射影变换

射影变换
4.1 点列和线束
点列和线束定义．
两个矢量),,(321a a a 和),,(321b b b 表示不同的点当且仅当这两个矢量线性无关． 在两点A ),,(321a a a 与B ),,(321b b b 的连线上任意一点),,(321x x x X 满足
03
2132
13
21=b b b a a a x x x
即，三点A ),,(321a a a ，B ),,(321b b b 与),,(321x x x X 共线的充分必要条件是
03
2132
13
21=b b b a a a x x x
以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ
μ
'+=+
=；以m l ,为基线的线束中，任何一直线p 都可以表示为m l p μλ+=，用齐次坐标可以表示为m l m l p λλ
μ
'+=+=．
练习4－1
１．已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-，求直线AB 上一点C ，使
1)(-=ABC ，若B A C λ+=，求出λ．
解利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系31x x x =
，3
2x x
y =．这时，)1,5(),(=y x A ，)0,1(),(-=y x B ，再利用BC AC ABC =
)(．
11
5
-=+-x x ，解得2=x
，
101-=--y y ，解得21=y ．即)21,2(=C ，C 点的齐次坐标为)1,2
1
,2(． 因为B A C 2
1
21+=
，所以 1=λ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ
μ
'+=+
=． ２．试证明：三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为
03
2
1
3213
21=z z z y y y x x x 证明三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为
λ=--=--=--3
333222
21111y z x z y z x z y z x z
所以
03
32
21
132133221
13
2
1
321321=-------=y z y z y z y y y x z x z x z z z z y y y x x x
４．已知直线0143=++y x 与02=+y x ，求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程．
解两直线0143=++y x 与02=+y x 的交点为
)5,1,3(1
1
2
1433
21--=x x x 于是点)5,1,3(--与点)0,1,2(的直线方程为
051050
1
2
513321321=+-=--x x x x x x
即05105321=+-x x x ．
4.2 点列和线束的交比
定义4.2设D C B A ,,,为点列上共线的四点，则这四点的交比为
AD
BC BD
AC CD AB ⋅⋅=
),(．
定理 4.１取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，
b a 2λ+，则四点的交比为
2
1
),(λλ=
CD AB ． 定理4.２若D C B A ,,,四点的坐标为)4,3,2,1(21=+i P P i λ，21,P P 点列上两个基点，则
),(),(43212
41
4231
3λλλλλλλλλλλλ=----=
CD AB
定理4.３将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变．即
),(),(),(),(BA DC AB CD DC BA CD AB ===
定理4.４只在一对点中互换，交比转为其倒数．即
),(1),(CD AB DC AB =
，)
,(1
),(CD AB CD BA =
定理4.５交换中间两点，则交比为１与原值的差，即),(1),(CD AB BD AC -= 定义4.３当1),(-=CD AB 时，称D C ,调和分割线段AB ．
调和分割的关系是对等的．因为1),(),(-==CD AB AB CD ，所以，B A ,也调和分割线段CD ，有时也称D C B A ,,,为调和点列．
定义4.４称
2
1
λλ为四直线d c b a ,,,的交比，记为),(cd ab ．即 =
),(cd ab 2
1
λλ．
注意：用齐次坐标之间的关系定义交比，点列的交比与线束的交比在形式上完全一致．
定理4.６设四直线d c b a ,,,，若b a c 1λ+=，b a d 2λ+=，则=
),(cd ab 2
1
λλ． 定理4.7若四直线q p a 1μ+=，q p b 2μ+=，q p c 3μ+=，q p d 4μ+=，则 4
24
132314321),(),(μμμμμμμμμμμμ----=
=cd ab ．
这个比值也称为数4321,μμμμ的交比．
定理4.８两个点列经过中心投影，交比不变．
练习4－2
１． 设E D C B A ,,,,是同一直线上的五点，求证
1),)(,)(,(=EC AB DE AB CD AB ．
证明由交比定义AD
BC BD
AC CD AB ⋅⋅=
),(，
1),)(,)(,(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=AC
BE BC
AE AE BD BE AD AD BC BD AC EC AB DE AB CD AB ．
２．设C B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(，)1,1,1(-，)1,0,1(，且2),(=CD AB ，求点D 的坐标．
解)1,1,1(=A ，)1,1,1(-=B ，则
C B A ==+)1,0,1(2
1
21，于是12=λ．设B A D 1λ+=，由2),(2
1==
λ
λ
CD AB 可知，21
=λ，
所以)3,1,3(2-=+=B A D ．
注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ
μ
'+=+
=． ３．求四点)1,1,2(-A ，)1,1,1(-B ，)0,0,1(C ，)5,5,1(-D 的交比),(CD AB ．
解利用定理 4.1，取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，
b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为
2
1
),(λλ=
CD AB ． 这里
B A
C +=，于是11=λ， B A
D 32-=，于是2
3
2-=λ，
由21),(λλ=
CD AB 可知，3
2),(21-==λλCD AB ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλ
μ
'+=+
=． ７．试证：02321=+-x x x ，023321=-+x x x ，0721=-x x ，0531=-x x 所表示的四直线共点，并求这四直线的交比．
解直线0721=-x x 与0531=-x x 的交点为
)5,7,1(1
5
01
73
21=--x x x 点)5,7,1(满足四直线，所以，此四直线共点． 四直线与x 轴的交点分别为211-=x ，322=x ，03=x ，514=x ，所以，2
1
),(4321=l l l l ．
4.3 完全四点形和完全四线形
完全四点形和完全四线形定义．
定理4.6完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边．
定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个顶点．
练习4－3
２．设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XY 分别交BD AC ,于M L ,，不用笛沙格定理，证明CM BL YZ ,,共点．
证明由四点形ABCD ，根据定理可
知，在AC 边上的四点L Y C A ,,,调和共轭， 即1),(-=YL AC ．
在四点形YBZL 中，LB 与YZ 交于N ，
MN 与YL 交于C '，由定理可得
),(-
='YL C
A 所以，点C 应与点C '重合，即CM BL YZ ,,共点．
4.4 一维基本图形的射影对应
两个点列成射影对应的定义． 两个线束成射影对应的定义． 点列与线束成射影对应的定义．
定理4.11 设两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比相等． 定理4.12 若两个一维基本图形对应四个元素的交比相等，则必成射影对应． 定理 4.13 如果已知两个一维图形的任意三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应．
练习4－4
５． 若三角形ABC 的三边AB 、BC 、C A 分别通过共线的三点P ，Q ，R ，二顶点B 与C 各在定直线上，求证顶点A 也在一条直线上．
证明根据图形(见第４题图)可知，
题图）
（第2
Λ),,,(21ΛB B B ),,,(21ΛC C C ，
则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R
在这两个射影线束中，PR
是自对应元素，所 以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R
两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线． 4.5 透视对应
定义4.8点列和线束成射影对应，如果对应直线过对应点，这种特殊的射影对应称为透视对应，这时也这两个一维图形处于透视状态．
定义4.9两个点列和同一个线束成透视对应，也就是说两个点列成中心射影对应，则称这两个点列成透视对应．
定义4.10两个线束和同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应． 定理4.14两个射影对应的点列成透视的充要条件是：两个点列的公共点自对应． 定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共点自对应． 定理4.16(巴卜斯定理)设C B A ,,是直线l 上互异的三点，C B A ''',,是l '上互异的三点，那么三个交点
C B C B L '⨯'=，B A B A N '⨯'=，A C A C M '⨯'=
共线．
定理4.17对于两个不共底的且不成透视对应的射影对应点列，用两次透视对应，可把第一个点列变成第二个点列．也就是说，射影对应是两个透视对应的复合．
定理4.18设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换．即，这时的射影对应是三个透视对应的复合．
题图）
（第5A
１．如图四边形ABCD 被EF 分成两个四边形AFED 和FBCE ，求证三个四边形
ABCD ，AFED ，FBCE 的对角线交点H G K ,,共线．
证明因为D ，E ，C 直线l 上互异的三点，A ，F ，B 是直线m 上互异 的三点，由定理4.16（巴卜斯定理），三个交点
AE DF G
⨯=，
AC DB K ⨯=， FC EB H ⨯=
共线．
4.6 对合对应
对合对应定义．
定理4.19两个重叠的一维图形（点列、线束）q p μ+，q p μ'+成为对合对应的充
分必要条件是：对应元素的参数μ和μ'满足
0)(=+'++'d b a μμμμ
其中02
≠-b ad ．
定理4.20不重合的两对对应元素，确定唯一一个对合对应．
１．求参数为2
1→
，20→的两对对应元素所确定的对合对应． 解利用定理 4.19，这里两对对应元素的参数
μ和μ'分别为2
1,1=
'=μμ和2,0='=μμ，设0)(=+'++'d b a μμμμ为所求的对合对应，把两对对应参数值代入
得
）
题图（第1D
A
F
B
C
E
G
K
H
l
m
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=++0
20232
1d b d b a 解得2:1:1::-=d b a ，
因此，这两对对应元素所确定的对合对应为02=-'++'μμμμ．。