数学分析—导数

§5.1 导数

一、实例

导数概念同数学中其他概念一样，也是客观世界事物运动规律在数量关系上的抽象.例如，物体运动的瞬时速度，曲线的切线斜率，非很稳的电流强度，化学反应速度，等等，都是导数问题.

1、瞬时速度

通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内运动的平均速度.例如，一汽车从甲地出发到达乙地，全程120km，行驶4h,

120=30 km错误!未指定书签。错误!未指定书则汽车行驶的速度是

4

签。错误!未指定书签。/h,这仅是回答了汽车从甲地到乙地运行的平均速度.下坡时跑得快些，上坡时跑得慢些，也可能中途停车等，即汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说，平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬间速度.随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度就不够用了，还要知道物体在某一时刻的瞬间速度，即瞬时速度.例如，研究子弹的穿透能力，必须知道弹头接触目标时的瞬时速度.

我们已知物体的运动规律，怎样计算物体运动的瞬时速度呢?解决这个问题我们负有双重任务：一方面要回答何谓瞬时速度？另一方面要给出计算瞬时速度的方法.

如果物体作非匀速直线运动，其运动规律（函数）是

f

s ，

)(t

其中t是时间，s是距离.讨论它在时刻

t的瞬时速度.

未知的瞬时速度并不是一个孤立的概念，它必然与某些已知的概念联系着.那么未知的瞬时速度概念与哪些已知的概念联系着呢？那就是已知的物体运动的平均速度.在时刻0t 以前或以后任取一个时刻

t t ∆+0，t ∆是时间的该变量.当t ∆>0时，

t t ∆+0在0t 之后；当0t <0时，t t ∆+0在0t 之前.

当0t t =时，设)(00t f s =.当t t t ∆+=0时，设物体运动的距离是

s s ∆+0)(0t t f ∆+=，有

)()()(0000t f t t f s t t f s -∆+=-∆+=∆，

s ∆是物体在t ∆时间内运动的距离，

是运动规律)(t f s =在时刻0t 的距离该变量.已知物体在t ∆时间的平均速度t v ∆（亦称距离对时间的平均变化率）是 t

t f t t f t s v t ∆-∆+=

∆∆=

∆)

()(00. 当t ∆变化时，平均速度t v ∆也随之变化.当t ∆较小时，理所当然地应该认为，平均速度t v ∆是物体在时刻0t 的“瞬时速度”的近似值，当t ∆越小它的近似程度也越好.于是，物体在时刻0t 的瞬时速度0v （亦称距离对时间在0t 的变化率）就应是当t ∆无限趋近于0（0≠∆t ）时，平均速度t v ∆的极限，即 t

t f t t f t s

v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim

lim 0000

0. (1) 瞬时速度的定义也给出了计算瞬时速度的方法，即计算（1）式的极限.

2.切线斜率

欲求曲线上一点的切线方程，关键在于求出切线的斜率.怎样求

切线斜率呢？

设有一条平面曲线，如图5.1，平面曲线的方程是)(x f y =.求过该

图5.1

未知的切线斜率也不是孤立的概念，它与已知点的割线斜率联

系着.在曲线上任取另一点Q .设它的坐标是

),00y y x x ∆+∆+（，其中).()(,000x f x x f y x -∆+=∆≠∆由平面解析几何知，过曲线)(x f y =上两点),(00y x P 与),(00y y x x Q ∆+∆+的割线斜率（即y ∆对x ∆的平均变化率）

.)

()('00x

x f x x f x y k ∆-∆+=∆∆=

当x ∆变化时，即点Q 在曲线上变动时，割线PQ 的斜率'k 也随之变化，当x ∆较小时，割线PQ 的斜率'k 应是过曲线上点P 的切线斜率的近似值.当x ∆越小这个近似程度也越好.于是，当x ∆无限趋近于0时，即点

Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，割线PQ 的极限位置就是曲线过点P 的

切线，同时割线PQ 的斜率'k 的极限k 就应是曲线过点P 的切线斜率（即)(x f y =在0x 的变化率），即

.)()(lim lim 0000

x

x f x x f x y

k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆

（2） 于是，过曲线)(x f y =上一点),00y x P （的切线方程是

).()(0x x k x f y -=-

切线斜率的定义也给出了计算切线斜率的方法，即计算（2）式极限. 二、导数概念

上述两例，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率，二者的实际意义完全不同.但是，从数学角度看，（1）式和（2）式的数学结构完全相同，都是函数的改变量y ∆与自变数的改变量x ∆之比的极限（当0→∆x 时）.这样就有下面的导数概念：

定义 设函数)(x f y =在)(0x U 有定义，在0x 自变数x 的该变量是

x ∆，相应函数的改变量是).()(00x f x x f y -∆+=∆若极限

x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000

（3） 存在（有限数），称函数)(x f 在0x 可导（或存在导数），此极限称为函

数)(x f 在0x 的导数（或微商），记为)('0x f 或0|x x dx dy

=，即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)('0000

或

.)()(lim |0000x

x f x x f dx dy

x x x ∆-∆+=→∆= 若极限（3）不存在，称函数)(x f 在0x 不可导.

不难看到，上段的两例都是导数问题.如果物体直接运动规律是

)(t f s =，则物体在时刻0t 的瞬时速度0v 是)(t f 在0t 的导数，即).

('00t f v =如果曲线的方程是)(x f y =，则曲线在点),(00y x P 的切线斜率k 是)(x f 在

0x 的导数)('0x f .

有时为了方便也可将极限（3）改为下列形式：