调上升的。
过阻尼系统的特点
响应是单调上升的，没有超调量，且过 程缓慢。
不适用于允许一定的超调，但希望快速 响应的场合。
但是对惯性大而增益又低的控制系统较 适用。例如：指示和记录仪表系统。