最优化课程论文-三点二次插值法

四川理工学院

《最优化方法》课程论文

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专业：统计

班级：1班

学号：***********

完成日期：2014-6-25

无约束最优化方法——三点二次插值法

摘要

在生产过程、科学实验以及日常生活中，人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事，获得最大的效益，在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化，如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。最优化问题分为无约束最优化和约束最优化，本文主要拟就无约束最优化进行分析。

无约束最优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题之一，快速的求解无约束最优化问题，除了自身的重要性以外，还体现在它也构成一些约束最优化问题的子问题。因此，对于无约束最优化问题，如何快速有效的求解一直是优化工作者十分关心的事。本文研究求解无约束最优化问题的精确线性搜索方法——三点二次插值法，并且讨论了这种方法的优缺点以及适用范围，同时论文中对这种方法给出了具体实例，并对例子进行了matlab软件实现。

关键词：三点二次插值法、插值多项式、目标函数

目录

一、问题的提出 (3)

二、设计思路和步骤 (3)

3.1设计思路 (3)

3.2 设计步骤 (3)

三、程序设计 (5)

3.1问题分析 (5)

3.2 算法设计 (5)

3.3 算法框图 (5)

3.4 程序编制 (7)

四、结果分析 (8)

四、结果分析

3.1理论结果 .......................................................... 8 3.2 编程结果 .......................................................... 9 五、收获提高 (11)

5.1设计的优缺点 ..................................................... 11 5.2收获与启发 ....................................................... 11 参考文献 . (11)

一、问题的提出

用精确线性搜索方法求

()23min 30

+-=≥αααϕα

的近似最优解（精确极小点为*α=1）。设已确定其初始搜索区间为[0,3]，取初始插值点为0α=2，终止误差ε=0.05。

二、设计思路和步骤

2.1设计思路

在求解一元函数()αϕ的极小点时，在搜索区间中用低次（通常不超过三次）插值多项式()αq 来近似目标函数，后求该多项式的极小点（比较容易计算），并以此作为目标函数()αϕ的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。

2.2设计步骤

考虑二次多项式

()c b a q ++=ααα2 则

b a q +='αα2)(

四川理工学院《最优化方法》课程论文

令0)(='αq ，得a

b

2-

=α。这意味着我们要求a ，b 。 今考虑在包含）（αϕ的极小点*α的搜索区间[]00,b a 中，给定三个点1α，2α，3α，满足

1α<2α<3α

）（1αϕ>）（2αϕ<）（3αϕ

利用三点处的函数值）（1αϕ，）（2αϕ，）（3αϕ构造二次函数，并要求插值条件满足 )()(112

11αϕαα=++∂=c b a q ， )()(22222αϕαα=++∂=c b a q ， )()(33233αϕαα=++∂=c b a q 。 令()()i i αϕϕ=，i=1,2,3。解上述方程组得 ()()()()()()

133221*********-------ααααααϕααϕααϕαα++=a

()(

)(

)

()()()

1332213

2

22122

12312

322

------ααααααϕααϕααϕαα

++=

b

于是，二次函数()αq 的极小点为

(

)(

)(

)

()()3212131323

2

22122

12312

322)(-----212b -ϕααϕααϕααϕααϕααϕααα-++++=

=a 设()

αϕϕ∆

=。求得α和ϕ以后，如果

ϕϕ-2≤21ϕε，当2ϕ>2ε时， 或者如果

ϕϕ-2≤1ε，当2ϕ<2ε时。

则我们认为收敛准则满足。如果ϕ<2ϕ,则极小点估计为α，否则为2α。

若终止准则不满足，则利用α提供的信息，从1α，2α，3α和α中选出相邻的三个点，将原来的搜索区间缩小，然后重复上述过程，直到终止准则满足为止。

四、结果分析

三、程序设计

3.1问题分析

用精确线性搜索方法进行搜索，通过取试探点和进行函数值的比较，使包含极小点的搜索区间[0,3]不断缩小，当区间长度缩短到小于终止误差0.05，区间上个点的函数值均接近极小值，从而各点可以看作为极小点的近似。

3.2 算法设计

初始步 给出1α，2α，3α，满足上述设计步骤。 步1 由上述设计步骤计算α。

步2 比较α和2α的大小，如果α>2α，则转步3；否则转步4。 步3 如果ϕ≤2ϕ，则

21αα⇐，αα⇐2，21ϕϕ⇐，ϕϕ⇐2， 转步5；否则αα⇐3，ϕϕ⇐3，转步5。 步4 若2ϕϕ≤，则

23αα⇐，αα⇐2，23ϕϕ⇐，ϕϕ⇐2， 转步5；否则αα⇐1，ϕϕ⇐1，转步5。

步5 如果收敛准则满足，停止迭代；否则转步1，在新的搜索区间[1α，3α上

按公式计算二次插值函数的极小点α。

3.3 算法框图 其中

13131ααϕϕ--=c ()()1

2112122/ααααϕϕ----=c c

()2121c c -5.0ααα+=