李贤平 《概率论与数理统计 第四章》答案

第4章 数字特征与特征函数
2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。

3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n
n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。

7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。

9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞
=≥=
1
}{k k P E ξξ。

11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(|
|∞<<∞-=--x e x p x λ
μλ
0>λ。

试求
ξE ，ξD 。

13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2
σa N ，试证π
σξξ+
=a E ),max (21。

17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放
入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。

20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第
二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求
n S 。

21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体
质重量，试说明这样做的道理。

24、若ξ的密度函数是偶函数，且2
E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。

25、若,ξη的密度函数为22
221,1
(,)0,1
x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。

27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。

26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。

28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关；
（2）123123()D D D D ξξξξξξ++=++；（3）123123E E E E ξξξξξξ=⋅⋅之间的关系。

29、若,ξη服从二元正态分布，,1,,1E a D E b D ξξηη====。

证明：ξ与η的相关系数cos r q π=，
其中{()()0}q P a b ξη=--<。

30、设(,)ξη服从二元正态分布，0,1,E E D D r r ξηξηξη=====，试证：max(,)E ξη=
31、设ξ与η独立，具有相同分布2
(,)N a σ，试求p q ξη+与u v ξη+的相关系数。

34、若ξ服从2
(,)N a σ，试求||k E a ξ-。

39、若α及β分别记二进制信道的输入及输出，已知{1},{0}1,P p P p αα====-
{11}P q βα===，}{01}1,{10},P q P r βαβα===-==={00}1P r βα===-，试求
输出中含有输入的信息量。

40、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，
试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。

41、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。

43、在贝努里试验中，若试验次数v 是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要
条件，是v 服从普阿松分布。

44、设{}k ξ是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和12v ηξξξ=++
，其中v 是
随机变量，它与{}k ξ相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明
2,()k k k E Ev E D Ev D Dv E ηξηξξ=⋅=⋅+⋅。

47、若分布函数()1(0)F x F x =--+成立，则称它是对称的。

试证分布函数对称的充要条件，是它的
特征函数是实的偶函数。

48、试求[0,1]均匀分布的特征函数。

49、一般柯西分布的密度函数为2
2
1
(),0()
p x x λ
λπλμ=
⋅
>+-。

证它的特征函数为
exp{||}i t t μπ-，利用这个结果证明柯西分布的再生性。

50、若随机变量ξ服从柯西分布，
0,1μλ==，而ηξ=，试证关于特征函数成立着
()()()f t f t f t ξηξη+=⋅，但是ξ与η并不独立。

53、求证：对于任何实值特征函数()f t ，以下两个不等式成立：
21(2)4(1()),1(2)2(())f t f t f t f t -≤-+≥。

54、求证：如果()f t 是相应于分布函数()F x 的特征函数，则对于任何x 值恒成立：
1lim ()(0)(0)2T itx T
T f x e dt F x F x T
--→∞=+--⎰。

55、随机变量的特征函数为()f t ，且它的n 阶矩存在，令0
1
log (),k k k
k t d X f t k n i
dt =⎡⎤
=≤⎢⎥⎣⎦，称k X 为
随机变量的k 阶半不变量，试证b ηξ=+（b 是常数）的(1)k k >阶半不变量等于k X 。

56、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。

58、设12,,
,n ξξξ相互独立，具有相同分布2(,)N a σ试求1n ξξξ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的分布，并写出它的数学期望及协
方差阵，再求1
1n
i i n ξξ==∑的分布密度。

59、若ξ服从二元正态分布(0,)N ∑，其中4221⎛⎫
∑= ⎪⎝⎭
，试找出矩阵A ，使A ξη=，且要求η服从非
退化的正态分布，并求η的密度函数。

60、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。

第四章 解答
.
2、解：设ξ表取一球的号码数。

袋中球的总数为)1(2
1
21+=
+++n n n ，所以 n k n n k
n n k k P ,,,2,1,
)
1(2)1(2
1
}{ =+=
+=
=ξ.
∑
=+=++⋅+=⋅+=n
k n n n n n n k n n k E 1
)12(31
6)12)(1()1(2)1(2ξ.
3、解：由于μ是分布，所以应有∑∑∞
=∞
==⋅==0
01!}{n n
n n B A n P μ，即B B e A Ae -==,1。

又由已知
a n AB n E n n =⋅=∑∞
=!0μ，即a n B AB n n =-∑∞
=-01
)!
1(，a ABe B =, ,a B =∴a B e e A --==。

7、解：设μ表示抽出k 张卡片的号码和，i ξ表示第i 次抽到卡片的号码，则k ξξξμ+++= 21，因为是放回抽取，所以诸i ξ独立。

由此得，对k i ,,2,1 =。

∑∑
==+=+⋅==⋅=n j n
j i n n n n j n n j E 11
2
12)1(111ξ， )1(2
1
21+=+++=n k E E E E k ξξξμ ； )12)(1(6
16)12)(1(11122
++=++⋅=⋅
=∑=n n n n n n n j E n
j i ξ， ())1(12
1
)1(41)12)(1(61222
2
-=+-++=
-=n n n n E E D i i i ξξξ， )1(12
1
221-=
+++=n k D D D D n ξξξμ 。

8.
9、证：
∑∑∑∞=∞
=∞==
=≥11
}{}{k k
j k j P k P ξξ
+=++=+=++=+=+==}3{3{}2{}3{}2{}1{ξξξξξξP P P P P
∑∞
====
1
}{k E k kP ξξ
10.
.
11、解：⎰∞
∞----=
=))
((21|
|λ
μλ
ξλ
μx t dx
xe E x 令
⎰
∞∞
--+=dt e t t |
|2
μ
λ⎰⎰
∞∞
--∞∞
--+=dt e dt e t
t t |||
|2
2
μ
λμμ=+=0.
⎰∞
∞--=
-=--))
(()(21
|
|2λ
μμλ
ξλ
μx t e
x D x 令
⎰⎰
∞-∞-∞
∞
--+-==0
20
22222)(dt te e t dt e t t t t λλλ
2
20
2
22)
(22)(2λλλ
λ=-=+-=∞-∞-∞
-⎰
t
t t
e dt te e t .
13、证：21ξξ的联合密度为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧----=2
2222)(2)(exp ),(σσa y a x y x p ， ∴ ⎰⎰=
dxdy y x p y x E ),(),max(),max(21ξξ
⎰⎰
⎰⎰
∞
∞
-∞∞
-∞
∞
-+=
x x dy y x yp dx dy y x xp dx ),(),(
（利用密度函数的积分值为1，减a 再加a ）
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-∞∞
-+-+-=x
x
a dy y x p a y dx dy y x p a x dx ),()(),()(
（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x 与y 的记号）
⎰⎰⎰⎰∞
∞∞∞
-∞∞
-+-+-=y
y
a dx y x p a y dy dx y x p a x dy ),()(),()(
⎰⎰
∞
--
∞∞---
-+=y
a x a y dx e
a x dy e
a 2
22
22)(2)(2
)(212σσπσ
))
((t a y =-σ
令
dt e a t ⎰
∞
∞
--+
=2
1
σπ
π
σ
ππσ+=+
=a a .
17、解：令B 表“从乙袋摸一球为白球”，ξ表从甲袋所摸个球中白球数，则ξ取值0,1,,c ，服从
超几何分布，且()
ca
E a b ξ=
+，考虑到若c a >，则当1,,i a c =+时{}0P i ξ==；若c b >，则当
i c b <-时{}0P i ξ==；而在条件概率定义中要求(){}0i P A P i ξ==> 由此得
!(,)
max(0,)
(){}{|}m n a c i c b P B P i P B i ξξ=-=
==∑0
{}
i i
P i c
α
αξαβ=+==++∑
00
1
{}{}i i i P i i P i c c αα
αξξαβαβ==+==+=++++∑∑ E c c αξαβαβ=
+++++1ac c a b ααβ⎛
⎫=+ ⎪+++⎝
⎭.
20、解：令⎩
⎨
⎧=袋子中摸出黑球从第袋子中摸出白球从第i i i ,0,1ξ，则
1{1}()
a
P a b ξ==
+，
21{1}11a a b a
P a b a b a b a b ξ+==+++++++++2()(1)a ab a a a b a b a b
++==++++。

由此类推得1{1}()
a
P a b ξ==
+， 1,2,,i n =。

又12n n S ξξξ=++
+，
1
n
n i na
ES E a b
ξ=∴==
+∑。

21、解：以i ξ表第i 次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值i ξ和物体真实重量a 之
间有偏差，i ξ是独立同分布的随机变量，并有2
,i i E a D ξξσ==。

测量记录的平均值记为η，则
11()n n
ηξξ=+
+
11n i i na
E E a n n
ηξ====∑， 22
2
21
1n
i i n D D n n n σσηξ====∑。

平均值η的均值仍为a ，但方差只有i ξ方差的1
n
，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，所以以η作为物体的重量，则更近于真值。

24、证：设()f x 是ξ的密度函数，则()()f x f x -=。

由()xf x 是奇函数可得0E ξ=，从而
||0E E ξξ=。

又由于||()x x f x 是奇函数，得
||||()0||E x x f x dx E E ξξξξ∞
-∞===⎰
故||ξ与ξ不相关。

由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0c >使0{||}1P c ξ<<<，亦有{}1P c ξ<<，
{}{||}{||}{,||}P c P c P c P c
c ξξξ
ξξ∴<<≠<=<<
其中等式成立是由于{||}{}c c ξξ<⊂<。

由此得||ξ与ξ不独立。

25、证：1
1
(
,)0E xp x y dxdy xdx ξ∞∞
-∞-∞
-=
==⎰⎰
⎰，同理0E η=。

1
1
cov(,)0E E E xdx ydy ξηξηξη-=-==⎰
即ξ与η不相关。

但
ξ与η不独立，事实上可求得
||1
()0,||1x p x x ξ≤=⎪>⎩，||1()0,||1y p x y η≤=⎪>⎩
， 而当||1x ≤且||1y ≤时，(,)()()p x y p x p y ξη≠。

26、证：2
,EU aEX b DU a DX =+=，2
,EV cEY d DV c DY =+=，
cov(,)()()cov(,)U V Ea X EX c Y EY ac X Y =--=⋅，
||UV xy ac
r r ac =
=。

欲UV xy r r =，题中需补设a 与c 同号。

27、证：设1122,,,,,a b c d p q p q ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

作两个随机变量
**1122,0,0:,:,,a b c d b d p q p q ξξηη--⎛⎫⎛⎫
=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

由ξ与η不相关即E E E ξηξη=得
**()()E E b d bd E E bE dE bd ξηξηηξξηηξ=--+=--+
**()()E b E d E E ξηξη=--=，
而**
*
*
()(){,}E a b c d P a b c d ξηξη=--=-=-， *
*
*
*
(){}(){}E E a b P a b c d P c d ξηξη=-=--=-， 由上两式值相等，再由()()0a b c d --≠得
****{,}{}{}P a b c d P a b P c d ξηξη=-=-==-=-
此即{,}{}{}P a c P a P c ξηξη=====。

同理可证
{,}{}{}P a d P a P d ξηξη=====，{,}{}{}P b c P b P c ξηξη=====
{,}{}{}P b d P b P d ξηξη=====，
从而ξ与η独立。

28、解：（一）证(1) (2)，设（1）成立，即两两不相关，则
2123123123()[()()]D E E E E ξξξξξξξξξ++=++-++
2112233[()()()]E E E E ξξξξξξ=-+-+-
12311222()()
D D D
E E E ξξξξξξξ=+++--
113322332()()2()()E E E E E E ξξξξξξξξ+--+-- 123D D D ξξξ=++，
∴（2）成立。

（二）(1)⇏(3)。

设
121,11,1:,:1111,,2
222ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 并设1ξ与2ξ独立，则
123ξξξ=（记）：212331,
11,:1
11,22ξξξξ-⎛⎫
⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 由第三章25题知，123ξξξ两两独立，从而两两不相关，满足（1）。

而120E E ξξ==，这时
12312301E E E E ξξξξξξ⋅⋅=≠=，（3）不成立。

（三）(2)⇏(1)。

设1231
0,,2
D ξξξξξξ>===-
，则 123111()()2224D D D D ξξξξξξξξ⎛⎫
++=+-== ⎪⎝⎭。

12311224D D D D D D D ξξξξξξξ⎛⎫
++=++-= ⎪⎝⎭
，
满足（2）。

但显然123,,ξξξ两两相关，事实上由2
2
()0E E D ξξξ-=≠得ξ与ξ相关，（1）不成立。

（四）(2)⇏(3)。

事实上，由(1) (2)，(1)⇏(3)得必有(2)⇏(3)。

（五）(3)⇏(2)。

设
12131,
00,11,
1:,1:,:111
11
1,,
,
2
22222ξξξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则
212123300:,:11ξξξξξξ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
再设1ξ与3ξ独立，从而1ξ的函数2ξ与3ξ也独立，我们有121
1,22
E E ξξ=-=
， 30E ξ=，12131323230,0,0E E E E E E E ξξξξξξξξξξ==⋅==⋅=，1231230E E E E ξξξξξξ==⋅⋅，
满足（3）。

但
123()D ξξξ++
123121323222D D D E E E ξξξξξξξξξ=+++++-121323222E E E E E E ξξξξξξ⋅-⋅-⋅ 123122D D D E E ξξξξξ=++-⋅
1231231
2
D D D D D D ξξξξξξ=+++
≠++。

∴（2）成立。

（六）
(3)⇏(1)。

事实上，由(1) (2)，(3)⇏(2)得必有(3)⇏(1)。

（七）当123,,ξξξ相互独立时，(1)，(2)，(3)同时成立。

29、证：由题设得
222)()01exp ()2()()()2(1)x a y b q x a r x a y b y b dxdy r
--<⎧⎫⎡⎤=
-⨯----+-⎨⎬⎣⎦-⎩⎭
⎰⎰（令,u x a v y b =-=
-）
222
1(2)
2(1)
e
u ruv v r dudv -
-+-<⎰⎰
222
1(2)
02(1
)
e
u ruv v r dudv -
-+--∞
=
⎰
令cos ,sin ,||u v J ρθρθρ===，则
22(1sin 2)
2(1)
2
r r q d e
d ρθππρθρρ-
-∞
-=
⎰
2
22(1sin 2)2(1
)
20
11sin 2r r r e d r ρ
θππθθ∞
---⎡⎤-⎢⎥=
--⎢⎥⎣⎦⎰ 2(1sin 2
d r π
πθ
α
θπ
θ=
-⎰令
=2)
21sin d r π
π
α
α
=-
2
1tg r π
π
απ⎡⎤-⎢⎥=
由
lim 2
tg
απ
α
↓=-∞
，而1
lim 2tg r
arctg απαπ↓-=-得
1
1
2
q arctg
π
=
+
，即
12tg q π⎡⎤⎛⎫-=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ctgq π-=， 或2
2
21-r r ctg q π=， 所以 22
2222
sin cos 1ctg q r q ctg q q ctg q π
ππππ
==⋅=+。

注意到01q <<，且r 与ctgd π同号，
即r 与cos q π同号，故得cos r q π=（其中{()()0}q P a b ξη=--<）。

30、证：由题设得
222
1
(2)
2(1)
max(,)x xy y r E dxdy ξη-
-+∞∞--∞
=⎰
⎰
22222
211
(2)(2)2(1)2(1)
x xy y x xy y X
Y r r xdx e dy xdx e dx --+--+∞∞---∞-∞-∞-∞
⎡⎤=+⎥⎥⎦
⎰⎰⎰⎰
22
21(2)
2(1)
x xy y X
r xdx e
dy -
-+∞--∞
-∞
=
⎰
⎰
22
2()2(1)
2
y rx x r xe
dx dy --
∞-
--∞
-∞
=
⎰
⎰
2
22
2
1
x t xe
dx e
dt π
∞-
-
-∞
-∞
=
⎰
⎰
用部分积分法，令，余下部分为，得。

31、解：记,S p q T u v ξηξη=+=+，则
(),()ES pa qa p q a ET u v a =+=+=+， 222222(),()DS p q DT u v σσ=+=+ ，
22cov (()())(
()())ST E p a q a u a v a pu qv ξηξησσ=-+--+-=+ ，
ST r ∴=。

32.
33.
34、解：22
()21||||2x a k
k x a E a x a e
dx u σξσπσ
--
∞-∞
-⎛
⎫-=
-= ⎪⎝
⎭⎰
令
22
1
||2u k k u e du σσπσ
∞-
-∞
=
⎰
22
2
u k k u e
du σπ
∞
-=
⎰
2
2
2
12
20022(1)u u k k k k u e
k u e du σσππ-
∞
∞---⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎰。

当k 为偶数时
22
2
||(1)(3)31u k k E a k k e
du ξσπ
∞-
-=
--⋅⋅⎰135
(3)(1)k k k σ=⋅⋅--
当k 为奇数时
22
2
||(1)(3)
42u k k E a k k ue
du ξσπ
∞-
-=
--⋅⋅⎰2
24(3)(1)k
k k σπ
=⋅⋅--。

35.
36.
39、解：{1}{1,0}{1,1}P P P ββαβα====+==
{1|0}{0}{1|1}{1}P P P P βααβαα====+=== (1)p r pq =-+
{0}{0,0}{0,1}P P P ββαβα====+== {0|0}{0}{0|1}{1}P P P P βααβαα====+=== (1)(1)(1)p r q p =--+- {1}{0}1P P ββ=+==。

(()[(1)]log[(1)][(1)(1)(1)]H H p r pq p r pq p q p r β==--+-+--+--⨯出)
log[(1)(1)(1)]p q p r ⨯-+--，
(()H H λαβ=出)
{0}[{1|0}log {1|0}P P P αβαβα=-====={0|0}log {0|0}]
P P βαβα+====
{1}[{0|1}log {0|1}
P P P αβαβα-====={1|1}log {1|1}]P P βαβα+====
(1)[log (1)log(1)][(1)log(1)log ]p r r r r p q q q q =--+-----+
所以输出中含有输入的信息量H （入）－H 出（入）为
H （入）－H 出（入）＝H （出）－H 入（出）
[(1)]log[(1)][(1)(1)(1)]p r pq p r pq p q p r =--+-+--+--log[(1)
p q -(1)(1)](1)log (1)(1)log(1)(1)log(1)p r p r r p r r p q q +--+-+---+--log pq q +。

40、解：需要确定其结局的实验β有24个可能结局，即12个是假球，且它比真的轻或重。

若认为全部结局是等概的，则实验β的熵()log 24H β=，即需要得到log 24个单位信息。

由称一次（随便怎样的）所构成的实验α，可以有3个结局（即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡），进行k 次复合试验12
k k A ααα=后，可得到不大于log3log3k k =的信息，而233243<<，所以至少得称三次才可
以称出假球，且判明它比真球轻或重。

具体称法共有十几种，详见雅格洛姆著：“概率与信息”，这里仅取一法叙述如下： 第一次称：天平两端分放1、2、3、4和5、6、7、8，下余I 、II 、III 、IV 。

（A ）若第一次称时平衡，则假球在I 、II 、III 、IV 中。

第二次称：天平两端分放I 、II 和III 、1，注意1是真球。

（AA ）若第二次称时平衡，则IV 是假球；再把1和IV 分放天平两端称第三次，可判别假球IV 比真球1轻或重。

（AB ）若第二次称进I 、II 较重（或轻）， 第三次称：天平两端分放I 和II 。

（ABA ）若第三次称时平衡，则II 是假球，且比真球较轻（或重）。

（ABB ）若第三次称时不平衡，则与（AB ）中同重（或轻）的那球是假球，且它比真球较重（或轻）。

（B ）若长一资助称时1、2、3、4较重，则假球在天平上。

第二次称：天平两端分放1、2、5和3、4、6。

（BA ）若第二次称时平衡，则7、8中之一为假球，由第一次称的结果知假球较轻，再把7和8分放天平两端称第三次，即可假球。

（BB ）若第二次称时1、2、5较重，则或1、2中之一为假球，且它比真球较重，或6是假球且它比真球较轻。

第三次称：天平两端分放1和2。

（BBA ）若第三次称进平衡，则6是假球且比真球轻。

（BBB ）若第三次称时不平衡，则较重的一球是假球，且它比真球重。

（C ）若第一次称时5、6、7、8较重，则只需把（B ）中编号1、2、3、4与5、6、7、8依次互换，即得称法。

41、解：巴斯卡分布为11{},
,1,
k n k k
n P n C q p n k k ξ---===+。

其母函数为
11()(-)k n k k n
n n k
P s C q
p s m n k ∞
---===∑令 11
k
k m m k
m k m p
C
q s s ∞
-+-==∑1
()(1)
k k
k k
m
m
m k k
m p s p s
C
qs qs ∞
+-===-∑。

1112111
(1)(1)'(1)(1)(1)k k k k k k k
k
k s s ks qs ks qs q kp s k
E P p qs qs p ξ---+==⎡⎤⎡⎤-+-====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 12
11122
11
(1)(1)(1)(1)''(1)(1)(1)k k k k k K k k k s s kp s k s qs k qs qS P kp qs qs --+-++=='⎡⎤⎡⎤--++-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 12222(1)(1)(1)(1)(1)k k k
k k q k q q k kq k
kp qs p p
++--++-+=⋅==-，
2
22
22
"(1)'(1)['(1)]k kq k k k kq D P p P p p p p p ξ⎛⎫+=+-=-+-= ⎪
⎝⎭。

43、证：设，⎩
⎨
⎧=⎩⎨⎧=次成功第次失败
第次失败第次成功
第i i ，
i i i i ,0,1,0,1ηξ {1}{0},
{0}{1}1i i i i P P p P P p ξηξη========-。

则i ξ的母函数为01
1()(1)1F s p s ps p ps =-+=-+。

同理可得i η的母函数为2()(1)F s p p s =+-，v 的母函数记为()G s 。

以ξ表示成功次数，则
1v ξξξ=++，本题认为{}n ξ与v 独立，得ξ的母函数为1()[()]P s G F s ξ=。

同理，以η表示失败次
数，则1v ηηη=+，其母函数为2()[()]P s G F s η=。

必要性。

设ξ与η独立，则由v ξη=+得
(1)[(1)]()G p ps G p p s G s -+⋅+-=。

因为(1)()1p ps p s ps s -+++-=+，所以若记上式左边G 的变量分别为,x y ，可得
()()(1)G x G y G x y =+-。

令()(1)G x T x =-，则上式变成
(1)(1)(11)[(1)(1)]T x T y T x y T x y --=+--=-+-。

利用教本P97引理可得
1(1)()(1)x x G x T x a e --=-==。

即v 的母函数()exp{(1)}G s s λ=-，这是普阿松分布的母函数。

由于母函数与分布列之间是相互唯一
确定的，所以得v 是服从普阿松分布的随机变量。

充分性。

设v 服从普阿松分布，参数为λ，则
1{}{}{|}v n r
P r P v n P r v n ξξξ∞
====+
+==∑
1{}{}v n r
P v n P r ξξ∞
===+
+=∑1(1)!n r r
n n n r
e C p p n λλ-∞
-==-∑ []1(1)()!()!n r r
n r
e p p r n r λ
λλ-∞
-==--∑()!p r e p r λλ-=。

同理可得 (1)
(1){}!
t
p p P t e
t λλη--⎡⎤-⎣⎦==。

又有{,}{}{|}P r r P v r t P r v r t ξηξ====+==+
1(1)()!
r t r r
r e C p p r t λλ-++=-+(1){}{}!!r t r t e p p P r P t r t λλξη-+-=
===。

再由,r t 的任意性即得证ξ与η独立。

44、证：（1）设i ξ的母函数为()F s ，v 的母函数为()G s 。

而1v ηξξ=++，所()[()]P s G F s η=。

由此得
1'(1){'[()]'()}'(1)'(1)s k E P G F s F s G F Ev E ηηξ===⋅=⋅=⋅
其中0
F(1){}1{}1j
i
i j j P j j ξ
ξ∞
∞
===
=⋅===∑∑。

2
"(1)'(1)'(1)D P P P ηηηη⎡⎤=+-⎣⎦
[][]{
}
2
1
'()'()'[()]''()
s G F s F s G F s F s ==⋅+⋅2'(1)'(1)['(1)'(1)]F G F G +-⋅
[]2
2''(1)'(1)'(1)''(1)'(1)'(1)['(1)'(1)]G F G F F G F G =+⋅+⋅-⋅
[]{
}
2
22'(1)"(1)'(1)'(1)['(1)]{''(1)'(1)['(1)]G F F F F G G G =+-++- 2()k k Ev D Dv E ξξ=⋅+⋅。

（2）直接计算。

由题设得
10
{}{}{|}n n P i P v m P i v m ηξξ∞
====+
+==∑
10
{}{|}n i n E i P v n P i v n ηξξ∞∞
====+
+==∑∑
10
{}{}n n i P v n iP i ξξ∞
∞
====+
+=∑∑
利用11()n E nE ξξξ++=得
110
{}n E P v n nE Ev E ηξξ∞
====⋅∑。

2
2
1
{}{|}
n i n E i
P v n P i v n ηξ
ξ∞
∞
====+
+==∑∑2
10
{}{}n n i P v n i P i ξξ∞∞
====+
+=∑∑
记1n ξξξ=++，利用22()E D E ξξξ=+及1D nD ξξ=得
()2
2110{}()[()]n n n E P v n D E ηξξξξ∞
===+
+++
+∑
22
110
{}()n P v n nD n E ξξ∞
=⎡⎤==+⎣⎦∑ 2
2110(){}n Ev D E n P v n ξξ∞=⎛⎫
=⋅+= ⎪⎝⎭
∑
最后，再利用22
()Ev Dv Ev =+得2222111()()()E Ev D Dv E Ev E ηξξξ=⋅+⋅+⋅。

22211()()D E E Ev D Dv E ηηηξξ∴=-=⋅+⋅。

47、证：必要性。

由()1(0)F x F x =--+得{}{}{}P x P x P x ξξξ<=>-=-<，此即()()F x F x ξξ-=，所以对特征函数()f t 有
()()()()it itx itx it f t Ee e dF x e dF x Ee f t ξξξξ--=====⎰⎰，
由此知()f t 是实函数。

又有
()()()()()itx itx it it f t e dF x e dF x Ee Ee f t ξξξξ------=====⎰⎰，
所以()f t 又是偶函数。

充分性。

由于()()()it it f t Ee
Ee f t ξ
ξξξ----===，又由题设知()f t ξ是实函数，所以
()()()f t f t f t ξξξ-==。

由唯一性定理知，ξ与ξ-的分布函数相同，()()F x F x ξξ-=，即
{}{}{}P x P x P x ξξξ<=-<=>-，从而()1(0)F x F x =--+。

48、解：1,[0,1]
()0,[0,1]
x p x x ξ∈⎧=⎨
∈⎩。

当0t =时()1f t -；当0t ≠时
1
100
11
()(1)itx
itx it f t e dx e e it it ===-⎰。

49、证：221-()()itx x f t e dx u x λ
μπλμλ∞-∞
⎛⎫=
⋅
⋅
= ⎪+-⎝⎭⎰
令
2
1
1
1it it u
e e du u
μλπ
∞
-∞
=
+⎰ （1） 考虑复变函数的积分，当0t >，取c 为上
半圆周Re (0)i θ
ρθπ=≤≤和实轴上从R -到R 的围道（如图），若u 位于上半圆周上，则 Re i u θ=，Re i du i d θθ=，有
Re
12222011111t it R tt z it u t t C R e
e dz e du iRe d I I z u R e θ
λτλλθθθ-=+=++++⎰⎰⎰ （2）
对1I 有 12
1
lim 1it u
R I e du u λ∞
-∞
→∞=
+⎰。

由0t >及题设0λ>得sin 01t R e
λθ
-<≤，所以对2I 有
sin sin 22220
0||11
it R tR i e R I R d e d R e R λθπ
πλθ
θθθ-≤≤+-⎰
⎰ 2
01
R R π
<
→- （当R →+∞时） （3）
在上半平面上，仅有z i =是被积函数的一阶极点，由复变函数中留数定理得，对任何1R >有
12
12212t
tt z
t C
e e
dz i c i e z i
λλλππ---=⋅==+⎰
（4） 其中
12lim ()lim ()1()()i tz i tz z i z i e e c z i z i z z i z i λλ-→→=-=-++-11lim 22i tz t ti t
z i e e e z i i i
λλλ-→===+
把（2），（3），（4）代入（1）式得
2
1
1it u
t e du e u
λλπ∞
--∞
=+⎰
（5） 由于 222
11cos sin 111it u
i
e
t u t u u u u
λλλ=++++，2sin (1)t u u λ+是u 的奇函数，它在(,)-∞∞上积分值为0；
2
cos (1)
t u
u λ+是的偶函数，当0t <时，其积分值应与0t >时积分值相等；再注意到（5）中右端0t >，所以当0t <时有
||2
1
1it u
t e du e u
λλπ∞
--∞
=+⎰
（6） 当0t =时有
0221111it u
it u
e
du e du e u u
λλλππ∞
∞-⋅-∞
-∞===++⎰
⎰ （7） 把（5）—（7）代入（1）式得，对任意有
()exp{||}f t it t μλ=-。

现证柯西分布具有再生性。

设1(1,2)i ξ=的特征函数为()exp{||}i i i f t it t μλ=-，再设1ξ与2ξ独立，12ηξξ=+，则
121212()()()exp{()()||}f t f t f t it t ημμλλ==+-+，
所以η仍服从柯西分布，且参数为1212,μμλλ++。

50、证：由上题得||()()e t f t f t ξη-==，所以由2ξηξ+=得
|2|2||2()()e e ()()t t f t f t f t f t ξηξξη--+====⋅。

但ξ与η并不独立，事实上，可取c 使0{}1P c ξ<<<，则
{,}{}{}{}P c c P c P c P c ξηξξη<<=<≠<⋅<，
这说明由ξ与η独立可推得()()()f t f t f t ξηξη+=⋅，但反之不真。

52.
53、证：()f t 是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。

1(2)(1cos 2)()f t tx dF x ∞
-∞
-=-⎰22sin ()txdF x ∞
-∞
=⎰
2(1cos )(1cos )()tx tx dF x ∞-∞
=-+⎰4(1cos )()4(1())tx dF x f t ∞
-∞
≤-=-⎰。

1(2)(1cos 2)()f t tx dF x ∞-∞
+=+⎰222cos ()txdF x ∞
-∞
=⎰
()2
2
2
cos ()
2(())
txdF x f t ∞
-∞
≥=⎰
，
其中利用柯西——许瓦兹不等式（置()cos ,()1x tx x ϕψ==）
()()
2
2
2
()()()()()()()x x dF x x dF x x dF x ϕψϕψ
⎡⎤≤⎣⎦
⎰⎰⎰。

54、证：()
()1
1lim ()lim
()22T
T itx it y x T
T
T T I f t e dt e dF y dt T
T
∞
-----∞
→∞→∞===⎰
⎰⎰。

由于()
1it y x e
-=，所以()it y x e -关于乘积测度[,]F P L T T ⨯-绝对可积，由富比尼定理知可交换上式中积
分次序，得
()
()1lim
()
2T
it y x T
T I dF y e dt T
∞
--∞
-→∞=⎰
⎰。

记()1(,)2T
it y x T
g T y e dt T
--=
⎰
，则当y x =时有
1
(,)12T
T
g T y dt T
-=
=⎰
，
当y x ≠时有 0
1
sin ()
(,)2cos ()2()
T
T y x g T y t y x dt T
T y x -=
-=
-⎰。

由此得|(,)|1g T y ≤，且0,
lim (,)1,
T y x g T y y x
→∞
≠⎧=⎨
=⎩。

由控制收敛定理得
(){}
lim (,)()()x T I g T y dF y dF y ∞
-∞→∞
==⎰
⎰
{}(0)()P x F x F x ==+-。

55、证：由b ηξ=+得()()itb f t e f t ηξ=，亦有log ()log ()f t itb f t ηξ=+。

当1k >时，等式两边同对t 求k 阶导数，itb 一项导数为0所以由定义得η的k X 等于ξ的k X 。

56、解：利用特征函数()f t 的原点矩k m 之间的关系式()(0)k k
k f i m =，可把()f t 展成幂级数
1,(0)1()1()!
k k
k f m f t it k ∞
===+∑
（1）
又利用上题中定义的k X ，可把log ()f t 展成幂级数1
log ()()!
k k
k X f t it k ∞
==
∑
1()exp ()!k k k X f t it k ∞=⎧⎫
∴=⎨⎬⎩⎭
∑。

（2）
再把（2）中的y
e 展成幂级数得
2
1111()1()()1!!2!!k
k k k k k X X f t it it k k ∞∞==⎡⎤=+
++
⎢⎥⎣⎦
∑∑。

（3）
比较（1）与（3）式中的系数，可得半不变量与原点矩之间的关系式
58、解：由诸1ξ独立得ξ的密度函数为
(
)
2121
1
()1
(,
,)()exp 2i n
n
i n n
n i i x a p x x p x ξσσ==⎧⎫-==
-⎨⎬⎩⎭∏∏， 数学期望和协方差阵为
1n a E a ξ=⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 2
2200n n
B σσσ=⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭。

由上题知，
222111
1~,,n
n
i i N a N a n n n σξσ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑，
所以ξ的分布密度为22
()()2n x a p x ξσ⎧⎫
-=-⎨⎬⎩⎭。

59、解：取100,,~(0,),01E D C N C C ηηη⎛⎫
=== ⎪⎝⎭。

令A ξη=，其中22()ij A a ⨯=，则η与ξ的特征函数分别为
11()exp ,()exp ()22f t t Ct f t t ACA t ττηξ⎧⎫⎧⎫
=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，
且有ACA τ
=∑，即
22
1112112111
121121122222
2122212211211222212210420121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪++⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

矩阵A
不唯一，取11
a =
122122,22a a a ===，从而2
2A ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
，这时满足题中的要求，由~(0,)N C η得η非退化，且η的密度函数为()22121211(,)exp 22p x x x x π⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭。

60、证：设1(,
,)n τξξξ=，i ξ独立同方差，其协方差矩阵和特征函数分别为
2
200D B σξσ⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪⎝⎭
， 1()exp 2f t ia t t Bt ττξ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭。

再设C ηξ=，其中11
11n n nn c c C c c ⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
是正交矩阵，即满足 2
1
1n
ij
j c
==∑，
1
0()n
ji ki
j c
c j k ==≠∑。

由此得~(,)N Ca CBC τ
η，其特征函数为1()exp ()()2f t i Ca t t CBC t τ
τη⎧⎫
=-
⎨⎬⎩⎭
，即η的协方差矩阵为CBC τ，利用C 的正交性计算得
2
11
111
121
1
00
n n n nn n nn c c c c CBC c c c c τσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211
111
12211
n n n nn n nn c c c c c c c c σσσσ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭ 2
22
2111121111222221112121122
22111
1211n n n n n c c c c c c c c c c c c c c c σσσσσσσσσ⎛⎫
∑∑∑ ⎪∑∑∑ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∑∑∑⎝⎭
2
200B σσ⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
矩阵中∑都是对i 从1到求和的。

由协方差矩阵知，η的各分量1,,n ηη间两两不相关且同方差，再由
正态分布间相互独立的充要条件是它们两两不相关得，1,,n ηη相互独立且同方差。