专题1 一次函数(教案)自招题

学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期

时 间

主 题 一次函数

学习目标

教学内容

专题1 一次函数（教案）

前言：

把函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，其中自变量x 的取值范围是任意实数。若0=b ，函数

)0(≠=k kx y 为正比例函数。

一次函数的图像是一条经过点),0(b 和)0,(k

b

-

的直线。

一、专题知识

1. 基本公式

（1）一次函数的解析式为b kx x f +=)(，其中b k ,0≠为常数项。 （2）一次函数b kx x f +=)(的图像是一条直线，其斜率为k 。 2. 基本结论

（1）增减性：当0>k 时，一次函数b kx y +=的函数值y 随自变量x 的增大而增大；当0

b kx y +=的函数值y 随自变量x 的增大而减小。

（2）对称性：一次函数b kx y +=图像上的任意一点都是函数图像的对称中心；特别地正比例函数kx y =的图像关于坐标原点O 中心对称。

（3）含有绝对值的一次函数的图像是由若干条线段和射线组成的折线，作出它的图像的步骤：先将绝对值去掉，分成几个不含有绝对值的一次函数。

二、例题分析

例题1 已知O 为坐标原点，一次函数），（2

3-25

的图像与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ， 且1≤∆AOB S ，求实数b 的取值范围。

【解】令0=x ，则b y =；令0=y ，则b x 2-=，则 122

1

21≤•-•=•=

∆b b OB OA S AOB ， 整理得，12

≤b ，

解得，11≤≤-b 。

所以实数b 的取值范围是11≤≤-b 。

例题2 作出函数|1||3|-+-=x x y 的图像。

【解】令03=-x ，得3=x ；令01=-x ，得1=x 。1和3将数轴分成三段，下面逐段讨论：

（1）当1≤x 时，x x x y 2413-=-+-=； （2）当31<

所以⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-<<≤-=3,4231,21,24x x x x x y ，其图像如图1-1所示。

例题 3 对于任意实数k ，一次方程0)11()3()12(=--+--k y k x k 所表示的直线恒经过点D ，求出点D 的坐标。

【解】将方程0)11()3()12(=--+--k y k x k 变形得，

0)113()12(=-+---y x k y x ，

根据多项式恒等的条件可得， ⎩⎨

⎧=-+=--0

1130

12y x y x ,

解得⎩

⎨⎧==32y x ，

所以点D 的坐标为)3,2(。 例题4 如图1-2所示，直线13

3

+-

=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且90ABC ︒∠=，如果在第二象限内有一点)2

1,(a P 满足条件：ABC ABP S S ∆∆=，求实数a 的值。

【解】令0=x ，得1=y ；令0=y ，得3=

x ，所以)0,3(A 、)1,0(B

即2,2,1,3====∆ABC S AB OB OA 所以2=∆ABP S 。 4

321=•=

∆p AOP y OA S ；

;2

321;2

21=•=-=•=

∆∆OB OA S a x OB S AOB

p BOP

由于AOP AOB BOP ABP S S S S ∆∆∆∆-+=,

所以24

3232=-+-

a ， 解得42

3

-=

a 。

三、专题训练

专题练习

1. 求函数2|2||1|=++-y x 的图像所围成的图形的面积。 【解】：当2,1-≥≥y x 时，1+-=x y ； 当21-<≥y x ，时，5-=x y ； 当2,1-≥

所以函数221=++-y x 的图像所围成的图形是一个边长为22的正方形，所求图形的面积为8．

2. 已知直线4-=x y 与y 轴交点为M ，直线63+-=x y 与y 轴交点为N ，直线4-=x y 与63+-=x y 交点为P ，求经过线段MN 的中点Q 与点P 的一次函数解析式。

【解】：直线4-=x y 与y 轴交点为)4,0(-M ，直线63+-=x y 与y 轴交点为)60(，N ，线段MN 的中点

)10(，Q ．由⎩

⎨

⎧+-=-=634x y x y ，得P 点坐标为），（23

-25 设经过点Q 与点P 的一次函数解析式为)0(≠+=k b kx y ，则⎪⎩⎪

⎨⎧-=+=232

51

b k b ⇒⎩⎨

⎧=-=11b k ，即所求一次函数解析式为1+-=x y ．

3. 已知一次函数)25()35(n x m y --+=，分别求出n m 、的值，使得满足下列条件： （1）y 随x 的增大而减小； （2）图像在第一、三、四象限；

（3）图像在y 轴上的截距小于1；

（4）图像过)10,()3,0()0,1(a 、、-，求a 的值。

【解】：（1）035<+m ，解得53

-

3-