射影变换

射影变换

4.1 点列和线束

点列和线束定义．

两个矢量),,(321a a a 和),,(321b b b 表示不同的点当且仅当这两个矢量线性无关． 在两点A ),,(321a a a 与B ),,(321b b b 的连线上任意一点),,(321x x x X 满足

03

2132

13

21=b b b a a a x x x

即，三点A ),,(321a a a ，B ),,(321b b b 与),,(321x x x X 共线的充分必要条件是

03

2132

13

21=b b b a a a x x x

以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ

μ

'+=+

=；以m l ,为基线的线束中，任何一直线p 都可以表示为m l p μλ+=，用齐次坐标可以表示为m l m l p λλ

μ

'+=+=．

练习4－1

１．已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-，求直线AB 上一点C ，使

1)(-=ABC ，若B A C λ+=，求出λ．

解利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系31x x x =

，3

2x x

y =．这时，)1,5(),(=y x A ，)0,1(),(-=y x B ，再利用BC AC ABC =

)(．

11

5

-=+-x x ，解得2=x

，

101-=--y y ，解得21=y ．即)21,2(=C ，C 点的齐次坐标为)1,2

1

,2(． 因为B A C 2

1

21+=

，所以 1=λ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ

μ

'+=+

=． ２．试证明：三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为

03

2

1

3213

21=z z z y y y x x x 证明三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为

λ=--=--=--3

333222

21111y z x z y z x z y z x z

所以

03

32

21

132133221

13

2

1

321321=-------=y z y z y z y y y x z x z x z z z z y y y x x x

４．已知直线0143=++y x 与02=+y x ，求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程．

解两直线0143=++y x 与02=+y x 的交点为

)5,1,3(1

1

2

1433

21--=x x x 于是点)5,1,3(--与点)0,1,2(的直线方程为

051050

1

2

513321321=+-=--x x x x x x

即05105321=+-x x x ．

4.2 点列和线束的交比

定义4.2设D C B A ,,,为点列上共线的四点，则这四点的交比为

AD

BC BD

AC CD AB ⋅⋅=

),(．

定理 4.１取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，

b a 2λ+，则四点的交比为

2

1

),(λλ=

CD AB ． 定理4.２若D C B A ,,,四点的坐标为)4,3,2,1(21=+i P P i λ，21,P P 点列上两个基点，则

),(),(43212

41

4231

3λλλλλλλλλλλλ=----=

CD AB

定理4.３将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变．即

),(),(),(),(BA DC AB CD DC BA CD AB ===

定理4.４只在一对点中互换，交比转为其倒数．即

),(1),(CD AB DC AB =

，)

,(1

),(CD AB CD BA =

定理4.５交换中间两点，则交比为１与原值的差，即),(1),(CD AB BD AC -= 定义4.３当1),(-=CD AB 时，称D C ,调和分割线段AB ．

调和分割的关系是对等的．因为1),(),(-==CD AB AB CD ，所以，B A ,也调和分割线段CD ，有时也称D C B A ,,,为调和点列．

定义4.４称

2

1

λλ为四直线d c b a ,,,的交比，记为),(cd ab ．即 =

),(cd ab 2

1

λλ．

注意：用齐次坐标之间的关系定义交比，点列的交比与线束的交比在形式上完全一致．

定理4.６设四直线d c b a ,,,，若b a c 1λ+=，b a d 2λ+=，则=

),(cd ab 2

1

λλ． 定理4.7若四直线q p a 1μ+=，q p b 2μ+=，q p c 3μ+=，q p d 4μ+=，则 4

24

132314321),(),(μμμμμμμμμμμμ----=

=cd ab ．

这个比值也称为数4321,μμμμ的交比．

定理4.８两个点列经过中心投影，交比不变．

练习4－2

１． 设E D C B A ,,,,是同一直线上的五点，求证

1),)(,)(,(=EC AB DE AB CD AB ．

证明由交比定义AD

BC BD

AC CD AB ⋅⋅=

),(，

1),)(,)(,(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=AC

BE BC

AE AE BD BE AD AD BC BD AC EC AB DE AB CD AB ．

２．设C B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(，)1,1,1(-，)1,0,1(，且2),(=CD AB ，求点D 的坐标．

解)1,1,1(=A ，)1,1,1(-=B ，则

C B A ==+)1,0,1(2

1

21，于是12=λ．设B A D 1λ+=，由2),(2

1==

λ

λ

CD AB 可知，21

=λ，

所以)3,1,3(2-=+=B A D ．

注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ

μ

'+=+

=． ３．求四点)1,1,2(-A ，)1,1,1(-B ，)0,0,1(C ，)5,5,1(-D 的交比),(CD AB ．