必修二 立体几何复习+经典例题
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一、判定两线平行的方法
1、平行于同一直线的两条直线互相平行
2、垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直
线就和交线平行
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
5、在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明
二、判定线面平行的方法
1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个
平面平行
3、两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面
5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义:没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行
4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
90角
1、定义:成︒
2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直
3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜
线垂直
4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射
影垂直
5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、定义:两面成直二面角,则两面垂直
2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
90
1、二面角的平面角为︒
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是:︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:︒≤<︒900θ (]︒︒90,0
4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0 十、三角形的心
1、 内心:内切圆的圆心,角平分线的交点
2、 外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点
3、 重心:中线的交点
4、
垂心:高的交点
【例题分析】
例2 在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,求证:MN ∥平面P AD .
【分析】要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.
证明:方法一,取PD 中点E ,连接AE ,NE .
∵底面ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,
∴MA ∥CD ,.21
CD MA = ∵E 是PD 的中点, ∴NE ∥CD ,.2
1
CD NE =
∴MA ∥NE ,且MA =NE , ∴AENM 是平行四边形, ∴MN ∥AE .
又AE ⊂平面P AD ,MN ⊄平面P AD , ∴MN ∥平面P AD .
方法二取CD 中点F ,连接MF ,NF .
∵MF∥AD,NF∥PD,
∴平面MNF∥平面P AD,
∴MN∥平面P AD.
【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法:
(1)证明线线平行:
a∥c,b∥c,a∥α,a⊂βα∥βa⊥α,b⊥α
α∩β=bγ ∩α=a,γ ∩β=b
⇒a∥b⇒a∥b⇒a∥b⇒a∥b
(2)证明线面平行:
a∩α=∅a∥bα∥β
b⊂α,a⊄αa⊂β
⇒a∥α⇒a∥α⇒a∥α
(3)证明面面平行:
α∩β=∅a∥β,b∥βa⊥α,a⊥βα∥γ ,β∥γ
a,b⊂α,a∩b=A
⇒α∥β⇒α∥β⇒α∥β⇒α∥β例3在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,AB⊥AC,求证:A1C⊥BC1.
【分析】要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可.
证明:连接AC1.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴AA1⊥平面ABC,
∴AB⊥AA1.
又AB⊥AC,
∴AB⊥平面A1ACC1,
∴A1C⊥A B.①
又AA1=AC,
∴侧面A1ACC1是正方形,
∴A1C⊥AC1.②
由①,②得A1C⊥平面ABC1,
∴A1C⊥BC1.
【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化.