必修二 立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直

线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、判定线面平行的方法

1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个

平面平行

3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

1、定义：没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行

3 垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法

90角

1、定义：成︒

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜

线垂直

4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射

影垂直

5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：两面成直二面角,则两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性质

90

1、二面角的平面角为︒

2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0 十、三角形的心

1、 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

2、 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、 重心：中线的交点

4、

垂心：高的交点

【例题分析】

例2 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD ．

【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．

证明：方法一，取PD 中点E ，连接AE ，NE ．

∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，

∴MA ∥CD ，.21

CD MA = ∵E 是PD 的中点， ∴NE ∥CD ，.2

1

CD NE =

∴MA ∥NE ，且MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN ∥AE ．

又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD ．

方法二取CD 中点F ，连接MF ，NF ．

∵MF∥AD，NF∥PD，

∴平面MNF∥平面P AD，

∴MN∥平面P AD．

【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：

(1)证明线线平行：

a∥c，b∥c，a∥α，a⊂βα∥βa⊥α，b⊥α

α∩β＝bγ ∩α＝a，γ ∩β＝b

⇒a∥b⇒a∥b⇒a∥b⇒a∥b

(2)证明线面平行：

a∩α＝∅a∥bα∥β

b⊂α，a⊄αa⊂β

⇒a∥α⇒a∥α⇒a∥α

(3)证明面面平行：

α∩β＝∅a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥γ ，β∥γ

a，b⊂α，a∩b＝A

⇒α∥β⇒α∥β⇒α∥β⇒α∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．

【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．

证明：连接AC1．

∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴AA1⊥平面ABC，

∴AB⊥AA1．

又AB⊥AC，

∴AB⊥平面A1ACC1，

∴A1C⊥A B．①

又AA1＝AC，

∴侧面A1ACC1是正方形，

∴A1C⊥AC1．②

由①，②得A1C⊥平面ABC1，

∴A1C⊥BC1．

【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．