代数学发展史.
数学的历史介绍数学的历史发展和重要数学家
数学的历史介绍数学的历史发展和重要数学家数学作为一门古老而又深刻的学科，在人类文明的历史长河中扮演着重要的角色。
从古代至今，数学不断发展演变，培育出许多伟大的数学家，他们为数学的进步做出了巨大的贡献。
本文将为大家介绍数学的历史发展并重点介绍一些重要的数学家。
一、古希腊时期数学的发展古希腊是数学史上一个重要的里程碑，许多重要的数学思想和概念都在这个时期诞生。
最为人熟知的是毕达哥拉斯学派提出的一系列数学原理，包括著名的毕达哥拉斯定理。
另外，欧几里得的《几何原本》对后世数学发展起到了巨大的影响，成为许多数学家研究的基础。
二、中世纪数学的低谷与复兴中世纪数学的发展相对较慢，部分原因是欧洲的文化环境受到了战争和政治动荡的影响。
然而，阿拉伯数学家在这个时期对数学的发展做出了重要贡献。
他们将印度和希腊的数学知识引入阿拉伯世界，并进行了整理和发展，为欧洲数学的复兴打下了基础。
著名的《阿拉伯数学传统》成为了数学史上的重要文献之一。
三、文艺复兴时期的数学突破文艺复兴时期是欧洲数学复兴的重要时期，众多数学家在这个时期涌现出来。
其中，意大利数学家斯忒芬诺为代数学的发展做出了杰出贡献，他提出了方程三次及以上的根的求解方法。
另外，日耳曼数学家勒让德也是这个时期的重要人物，他以发展微积分理论而闻名。
四、近代数学的革命近代数学的革命主要发生在17至19世纪，这一时期见证了许多基础性数学理论的诞生。
哥德巴赫猜想、费马大定理等一系列重要的数学难题在这一时期得到了提出。
著名的数学家牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发现了微积分学，为后来的物理学和工程学等学科提供了基础。
五、现代数学的拓展与应用20世纪以来，数学已经发展成为一门庞大而复杂的学科体系。
代数学、几何学、概率论、数论等各个分支都有了独立而深入的发展。
许多著名的数学家如高斯、黎曼、庞加莱等在这个时期做出了具有重要影响的贡献。
数学的应用也广泛渗透到自然科学、工程学与经济学等领域，为人类社会的进步做出了重要贡献。
简述代数学发展的4个阶段
数学发展史的四个阶段
数学的发展史大致可以分为四个时期分别是：第一时期是数学形成时期，第二时期是常量数学时期，第三时期：变量数学时期，第四时期：现代数学时期。
其研究成果有李氏恒定式、华氏定理、苏氏锥面。
第一时期：数学形成时期（远古—公元前六世纪），这是人类建立最基本的
数学概念的时期。
人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本、最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。
第二时期：初等数学时期、常量数学时期（公元前六世纪—公元十七世纪初）
这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容，大约持续了两千年。
这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。
第三时期：变量数学时期（公元十七世纪初—十九世纪末）变量数学产生于17世纪，经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二
步是微积分的创立。
第四时期：现代数学时期（十九世纪末开始），数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础，代数、几何、分析中的深刻变化为特征。
代数学的历史
代数学的历史可以追溯到古代，最早的数学文献中出现了一些初等代数学的内容。
在中国，周朝时期的《九章算术》中就已经包含了初等代数学的知识，如解线性方程组、二次方程等。
在古希腊，欧几里得的《几何原本》中也有一些代数学的知识，如解二次方程等。
随着时间的推移，代数学得到了进一步的发展。
在中世纪，阿拉伯数学家发挥了重要的作用。
花拉子米是阿拉伯数学家中的代表人物，他编写了代数学的著作《还原与对消的科学》，该著作被认为是最早的代数学教科书之一。
此外，阿拉伯数学家还研究了方程的解法，提出了代数基本定理的雏形，发展了多项式的因式分以及代数方程的解法等。
到了欧洲文艺复兴时期，代数学的研究逐渐走向系统化、符号化。
法国数学家韦达（Vieta）是第一个系统地使用字母表示代数式的数学家，他的方法标志着代数进入了一个新的发展阶段。
随后，代数学逐渐分为两个分支：初等代数学和抽象代数学。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展，主要研究线性方程、二次方程、分式方程、根式方程等的解法和性质。
在19世纪以前，初等代数学是代数学的主要内容。
而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的，它以集合、映射、运算等概念为基础，强调抽象性和公理化方法，更加注重概念、定理和证明。
在20世纪，代数学得到了进一步的发展和推广。
一些新的代数结构被发现和研究，如群、环、域、模等。
这些代数结构在理论物理、计算机科学、信息理论等领域有着广泛的应用。
此外，随着计算机科学的发展，代数学在计算机算法设计、密码学等领域也得到了广泛的应用。
总之，代数学的历史是一个不断发展和演进的过程。
它从古代的初等代数学逐渐发展成为现代的抽象代数学，并在各个领域得到了广泛的应用。
代数的历史与发展
代数的历史与发展代数学(algebra)是数学中最重要的分支之一。
代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。
在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。
代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。
代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。
该著作名为”ilm al-jabr wa’I muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。
这本书传到欧洲后，简译为algebra。
清初曾传入中国两卷无作者的代数书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》(李善兰译，1853)。
初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。
代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。
代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。
这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆”（一堆东西），并以象形文字表示。
古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。
数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？古希腊时代，几何学明显地从代数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：量被理解为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。
现在数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。
古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。
该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号和应用负数之例。
数学的起源和发展
一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段：数学萌芽时期(公元6世纪以前)初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)变量数学时期(17世纪上半叶-19世纪20年代)近代数学时期(19世纪20年代-20世纪40年代)现代数学时期(20世纪40年代以来)一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。
这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。
古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。
巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算。
他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。
几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。
二、初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。
这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。
这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。
在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段。
如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美。
这个时期的数学发生了本质的变化，数学(主要是几何学)由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科。
这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学。
从公元前6世纪到公元前3世纪是希腊数学的古典时期。
代数学的发展
第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。
数学发展史时间轴
数学发展史时间轴
数学发展史可以追溯到人类文明的起源，几乎与人类思维和社会发展同步进行。
下面是一个简要的数学发展史时间轴：
1. 古代数学（约公元前3000年-公元5世纪）：
古代数学主要集中在古巴比伦、古埃及、古希腊、古印度和古中国等地。
这个时期的数学主要涉及算术、几何和代数等基本概念和方法的发展。
2. 中世纪数学（公元5世纪-15世纪）：
中世纪数学主要由阿拉伯数学家和欧洲学者推动。
阿拉伯人引入了印度-阿拉伯数字系统和代数的进一步发展。
欧洲学者则致力于恢复和传播古代数学知识，推动了几何学的发展。
3. 文艺复兴时期（15世纪-17世纪）：
文艺复兴时期是数学发展的黄金时期，涌现出许多伟大的数学家。
代表性的有勒内·笛卡尔和伽利略·伽利雷，他们为代数和几何学的发展做出了重要贡献。
4. 近代数学（17世纪-19世纪）：
近代数学的突破主要来自于微积分学的发展。
牛顿和莱布尼茨同
时独立发现了微积分的基本原理。
这一时期还涌现出许多其他重要的数学家，如欧拉、高斯和拉格朗日等。
5. 现代数学（20世纪至今）：
现代数学涉及的领域非常广泛，包括数学分析、代数学、几何学、概率论、统计学、拓扑学等。
数学家们不断提出新的理论、方法和应用，推动着数学的不断发展和应用的扩展。
这只是一个简要的数学发展史时间轴，数学的发展一直在不断演进，影响着我们的生活和科学技术的进步。
代数学发展简史及线性代数简史
代数学发展简史及线性代数简史代数学的发展简史：代数学作为一门数学学科，起源非常古老。
早在公元前3000年，古巴比伦人就开始使用代数方法解决一些实际问题，比如计算土地面积与粮食数量。
然而，真正意义上的代数学发展始于古希腊时期。
在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了“万物皆数字”的概念，并建立了一套基本的代数规则。
他的学生柏拉图以及柏拉图的学生亚里士多德进一步发展了这些理论。
随着时代的推移，代数学逐渐与几何学分离，成为一个独立的学科。
在16世纪，意大利数学家费拉里奥首次使用代数符号来表示未知量。
17世纪，法国数学家笛卡尔在其著作《几何学》中，将代数与几何紧密结合，发展了解析几何。
在18世纪和19世纪，代数学得到了飞速发展，出现了复数、矩阵论、高斯消元法等重要概念和方法。
20世纪是代数学的黄金时期。
在这个时期，代数学被赋予了更深层次的意义。
20世纪初，德国数学家希尔伯特提出了20个关于数学基础的未解问题，其中许多涉及代数学领域。
这些问题推动了代数学的发展，并促使人们对数学基础的研究。
现代代数学已经成为数学中的一门重要分支，涉及众多领域，如数论、代数几何、群论、环论等。
代数学的发展不仅深化了人们对数学本质的认识，也为其他学科的发展提供了强有力的数学工具。
线性代数的发展简史：线性代数作为代数学中的一个重要分支，起源于17世纪。
早在17世纪，数学家哈密尔顿开始研究线性代数的基本概念。
然而，线性代数的理论基础最早是由19世纪英国数学家卡尔·弗里德里希·高斯奠定的。
高斯在矩阵理论和线性方程组的解法上做出了重要贡献，他发展了行列式的概念，并提出了高斯消元法。
19世纪末和20世纪初，线性代数得到了飞速发展。
德国数学家大卫·希尔伯特和俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫开创了线性算子理论的研究。
他们引入了现代线性空间的概念，并发展了线性变换、特征值、特征向量等重要概念。
此外，瑞士数学家埃尔米特和德国数学家约尔当也对线性代数做出了重要贡献，他们提出了埃尔米特矩阵和约旦标准型等概念。
西方数学发展史
西方数学发展史以下是各个时期的简要概述：1.古希腊数学（公元前600年-公元500年）：o古典希腊时期是西方数学的黄金时代，伊奥尼亚学派的泰勒斯、毕达哥拉斯学派对数论和几何有重大贡献，比如毕达哥拉斯定理。
o欧几里得编写了《几何原本》，奠定了欧氏几何的基础，包括公理化方法。
o阿基米德在静力学与浮力原理、圆周率的计算等方面做出了杰出成就。
o阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究也对后世产生了深远影响。
2.中世纪数学（公元500年-1500年）：o在中世纪早期，欧洲数学的发展相对缓慢，但阿拉伯世界翻译并注解了大量的希腊数学著作，使得数学知识得以传承。
o中世纪晚期，欧洲开始出现复兴迹象，斐波那契的著作《算盘书》对商业计算和数学教育有着重要推动作用，他著名的“斐波那契数列”成为数论研究的一个经典课题。
3.文艺复兴与近代数学（1500年-1700年）：o文艺复兴时期，科学和艺术的繁荣带动了数学的发展。
笛卡尔发明了解析几何，将代数方法应用于几何问题，开辟了新的数学领域。
o帕斯卡和费马分别在概率论和数论方面做出了开创性的工作，如帕斯卡定律和费马大定理。
o牛顿和莱布尼茨独立发明了微积分，这是数学史上的一个里程碑事件，为后续物理学和其他学科提供了强大的工具。
4.18世纪到现代数学（1700年至今）：o18世纪启蒙时代的数学家如欧拉、拉格朗日和高斯等人在分析学、数论、代数学等领域取得了众多突破。
o19世纪初，随着非欧几何的发现（如黎曼几何），数学逐渐脱离了纯粹直观和经验的束缚，更加抽象和严谨。
o近代数学分支繁多，群论、拓扑学、集合论、逻辑学等新兴领域纷纷崛起，计算机科学的发展也促进了离散数学和计算数学的繁荣。
5.19世纪：o伽罗华提出了群论，为代数学开辟了新的研究方向，解决了根式解代数方程的可能性问题。
o库默尔在数论中引入理想数概念，发展了解析数论的雏形。
o戴德金和康托尔分别在实数理论与集合论方面取得了革命性进展，其中康托尔创立了现代无限集合论，并提出了著名的连续统假设。
代数式的发展简史
代数式的发展简史代数是数学的一个重要分支，它研究的是数与符号的关系。
代数式的发展史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家开始探索未知数和变量之间的关系。
然而，代数的真正发展始于16世纪的欧洲，特别是文艺复兴时期。
在文艺复兴时期，数学开始成为一门独立的学科，并且代数式的研究逐渐得到重视。
法国数学家维阿里于1557年出版了一本名为《代数的新分析》的书，这本书被认为是代数学的里程碑。
维阿里在书中引入了字母作为未知数的符号，并且发展了一套运算规则，这为代数式的处理提供了基础。
随着时间的推移，代数的发展进入了17世纪，这个时期的代数学家们开始研究多项式的性质和解法。
法国数学家费马在17世纪提出了一个著名的数论问题，即费马大定理，这个问题在代数学的发展中起到了重要的推动作用。
18世纪是代数学史上一个重要的时期，代数的发展进入了一个新的阶段。
欧拉是18世纪最重要的代数学家之一，他对代数式的理论做出了重要贡献。
欧拉提出了代数方程的根与系数之间的关系，即欧拉公式，这个公式对后来的代数研究产生了深远的影响。
19世纪是代数式发展史上的又一个重要时期。
这个时期的代数学家们开始研究更为复杂的代数结构，如群、环、域等。
德国数学家高斯是19世纪代数学的杰出代表之一，他在代数方程的解法和代数理论的发展方面做出了突出的贡献。
高斯提出了代数方程的基本定理，即每个非常数代数方程都有复数根的定理，这个定理对代数学的发展产生了深远的影响。
20世纪是代数学发展的黄金时期，代数的研究领域进一步扩展。
在这个时期，代数学家们开始研究更为抽象的代数结构，如线性代数、抽象代数等。
同时，计算机的出现也为代数式的发展提供了新的工具和方法。
代数式的发展史是代数学发展史的一部分，它记录了人们对数与符号关系的认识和研究的历程。
从古希腊时期到现代，代数式的发展经历了漫长而曲折的道路。
代数式的发展不仅推动了数学的发展，也对其他学科的发展产生了深远的影响。
无论是古代的未知数问题，还是现代的抽象代数理论，代数式的发展都是数学发展史上的重要组成部分。
代数式的发展历史
代数式的发展历史一、古希腊时代的代数式代数式的发展可以追溯到古希腊时代。
在公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了一个重要的数学概念——比例。
他研究了一种特殊的比例关系，即等差比例，这对于后来的代数发展起到了重要的推动作用。
毕达哥拉斯的研究奠定了代数式的基础，为后来的代数学家提供了重要的启示。
二、古代阿拉伯数学家的贡献在古代，阿拉伯地区的数学家也为代数式的发展做出了重要的贡献。
他们将代数式的研究与几何学相结合，提出了一种新的解方程方法——代数法。
这种方法通过将未知数表示为虚数，将方程转化为代数式，从而解决了许多复杂的数学问题。
阿拉伯数学家的研究使代数式的发展迈出了重要的一步。
三、文艺复兴时期的代数式在文艺复兴时期，代数式的研究经历了一个重要的变革。
数学家开始将代数式与几何学分离，并将其视为一门独立的学科。
他们提出了一种新的解方程方法——方程法。
这种方法通过代数式之间的运算关系，将方程转化为更简单的形式，从而解决了许多复杂的数学问题。
文艺复兴时期的代数学家的研究为代数式的发展开辟了新的道路。
四、近代代数学的发展在近代，代数学得到了迅猛的发展。
数学家们通过对代数式的研究，提出了许多重要的概念和定理。
其中最重要的是代数方程的根与系数之间的关系——韦达定理。
这个定理揭示了代数方程的根与系数之间的关系，为解方程提供了重要的方法。
此外，近代代数学家还研究了多项式的因式分解、数列的递推关系等重要内容，丰富了代数式的研究领域。
五、现代代数学的发展随着科学技术的进步，代数学的研究也得到了极大的推动。
现代代数学家通过引入抽象代数的概念，将代数式的研究推向了一个新的高度。
他们提出了一系列新的概念和定理，如群论、环论、域论等，极大地拓展了代数式的研究领域。
现代代数学的发展使代数式不仅仅局限于数学领域，还广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等各个领域。
六、代数式的应用和未来发展代数式作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
数学的发展历史
数学的发展历史数学是一门古老而又迷人的学科，它随着人类文明的进步而不断发展。
在人类的历史长河中，数学发展经历了多个重要的阶段和里程碑。
本文将回顾数学的发展历史，带您一起走进这个充满智慧的领域。
1. 古代数学的起源数学的起源可以追溯到公元前3000年左右的古巴比伦和古埃及。
在巴比伦，人们开始研究几何学，并应用它来解决土地测量和建筑等实际问题。
古埃及人则致力于测量、计数和记录财产。
他们发明了用于扩大数字量级的系统——埃及分数系统。
2. 古希腊数学的兴起古希腊是数学史上一个重要的里程碑。
在公元前6世纪，古希腊人开始对几何学和算术进行深入研究。
毕达哥拉斯提出了一系列关于直角三角形的理论，开创了几何学研究的先河。
欧几里得则在其巨著《几何原本》中，系统地整理了希腊前人的研究成果，成为几何学的标准教材，并对后世产生深远影响。
3. 中世纪的逐渐复兴在中世纪，数学的发展出现了滞缓的趋势，但仍有一些关键性的进展。
尤其是在伊斯兰文化的影响下，阿拉伯和波斯数学家的贡献不可忽视。
穆罕默德·本·穆萨等人为代数学的发展奠定了基础，并引入了许多重要的数学概念和技术。
4. 文艺复兴时期的数学大革命文艺复兴时期，欧洲大陆经历了一场思想解放的浪潮，数学领域也不例外。
这个时期的数学家对古希腊的数学遗产进行了翻新和扩展。
尼古拉斯·科佩尼库斯在代数学中引入了符号表示法，使得代数问题的处理更加灵活高效。
同时，数学的应用范围也被扩展到物理学和天文学等领域，为科学的进步做出了巨大贡献。
5. 近现代数学的突破18世纪和19世纪是数学领域的黄金时代。
数学家们在微积分、概率论、数论和几何学等方面取得了重大突破。
如牛顿和莱布尼茨共同发现了微积分，为物理学和工程学的发展提供了坚实的基础。
高斯则在数论和代数几何学方面做出了杰出的贡献，并推动了非欧几何学的发展。
6. 当代数学的拓展和应用随着科技的进步和人类对自然规律的深入理解，数学在当代的发展变得更加广泛和深入。
代数的发展历史简述
代数的发展历史简述代数是数学中最重要的分支之一，它的发展历史可以追溯到数千年前。
在这篇文章中，我将分步骤阐述代数的发展历史。
1. 古代代数古埃及和巴比伦是早期代数的发源地。
在古埃及，人们用简单的方程求解问题，如计算土地的面积和体积。
而巴比伦人则利用计算表来解决代数问题。
公元前800年，印度和伊朗的学者也开始研究代数，并发展了代数方程。
2. 亚里士多德的逻辑古希腊哲学家亚里士多德在逻辑学方面的研究对代数的发展产生了深远的影响。
他的工作帮助人们更好地理解代数方程的运作过程。
3. 伊斯兰数学在中世纪，伊斯兰数学得到了古典时期希腊数学的传承。
一些杰出的数学家如阿尔-芬巴里（Al-Khwarizmi）、伊本·卡尔丹（Ibnal-Haytham）和阿尔-哈桥德（Al-Hajjaj）等人在代数领域取得了重大的成就，他们发明了一些新的算术和代数方法，并开发了代数符号。
4. 文艺复兴时期在欧洲文艺复兴时期，代数得到了重要的发展。
意大利的斐波那契（Fibonacci）和法国的维埃特（Viète）分别在代数的发展中做出了突出的贡献。
斐波那契发现了著名的斐波那契数列，这个数列在代数的应用中具有重要的作用。
维埃特则发展了新的代数方法，提出了代数方程的新解法。
5. 近代代数在近代，代数得到了前所未有的发展。
牛顿和莱布尼茨的微积分发展对代数的发展产生了深远的影响。
数学家们开始研究代数的基本概念和结构，并将其应用于各种不同的领域。
代数的发展导致了概率论、统计学、数值分析和组合数学等其他数学领域的快速发展。
总之，代数的发展历史可以追溯到古代，并不断发展壮大。
它已经成为现代数学中不可或缺的一部分，对科学、工程、经济和其他领域都具有广泛的应用。
代数的发展史
代数的发展史代数作为数学的一个分支，经历了漫长的发展过程，逐渐形成了今天我们所熟知的数学体系。
下面将分别介绍代数的发展史中的几个主要阶段。
1.代数起源代数的起源可以追溯到古代的算术和几何。
在那个时期，人们已经开始使用字母来表示未知数和已知数，这种做法可以看作是代数的萌芽。
随着时间的推移，人们开始尝试用符号表示运算，如加、减、乘、除等，从而形成了代数的初步概念。
2.古代代数古代代数指的是文艺复兴以前的代数学。
在这个时期，代数学的发展主要集中在解一次方程和二次方程的方法上。
中国的《九章算术》和阿拉伯的《阿尔·芬格尼》等著作都包含了丰富的代数内容。
这些古代代数的著作主要探讨的是线性方程和二次方程的求解，使用了符号化表示和运算。
3.现代代数现代代数起源于19世纪末期，其标志是德国数学家域论的诞生。
域论提出了代数结构的概念，将代数学从对数字和方程的研究扩展到了对更为抽象的代数结构的研究。
这一阶段，代数学开始涉及到更高阶的群、环、模等抽象概念，为后续的代数学发展奠定了基础。
4.抽象代数抽象代数是现代代数的一个分支，它运用抽象的方法研究代数的结构和性质。
在这个阶段，代数学开始深入研究群、环、域等抽象代数结构，发展出了丰富的理论体系。
抽象代数的研究方法为后续的数学研究提供了新的思路和方法。
5.线性代数线性代数是代数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间等线性代数结构。
它与矩阵、行列式等概念密切相关。
线性代数的研究成果被广泛应用于物理、化学、工程等领域。
在20世纪初期，线性代数的理论体系逐渐形成并逐渐发展完善。
6.群论与环论群论与环论是抽象代数的两个重要分支。
群论主要研究的是满足结合律的二元运算下，元素的集合的性质；而环论则研究的是具有两个运算（加法和乘法）的代数结构。
这些理论在数论、几何等领域都有着广泛的应用。
7.域论与伽罗瓦理论域论是代数学的一个重要分支，它主要研究的是在某个运算下封闭的数的集合。
中国传统数学史话
中国传统数学史话中国的数学史不仅在东亚范围之内，而且在全世界都享有盛誉。
中国古代数学奠定了世界古代数学发展的基础，是古代数学发展史上不朽的一部到。
一、夏商时期1、夏商时代，算术发展十分迅速，用捻筒法来做算术运算，以结构较为完整的“十倍乘计”等方法计算乘法、九宫法计算除法的算法技术，使算术计算更加便捷准确。
2、夏商时代也发明了比例4：3——三角比例，从而实现了圆周率和圆面积的应用实践，并形成了计算几何和解几何的学科体系。
另外在夏商时代，是发现了“六十甲子(公历)历法”，以及“八卦”科学。
二、战国秦汉时期1、在战国时期，发明了由三角比例4：3——三角比例发展而来的圆周率，在秦汉时期得出圆周率π值，它圆周率的估算值已经达到公约的标准水平，也可以说，秦汉时期是中国数学发展史中的重要时期。
2、还有，在战国秦汉时期，发明了叫“交叉算”的算术技术，而且提出了“等比数列递推法”的历史经典，以及多个著名的数学家出现。
三、隋唐五代1、在隋唐五代时期，数学发展很快，发明了多个技术，如立方相等法、金刚石等技术，计算方法:由半径或直径及圆坐标定义圆，最早提出等比相似多边形、正多边形、螺旋线等基本几何概念。
2、同时发明了“九章算法”，一种可以用来进行继数和解几何概算的数学技术。
五代时期数学也开始应用于测量和地图，当时出现了很多的历史名人、定等比数列的定理李世民等。
四、宋元明清时期1、宋元时期，出现了许多著名的数学家，他们把一些著名的数学理论发展得更深入，还发明了“竹算术”，并将竹木算术应用到等比数列和三角函数上。
2、除此之外，也有许多发明技术：圆表面积的应用、圆的面积的几何计算、正方形根的计算，以及著名的比例锤破尺、旋转缆轮和双端拱形等。
3、明清时期，数学研究也在不断的进步，发明了拟固线、解微分方程、应用舒尔伯斯定理解圆的方程，形成了中国历史上第一部解析几何公式。
五、新中国建立到现在1、新中国成立到现在，数学研究也在不断地进行，形成了多个数学体系，如灰色系统理论、计算数学、概率论与数理统计、拓扑学、线性空间与非线性分析等。
代数学发展历程
代数学发展历程在宽广的数学领域范围内，代数学只是其中的一个分支，一个部分．“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的．那么什么是代数？代数学又是如何发展的呢？1847年，英国人伟烈亚力来到上海，他用中文写了一本《数学启蒙》，在序中说：“有代数、微分诸书在，余将续梓之．”这是第一次使用代数这个词来作为数学分科的名称．李善兰是我国清代数学家．1859年和伟烈亚力合译英国棣么甘（Augustus De Morgan）的“Elements of Algebra”正式定名为《代数学》．这是我国第一本代数学书，代数的名称就是这样来的．代数是对字母、字母表达式进行运算或变换的学问．在初等数学中字母代表数，在近代数学中字母可以代表更广泛的对象，如向量、张量、矩阵、变换等．代数的发展大致分为三个时期．第一个时期从九世纪的花拉子米始，到十六世纪止．这个时期人们把代数看成为对字母进行运算，关于字母公式的变换以及关于代数方程式的学问．这些就是目前中学代数的内容．第二个时期从十六世纪开始到十九世纪，这时意大利数学家解出了三次方程和四次方程．由此人们开始研究更高次的代数方程．代数的中心问题逐渐变为代数方程式的理论了．十九世纪谢尔的两卷本的代数问世，在这部书中代数被定义为方程式论．这在当时是个创举．在第二个时期内，行列式与矩阵的理论，二次型与变换的理论，特别是不变量的理论等代数工具也发展起来了．在这个时期内群论及不变量的理论的发展对几何学的发展起了重大影响．第三个时期从上世纪末到本世纪．这时在力学，物理以及数学本身越来越频繁地研究到一些对象，对这些对象也要考虑加法、减法，有时要考虑乘法和除法．这些对象中有矩阵、张量、旋量、超复数等．这样人们就不得不考虑某种更一般的集合，在这种集合中有某种运算，并满足一定的运算法则．这就是说，我们不得不考虑某种代数系统．这样一来，代数的目的是研究各种代数系统．这就是公理化，或抽象化的代数．说它是抽象的，是因为所考虑的代数系统是用字母表示的．说它是公理化的，是因为它只遵从作为它的基础的那些公理．有趣的是这样的代数系统无论就数学本身而言，或就它的应用而言都具有巨大意义．以下我是通过初等代数，高等代数以及抽象代数三个阶段的发展来研究代数学领域的发展的．1.初等代数初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科．初等代数是更古老的算术的推广和发展．在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数．代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的．代数和算术的主要区别，就在于前者引入未知量，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知量的值．至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了．比如，如果你认为“代数学”是指解这类用符号表示的方程的技巧，那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的．如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么代数学可以上溯到更早的年代．大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化成为一种高度发展的用文字叙述的代数学．从载有数字表的文件中，可以获得巴比伦人的数系和数字运算方面的许多知识．他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论了某些三次方程和双二次（四次）方程．已经发现一块书板，它给出的数表不仅包括从1到30的整数的平方和立方，还包括了这个范围的整数组合．公元前2500年左右，埃及的草片文书（Ahmes）中有求一个未知量问题的解法，这个问题大体上相当于今日的一元一次方程．不过用的方法纯粹是算术的，并且在埃及人心目中这并不成其为一门独特的学科——解方程．公元200—1200年时期，印度人也在代数上获得一些进展．他们用缩写文字和一些记号来描述运算．印度人认识到二次方程有两个根，而且包括负根和无理根．在不定方程方面印度人超过了Diaphanous，印度人要求出所有整数解，而Diaphanous则只得出一个有理的解．印度人也研究了不定二次方程．他们解出了（其中不是平方数）这种类型的方程，并可看出这种类型对处理很重要．西方人将公元前三世纪古希腊数学家Diaphanous看作是代数学的鼻祖．而在中国，用文字来表达的代数问题出现得就更早了．“代数”作为一个数学专有名词，代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年．那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》．当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如成书于公元一世纪初的《九章算术》中就有方程问题．在《九章》方程章中，经刘徽注给方程予以最早的定义：“程，课程也．群物总杂，各列有数，总言其实．令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，帮谓之方程”．这里的“群物总杂，各列有数，总言其实”是说每一行（相当于今称的方程式）的系数、未知数和常数项（此叫“实”）的组成方法．令每行为率（就是列出几个等式），二物者再乘（两个未知数，列两个等式或程式），三物三乘（三个未知数列三个等式或程式），如物数程之（就是有几个未知数，就列出几个等式或程式），用算筹并列成一方形，所以叫做方程．在方程的定义里，“程”就是“课”，而“课”的本义是试验，考核．正是在试验与考核的意义上，“程”与“课”是相通的．由“课”将数学应用题转化为盈亏类问题，而由“程”把问题布列为“方程”．这种问题模式化的思想和方法是一脉相承的．当然，在这里方程的定义是狭隘的，仅指线性方程组，但《九章》实际上还涉及到二次方程，而且已能用“带从开方术”（“从”读“纵”）求出方程的正根．共步骤相当于“配方法”．《九章》关于多元一次方程组的解法，是将其“所出率”用算筹摆成一个方阵，然后应用“遍乘，通约，齐同”三种基本演算，达到“消元”为目的．《九章》称解方程组的过程为“直除”，即现代的消元法．《九章》方程解法有方程术和正负术，刘徽注又添了新方程术，反映了我国古代方程理论发展的不同阶段．这些解法经刘徽注释，把它们作为比率理论的应用和发展，从而获得了统一的理论基础．初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上．它的研究方法是高度计算性的．要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程．所以初等代数的一个重要内容就是代数式．由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式，分式和根式这三大类代数式．代数式是数的化身，因而在代数中它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算．通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算．在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零．这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充．有了有理数，初等代数能解决的问题就大大地扩充了．但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解．于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数．那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了．这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理．这个定理简单地说就是n个方程有n个根．1742年12月15日，瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述．后来另一个数学家德国的高斯在1799年给出了严格的证明．把上面分析过了的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：三种数——有理数、无理数、复数．三种式——整式、分式、根式．中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组．初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同．比如严格地说，数的概念，排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……．这些都只是历史上形成的一种编排方法．初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．代数运算的特点是只进行有限次的运算．全部初等代数总起来有十条规则．这是学习初等代数需要理解并掌握的要点．这十条规则是：五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积．初等代数学进一步向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程．这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了．2.高等代数初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组．沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组（也叫线性方程组）的同时还研究次数更高的一元方程组．发展到这个阶段，就叫做高等代数．高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支．现在大学里开设的高等代数一般包括两部分：线性代数、多项式代数．高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等．这些量具有和数相类似的运算特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复．集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些规则的集合．向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有了很大的不同．古典代数学（即初等代数学）的中心课题是解方程问题．就方程本身而言，它是向两个方向发展的．一个方向是一元高次方程，另一个方向是多元一次方程组与多元高次联立方程组．前者发展成为后来的方程论（或多项式论）的研究，方程论的扩展便是高等代数学．到了十九世纪，还诱发了近世代数的出现．后者的发展形成了线性代数学，它的中心内容是行列式与线性方程组，矩阵及线性空间和线性变换的理论等．多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛．多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论．研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法．多项式代数所研究的内容，包括整除性理论，因式分解理论等．这些大体上和中学代数里的内容类似．多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的．解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解．我们知道一次方程叫线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数．线性代数学的兴起与发展是随着十七、十八世纪生产和科学技术的发展与要求而发展的．在线性代数中最重要的内容是行列式和矩阵．早在十七世纪和十八世纪初，行列式在解方程中就得到了发展．在线性方程组中，由于碰到方程的个数与未知量个数相等，所以就提出行列式这个词．行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述．此外，1750年瑞士克莱姆（C ramer，1704--1752）的“克莱姆法则”也出现，但没有把行列式作为一个单独理论加以研究和阐述．欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨．1772年法国数学家范德蒙（Vandermonde，1735--1796）首先把行列式作为专门理论独立于线性方程组之外进行研究．故人们称他是行列式理论的奠基者．德国数学家雅可比于1841年发表了《论行列式的形式与性质》一文标志着行列式的系统理论的建立．行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具．行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数．因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论．矩阵概念和行列式一样是从解线性方程组中产生的．矩阵概念最早也出现在我国的《九章算术》方程章里．该书所说的“方程”实际是“矩阵”，所说的“方程术”的中心内容是对“方程”（即矩阵）施行“遍乘”与“直除”两种运算．在欧洲，由于有行列式的成果作为基础，1850年前后，矩阵的理论发展是非常迅速的．“矩阵”这个词是西勒维斯特（J.J.Sylvester，1814--1897）在1850年首先提出并使用的．他在碰到线性方程组的方程的个数与未知量个数不等，无法运用行列式概念时提出这个词的．1855年凯莱也引出了矩阵概念．他在文章中介绍他发现这一概念的思想时说：“我决不是通过四元数而获得矩阵概念的，它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达方程组的方便的方法而来的．”矩阵也是由数排成行和列的数表，行数和列数可以相等也可以不等．矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法．利用矩阵这个工具可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量，这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以彻底地解决．矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用．1879年，德国数学家弗罗尼乌斯（Frobenius）引入矩阵秩的概念，英国数学家史密斯（H.J.S Smith，1826--1883）引入增广矩阵的概念，证明了n 个未知数m个方程的方程组相容的充分必要条件是其增广矩阵与非增广矩阵的秩相等．在行列式的理论和矩阵理论与应用发展的同时，线性空间以及与之相联系的线性变换的理论也蓬蓬勃勃地发展起来．由于采用向量的概念，可以使得解析几何特别地简单和清楚．向量可以相加，也可以相乘，并且满足如下运算规律：1．2．存在着“零元素”0，使得对任意x，3．对于任意元素x，存在着一个逆元素-x，使得4．5．6．7．8．这里x、y、z是线性空间里的元素，而1、、、是数．如果向量由它的坐标（即它在坐标轴上的射影）给出，那么在向量上进行的加法运算和数乘运算就相应着由它的坐标所组成的行（或列）上同名的运算．这样一来，由三个数组成的行或列就宜于几何上地解释作三维空间中的向量，同时在“行”（或“列”）上进行的运算就解释作为空间中向量上所进行的相应的运算，使得由三个数所组成行（或列）的代数在形式上与三维空间中的向量代数没有差别．线性方程组的系数、线性方程组的解是一个多元有序数组，在多元有序数组集合中引进加法、数乘运算，可以简化线性方程组的讨论，这使它们自然地将三维向量空间推广到n元有序数组集合的n维向量空间．不仅n维向量的集合具备上面所说的这些特性，就是同一类型的矩阵集合以及物理向量：力、速度、加速度等等也具备这些性质．完全是另外性质的数学对象，如一个变元的多项式全体、已知区间[a，b]上的连续函数的全体，线性齐次微分方程解的全体等等，也都具备这些性质．这些例子引导人们进一步推广向量空间的概念，这种空间的元素可以是任意数学对象或物理对象，这就引进了一般的线性空间的概念．同样它们满足加法和数乘一定的运算规律．在很多数学研究中需要改换变数，即从一组变数,…… ,过渡到与它们有函数关系的另一组变数,,……．例如，如果变数是平面上或空间中点的坐标，那么从一个坐标系过渡到另一个坐标系就引起坐标的一个交换，它将原来的坐标用新的坐标表出．此外，在研究一个物体从一个位置或状态变为另一个位置或状态时，如果它的位置或状态由变数的值所给出，变数的变换也会产生．线性变换是线性空间到自身的变换．线性空间中每一个线性变换都对应着一个方阵，变换本身可以用矩阵语言写成形状，这里x是原向量的坐标组成的列，y是变换后的向量的坐标组成的列，是变换的系数矩阵．欧氏空间中，将保持向量长度不变的线性变换称为正交变换．正交变换是将三维空间中坐标原点不动的旋转或旋转与对通过原点的某一平面的反射的联合对n维空间的推广．正交变换是非退化变换的重要特殊情形．线性空间与线性变换是线性代数的几何架构，数组向量和矩阵实际上是它们的代数形式，其间的转换枢纽是基底，就好象是平面和立体几何里的坐标系．然而线性代数里的向量空间却往往从抽象定义开始，这只是相当大的一般性．3.抽象代数在十八世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革．当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中在代数方面最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题．在十九世纪初，这个问题已变得越发尖锐而不可回避．它们引起了数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了代数学发展的新突破．在前面曾经说过，中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解方程的学问．直到十九世纪初，代数学研究仍未超出这个范围．不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上．考虑一般的五次式更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如：（其中）的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢？遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决．最终，阿贝尔（1802--1829）解决了五次和高于五次的一般方程的求解问题，证明了五次或五次以上方程不可能有代数解．即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来．他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类被称为“阿贝尔方程”．在这一工作中，他实际上引进了“域”这一重要的近世代数概念，虽然他没有这样来称呼．但他没能解决判定已知方程是否可用根式来求解的问题．这个问题最终由另一个年轻的天才数学家法国的伽罗瓦彻底解决．在十九世纪，代数学的研究对象已突破了数（包括用符号表示的数）的范畴，这种突破是由伽罗瓦群的概念开始的．伽罗瓦20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久便在一次私人决斗中死去，年仅21岁．伽罗瓦在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做了一些新发现．有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见．我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的．”伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中．他的论文手稿过了14年，才由刘维尔（1809--1882）编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐．随着时间的推移，伽罗瓦的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识．伽罗瓦虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念．在伽罗瓦之后，群的概念本身进一步发展，除了有限的、离散的群，又出现了无限群、连续群等，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革．从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步发展．在数学大师们的经典著作中，伽罗瓦的论文是最薄的，但他的数学思想却是光彩夺目的．代数对象的扩张，在十九世纪还沿着其他途径进行，先后产生了许多其他代数系统，例如四元数与超复数、域、理想等．十九世纪数学家还引进了环（戴德金，1871．克罗内克也研究过环并称之为“order”，希尔伯特首先使用了“ring”即环这个名称）和格（戴德金，1897）等．。
数学发展史时间轴及事件
数学发展史时间轴及事件1.古埃及数学（公元前3000年-公元前1000年）数学在古埃及有着悠久的历史。
古埃及人发展出了一套完整的计数系统，以及用于计算和测量的一系列实用技术和工具。
例如，他们使用了“象形数字”来表达数值，同时发明了一种称为“祭坛测量的土地”的算法，用于计算矩形或金字塔的面积。
2.古希腊数学（公元前600年-公元500年）古希腊数学在西方数学史上占据了重要的地位。
在这个时期，出现了许多杰出的数学家，如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等。
他们为数学界的发展做出了巨大的贡献，如毕达哥拉斯提出了著名的勾股定理，欧几里得写下了著名的《几何原本》，阿基米德则发明了微积分的基本原理。
3.中世纪欧洲数学（公元500年-1500年）在中世纪欧洲，数学得到了进一步的发展。
在这个时期，出现了许多修道士和学者，如奥尔本修道士和尼科马科斯等。
他们对数学进行了深入的研究，并在代数、几何和三角学等领域取得了一些重要成果。
同时，中世纪欧洲的数学教育也变得日益重要，一些大学纷纷开设数学课程。
4.文艺复兴时期数学（公元1500年-1700年）在文艺复兴时期，数学经历了巨大的变革和发展。
人们重新审视古希腊数学，并在此基础上进行创新。
代数学逐渐成为数学的主流，同时平面几何和立体几何也得到了极大的发展。
一些重要的数学思想和方法开始形成，如极限、导数和微积分等。
在这个时期，一些重要的数学家如雷科德、韦达和牛顿等为数学界的发展做出了巨大贡献。
雷科德在其著作《大术》中系统地阐述了代数符号和算术方法，韦达则发展出了符号代数，为现代代数奠定了基础。
牛顿则在微积分和物理学等领域做出了杰出的贡献。
5.近现代数学（公元1800年至今）近现代数学的发展可以说是日新月异。
在19世纪，数学家们开始研究更抽象的问题，如数论、抽象代数和拓扑学等。
同时，概率论和统计学也得到了迅速的发展。
20世纪初，数学开始与物理学、工程学等领域紧密联系，出现了许多应用数学分支，如量子力学、计算机科学、经济学等。
数学发展史的四个阶段的主要成就
数学发展史的四个阶段的主要成就数学是人类最古老的科学之一，它的起源可以追溯到史前时期。
随着时间的推移，数学逐渐发展成为一门独立的学科，并在不同的历史阶段取得了重要的成就。
本文将介绍数学发展史的四个阶段及其主要成就。
第一阶段：古代数学古代数学起源于人类文明初期，主要研究的是计数、几何、算术和天文等方面的问题。
这个时期的数学成就有：1. 计数系统的发明：人类最早的计数系统是手指计数，后来逐渐发展出了石块计数、结绳计数等。
这些计数系统的发明为数学的发展奠定了基础。
2. 几何学的发展：古埃及人发明了象形文字，并开始使用几何学来测量土地和建造建筑物。
几何学的发展为后来的建筑设计、工程测量等领域提供了重要的工具。
3. 算术的发展：古代印度人发明了阿拉伯数字，并发展出了算术运算的基本规则和方法。
这些成就为后来的数学发展提供了重要的基础。
4. 天文学的发展：古代中国人和希腊人最早开始研究天文学，并使用数学方法来描述天体的运动规律。
天文学的发展为后来的物理学、宇宙探索等领域提供了重要的基础。
第二阶段：中世纪数学中世纪时期，欧洲的学术界开始逐渐复兴，数学也在这个时期取得了重要的成就。
这个时期的数学成就有：1. 代数的发展：阿拉伯数学家开始研究代数，并发明了代数符号和方程求解方法。
这些成就为后来的代数发展提供了重要的基础。
2. 平面几何的进步：欧几里得发表了《几何原本》，总结了当时所有的几何知识，并建立了完整的几何学体系。
这个体系的建立为后来的几何学发展提供了重要的基础。
3. 对数理论的完善：苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，并发展出了对数理论。
对数理论的完善为后来的科学计算、工程学等领域提供了重要的工具。
4. 三角学的兴起：三角学在这个时期逐渐发展成为一门独立的学科，并为后来的航海、天文学等领域提供了重要的工具。
第三阶段：近代数学随着科学技术的不断发展，数学也逐渐发展成为一门更加独立的学科。
这个时期的数学成就有：1. 微积分的发明：牛顿和莱布尼茨分别独立发明了微积分，并建立了微积分的基本理论。
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「algebra」 ---還原及對消
今天代數學的名稱「algebra」，其實源於九世紀初阿 拉伯天文學者花拉子米（公元約783年至約850年）所著 的偉大著作《代數學》（ilm al-jabr wa’l-muqabalah）， 直譯為「還原與對消的科學」。
阿拉伯字al-jabr意為「還原」或「移項」，譬如 把5x＋1=2-3x變成8x＋1=2，muqabalah是對 消或化簡，譬如把8x＋1=2變成8x=1。後來第 二個字逐漸被人遺忘，而「al-jabr」也逐漸演變 成「algebra」
代數學發展史
張美玲
製作 參考資料：數學的故事(列志佳 簡佩華 黃家鳴 主編 九章出版社) 中國數學五千年(李信明 著) 數學答問集（曾煥華 譯） 孔子與數學（洪萬生 著）
何為代數？
「代數」是英文“algebra“的翻譯，一 八五九年，李善蘭和英國傳教士偉烈亞 力合譯英國數學家狄摩根的代數著作 Elements of algegra 時，首次把 “algebra“翻成「代數」。
使用符號，是數學史上一個重要 事件。如果我們祖先很早使用像 現在通行的符號，很可能我們的 數學在發展上將會更進步，而學 習的人會更多，而不至於許多數 學書籍及方法失傳。
「代數」是巴比倫人、希臘人、 阿拉伯人和西歐人一棒皆一棒 而完成的偉大數學成就；薪盡 火傳，人類的文明得以延續不 墜。
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十六世紀末，法國數學家偉達(1540-1630年)， 在他所著的＜分析方法入門＞一書，對符號代 數學的發展有不少貢獻。現在我們所用的加號 「＋」及減號「－」是他所創用的。他用母音 (a,e,i,o,u)代表未知量，子音(b,c,d,f,…..) 代表已知量 ，但是以後笛卡兒改用字母序列 的前面部分a,b,c,d,….表示已知量，後面部 分字母x,y,z,…表示未知量，這個習慣一實用的數學 知識，如在繼承財物、分配產業、訴訟、 貿易以及大量土地等事情中所遇到的問 題；其主要的方法是「還原」（將負項 移至方程另一端後變成正項）及「對消」 （將兩端相同的項消去或合併同類項）
代數符號的產生
現在的代數式子，用a、b、c……表
示已知數，x、y、z…..表示未知數， 這種記法是在十六、七世紀時在歐 洲逐漸發展起來的。
一八七三年，華蘅芳和英國傳教士傅蘭 雅合譯另一本代數時，又進一步說明： 「代數之法，無論何數，皆可以任何記 號代之。」 ※所謂代數，就是運用文字符號來代替 數字的一種數學方法！
代數學之父
古希臘數學家丟番圖用文字縮寫來表示 未知量，在公元250年前後丟番圖寫了一 本數學巨著《算術》（Arithmetica）。 其中他引入了未知數的概念，創設了未 知數的符號，並有建立方程式的思想。 故有「代數學之父」（Father of algebra）的稱號。