(完整word版)高中数学选修2-1第三章空间向量测试题
高中数学人教A版选修2-1 第三章空间向量与立体几何 测试题.docx
第三章空间向量与立体几何 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =u u u r（ ） A ．a +b －c B ．a －b + c C ．－a + b + c D ．－a + b －c2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB uuu r 与1C B u u u u r的夹角为（ ）A .60°B .90°C .135°D .45° 3. 下列命题中真命题的个数是（ ）. ①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线； ②若向量a ,b ,c 共面,则它们所在的直线共面； ③若a ∥b ,则存在唯一的实数λ,使a =λb .A.0B.1C.2D.3 4. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AD 的中点，O 为侧面AA 1B 1B 的中心，P 为棱CC 1上任意一点，则异面直线OP 与BM 所成的角等于（ ）A ．90° B.60° C.45° D.30°5. 已知平面α的法向量是（2,3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若βα⊥，则λ的值是（ ）A ．6-B ．6C ．103-D ．1036.若向量a ＝（1，λ，2），b ＝（2，－1,2），a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ的值为（ ）A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2557. 已知ABCD 为平行四边形，且A （4,1,3），B （2，-5,1），C （3,7，-5），则顶点D 的坐标（ ） Ａ．（27，4，-1） Ｂ．（2,4,1） Ｃ．（-2,14,1） Ｄ．（5,13，-3）8. 直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则有可能使l α∥的是（ ）A ．a =（1,0,0），n =（-2,0,0）B ．a =（1,3,5），n =（1,0,1）C ．a =（0,2,1），n =（-1,0,1）D ．a =（1,-1,3），n =（0,3,1） 9. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是1,AA BB 的中点，则1sin ,CM D N 〈〉u u u u r u u u u r的值为（ ）A.19B.459C.259D.2310. 已知正方体ABCD —EFGH 的棱长为1，若P 点在正方体的内部且满足AE AD AB AP 322143++=，则P 点到直线AB 的距离为（ ） A ．65 B ．12181 C ．630D ．65 11..已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ） A .60° B .90° C .45° D .以上都不对12. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别为AB ，CD 的中点，沿MN 将MNCB 折叠至MN C 1B 1，使它与MNDA 成直二面角，已知AB =2CD =4M N ，则下列等式不正确的是（ ）A ．AN ·N C 1=0B ．11C B ·AN =0 C ．11C B ·1AC =0 D ．11C B ·AM =0 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.）13. 已知a =（1,2,3），b =（2，x ，4），如果a ⊥b ，则x = . 14.已知向量)3,0,(),0,3,2(k b a =-=.若a 与b 的夹角为ο120，则实数=k .15. 在三棱锥A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB +21BC -23DE -AD 化简的结果为 . 16. 若a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1=（1,1,1），b 1=（-3，4,0），则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为 .17. 如图2，P —ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中2,6AB PA ==，图 1C 1B 1NM D CBA 图 2SC则1B 到平面P AD 的距离为 .18. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ，若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图3，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，N M ，分别是B A 1，11C B 上的点，且12BM A M =，112C N B N =.设AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，1AA =u u u rc .⑴试用,,a b c 表示向量MN u u u u r；⑵若ο90=∠BAC ，1160BAA CAA ∠=∠=o，11AB AC AA ===，求MN 的长.20. 如图4,在四棱锥ABCD P -中,⊥PD 底面ABCD ,平面ABCD 是直角梯形,M 为侧棱PD 上一点.该四棱锥的俯视图和左视图如图5所示.⑴证明:⊥BC 平面PBD ； ⑵证明:AM ∥平面PBC .21. 如图6，在四棱锥O-ABCD 中，OA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，且OA =2，M ，N 分别为OA ，BC 的中点.⑴求证：直线MN ∥平面OCD ； ⑵求点B 到平面DMN 的距离.22.如图7，在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，图 6OBCDAM N 图3B 1C 1A 1NMCBA图22==SC SA ，M 为AB 的中点.（1）证明：SB AC ⊥；（2）求二面角A CM S --的余弦值； （3）求点B 到平面SCM 的距离.23.如图8所示，矩形ABCD 的边AB=a ，BC=2，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，现有数据：①；②a=1；③；④a=2；⑤a=4．（1）当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，a 可能取所给数据中的哪些值，请说明理由； （2）在满足（1）的条件下，a 取所给数据中的最大值时，求直线PQ 与平面ADP 所成角的正切值；（3）记满足（1）的条件下的Q 点为Q n （n=1，2，3，…），若a 取所给数据的最小值时，这样的点Q n 有几个，试求二面角Q n ﹣PA ﹣Q n+1的大小．24. 在如图9所示的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．⑴求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；(2)线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．参考答案一、选择题1. D2.B3. A 4 .A 5.C 6. C 7. D 8. D 9. B 10. A 11. B 12. C 提示：图 71. 1A B =u u u rA A 1+AB =-1CC -CA +CB =－a + b －c .2. 由于AB ⊥平面BCC 1B 1,所以AB ⊥C 1B ,从而AB uuu r 与1B C u u u r的夹角为90°.3. ①中当b =0时,a 与c 不一定共线,故①错误;②中a ,b ,c 共面时,它们所在的直线平行于同一平面即可,故②错误;③当b 为零向量,a 为非零向量时,λ不存在.4. 以A 为坐标原点，AB ,AD ,AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，且令AB =2，则B （2,0,0），O （1，0，1）,M （0，1，0）,P （2，2，z ），故OP =（1,2，z-1），BM =（-2，1，0）,因为OP ·BM =0，故异面直线OP 与BM 所成的角等于90°，故选A.5. 因为βα⊥，所以8+3λ+2=0.解得λ=103-，选C. 6.根据题意，得2534-2λλ++=89，解得λ=－2或255，选C.7. 设D （x ，y ，z ），根据题意，得AB =DC ,即（-2，-6，-2）=（3-x ，7-y ，-5-z ），解得x =5，y =13，z =-3，故选D.8. 在D 中a =（1,-1,3），n =（0,3,1），因为a ·n =0，故选D.9. 以A 为坐标原点，以AB,AD,AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，且令AB =2，则M （0,0,1），N （2,0,1），C （2,2,0），D 1（0,2,2），CM =（-2，-2,1），N D 1=（2，-2，-1），1cos ,CM D N 〈〉u u u u r u u u u r =331-44-⨯+=-91，故1sin ,CM D N 〈〉u u u u r u u u u r =459，选B.10. 如图1，过P 作PM ⊥面ABCD 于M ，过M 作MN ⊥AB 于N ，连结PN ，则PN 即为所求， 因为,322143AE AD AB AP ++=所以,32,21,43===PM MN AN 所以65)32()21(22=+=PN11. 以点D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图2，由题意知,A 1（1,0,2）,E （1,1,1）,D 1（0,0,2）,A （1,0,0）,所以1E A u u u r =（0,1,-1）,1E D u u u u r=（1,1,-1）,EA uu u r=（0,-1,-1）.设平面A 1ED 1的一个法向量为n =（x ,y ,z ）,则11·A E 0,·D E 0n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r u u u u r ⇒0,0.y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令z=1,得y=1,x=0, 所以n =（0,1,1）,cos <n ,EA uu u r >=·EA 2|||EA |22n n -=⨯u u u r u u u r =-1.所以<n ,EA uu u r >=180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°.12. 易知C 1N ⊥平面AMND ，故A 正确；假设B 正确，即有11C B ⊥AN ，又由A 项可得AN ⊥平面B 1MNC 1，这与AM ⊥B 1MNC 1矛盾，则B 不正确；对于C ，图 1图 2连结MC 1，由B 1M =2C 1N =2MN 可得MC 1⊥B 1C 1.又易知11C B ⊥AM ，得B 1C 1⊥平面AMC 1，故11C B ⊥1AC ，C 也正确；由AM ⊥平面B 1MNC 1得AM ⊥B 1C 1，则D 也正确.二、填空题 13. 7 14. 39-15. 0 16.15317. 556 18. 63提示：13. 因为a ⊥b ，所以a ⊥b ，所以a ·b =0，即2+2x+12=0，解得x=-7. 14. 提示：由数量积公式可得22139cos120k k =⨯+︒，所以k=39-15. 延长DE 交边BC 于点F ，则AB +21BC =AF ，-23DE -AD =-AF ，故AB +21BC -23DE -AD =0. 16. 由题意知，cos θ=|co s ＜a 1，b 1＞|=|||a ||b a |1111b ⋅=153.17.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系，平面P AD 的法向量是(,,)m x y z =u r ，因为(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==u u u r u u u r，所以02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-u r，因为1(2,0,2)B A =-u u u r ，所以1B 到平面PAD 的距离1655B A m d m⋅==u u u r u ru r. 18. 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图3,设AB ＝1，则AD ＝AA 1＝2，所以F （1,2,1），E （0,1,2），所以EF ＝（1,1，－1），平面ABB 1A 1的一个法向量n ＝（0,1,0），则cos 〈n ，EF 〉＝||||EF n EF n ⋅＝33，设EF 与平面ABB 1A 1所成角为θ，则sin θ＝33，cos θ＝63. 三、解答题19. 解：⑴1111MN MA A B B N =++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 1111133BA AB B C =++u u u r u u u r u u u u r11111()()33333=-++-=++c a a b a a b c . ⑵2()222++=+++⋅+⋅+⋅222a b c a b c a b b c c a111110211211522=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，图3||5++=a b c ，15||||33MN =++=u u u u r a b c .20. 证明:⑴因为⊥PD 平面ABCD ,DC DA ⊥,建立如图4的空间直角坐标系xyz D -. 在△BCD 中,易得60CDB ︒∠=,所以 30ADB ︒∠=. 因为 2=BD , 所以1AB =,3AD =.由俯视图和左视图可得， )4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ，所以 )0,3,3(-=BC ,)0,1,3(=DB .因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ,所以BD BC ⊥. 又因为 ⊥PD 平面ABCD ,所以 PD BC ⊥,所以⊥BC 平面PBD .⑵设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ,则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 因为 )0,3,3(-=BC ,)4,4,0(-=PC ,所以 440,330.y z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取1=y ,得=n )1,1,3(因为)3,0,3(-=AM ,所以⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅因为⊄AM 平面PBC , 所以直线AM ∥平面PBC .21. 建立如图5的空间直角坐标系，则各点坐标为B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），O （0，0，2），M （0，0，1），N （2，1，0），所以MN =（2，1，-1），DO =（0，-2，2），DC =（2，0，0），AB =（2，0，0），BN =（0，1，0）.⑴证明：设平面OCD 的法向量n =（x ，y ，z ），由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00DC n DO n 得⎩⎨⎧==+-.02022x z y ，令y=1，得平面OCD 的法向量n =（0，1，1），所以MN ·n =2×0+1×1+（-1）×1=0. 所以MN ⊥n .图 5OB CDAM N yzx图4又MN ⊄ 平面OCD ， 所以MN ∥平面OCD . ⑵设面DMN 的法向量为n′=（x /，y /，z /），由DM =（0，-2，1），DN =（2，-1，0），得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00DN n DM n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.0202////y x z y ，令x /=1，得平面DMN 的法向量n′=（1，2，4）.所以点B 到平面DMN 的距离d=||||//n n BN ⋅=212=21212. ..22.解析：（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB OS , 因为SC SA =，BC BA =，所以SO AC ⊥且BO AC ⊥.因为平面⊥SAC 平面ABC ，平面⋂SAC 平面AC ABC =，所以⊥SO 平面ABC 所以BO SO ⊥.如右图所示，建立空间直角坐标系xyx O - 则)0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,2(B S C A - 所以)2,32,0(),0,0,4(-=-=BS AC 因为0)2,32,0()0,0,4(=-⋅-=⋅BS AC 所以SB AC ⊥（2）由（1）得)0,3,1(M ，所以)2,0,2(),0,3,3(==CS CM 设),,(z y x n =为平面SCM 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅022033z x CS n y x CM n ，取1=z ，则3,1=-=y x 所以)1,3,1(-=n 又因为)2,0,0(=OS 为平面ABC 的一个法向量，所以55,cos =⋅=OSn OS n OS n 所以二面角A CM S --的余弦值为55. （3）由（1）（2）可得)0,32,2(=CB ，)1,3,1(-=n 为平面SCM 的一个法向量.所以点B 到平面SCM 的距离554=⋅=nCB n d .23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A （0，0，0，），B （a ，0，0），C （a ，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）， 设Q （a ，x ，0）．（0≤x ≤2） （1）∵，∴由PQ ⊥QD 得∵x ∈[0，2]，a 2=x （2﹣x ）∈（0，1] ∴在所给数据中，a 可取和a=1两个值．（2）由（1）知a=1，此时x=1，即Q 为BC 中点， ∴点Q 的坐标为（1，1，0），从而，又为平面ADP 的一个法向量，∴， ∴直线PQ 与平面ADP 所成角的正切值为．（3）由（1）知，此时，即满足条件的点Q 有两个，其坐标∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AQ 1，PA ⊥AQ 2， ∴∠Q 1AQ 2就是二面角Q 1﹣PA ﹣Q 2的平面角．由，得∠Q 1AQ 2=30°，∴二面角Q 1﹣PA ﹣Q 2的大小为30°．24. ⑴解：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以 BC AC ⊥．又因为AC FB ⊥， 所以⊥AC 平面FBC ．因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ．所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图6的空间直角坐标系xyz C -．在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以3131(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222C A BDE --． 所以 )1,21,23(-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 所以 310,2230.x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩取1z =，得=n (0,2,1)． 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则 ||25sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==u u u ru u u r u u u r θn n n ， 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． （2）线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下：假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m 所以 0,310.22b a b tc =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ，即 20021103t -⨯+⨯+⨯=，该方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．图6。
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD→与AB → D.P A →与CD→ 【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD→＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3-1-25A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG→·AC → D ．2EF→·CB → 【解析】 2BA→·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG→·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号：18490091】 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°.【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________． 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b | 得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-26【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3-1-27，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3-1-27【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO → ＝A 1A →＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12(a ＋b )， BD→＝AD →－AB →＝b －a ， OG→＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB→）＋AD → ＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD→＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°. 【答案】 B3．已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF ＝________. 【导学号：18490092】【解析】 设CN CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，MN →＝12BC →＋mAD →，又AE→·MN →＝0， 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】 1164.如图3-1-28，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3-1-28【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝（AB →＋AD →＋AA 1→）2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2（AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→）. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2（1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°） ＝23.。
【精品文档】高三数学选修2-1第3章空间向量与立体几何专项练习(带答案)-实用word文档 (5页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高三数学选修2-1第3章空间向量与立体几何专项练习（带答案）空间向量与立体几何知识点是高中必考知识点之一，以下是第3章空间向量与立体几何专项练习，希望对大家有帮助。
一、填空题1.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为_____________________________________________________________________ ___.5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与AC是________向量，AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB+CD+BC+DA的结果为________.二、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB 的中点，请化简(1)AB+BC+CD，(2)AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.求证：AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=______________________.12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.参考答案1①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向.3.BD1。
选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_ B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅7可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DS a =，平面DAC 的一个法向量600a OS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且2626),(0,)DS CS ==（. 设,CE tCS = 则226(,(1),)222BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.作 者 于华东 责任编辑 庞保军_ C_ A_S_ F_ BO。
第26讲：选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题-高中数学单元检测题及详细解析.doc
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共6（）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.空间四个点0、A、B、C, 0A.屈，旋为空间的一个基底，则下列说法不正确的是（）A.0、A、B、C四点不共线B.0、A、B、C四点共面，但不共线C.0、A、B、C四点中任意三点不共线D.0、A、B、C四点不共面2.已知a+3b与7°—5方垂直，且a_4b与7a —2b垂直，则〈°, b）等于（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 45°3.已知A（2, 一5丄），BQ,一2,4）, C（l, -4,1）,则向量乔与屁的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.已知正方体A BCD—AiBiCQi中，点E为上底面久。
的中心，若TE=AA,+xAB+yAD,则兀，y的值分别为（）A. x=l, y=lB. x=l, y=*5.设E, F是正方体AC】的棱AB和DC的屮点，在正方体的12条面对角线屮，与截面A.ECF成60。
角的对角线的数目是（）A. 0B. 2C. 4D. 66.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果乔=（2, -1, -4）,乔=（4,2,0）,乔=（一1,2, -1）.对于结论：①AP丄AB；②AP丄AQ；③恭是平面ABCD的法向豊④羽〃为7.其屮正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.已知G=（—3,2,5）, b=（l, x, —1）且a・b=2,则兀的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 68.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足乔花=0,走:乔=0,為迓=0,则△〃＜7£＞是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定9.正三棱柱ABC—ABC中，若ZBAC=90o,AB=AC=AA],则异面直线与AC]所成的角等于（）,A. 30°B. 45° C ・ 60° D. 90° 10.若向竝d=(2,3, 方=(一1, 1,当|的夹角为60。
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1、3.1.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线，又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12. (2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得：2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
人教版 选修2-1 第三章 空间向量试卷(含答案)
第三章 空间向量与立体几何（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）班别 姓名 成绩一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.15，12 B ．5，2 C ．－15，－12D ．－5，－2 解析：选A.a ∥b ，则存在m ∈R ，使得a ＝m b ，又a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2λ＝2m ，可得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝12.2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形解析：选A .AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，CA →＝(－5，－1,7)， ∴BC →·CA →＝－10＋3＋7＝0.∴BC ⊥CA. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B 【答案】D 试题分析：依题意可得(1,,2),2(3,2,2)ka b k k a b +=--=-，由()(2)k a b a b +⊥- 可得()(2)0ka b a b +⋅-= ，所以3(1)240k k -+-=，解得 D.4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)2c |等于( )A ．310B ．210 C.10 D ．5 解析：选A.|a －b ＋2c |＝(a －b ＋2c )2，∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋0＝310. 5．给出下列命题： ①已知a ⊥b ，则a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝b ·c ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 四点共面； ③已知a ⊥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则基向量a ，b 可以与向量m ＝a ＋c 构成空间另一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.当a ⊥b 时，a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝a ·b ＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＝c ·b ＝b ·c ，故①正确；当向量BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底时，BA →、BM →、BN →共面，从而A 、B 、M 、N 四点共面，故②正确；当a ⊥b 时，a ，b 不共线，任意一个与a ，b 不共面的向量都可以与a ，b 构成空间的一个基底，故③错误；当{a ，b ，c }是空间的一个基底时，a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，m 也不共面，故a ，b ，m 可构成空间的另一个基底，故④正确．6．已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0, 4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )(A) (B)π (C) (D)π 【答案】B 【解析】由题意知=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),故cos θ===-, 所以θ=π.7．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2,3,3)B ．P(－2,0,1)C ．P(－4,4,0)D ．P(3，－3,4)解析：选A.逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．8．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.因MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a .考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件；3.空间向量的数量积.9．已知非零向量a,b 及平面α,若向量a 是平面α的法向量,则a ·b=0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵a,b 是非零向量,且a 是平面α的法向量,∴当a ·b=0时,向量b 所在的直线平行于平面α或在平面α内,反之也成立.10．已知(2,2,5)u =- ，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式 A ．平行 B ．垂直 C ．所成的二面角为锐角 D ．所成的二面角为钝角 【答案】B试题分析：由(2,2,5)u =- ，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯= ，所以u v ⊥ ，而u ，v分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.11．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 恒成立,即AM 与OP 所成的角为. 12．如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点,则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )(A) (B)- (C) (D)-【答案】A【解析】如图, 正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点.以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),∴||=2,||=,·=-2, ∴cos<,>==-.∴直线AD 与GF 所成角的余弦值为. 【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.第II 卷（非选择题）二．填空题（每题5分，总20分）13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 【答案】-1【解析】∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，∴a ＋b ＝(1，m －1)，∵(a ＋b)∥c ，c ＝(－1,2)，∴1×2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－114．在空间直角坐标系O xyz -中，设点M 是点(2,3,5)N -关于坐标平面xoy 的对称点，则线段MN 的长度等于 .【答案】10 【解析】试题分析：点(2,3,5)N -关于坐标平面xOy 的对称点()2,3,5M --，故线段10MN =． 考点：空间中的距离．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成的角的余弦值是________．16．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ．以b a ,为邻边的平行四边形的面积为三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CM ＝2MA ，A 1N ＝2ND ，且AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量MN →.解：∵MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(A 1A →＋A 1D 1→)＝－13AB →－13AD →＋13AA 1→＋23AD →＝－13a ＋13b ＋13c ，∴MN →＝－13a ＋13b ＋13c .18．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，M 为四边形ABCD 的中心．求证：对A 1B 1上任一点N ，都有MN ⊥AP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N(1，y,1)． ∴AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， MN →＝⎝⎛⎭⎫12，y －12，1. ∴AP →·MN →＝(－1)×12＋0×⎝⎛⎭⎫y －12＋12×1＝0， ∴AP →⊥MN →， 即A 1B 1上任意一点N 都有MN ⊥AP. 19．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx【答案】64a 试题分析：解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M ，O'a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故a ）．根据空间两点距离公式，可得20．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． (1)求证：EF ∥平面ACD 1；(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B 1(2,2,2)、E(1,0,2)、F(0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)∵AB →＝(0,2,0)， ∴cos 〈EF →，AB →〉＝EF →·AB →|EF →||AB →|＝426＝63，∴异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值为63.21、如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M.(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB.∵AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， ∴AB ⊥平面PAD.∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ， ∴PD ⊥平面ABM.∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD.(2) 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)． ∵AM ⊥PD ，PA ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD →＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33.22.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD. (1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ， 由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD. 又因为PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 又因为AD ∩PD ＝D ，所以BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD.(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(1,0,0)，B(0，3，0)， C(－1，3，0)，P(0,0,1)， AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)， BC →＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)． 设平面PBC 的法向量为m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，可取m ＝(0，－1，－3)，〈m ，n 〉等于二面角A －PB －C 的平面角，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.。
高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ） A. BC AB ⋅ B. ⋅ C.⋅ D.AC AB ⋅4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°， 即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有AC AB ⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题． 13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。
(word完整版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一项答案 B3.设11的方向向量为a = （1,2, — 2）,12的方向向量为b = （— 2,3, m ）,若11丄12,则实数m 的值为（ ）1 A . 3 B .2 C . 1D.2解析 • h 丄 12,a 丄 b ,二 a b = 0, — 2+ 6 — 2m = 0, m = 2.答案 B4 .若a , b 均为非零向量，则 a b = |a||b|是a 与b 共线的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 ■/ a b = |a||b|cos 〈 a , b>,而 a b = ••• cos 〈 a , b > = 1, ••• 〈 a , b > = 0.••• a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能a b =— |a| |b|,因此应选B. 答案 Bf f f f5 .在△ ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =（）1.向量a =(2x,1,3), b = (1, — 2y,9), 右a 与b 共线，则 ( )11A . x = 1, y = 1B . x =2, y =- 2112C . x = 6y = — 2D . x =— 6,y ==3解析由 a // b 知，a = ?b , • 2x =入1 =—2入y3= 9入 ；1 1 入 =3 x=6,y =答案 C2 .已知a =(—3,2,5), b = (1, x ,— 1 ），且a b = 2,贝U x 的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 3是符合题目要求的）3 2.解析 a b =— 3 + 2x — 5 = 2,二 x = 5. 、选择题（本大题共12小题，每小题2 1A.3b+ 3C2 1C.3b —3c1 2D.3b+3c解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),T••• AD = (— 1,— 2,2).T• |AD |= - . 1 + 4 + 4= 3. 答案 B&与向量a = (2,3,6)共线的单位向量是( )2 3 6 236A . (7, 7, 7)B . (—7,— 7,— ?)ff解析如图，AD = AB + BDT T2=AB + 3BC3T T T2=AB + 3(AC — AB)T T1 2=3AB+ 3AC1 2 =3c + 3b 答案 A起构成空间的另一个基底的是() A . a B.bC . cD .以上都不对 解析 I a , b,c 不共面，•- a + b ,a — b, c 不共面， • p , q , c 可构成空间的一个基底 7 .已知△ ABC 的三个顶点 A(3,3,2), B(4, — 3,7), C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(厂64D. 657解析 设平面ABC 的一个法向量为 n = (x , y , z),v AB= (— 5, — 1,1), AC = (— 4, — 2, — 1),f f由 n AB = 0 及 n AC = 0,得 —5x — y + z = 0,令 z = 1,—4x — 2y — z = 0, 得 x = 2 y =— 3• n = g — |, 1).f又AD = (— 2,— 1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为0,则2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C - (7，- 7，— 7)和(—7，7，7) D . (7，7 7)和(_■?，— 7，— 7)解析|a|=- ‘22 + 32 + 62= 7, •••与a 共线的单位向量是 £(2,3,6)，故应选D. 答案 D9.已知向量 a = (2,4, x), b = (2, y,2)，若 |a|= 6 且 a 丄b ，则 x + y 为( )A . -3 或 1B . 3 或—1C . -3D . 1解析由|a|= 6, a 丄b ,4+ 16+ /= 36, 得 4+ 4y + 2x = 0,x = 4, 解得y = — 3,x = — 4, 或y = 1.•- x + y = 1，或一3.答案 A 10.已知 a = b = (3,2 — x , x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是()A . x>4x< — 4C . 0<x<4D . — 4<x<0.解析 ■/〈 a , b 〉为钝角，• a b = |a||b|cos 〈 a , b > <0, 即 3x + 2(2 — x)<0 , - - x< — 4.答案 B11. 已知空间四个点 A(1,1,1), B(— 4,0,2), C(— 3,— 1 , 的角为()0), D( — 1,0,4)，则直线 AD 与平面ABC 所成 A . 30 °B . 45 °C . 60 °D . 90 °sin 0=IAD n|f12, |AD||n|—1 +1 + 3••• 0= 30°答案 A12.已知二面角 a — l - B 的大小为50 ° P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面B 所成的角都是25°的直线的条数为()A . 2B . 3C . 4D . 5解析 过点P 分别作平面 a, B 的垂线l i 和|2,则11与12所成的角为130或50 °问题转化为过点 P与直线l i , |2成65。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试(一)
数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试一.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于()A.DBB.ADC.DAD.AC2.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于()A.10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭C.10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)4.若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ，a ＋b ，a －bB.b ，a ＋b ，a －bC.c ，a ＋b ，a －bD.a ＋b ，a －b ，a ＋2b5.下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.2OM OA OB OC=-- B.111532OM OA OB OC=++C.0MA MB MC ++=D.0OM OA OB OC +++=6.设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=，则BCD ∆是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定7.已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是()A.1B.15C.35 D.758.已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m = ，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为()A.45︒B.135︒C.45︒或135︒D.90︒9.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是()A.2 B.2 C.223D.23310.长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为()A.1010B.3010C.21510 D.10二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．12.已知三点A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的单位法向量为_______13.设平面α与向量()1,24a --＝,垂直，平面β与向量()2,3,1b ＝垂直，则平面α与β的位置关系是________．14.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为.三.解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)．(1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．16.设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .17.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60 ，M 是PC 的中点，设AB =a ,AD =b ,AP =c．(1)试用,,a b c 表示出向量BM；(2)求BM 的长．18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．19.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》测试答案一.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于()A.DBB.ADC.DAD.AC【答案】C2.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于()A.10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭C.10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,0,14⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C3.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)【答案】B【点睛】本题考查空间向量的线性运算，是缁.4.若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ，a ＋b ，a －bB.b ，a ＋b ，a －bC.c ，a ＋b ，a －bD.a ＋b ，a －b ，a ＋2b【答案】C5.下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.2OM OA OB OC=-- B.111532OM OA OB OC=++C.0MA MB MC ++=D.0OM OA OB OC +++=6.设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=，则BCD ∆是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定【答案】B7.已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是()A.1 B.15C.35 D.75【答案】D8.已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m = ，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为()A.45︒B.135︒C.45︒或135︒D.90︒【答案】C9.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是()A.2 B.2C.3D.3【答案】D10.长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为()A.1010B.3010C.21510【答案】B二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB 与CA的夹角θ的大小是________．12.已知三点A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的单位法向量为_______【答案】(3，3，3)或(－3，－3，－3)【详解】三点()()()1,1,01,0,10,1,1A B C ，，，110101 AB AC ∴=-=-（，，），（，，），令平面ABC 的法向量为 n x y z =（，，），可得00n AB n AC ⎧⋅⎨⋅⎩＝＝，即 y x z x⎧⎨⎩＝＝，x y z∴==∵平面ABC 的法向量 n x y z =（，，）为单位法向量，2221x y z ∴++=，解得3x y z ===±，故平面ABC 的单位法向量是(3，3，3)或(－3，－3，－3).故答案为】(33，33，33)或(－33，－33，－33)．13.设平面α与向量()1,24a --＝,垂直，平面β与向量()2,3,1b ＝垂直，则平面α与β的位置关系是________．【答案】垂直【详解】由题意，()() 2,3,11,2,42640,a b ⋅⋅---+- ＝＝＝ ,a b ∴⊥ ∵根据平面α与向量()1,24a --＝,垂直，平面β与向量()2,3,1b ＝垂直，.αβ∴⊥故答案为垂直14.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为.【答案】23【详解】连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．三.解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．【答案】(1)(－2,2，－2)(2)x－y＋z－2＝0.【详解】(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM⊂α，∴⊥,∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0.16.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k.【答案】(1)1-3 (2)1063【详解】k a＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，则＝＝，解得k＝－.(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60 ，M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c ===．(1)试用,,a b c 表示出向量BM ；(2)求BM的长．【答案】(1)111222a b c -++ (2)62【详解】(1)∵M 是PC 的中点，∴()()1122BM BC BP AD AP AB ⎡⎤=+=+-⎣⎦ ()11112222b c a a b c⎡⎤=+-=-++⎣⎦ (2)1,2,1,2AB AD PA a b c ===∴===由于0,60,0,21cos601AB AD PAB PAD a b a c b c ⊥∠=∠=∴⋅=⋅=⋅=⋅⋅=由于()1,2BM a b c =-++ 由于()()()222222221113211220114442BM a b ca b c a b a c b c ⎡⎤⎤⎡∴=-++=+++-⋅-⋅+⋅=+++-+=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦22BM BM ∴=∴ 的长为.【点睛】本题在四棱锥中用a b c r r r，，表示出向量BM，并根据给出的数据求BM 的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．18.18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．【答案】(1)见解析(2)45°.【解析】(1)证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(02，0)，F(12，1)．∴PC ＝(2,22，－2)，BF ＝(－12，1)，EF＝(1,0,1)．∴PC BF ⋅ ＝－2＋4－2＝0，PC EF ⋅＝2＋0－2＝0.∴PC BF ⊥，PC EF⊥∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF.又BF∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF.(2)由(1)知平面BEF 的一个法向量n 1＝PC＝(2,22，－2)，平面BAP 的一个法向量n 2＝AD＝(0,22，0)，∴n 1·n 2＝8.设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则1212122cos cos ,2422n n n n n n θ⋅====⨯⋅，∴θ＝45°.∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.19.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)66.【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，则PF ＝(1,1，－t )，DF ＝(1，－1,0)．所以PF ·DF ＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0，所以PF ⊥FD .(2)设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知PF ＝(1,1，－t )，DF＝(1，－1,0)，则由0,{0n PF n DF ⋅=⋅= ，得0,{0x y tz x y ＋－＝－＝，令z ＝1，则x ＝y ＝2t .故n ＝,,122t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭是平面PFD 的一个法向量．设G 点坐标为(0,0，m )，因为E 1,0,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2EG m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0.即12⎛⎫-⎪⎝⎭×2t ＋0×2t ＋m ×1＝m －4t ＝0，所以m ＝14t ，从而PA 上满足AG ＝14AP 的点G 可使得EG ∥平面PFD .(3)易知AB ⊥平面PAD ，所以AB ＝(1,0,0)是平面PAD 的一个法向量．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，故∠PBA ＝45°，所以PA ＝1，则平面PFD 的一个法向量为n ＝11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 〈AB ，n 〉＝n AB n AB ⋅⋅ 126，由题图可判断二面角为锐角．故所求二面角A －PD －F的余弦值为6.。
高中数学人教新课标A版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步测试
高中数学人教新课标A版选修2-1 第三章空间向量与立体几何同步测试共 24 题一、单选题1、在空间直角坐标系中，点与点（）A.关于平面对称B.关于平面对称C.关于平面对称D.关于轴对称2、已知向量， .若向量与向量平行，则实数的值是（）A.6B.-6C.4D.-43、点在空间直角坐标系中的位置是（）A.y轴上B.平面上C.平面上D.平面上4、点关于平面的对称点为（）A. B.C. D.5、已知空间向量 , ,若 ,则实数（）A.-2B.-1C.1D.26、已知，， =1，则向量在方向上的投影是（）A. B.-1C. D.17、已知三棱锥P—ABC中，，底面△ABC中∠C=90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C.当AC=BC时，D.当AC=BC时，8、在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A. B.C. D.9、在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A. B.C. D.10、直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11、在正方体中，，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.12、若，，，则的值为（）A.4B.15C.7D.3二、多选题13、如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线与直线始终是异面直线B.存在点，使得C.四面体的体积为定值D.当时，平面平面14、如图，已知四棱锥中，平面，底面为矩形，， .若在直线上存在两个不同点，使得直线与平面所成角都为 .则实数的值为（）A.1B.2C.3D.4三、填空题15、如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为________．16、正四棱柱中, 则与平面所成角的正弦值为________．17、已知直线l与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则________.18、如图，以长方体的顶点D 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为，则 的坐标为________四、解答题19、已知向量 =(1,-3,2), =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2 + |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E,使得 ⊥ ?(O 为原点)20、在长方体 中，，，(1)求与平面所成角的大小；(2)求面 与面所成二面角的大小.21、长方体中，，．(1)求异面直线 与 所成角；(2)求点 到平面 的距离；(3)求二面角 的大小22、 已知(1)若(k +)∥(−3) ，求实数 k 的值；(2)若，求实数 的值．23、如图所示，等边三角形的边长为3，点，分别是边，上的点，满足，．将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，．(1)求二面角的余弦值；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．24、如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中(1)求证：；(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；参考答案一、单选题1、【答案】C【解析】【解答】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.2、【答案】D【解析】【解答】解：，又因为向量与向量平行所以存在实数，使得解得故答案为：【分析】求出向量的坐标，利用向量共线定理即可得出．3、【答案】C【解析】【解答】点的纵坐标为0，横坐标和竖坐标不为0，点在平面上.故答案为：C.【分析】根据点的横坐标、纵坐标以及竖坐标的特点，可得点的位置.4、【答案】D【解析】【解答】由对称关系可知，点关于平面对称的点为故答案为：【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果.5、【答案】C【解析】【解答】解：向量，，若，则，解得．故答案为：．【分析】根据时，，列方程求出的值．6、【答案】D【解析】【解答】根据向量数量积的几何意义，所以在方向上的投影为：。
(完整word版)高中数学选修2-1第三章空间向量测试题
1 .2 .3 .4. 选修2-1第三章空间向量检测题（一）、选择题（每小题5分，共60分）已知向量2A. 3在长方体A.AD i 5. a = (2,—3,5)与向量b= (3,人号）平行，则X=（9B.2ABCD—A1B1C1D1 中，A B+ B C+ C C1 —D7C1 等于(B.AC1C.ADD.AB若向量a= (1, m,2), b= (2, —1,2)，若8 rcos〈a, b〉= 9,贝" m的值为（）A . 2 B.—2 C.—2或552 D. 2或—55已知空间向量a= (1,1,0), b= (—1,0,2), (0,1,2)已知A,共面的是（则与向量a+ b方向相反的单位向量的坐标是（）1 B. (0,—1,—2) C. (0, ，5, D . (0，- 15,-B, C三点不共线，对平面ABC内任一点0,下列条件中能确定M与点A , B , C 一定) A.O M = O A+OB + O C B.O M= 2OA —OB —OtC.OM = 0A + joB + 100D.OM = 1(5A + 1(5B+1(5C6•如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB, AC , M , N分别是对边0A , BC的中点，点G在线段MN上，且MG = 2GN ,现用基向量0A , OB , Oc表示向量，设0G=xOA+yOB+zOC ,则x, y, z的值分别是（1 A . x= 3,1y=3,1z= 31 1B. x=3, y= 3,c. x= 3,1y =6,1Z= 31 1D. x=6, y=11Z= 37•如图所示，已知三棱锥A—BCD, O BCD内一点，则AO + AD）是0 BCD的重心的（）G NB1(A B+A CA •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件E8已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，若ABCD 是边长为2 的正方形，AA i = 1，/ A i AD = Z A i AB=60°贝V BD i 的长为（）A . 3B. .' 7C. . 13D . 99•如图所示，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = BC = AA i ,Z ABC = 90° 点E , F 分别是棱AB , BB i 的中点，则直线 EF 与BC i 所成的角是（ ） A . 45°B . 60°C . 90°D . i20°iO .把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A , B , C , D 四点为顶点的 三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）A . 90 °B . 60 °C . 45 °D . 30 °ii.如图所示，在三棱锥 P —ABC 中，/ APB =Z BPC =Z APC = 90° M 在厶 ABC 内，/ MPA = 60° / MPB = 45° 则/ MPC 的度数为（ ）A . i50°B . 45°C . 60°D . i20°i2 .已知直二面角 a — PQ — 3, A € PQ , B € a, C € 3, CA = CB ，/ BAP =45° ,直线CA 和平面a 所成的角为30° ,那么二面角 B — AC — P 的正 切值为（）i3.已知四面体 ABCD 中，AB = a — 2c , CD = 5a + 6b — 8c , AC , BD 的中点分别为 E , F ,则 =14. 在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ ACB = 90 ° / BAC = 30 ° , BC = 1 , AA1 = ： 6 , M 是 CC i 的 中点，则异面直线 AB i 与A i M 所成角的大小为 _____________ .15. 已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，ABCD 是边长为 a 的正方形，AA i = b , / A i AB =Z A i AD = I20 °,贝U AC i 的长为 __________ .i6.如图，平面 ABCD 丄平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形，四题号 i2 3456789I0iiI2答案B . 3C.|、填空题（每小题5分，共20分）iD .3Ci边形ABEF是矩形，且AF = 2AD = a, G是EF的中点，贝U GB与平面AGC所成角的正弦值为__________ .8已知平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，若ABCD是边长为 2 的正方形，AA i= 1，/ A i AD = Z A i AB三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. (10 分)已知A(1，- 2,11), B(6 , - 1,4), C(4,2,3), D(12,7 12)，证明:A, B, C, D 四点共面.18. (12分)如图，已知点P在正方体ABCD —A1B1C1D1的体对角线BD1上，/ PDA = 60 °(1)求DP与CC1所成角的大小；⑵求DP与平面AA1D1D所成角的大小.19. (12分)如图所示，已知正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证A1E丄BD ; (2)若平面A1BD丄平面EBD，试确定E点的位置.20.(12分)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE 丄平面ABCD ，/ BAD21.(12分)如图所示，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 是矩形, AB = 1 , BM 丄 PD 于点 M.(1)求证AM 丄PD ; (2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.22.(12分)如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面是边长为 2^3的菱形，且/ BAD = 120 ° PA 丄 平面ABCD , PA = 2 6, M , N 分别为PB , PD 的中点.(1)证明MN //平面ABCD ; (2)过点A 作AQ 丄PC ,垂足为点Q ,求二面角A — MN — Q 的平面角的 余弦值.1=/ ADC = 90° AB = AD = 2CD = a , PD = >/2a.(1)若M 为PA 的中点，求证： AC //平面 MDE ; (2)求平面PAD 与平面 PBC所成锐二面角的大小.PA 丄平面 ABCD , PA = AD = 2,第三章单兀质量评估(一■)1. C T a // b ,「. b = ma(m € R),2= Y= 15，得入——7 8 92AB + BC + CC i — D 1C 1 = AC 1 — D iG = AC 1 + CD 1 = AD 1. ab = 6-m |a 匸.m 2 + 5 |b| = 3, cos 〈a，b 〉=|a||b|=3 m 2 + 57 C8 A BD 1=BA +AD + DTD 1 = E B A +BC + BB 1, |BD 1|2= BD 12 = (BA + BC + BB 1)2= |BA|2 + |BC|2 + |BB 1|2 + 2BA BC + 2BA BIB 1 + 2BC BIB 1 = 4 + 4+1 + 1 10+ 2X 2X 1 X ( — 2 + 2X 2X 1X 2= 9, |就|= 3, 即卩 BD 1 的长为 3.2. A3. C 8 =9解得、 2m = — 2 或 m = 55.由已知得a + b = (0,1,2)且|a + b|= 5,则与向量a +b 方向相反 1 1的单位向量为一 5(°,1,2)= (0,-5,-5. D16. D 连接ON , T M , N 分别是对边OA , BC 的中点，二OM = -Q A , 1 Oh=2(O B + O C),OG = oM + MG = oM + 3MN = oM + 3(O~N - oM) = 30M +X 舟0^+|x ^(OB +OC) = 6O A +3O B +^OC ,二x = 6, y = z = 3.故选 D.4. D.故选D.9. B以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2, 则E(0,1,0), F(0,0,1), G(2,0,2), B(0,0,0),则EF = (0, - 1,1), BC i = (2,0,2),2 i••• cos <EF, BC I〉=頁2迄=2，二〈EF, BC i>= 60° A直线EF 与BC i 所成的角为60°10. C 翻折后A, B, C, D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC 丄平面BAC,设未折前正方形对角线的交点为O,则/ DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°11. CAB如右图所示，过M作MH丄面PBC于H，贝S MH // AP,「./ MPH =12. A 在平面B 内过点C 作CO 丄PQ 于O ,连接OB.又a 丄B,则OC X OB , OC X OA ,又 CA = CB ,所以△ AOC ^A BOC , 故 OA = OB.又 / BAP = 45°所以OA X OB.以O 为原点，分别以OB , OA , OC 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图).不妨设AC = 2,由/ CAO = 30°,知OA = 3, OC = 1.在等腰直角三角 形 OAB 中，/ ABO =/ BAO = 45° 贝卩 OB = OA = 3，所以 B( 3, 0,0), A(0, 一3, 0), C(0,0,1), AB = ( .3,- , 3, 0), AC = (0,— 3, 1)，设平tt m AC = — V 3y +z = 0面ABC 的法向量为n 1 = (x , y , z),由_ _ ，取x = 1,n 1 AB = V 3x —V 3y = 0则y = 1,z =Q 3,所以n 1= (1,1,3),易知平面B 的一个法向量为n 尸(1,0,0), 则 cos < n 1, n 2>= |；||：2厂丁5：〔二中，又二面角 B — AC — P 为锐角，由此可得二面角B — AC — P 的正切值为2.13. 3a + 3b — 5c30° 二 cos45 = cos / HPB cos30 °6 ~3，cos / HPC =cos / HPB•••/ MPC= 60° 又 cos / HPC cos30解析：A 1M = 0，— 3，— ~2 ， cos <AB 1， A 1M 〉= 0，二〈AB 1， A 1M 〉= n即直线AB 1与A 1M 所成角为扌15/, 2a 2 + b 2— 2ab如图所示，取BC 的中点M ,连接EM , MF ,则EF = EM + M F = 2A B +1(a —2c) + 2(5a + 6b — 8c) = 3a + 3b — 5c.14. 扌解析：由条件知AC , BC , CG 两两垂直， 图，以C 为原点，CB ，CA ，CC i 分别为x 轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),A(0, 3 0)，B i (1,0，.'6)，M 0，0,屮，几(0，3'6)，A解析：设AB= a，AD = b，A/A1 = c，则|a|= |b|= a，|c|=b ,• • AkC i = AB + B C + cC i = a + b + c ,• • |AC i |2 = (a + b + c)2 = 2a 2 + b 2 — 2ab ,「. |/AC i |= 2a 2 + b 2 — 2ab.'616可解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐 标系，则 A(0,0,0), B(0,2a,0), C(0,2a,2a), G(a ,a,0), F(a,O,O), AG = (a , a,0), AC = (0,2a,2a),BG = (a , — a,0),设平面AGC 的一个法向量为n i = (x i ,AG n i = 0 y i,i)，由—AC n i = 0AGC 所成的角为B,则 |BG n i |=2a _^6 |BG||n i | ；2a x 3 3i7.证明：AB = (5,i ,— 7), AC = (3,4,— 8), AD = (ii,9,— 23)，设AD = X AB +yAC ,5X + 3y = ii得 x +4y = 9 ,—7X — 8y = — 23解得 X = i , y = 2.ax i + ay i = 0 2ay i + 2a = 0 ，则 x i = 1 y i = — i,故n i = (i ,— i,i).设GB 与平面 sin 0=所以AD = AB+2AC,则AD, AB, AC为共面向量，又A B,A D, AC有公共点A,因此A, B, C, D四点共面.18. 解:如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1, 则DA = (1,0,0), CC i = (0,0,1),连接BD, B i D i，在矩形BB i D i D 中，延长DP交B1D1于H点.设DH = (m, m,1)(m>0),〈DH , DA> = 60° 则DA DH = DA|DH|cos 〈DH , DA >,可得2m= 2m2+1,得m^-^,所以DH =(承孑,1).(1) cos〈D H , CC1 > = DH C C1 = 1，所以〈D H , CC1 > = 45°,即IDH11CC1I 72DP与CC1所成的角为45°DH DC(2) 平面AA1D1D 的一个法向量为DC = (0,1,0), co〈DH , DC> = ——|DH||DC| 1=2,所以〈DH , DC > = 60°故DP与平面AA1D1D所成的角为30°19. (1)证明：如图所示，以D为原点，DA,D C,D D I所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,O,O), B(a, a,0)，C(0，a,0),A i(a,0，a)，C i(0，a，a)，设E(0，a，e)，则A i E=(—a，a，e —a)，BD = (—a，—a,0)，A i E BD =—a (—a) + a (-a) + (e- a) 0=0，A A i E丄BD，贝A i E丄BD.(2)解：当E为CC i的中点时，平面A i BD丄平面EBD.由题意可得DE=BE，••• E0 丄BD.同理A i O丄BD，/ A i OE为二面角A i - BD —E的平面角，EO ==^23a，A i O = ^Ja2+^|2a2 = ^a，A i E2= ^/2a)2+ p 29 9=4a2，二EO2+ A i O2= 4a2= A i E2，：/ A i OE = 90° •平面A i BD 丄平面EBD.20 .解：T四边形PDCE是矩形，且平面PDCE丄平面ABCD，平面PDCE A平面ABCD = CD，二PD 丄平面ABCD，贝S PD丄AD，PD丄DC，又/ ADC =90° • PD，AD，DC两两垂直.以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知，得D(0,0,0),A(a,O,O), P(0,0, 2a), E(0,2a , 2a), C(0,2a,0), B(a , a,0).(1) T M 为 PA 的中点，二 M(|, 0,今),则AC = (— a,2a,0), DM = (2, 0,手)，DE = (0,2a , 2a).设平面MDE 的法向量为m = (x , y , z),m DE = 0 2y + 2z = 0取 m = (2,1,— 2).而AC m = (— a) 2 + 2a + 0= 0,且 AC?平面 MDE ,••• AC //平面 MDE.⑵平面 FAD 的一个法向量 n i = (0,1,0), PC = (0,2a ,—2a), PB = (a , a , — 2a).设平面PBC 的法向量为 七=(x °, y °, %),则有取 n 2 = (1,1, 2).设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为0,则有..n 1 n 2 . 1cos = |cos 〈n 1, n 2〉ITjn^= 2, m DM = 0x + 2z =0由题意得则0= 60°•平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°21 . (1)证明：T PA丄平面ABCD, AB?平面ABCD,••• FA X AB.v AB 丄AD , AD A FA = A 」.AB 丄平面 FAD.v PD?平面 FAD ,• AB 丄PD.v BM 丄 PD , AB A BM = B ,. PD 丄平面 ABM.v AM?平面 ABM ,. AM 丄 PD.⑵解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB , AD , AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0),D(0,2,0), M(0,1,1)，贝SAC = (1,2,0)，AM = (0,1,1)，CD = (-1,0,0).设平面ACM 的一个法向量为n = (x , y , z),由n 丄AC , n 丄AM 可得 平面ACM 所成的角为a,贝卩sin a= CD n = 乂6，二COS a= W3，.・.直线ICDII n| 3 3CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为 §.22. (1)证明：连接BD ，因为M , N 分别为PB , PD 的中点，所以MN 是厶PBD 的中位线，所以MN // BD.又因为MN?平面ABCD ,所以MN //平 面 ABCD.x + 2y = 0,y +z = 0, 令 z = 1,得 x = 2, y =- 1,. n = (2,- 1,1).设直线 CD 与(2)解法1:连接AC 交BD 于0,以0为原点，OC, OD 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示.在菱形ABCD 中，/ BAD =120° 得 AC = AB = 2书，BD = ^3AB = 6,又因为 PA 丄平面 ABCD ，所 以FA X AC ,在直角三角形 FAC 中，AC = 2,3, FA = 2 6, AQ 丄PC ,得 QC = 2, PQ = 4•由此知各点坐标如下:A(- 3, 0,0), B(0,— 3,0), C( 3, 0,0), D(0,3,0), P(— 3, 0,2 6), M -于，-1, 6 , N — f, |, .6 , Q -f, 0,響•设m = (x i , y i , z i )为平面AMN 的一个法向量，AM = 于，—3, 6 , AN =彊 2 6 ,由 m 丄 AM , m 丄AN 知 y 2, Z 2)为平面 QMN 的一个法向量， QM = -563,— 2, , QN =取 z i = — 1,得 m = (2 2, 0,— 1).设 n = (X 2,5/3 3丄0一—T x2—2y2+T Z2= 0,n丄QN知—，-5/3 3 卡门帝X2 + 刃2 + -^2= °MN —Q的平面角的余弦值为解法2:如图所示，在菱形ABCD中，/ BAD = 120°得AC= AB = BC= CD = DA，BD = ,'3AB.又因为PA丄平面ABCD，所以PA X AB, FA X AC, FA X AD，所以FB= FC= FD，所以△ FBC^^ PDC.而M , N 分别是1 1PB, PD的中点，所以MQ = NQ,且AM = 2PB = 2PD= AN.取线段MN的中点E,连接AE, EQ,贝S AE X MN , QE X MN,所以/ AEQ为二面角A —MN —Q 的平面角，由AB= 2.3 PA= 2：6,故在△ AMN 中，AM = AN1 3X/3=3, MN =尹D = 3,得AE=〒.在直角三角形PAC中，AQ X PC,得AQ=2 2, QC= 2, PQ= 4,在厶PBC 中，cos/ BPC= PB［黑/' '得MQ = *PM2+ PQ2—2PM PQcos Z BPC= '5.在等腰三角形MQN 中，MQ =NQ= ：5, MN= 3,得QE = \MQ2—ME2=,11 , 亠3 3“ 4 “2 .在△ AEQ 中，AE=〒,QE= 2, AQ3于•由n丄QM,取Z2=5,得n = (2 '2, 0,5).故cos〈m,n —归*|m||n|=药，所以一面角 A —所以二面=6, P4玄2AE QE=2 2 得cos/ AEQ = AE"：严二AQ =雰,33 33。
人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。
A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥； （2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 单元检测(A卷) Word版含答案.docx
第三章 空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1524．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →〉等于( )A ．－23B.23C.53D ．－536．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°7．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a | D ．sin θ＝|n·a||n||a |8．若三点A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．不等边的锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确10．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87 C.87D.191411.如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22B.33C.77D.57 12.如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为( )A.33B.233C.3D ．2 3题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 14．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________． 16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，CA 1⊥BC 1.求证：AB 1＝CA 1.18．(12分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．19.(12分)如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE u u u r 与MN u u u u r是否共线？20．(12分)如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD ＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.21.(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB ＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．22．(12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；(3)求二面角A 1—ED —F 的正弦值．第三章 空间向量与立体几何(A)1．C [只有命题④正确．] 2.D [如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→＝b －a －c .] 3．D [∵a ∥b ，∴存在实数λ， 使⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λx ＝4λy ＝5λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝152.]4．C [设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,3)， AC →＝(1，－3,2)，又|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．]5．C [∵AB →＝(1,0,0)，CD →＝(－2，－2,1)，∴cos〈AB→，CD→〉＝AB CDAB CD••u u u r u u u ru u u r u u u r＝－23，∴sin〈AB→，CD→〉＝53.]6．B[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C1(0，2，0)，B⎝⎛⎭⎫62，22，1.∴AB1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C1B→＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB1→·C1B→＝64－24－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]7．D[若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n·a|n||a|，∴sin θ＝|cos β|＝|n·a||n||a|.]8．A[AB→＝(3,4,2)，AC→＝(5,1,3)，BC→＝(2，－3,1)，AB→·AC→>0，得∠A为锐角；CA→·CB→>0，得∠C为锐角；BA→·BC→>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且|AB→|＝29，|AC→|＝35，|BC→|＝14.]9．A[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]10．C[AB→＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|AB→|＝(1－x)2＋(2x－3)2＋(－3x＋3)2＝14x2－32x＋19＝14⎝⎛⎭⎫x－872＋57.故当x＝87时，|AB→|取最小值．]11．C[如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝22，EP＝22，P A＝PB＝2，可以求得BD＝144，ED ＝24.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →， ∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →.∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，即二面角B —AP —C 的余弦值为77.]12．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2)． AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)．故点D 到平面ACE 的距离d ＝＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233.]13.258解析 ∵a －2b ＝(8，－5,13)，∴|a －2b |＝82＋(－5)2＋132＝258. 14.413解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4， 则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0 ＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4， BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13， 所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝＝413. 15.π3或2π3解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·2＝－12，∴〈n 1，n 2〉＝2π3.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为π3或2π3.16.3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.17．证明 以A 为原点，AC 为x 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系． 设B (a ，b,0)，C (c,0,0)，A 1(0,0，d )，则B 1(a ，b ，d )，C 1(c,0，d )，AB 1→＝(a ，b ，d )， B C 1→＝(c －a ，－b ，d )，CA 1→＝(－c,0，d )，由已知AB 1→·B C 1→＝ca －a 2－b 2＋d 2＝0， CA 1→·B C 1→＝－c (c －a )＋d 2＝0，可得c 2＝a 2＋b 2. 再由两点间距离公式可得：|AB 1|2＝a 2＋b 2＋d 2，|CA 1|2＝c 2＋d 2＝a 2＋b 2＋d 2， ∴AB 1＝CA 1.18．证明 因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形．19．解 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB u u u r .又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB u u ur ，∴12CA →＋AF →＋12FB u u u r ＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB u u ur ，∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB u u u r＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →. ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．20．证明 设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ， 依题意，|a |＝|b |，又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ，于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ， CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b ＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0， 所以C 1C ⊥BD .21．解 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB → ＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.22．(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E ⎝⎛⎭⎫1，32，0. 易得EF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， A 1D →＝(0,2，－4)，于是cos 〈EF →，A 1D →〉＝＝－35. 所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)证明 易知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，4，ED →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0， 于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0. 因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED .经典小初高讲义 小初高优秀教案 (3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z )， 则即⎩⎨⎧ 12y ＋z ＝0，－x ＋12y ＝0.不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量， 于是cos 〈u ，AF →〉＝＝23， 从而sin 〈u ，AF →〉＝53. 所以二面角A 1—ED —F 的正弦值为53.。
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选修2-1第三章空间向量检测题(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，152)平行，则λ＝( )A.23B.92 C ．－92 D ．－23 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( )A.AD 1→B.AC 1→C.AD →D.AB →3．若向量a ＝(1，m,2)，b ＝(2，－1,2)，若cos 〈a ，b 〉＝89，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2554．已知空间向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量的坐标是( ) A ．(0,1,2) B ．(0，－1，－2) C ．(0，15，25) D ．(0，－15，－25) 5．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O ，下列条件中能确定M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝OA →＋OB →＋OC → B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝137.如图所示，已知三棱锥A －BCD ，O 为△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC→＋AD →)是O 为△BCD 的重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为( )A ．3 B.7 C.13 D ．99.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°10．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝90°，M 在△ABC 内，∠MPA ＝60°，∠MPB ＝45°，则∠MPC 的度数为( ) A ．150° B ．45° C ．60°D ．120°12．已知直二面角α－PQ －β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°，那么二面角B －AC －P 的正切值为( )A ．2B ．3 C.12 D.13题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．已知四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角的大小为________．15．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是边长为a 的正方形，AA 1＝b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则AC 1的长为________．16.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知A(1，－2,11)，B(6，－1,4)，C(4,2,3)，D(12,7，－12)，证明：A，B，C，D四点共面．18．(12分)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC 1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．19.(12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．20.(12分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝12CD＝a，PD＝2a.(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．21.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．22.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．第三章单元质量评估(一)1．C ∵a ∥b ，∴b ＝m a (m ∈R )， ∴23＝－3λ＝5152，得λ＝－92.2．A AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→. 3．C a ·b ＝6－m ，|a |＝m 2＋5，|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝6－m 3m 2＋5＝89，解得m ＝－2或m ＝255.4．D 由已知得a ＋b ＝(0,1,2)且|a ＋b |＝5，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量为－15(0,1,2)＝(0，－15，－25)．故选D. 5．D6．D 连接ON ，∵M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，∴OM →＝12OA →，ON →＝12(OB →＋OC →)，∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →，∴x ＝16，y ＝z ＝13.故选D.7．C8．A BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝BA →＋BC →＋BB 1→，|BD 1→|2＝BD 1→2＝(BA →＋BC →＋BB 1→)2＝|BA →|2＋|BC →|2＋|BB 1→|2＋2BA →·BC →＋2BA →·BB 1→＋2BC →·BB 1→＝4＋4＋1＋0＋2×2×1×(－12)＋2×2×1×12＝9，|BD 1→|＝3，即BD 1的长为3.9．B以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)，B (0,0,0)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·22＝12，∴〈EF →，BC 1→〉＝60°，∴直线EF 与BC 1所成的角为60°.10．C 翻折后A ，B ，C ，D 四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面BAC ，设未折前正方形对角线的交点为O ，则∠DBO 即为BD 与平面ABC 所成的角，大小为45°.11.C如右图所示，过M 作MH ⊥面PBC 于H ，则MH ∥AP ，∴∠MPH ＝30°，∴cos45°＝cos ∠HPB ·cos30°，∴cos ∠HPB ＝63，∴cos ∠HPC ＝33.又cos ∠HPC ·cos30°＝cos ∠MPC ，∴33×32＝cos ∠MPC ，∴∠MPC ＝60°.12．A 在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于O ，连接OB .又α⊥β，则OC ⊥OB ，OC ⊥OA ，又CA ＝CB ，所以△AOC ≌△BOC ，故OA ＝OB .又∠BAP ＝45°，所以OA ⊥OB .以O 为原点，分别以OB ，OA ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．不妨设AC ＝2，由∠CAO ＝30°，知OA ＝3，OC ＝1.在等腰直角三角形OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，则OB ＝OA ＝3，所以B (3，0,0)，A (0，3，0)，C (0,0,1)，AB→＝(3，－3，0)，AC →＝(0，－3，1)，设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n 1·AC →＝－3y ＋z ＝0n 1·AB→＝3x －3y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n 1＝(1,1，3)，易知平面β的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15×1＝55，又二面角B －AC －P 为锐角，由此可得二面角B －AC －P 的正切值为2.13．3a ＋3b －5c 解析：如图所示，取BC 的中点M ，连接EM ，MF ，则EF →＝EM →＋MF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c . 14.π2解析：由条件知AC ，BC ，CC 1两两垂直，如图，以C 为原点，CB ，CA ，CC 1分别为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(1,0，6)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62，A 1(0，3，6)，∴AB 1→＝(1，－3，6)， A 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－3，－62， cos 〈AB 1→，A 1M →〉＝0，∴〈AB 1→，A 1M →〉＝π2， 即直线AB 1与A 1M 所成角为π2. 15.2a 2＋b 2－2ab解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝a ，|c |＝b ，∴AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ，∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝2a 2＋b 2－2ab ，∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab . 16.63解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG→＝(a ，－a,0)， 设平面AGC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由⎩⎨⎧AG →·n 1＝0AC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝－1，故n 1＝(1，－1,1)．设GB 与平面AGC 所成的角为θ，则sin θ＝|BG →·n 1||BG →||n 1|＝2a 2a ×3＝63.17．证明：AB →＝(5,1，－7)，AC →＝(3,4，－8)，AD →＝(11,9，－23)，设AD→＝xAB →＋yAC →， 得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝11x ＋4y ＝9－7x －8y ＝－23，解得x ＝1，y ＝2.所以AD→＝AB →＋2AC →，则AD →，AB →，AC →为共面向量，又AB →，AD →，AC →有公共点A ，因此A ，B ，C ，D 四点共面．18．解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)，连接BD ，B 1D 1，在矩形BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H 点．设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，〈DH →，DA →〉＝60°，则DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1，得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)． (1)cos 〈DH →，CC 1→〉＝DH →·CC 1→|DH →||CC 1→|＝12，所以〈DH →，CC 1→〉＝45°，即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量为DC →＝(0,1,0)，cos 〈DH →，DC →〉＝DH →·DC →|DH →|·|DC →|＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，故DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19.(1)证明：如图所示，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，设E (0，a ，e )，则A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a,0)，A 1E →·BD →＝－a ·(－a )＋a ·(－a )＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，则A 1E ⊥BD .(2)解：当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .由题意可得DE ＝BE ，∴EO ⊥BD .同理A 1O ⊥BD ，∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角，EO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝32a ，A 1O ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a2＝62a ，A 1E 2＝(2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝94a 2，∴EO 2＋A 1O 2＝94a 2＝A 1E 2，∴∠A 1OE ＝90°，∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20．解：∵四边形PDCE 是矩形，且平面PDCE ⊥平面ABCD ，平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又∠ADC ＝90°，∴PD ，AD ，DC 两两垂直．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，2a )，E (0,2a ，2a )，C (0,2a,0)，B (a ，a,0)．(1)∵M 为P A 的中点，∴M (a 2，0，2a 2)，则AC →＝(－a,2a,0)，DM →＝(a 2，0，2a 2)，DE →＝(0,2a ，2a )． 设平面MDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由题意得⎩⎨⎧m ·DM →＝0m ·DE→＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2z ＝02y ＋2z ＝0，取m ＝(2,1，－2)．而AC →·m ＝(－a )·2＋2a ＋0＝0，且AC ⊄平面MDE ， ∴AC ∥平面MDE .(2)平面P AD 的一个法向量n 1＝(0,1,0)，PC →＝(0,2a ，－2a )，PB →＝(a ，a ，－2a )．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n 2·PC→＝0n 2·PB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0x ＋y －2z ＝0， 取n 2＝(1,1，2)．设平面P AD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，则有 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝12， 则θ＝60°，∴平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为60°. 21．(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB→，AD →，AP →所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，M (0,1,1)，则AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD→＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC→，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，∴cos α＝33，∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.22．(1)证明：连接BD ，因为M ，N 分别为PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解法1：连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC→，OD →所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6，又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ，在直角三角形P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4.由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，263.设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面AMN 的一个法向量，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，6，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，6，由m ⊥AM→，m ⊥AN →知⎩⎨⎧32x 1－32y 1＋6z 1＝0，32x 1＋32y 1＋6z 1＝0.取z 1＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面QMN 的一个法向量，QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－536，32，63.由n ⊥QM →，n ⊥QN →知⎩⎨⎧－536x 2－32y 2＋63z 2＝0，－536x 2＋32y 2＋63z 2＝0.取z 2＝5，得n ＝(22，0,5)．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3333，所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.解法2：如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD ，所以PB ＝PC ＝PD ，所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN .取线段MN 的中点E ，连接AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角，由AB ＝23，P A ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝332.在直角三角形P AC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝56，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5.在等腰三角形MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3，得QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ 中，AE ＝332，QE ＝112，AQ ＝22，得cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE ＝3333，所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33 33.。