2.1.2认识无理数B ppt
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《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
认识无理数-(第二课时)PPT课件
2020年9月28日
13
拓展
学习目标 预习
2、下列语句正确的是（ D ）
展 示 A、3.78788788887888是无理数
互 动 B、无理数分正无理数、零、负
生成
达 标 无理数
拓 展 C、无限小数不能化成分数
谈谈收获 D、无限不循环小数是无理数
2020年9月28日
14
拓展
学习目标
预 习 3、面积为6的长方形，长是宽
0 .351 , -5.232 332…， 3.14159, π . 4 . 96 ,
3
2, 3
123.345 678 910 11…(由相继的正整数组成)
0 .351 ,
.
4 .96 ,
2, 3
3.141 59,
-5.232332…
π, 3 0.123 345 678 910 11…
有理数
2020年9月28日
互动 生成
其中无理数的个数为x, 整数的个
达 标 数为y, 非负数的个数为z, 则
拓展
谈谈收获 x+y+z= ___6__.
2020年9月28日
12
拓展
学习目标
预 习 1、下列说法中正确的是（ D） 展 示 A、不循坏小数是无理数
互动
生 成 B、分数不是有理数 达 标 C、有理数都是有限小数
拓展
谈谈收获 D、3.1415926是有理数
演讲完毕，谢谢观看！
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认识无理数(2)ppt
小明根据他的探索过程整理出 如下的表格，你的结果呢？
边长a 1＜a＜ 2 1.4＜ a＜ 1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 1.4142＜a＜1.4143 面积s=a2 1＜s＜4 1.96＜s＜2.25 1.9881＜s＜2.0164 1.999369＜s＜2.002225 1.99996164＜s＜2.00024449
1、把下列各数表示成小数，你பைடு நூலகம் 现什么？
4 5 8 2 3, , , , . 5 9 45 11
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
强
调
像0.585885888588885…，1.41421356…， 2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不
a可能是有限小数吗？
你有什么新的发现？
事实上， a=1.41421356……
(1)估计面积为5的正方形的边长 的值（结果精确到十分位） (2)计算结果精确到百分位呢？
事实上b=2.236067978……
事实b=2.236067978…,也是一个无限不循环小数.
自学指导2：
自学课本P23议一议，想一想，完成： 1.理解无理数的概念，有理数与无理数的 区别，会识别一个数是有理数还是无理数.
6.（1）设面积为20的正方形的 边长为x，x是有理数吗？说说你 的理由.
（2）估计x的值（结果精确到十分 位），并用计算器验证你的估计。
（3）如果结果精确到百分位呢？
回顾与小结： 1、_________________叫无理 数。_______________叫有理数。试 举例说明。 2、借助计算器进行探索，用两边 夹逼法可以求一个无理数的近似值。
八年级数学上册 第二章 实数1 认识无理数作业课件上册数学课件
第五页，共二十三页。
6．下列说法正确的是( B ) A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数
π C. 2 是分数 D．无限小数是无理数
7．边长为 2 的等边三角形的高为 h， 则 h 是 无理数 ．(填“有理数”或“无理数”)
第六页，共二十三页。
8．把下列各数填入相应的括号内：
－17，0.304，2π，0.121 221 222 1…(两个 1 之间依次多 1 个 2)，1132，－23.
第十九页，共二十三页。
21．面积(miàn jī)为15的正方形的边长的整数部分为a，面积为56的正方形的边长的整数 部分为b，求a＋b的值． 解：设面积为15的正方形的边长为x，则x2＝15，所以x在3和4之间， 故a＝3；设面积为56的正方形的边长为y，则y2＝56，所以y在7和8之间， 故b＝7，所以a＋b＝10.
正方形．试估计该舞台的边长的大小在( )
D
A．5米与6米之间 B．6米与7米之间
C．7米与8米之间 D．8米与9米之间
第十页，共二十三页。
12．一个高为2 m，宽为1 m的长方形大门(dàmén)，对角线的长在两个相邻的整数之 间，这两个整数是____和__2__. 3
第十一页，共二十三页。
13．如图，在3×3的方格中，阴影部分为正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请
解决下面的问题(wèntí)：
(1)阴影正方形的面积是多少？
解：阴影正方形的面积是5.
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
解：根据正方形的面积是边长的平方可知，边长介于2和3之间．
第十二页，共二十三页。
14．下列各数：－23，0.7，4π，3.141 59，2.303 003 000 3…(相邻两个 3
认识无理数.PPT课件(北师大版)
A、面积为3的正方形的边长 B、体积是8的正方体的棱长 C、两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长 2．面积为3的正方形的边长_不__是___有理数；面积为4 的正方形的边长__是___有理数.（填“是”或“不是”)
级：快乐提升 ——练能力： 3．加固一个高2米、宽1米的大门，需 要在对角线位置加固一条木板，设木板 长为a米，则 a的值大约是多少？这个值 可能是分数吗？
必做题：如图，在△ABC中，
CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，
问：CD可能是整数吗？可能是分
数吗？可能是有理数吗？
选做题： B，C是一个生活小区的两个路口，
BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口 的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条 最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分 数吗？说明理由.
视察下图后回答下面问题， （1）如图：以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条 件？
（3）b是有理数吗？
活动五：了解数学史，体会数学文化
请阅读下面材料，并说出自己的感受：
公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯( Pythagoras) 学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整 数之比，即都可用有理数来描述。
(一)知识上的总结：
教师提问：本节课你学到了什么知识？ (二)数学方法上的总结
教师提问：在讨论大正方形的边长是否为有理数 时，我们是怎样讨论的 ？
总结： “分类讨论”的数学说理方法 教师提问：在研究大正方形的边长是否为分数时，
我们从哪里开始研究的？
总结： “特殊到一般”的研究方法
级：轻松过关 ——打基础： 1．下列各数中，是有理数的是（ B ）
义务教育教科书（北师大版）数学 八年级上册
级：快乐提升 ——练能力： 3．加固一个高2米、宽1米的大门，需 要在对角线位置加固一条木板，设木板 长为a米，则 a的值大约是多少？这个值 可能是分数吗？
必做题：如图，在△ABC中，
CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，
问：CD可能是整数吗？可能是分
数吗？可能是有理数吗？
选做题： B，C是一个生活小区的两个路口，
BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口 的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条 最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分 数吗？说明理由.
视察下图后回答下面问题， （1）如图：以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条 件？
（3）b是有理数吗？
活动五：了解数学史，体会数学文化
请阅读下面材料，并说出自己的感受：
公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯( Pythagoras) 学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整 数之比，即都可用有理数来描述。
(一)知识上的总结：
教师提问：本节课你学到了什么知识？ (二)数学方法上的总结
教师提问：在讨论大正方形的边长是否为有理数 时，我们是怎样讨论的 ？
总结： “分类讨论”的数学说理方法 教师提问：在研究大正方形的边长是否为分数时，
我们从哪里开始研究的？
总结： “特殊到一般”的研究方法
级：轻松过关 ——打基础： 1．下列各数中，是有理数的是（ B ）
义务教育教科书（北师大版）数学 八年级上册
2.1.2认识无理数
第二章
认识无理数（二）
北大附中河南分校
学习目标
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小 数，并从中体会无限逼近的思想.
2.会判断一个数是有理数还是无理数.
温故知新：（2分钟）
1、上节课了解到一些数，如 a 2, b 5 中的a，b 既不是整数，也不是分数，那么它 们究竟是什么数呢？
2 2
自主学习(5分钟)
点拨
整数
有理数：有限小数或无限循环小数
数
无理数：无限不循环小数
分数
随堂练习
） ） ） ）
判断下列说法是否正确: (1)有限小数是有理数; （√ (2)无限小数都是无理数; （ × (3)无理数都是无限小数; （√ (4)有理数是有限小数. （ ×
归纳提升
有限小数或无限循环小数都是有理数. 无限不循环小数叫无理数. 有理数与无理数的区别 1、无理数是无限不循环小数，有理数 是有限小数或者是无限循环小数. 2、任何一个有理数都可以化成分数的 形式，而无理数不能.
教师精讲
π 是无理数).
例：下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
0.351, , 3.14159, -5.2323332…, 1.1010010001...（相邻两个1之间0 的个数逐次加1
小老师讲解
下列各数中，哪些是有理数？哪 些是无理数？ 4 3.14， 3
0.1010010001…(相邻两个1之间 0的个数逐次加1)
每日一题
2
如果x 10，则x是 无理 数， ______ 整数部分是 _______ 3
当堂检测（10分钟）
1、如果一个圆的半径是2，那么该 圆的周长是（ B ） A、一个有理数 B、一个无理数 C、一个分数 D、一个整数
认识无理数（二）
北大附中河南分校
学习目标
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小 数，并从中体会无限逼近的思想.
2.会判断一个数是有理数还是无理数.
温故知新：（2分钟）
1、上节课了解到一些数，如 a 2, b 5 中的a，b 既不是整数，也不是分数，那么它 们究竟是什么数呢？
2 2
自主学习(5分钟)
点拨
整数
有理数：有限小数或无限循环小数
数
无理数：无限不循环小数
分数
随堂练习
） ） ） ）
判断下列说法是否正确: (1)有限小数是有理数; （√ (2)无限小数都是无理数; （ × (3)无理数都是无限小数; （√ (4)有理数是有限小数. （ ×
归纳提升
有限小数或无限循环小数都是有理数. 无限不循环小数叫无理数. 有理数与无理数的区别 1、无理数是无限不循环小数，有理数 是有限小数或者是无限循环小数. 2、任何一个有理数都可以化成分数的 形式，而无理数不能.
教师精讲
π 是无理数).
例：下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
0.351, , 3.14159, -5.2323332…, 1.1010010001...（相邻两个1之间0 的个数逐次加1
小老师讲解
下列各数中，哪些是有理数？哪 些是无理数？ 4 3.14， 3
0.1010010001…(相邻两个1之间 0的个数逐次加1)
每日一题
2
如果x 10，则x是 无理 数， ______ 整数部分是 _______ 3
当堂检测（10分钟）
1、如果一个圆的半径是2，那么该 圆的周长是（ B ） A、一个有理数 B、一个无理数 C、一个分数 D、一个整数
《认识无理数》实数PPT教学课件
是有理数的线段
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
北师版八年级上册第二章2.1.2认识无理数(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，如无理数的运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如π在实际中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用纸片折出√2的近似值，演示无理数的近似求解方法。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，大家积极性很高。但在成果展示环节，我发现部分小组对无理数在实际生活中的应用理解不够深入。这说明在今后的教学中，我需要加强引导学生关注数学知识在现实生活中的运用，提高他们的应用能力。
学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，让学生充分发表自己的观点。但在讨论过程中，我也发现部分学生较为内向，不敢表达自己的想法。针对这个问题，我计划在今后的教学中多给予这些学生鼓励和支持，提高他们的自信心。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生在理解无理数概念上存在一定难度，这是我在今后教学中需要重点关注和改进的地方。在讲解无理数定义时，我尝试通过生活实例和数学历史故事来引导学生理解，但感觉效果并不理想。可能是因为这个概念本身较为抽象，需要更多具体、直观的例子来帮助学生理解。
在讲授无理数的表示和运算时，我注意到学生们的兴趣有所提高，尤其是案例分析部分。这说明结合实际情境进行教学更能激发学生的学习兴趣。但在讲解难点部分，如无理数的乘除运算，我发现学生们仍然感到困惑。因此，我需要寻找更有效的教学方法，如通过具体例子、图形演示等方式，帮助学生突破这个难点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，与有理数（整数和分数）不同。无理数在数学中具有重要地位，如在几何图形中描述长度和面积。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如π在实际中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用纸片折出√2的近似值，演示无理数的近似求解方法。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，大家积极性很高。但在成果展示环节，我发现部分小组对无理数在实际生活中的应用理解不够深入。这说明在今后的教学中，我需要加强引导学生关注数学知识在现实生活中的运用，提高他们的应用能力。
学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，让学生充分发表自己的观点。但在讨论过程中，我也发现部分学生较为内向，不敢表达自己的想法。针对这个问题，我计划在今后的教学中多给予这些学生鼓励和支持，提高他们的自信心。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生在理解无理数概念上存在一定难度，这是我在今后教学中需要重点关注和改进的地方。在讲解无理数定义时，我尝试通过生活实例和数学历史故事来引导学生理解，但感觉效果并不理想。可能是因为这个概念本身较为抽象，需要更多具体、直观的例子来帮助学生理解。
在讲授无理数的表示和运算时，我注意到学生们的兴趣有所提高，尤其是案例分析部分。这说明结合实际情境进行教学更能激发学生的学习兴趣。但在讲解难点部分，如无理数的乘除运算，我发现学生们仍然感到困惑。因此，我需要寻找更有效的教学方法，如通过具体例子、图形演示等方式，帮助学生突破这个难点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，与有理数（整数和分数）不同。无理数在数学中具有重要地位，如在几何图形中描述长度和面积。
《认识无理数》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
3．有理数能化为分数形式，无理数____不__能____化为分数形式．
1．(3分)一个长方形的长与宽分别是6 cm，3 cm，它的对角线的长可
能是( D ) A．整数
B．分数
C．有理数
D．无限不循环小数
2．(3分)直角三角形两直角边长为2和5，以斜边为边的正方形的面积
是__2_9___，此正方形的边长__不__是____(填“是〞或者“不是〞)有理数． 3．(6分)B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一
D
(2)∠CAD=∠CBD.
B
A
N
作业分析 8
提高证明能力的源泉
8、任意作一个钝角,求作它的角平分线.
作业分析 9
提高证明能力的源泉
9、线段a, 求作：以a为底,以2a为高的等腰三角形.
A D
∴PD=PE
1
逆定理:
O2
在一个角的内部,且到角的两边距离相 E
等的点,在这个角的平分线上.
P
C
B
∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE ∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)
11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且
这一点到三个顶点的距离相等.
(这一点叫做三角形的外心)
个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区
修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？
解：不可能是整数，也不可能是分数
4．(8分)如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的 边长为1个单位．请解决下面的问题． (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB
1．(3分)一个长方形的长与宽分别是6 cm，3 cm，它的对角线的长可
能是( D ) A．整数
B．分数
C．有理数
D．无限不循环小数
2．(3分)直角三角形两直角边长为2和5，以斜边为边的正方形的面积
是__2_9___，此正方形的边长__不__是____(填“是〞或者“不是〞)有理数． 3．(6分)B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一
D
(2)∠CAD=∠CBD.
B
A
N
作业分析 8
提高证明能力的源泉
8、任意作一个钝角,求作它的角平分线.
作业分析 9
提高证明能力的源泉
9、线段a, 求作：以a为底,以2a为高的等腰三角形.
A D
∴PD=PE
1
逆定理:
O2
在一个角的内部,且到角的两边距离相 E
等的点,在这个角的平分线上.
P
C
B
∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE ∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)
11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且
这一点到三个顶点的距离相等.
(这一点叫做三角形的外心)
个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区
修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？
解：不可能是整数，也不可能是分数
4．(8分)如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的 边长为1个单位．请解决下面的问题． (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB
《认识无理数》课件
《认识无理数》PPT课件
这是一份关于无理数的PPT课件，将带你深入了解无理数的概念、定义、分类、 计算方法、数学中的应用等。
简介
无理数是数学中一个非常有趣的概念，这部分将介绍无理数的概念和背景， 并解释有理数和无理数之间的关系。
无理数的定义
无理数是数学术语，它有着特定的符号和数学定义。本部分将介绍无理数的 定义、特点和表现形式。
无理数的分类
无理数可以根据其性质和标准进行分类。我们将比较无理数和有理数之间的差异，并阐述它们分别在数学中的 应用。
无理数的计算
无理数的计算方法和规则是数学中的重要内容。我们将探讨无理数的基本计 算方法，并通过几个例题进行演示。
数学中的应用
无理数在数学中有广泛的应用。在这一部分，将展示无理数在数学中的应用， 并介了无理数的基本知识点，强调了无理数在数学中的 重要性和应用。
结束语
通过本次课程，希望你对无理数有了更深入的理解和认识。鼓励你在数学学习中勇于探索和发现更多的数学知 识。
这是一份关于无理数的PPT课件，将带你深入了解无理数的概念、定义、分类、 计算方法、数学中的应用等。
简介
无理数是数学中一个非常有趣的概念，这部分将介绍无理数的概念和背景， 并解释有理数和无理数之间的关系。
无理数的定义
无理数是数学术语，它有着特定的符号和数学定义。本部分将介绍无理数的 定义、特点和表现形式。
无理数的分类
无理数可以根据其性质和标准进行分类。我们将比较无理数和有理数之间的差异，并阐述它们分别在数学中的 应用。
无理数的计算
无理数的计算方法和规则是数学中的重要内容。我们将探讨无理数的基本计 算方法，并通过几个例题进行演示。
数学中的应用
无理数在数学中有广泛的应用。在这一部分，将展示无理数在数学中的应用， 并介了无理数的基本知识点，强调了无理数在数学中的 重要性和应用。
结束语
通过本次课程，希望你对无理数有了更深入的理解和认识。鼓励你在数学学习中勇于探索和发现更多的数学知 识。
北师大版八年级数学上册《2.1.2认识无理数》课件
(2)如果结果精确到百分位呢?
事实上,b=2.236067978…,也是一个 无限不循环小数.
同样,对于体积为2的正方体,我们借助计算 器,可以得到它的棱长C=1.25992105…,它 也是一个无限不循环小数
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
一、想一想
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ).
有理数 分数(如
1,2, 9 3 5 11
…)
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不
是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是 多少呢？
（1）下图中，3个正方形的边长之间 有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分 位是几？百分位呢？千分位 呢？ … …借助计数器进行探索。
1 1
a 面积为2 a
2 2
（3）小明根据他的探索过程整理出如下 的表格，你的结果呢？
边长a 1＜a ＜2
面积S 1 ＜S ＜4
1.4 ＜a ＜1.5
1.96 ＜S ＜2.25
1.41 ＜a ＜1.42 1.414 ＜a ＜1.415 1.4142 ＜a ＜ 1.4143
5.任何一个分数一定是有理数.
()
二、填空题。
1.面积是25的正方形的边长为 ,它是 数.
面积为7 的正方形边长a的整数部分是 ，边
长a是一个 数.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别
事实上,b=2.236067978…,也是一个 无限不循环小数.
同样,对于体积为2的正方体,我们借助计算 器,可以得到它的棱长C=1.25992105…,它 也是一个无限不循环小数
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
一、想一想
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ).
有理数 分数(如
1,2, 9 3 5 11
…)
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不
是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是 多少呢？
（1）下图中，3个正方形的边长之间 有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分 位是几？百分位呢？千分位 呢？ … …借助计数器进行探索。
1 1
a 面积为2 a
2 2
（3）小明根据他的探索过程整理出如下 的表格，你的结果呢？
边长a 1＜a ＜2
面积S 1 ＜S ＜4
1.4 ＜a ＜1.5
1.96 ＜S ＜2.25
1.41 ＜a ＜1.42 1.414 ＜a ＜1.415 1.4142 ＜a ＜ 1.4143
5.任何一个分数一定是有理数.
()
二、填空题。
1.面积是25的正方形的边长为 ,它是 数.
面积为7 的正方形边长a的整数部分是 ，边
长a是一个 数.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别
2.1.2认识无理数(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如无理数在科技发展中的作用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了无理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对无理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造正方形对角线长度√2的例子，以及π在圆的周长中的应用，来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如√3在等边三角形中的应用。
2.1.2认识无理数（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第二章“数的开方”中的2.1.2节“认识无理数”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.无理数的定义：引导学生理解无理数的概念，掌握无理数是无限不循环小数的特性，并能识别常见的无理数。
2.无理数的表示：学习无理数的表示方法，包括根号表示法（如√2、√3等）和无限不循环小数表示法（如π、e等），了解无理数与有理数的区别和联系。
然而，在讲解无理数的表示方法时，我发现有些学生对根号表示法还不够熟悉，对无限不循环小数的理解也有些困难。这可能是因为我对这些概念的解释不够清晰，或者例子不够丰富。在以后的教学中，我需要准备更多生动、具体的例子，帮助学生更好地理解这些表示方法。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程比我预期的要顺利。他们能够将所学的无理数知识应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到有些学生在操作过程中遇到了困难，可能是由于他们对无理数的理解还不够深入。针对这个问题，我计划在下一节课中增加一些针对性的练习，让学生在实践中进一步巩固对无理数的理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了无理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对无理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造正方形对角线长度√2的例子，以及π在圆的周长中的应用，来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如√3在等边三角形中的应用。
2.1.2认识无理数（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第二章“数的开方”中的2.1.2节“认识无理数”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.无理数的定义：引导学生理解无理数的概念，掌握无理数是无限不循环小数的特性，并能识别常见的无理数。
2.无理数的表示：学习无理数的表示方法，包括根号表示法（如√2、√3等）和无限不循环小数表示法（如π、e等），了解无理数与有理数的区别和联系。
然而，在讲解无理数的表示方法时，我发现有些学生对根号表示法还不够熟悉，对无限不循环小数的理解也有些困难。这可能是因为我对这些概念的解释不够清晰，或者例子不够丰富。在以后的教学中，我需要准备更多生动、具体的例子，帮助学生更好地理解这些表示方法。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程比我预期的要顺利。他们能够将所学的无理数知识应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到有些学生在操作过程中遇到了困难，可能是由于他们对无理数的理解还不够深入。针对这个问题，我计划在下一节课中增加一些针对性的练习，让学生在实践中进一步巩固对无理数的理解。
新北师大版八年级数学上册《认识无理数》优质ppt教学课件
使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相 · ··
减,这样“大尾巴”就剪掉了.例题:把0.3和0.217化为分数.
图1
图2
第二章
2.1 认识无理数
知识要点基础练
·· ( 1 )把0.17化为分数;
·· ( 2 )把0.313化为分数.
综合能力提升练
··
··
解:( 1 )∵0.17×100=17.17,
第二章
2.1 认识无理数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-8-
13.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形,其中CA,CB,CD,CE中 长度既不是整数,也不是分数的有 3 条.
14.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内: -2,-12,3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),272,-π3,-( -3 ),0.333,0,34,-17,3.1·5·,0.12345678910111213…( 小数部分由相继的正整数组 成 ),-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 ).
∴0.1·7·×100-0.1·7·=17.1·7·-0.1·7·,
··
0.17×(
100-1
··
)=17,∴0.17
=
1979.
··
··
( 2 )∵0.313×10=3.13, ①
··
··
0.313×1000=313.13, ②
··
··
·· ··
∴由②-①得 0.313×1000-0.313×10=313.13-3.13,
数是
《认识无理数(第1课时)》课件 (一等奖)2022年最新PPT2
如图，一个矩形木条长为4㎝，宽为3㎝， 用刻度尺作出每条边的中点，并顺次连结它们。 猜一猜你能得到什么图形？
认识无理数
1
1
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一 拼，设法得到一个大正方形。
⑴ 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
⑵ a可能是整数吗？说说你的理由。 ⑶ a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为 分母的分数吗？说说你的理由。
⑷ a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴 交流。
做一做
〔1〕以直角三角形的 斜边为正方形的面积是 多少？
2
1〔2〕设该正方形的边源自为b，b满足什么条件？ 〔3〕b是有理数吗？
比较线段的长短
比较两根铅笔的长短，你有哪些方法？
如果把铅笔抽象成线段，让你比较两条线 段的长短，你能想出哪些方法？
我们常见的路为什么大多都是直的？
在一张透明纸上任意画一条线段，折叠纸片，
使这条线段的两个端点重合在一起，你会有什么 发现？
2.1 认识无理数 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
∴ a 不是有理数.
典例导思
（2）估计 a 的值.（精确到0.1）
解：（2）∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，∴3.6＜ a ＜3.7.
∵3.62＝12.96，3.612＝13.032 1，
∴3.6＜ a ＜3.61.∴ a ≈3.6.
典例导思
题型二 无理数的概念
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
∵2.232＜5＜2.242，∴2.23＜ a ＜2.24.
∵2.2362＜5＜2.2372，∴2.236＜ a ＜2.237.
∴ a 保留到百分位约为2.24.
典例导思
1. 满足以下条件的正方形的边长不是有理数的是
（ D ）
A. 面积为16
C. 面积为1.21
面积为
B.
D. 面积为6
典例导思
ห้องสมุดไป่ตู้
，1.225 222 522 225…（每相邻两个5之间2的个数
是
逐次加1）
.
3. 下列语句：①无限小数不能转化为分数；②所有的无
理数都是无限小数；③有限小数是有理数；④无限小数
是无理数.其中正确的有（ C ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
典例导思
在数3.14， ，0.604， ，1.225
4.
222 522 225…（每
相邻两个5之间2的个数逐次加1）中，是无理数的
解：（1）设正方形的边长为 a .
∵小正方形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，则剪拼
成的大正方形的面积为5，即 a2＝5.
∵22＝4，32＝9，∴2＜ a ＜3.∴ a 不是整数.
典例导思
（2）估计 a 的值.（精确到0.1）
解：（2）∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，∴3.6＜ a ＜3.7.
∵3.62＝12.96，3.612＝13.032 1，
∴3.6＜ a ＜3.61.∴ a ≈3.6.
典例导思
题型二 无理数的概念
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
∵2.232＜5＜2.242，∴2.23＜ a ＜2.24.
∵2.2362＜5＜2.2372，∴2.236＜ a ＜2.237.
∴ a 保留到百分位约为2.24.
典例导思
1. 满足以下条件的正方形的边长不是有理数的是
（ D ）
A. 面积为16
C. 面积为1.21
面积为
B.
D. 面积为6
典例导思
ห้องสมุดไป่ตู้
，1.225 222 522 225…（每相邻两个5之间2的个数
是
逐次加1）
.
3. 下列语句：①无限小数不能转化为分数；②所有的无
理数都是无限小数；③有限小数是有理数；④无限小数
是无理数.其中正确的有（ C ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
典例导思
在数3.14， ，0.604， ，1.225
4.
222 522 225…（每
相邻两个5之间2的个数逐次加1）中，是无理数的
解：（1）设正方形的边长为 a .
∵小正方形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，则剪拼
成的大正方形的面积为5，即 a2＝5.
∵22＝4，32＝9，∴2＜ a ＜3.∴ a 不是整数.
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q
当堂训练：（15分钟）
1、 下列各数中，哪些是无理数？哪些是
有理数？
.. 4
0.123432123432 …，3.14，3 ， 0.57，
0.101001000100001,
，
2
， 1
1.2332333233332…，
2、如果x2=10，则x是一个 无理 数 ，x的整数部 分是 3 。
选做题：
已知m2＝26，n2＝88，那么在m、n 之间的正整数有_6_, _7_, _8_, _9_。
无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数
. 无限不循环小数叫做无理数(圆周率π=3.14159265… 也是一个无限不循环小数,故π是无理数)
学生自学，教师巡视（3分钟）
自学检测2（5分钟）：
1、 判断题
(1)有限小数是有理数; （ √ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .(1)a不是有理数,因为a
既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.
(2)估计a≈2.2. (3)估计a≈2.24.
点拨：
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数 p 形式（ p，q 为整
数且互质），而无理数不能.
学习目标:(1分钟）
1.理解无理数的定义，并会判断一 个数是否是无理数。分清有理数与无理 数的区别。
2.借助计算器，利用无限逼近的思 想，探索无理数是无限不循环小数。并 会求一个无理数的近似值。
自学指导1：（3分钟）
自学课本P22－P23议一议之前的内容，完成：
1.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a， b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是 什么数呢？
结论：a，b既不是整数，、P22的三个问题。重点是体会两边夹逼法估算无理数 的近似值。
3、完成P23“做一做”的两个问题。
学生自学，教师巡视（5分钟）
自学检测1：(5分钟） 1、a可能是有限小数吗？
你有什么新的发现？a不是有限小数
事实上，a 1.41421356……
2、(1)估计面积为5的正方形的边 长b的值（结果精确到十分位）
b 2.2
(2)计算结果精确到百分位呢？
b 2.24 事实上b 2.236067978……
学生讨论，更正，点拨。（4分钟）
小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结 果呢？
边长a 1<a<2 1.4<a<1.5
面积s 1<S<4 1.96<s<2.25
1.41<a<1.42 1.414<a<1.415
1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225
1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449
还可以继续算下去吗?a可能是有限小数吗? 事实上,a=1.41421356……,是一个无限不循环小数
自学指导2：（1分钟）
（小数部分由相继的正整数组成）
4、 以下各正方形的边长是无理数的是（ C ） A.面积为25的正方形；B.面积为 4 的正方形；
25
C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
讨论更正点拨： （3分钟）
设计面积为5π的圆的半径为a.
(1)a是有理数吗?说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算器验 证你的估计. (3)如果精确到百分位呢?
自学课本P23 “议一议”，完成下列问题：
1、把下列各数表示成小数，你发现什么？
3, 4 , 5 ,
8
,
2
有理数总可以用有限小数或
. 无限循环小数表示。
5 9 45 11 反过来，任何有限小数或无
2、像0.585885888588885…，限循环小数也都是有理数。
1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是
(4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
(5)无限不循环小数是无理数. (√ )
(6) 是分数。
3
（ ╳）
2.下列各数中，哪些是有理数?哪些是无理数？
0.4583，3.7，- ，18 ，22 , 559
7
180
3.97，-234.10101010……
0.12345678910111213……
2、面积是25的正方形的边长为 5 ，它 是 有理 数。 面积为7 的正方形边长a的整数部分是 2 ， 边长a是一个 无理 数
3、在直角三角形ABC中，∠C＝90°若a＝ 2，b＝3，则c满足什么条件？C是有理数 吗？你能确定c的近似值吗？ （精确到0.1） 3.6
4、已知a、b是两个连续正整数，且 a2﹤7﹤b2，则a+b＝_5___