福建农林大学高数一(下)试题B与答案

一、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题3分，共18分） 1．向量{1,1,4}a =-在{1,2,2}b =-上的投影等于（ ）

（A ）3 （B ）3- （C （D ） 2．函数(,)arctan

x

f x y y

=在点(0,1)处的梯度是（ ） （A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j - 3．二次积分

/4

1

(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⋅=⎰

⎰（ ）

（A ）2

0(,)x dx f x y dy

（B ）

2

00(,)dx f x y dy

（C ）

2

0(,)y

dy f x y dx （D ）2

(,)dy f x y dx

4．若曲线积分

2()L

xy dx yf x dy +⎰

与路径无关，f 有连续导数，(0)0f =，则

(1,1)2(0,0)

()xy dx yf x dy +=⎰

（ ）

（A ）0

（B ）1

（C ）2 （D ）1/2

5．若∑是球面2

2

2

1x y z ++=的下半部分的下侧，则曲面积分zdxdy ∑

⎰⎰（ ）

（A ）小于0

（B ）大于0 （C ）等于0

（D ）等于1

6．幂级数n

的收敛域是（ ）

（A ）(0,2) （B ）[0,2) （C ）(0,2] （D ）[0,2] 二、填空题（每小题3分，共12分）

1．点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为___________ ． 2．若2x y

z e

-=，则全微分(2,1)dz =_____ ____ ．

3．曲线1cos sin x y θ

θ

=+⎧⎨

=⎩的弧长微元是ds = ．

4．球面222

9x y z ++=在点(1,2,2)处的外法向量对x 轴的方向余弦cos α= ___ ．

三、计算题（每小题8分，共24分）

1．求函数(),()f x x x ππ=-≤≤的傅立叶系数(1,2,)n a n =，并判别级数1

n n a ∞

=∑是

否收敛．

2．求点(0,0,0)O 关于直线10

240x y z x y z +-+=⎧⎨

-+-=⎩

的对称点．

3．设函数(,)z z x y =由2

2

()x z yf x z +=-确定，其中f 连续可导，验证z z

z

y x y

∂∂+∂∂与f 的表示式无关．

四、计算题（前两小题各9分，后两小题各11分，共40分） 1．求二次积分

2

1

1

y x

dx e dy -⎰

⎰．

2．设立体Ω

由z =和2221x y z ++=所围成三属于0z ≥的部分，求三重积

分

2

22()x

y z dV Ω

++⎰⎰⎰．

3．设L 是sin

2

y x π

=上从点(0,0)O 到(1,1)A 的一段，利用格林格式求曲线积分

2

22(2)()2

L

x xy y dx x y dy π

+-++⎰．

4．设∑是抛物面22

z x y =+与平面1z =围成立体的表面取外侧，求曲面积分

22xy dydz yx dzdx xydxdy ∑

++⎰⎰

．

五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共6分） 1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做）求证：

1

(2)

102n

n n n ∞

=+=∑． 2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）求证：

1

21

52n

n n ∞

=+=∑．

答案：

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．B ． 2．A ． 3．C ． 4．D ． 5．B ． 6．B ． 二、填空题（每小题3分，共12分）

1

． 2．2dx dy -． 3．d θ． 4．1/3． 三、计算题（每小题8分，共24分）

1．22[(1)1]n

n a n π=--，1

n n a ∞

=∑收敛． 2．(2,2,2)-．

3．z z z

y x x y

∂∂+=∂∂，与f 无关． 四、计算题（前两小题各9分，后两小题各11分，共40分） 1．

11(1)2e --． 2

．(25π． 3．23． 4．6

π． 五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共6分） 1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做） 提示：证出

1(2)n n n n x ∞

=+=∑3

(3),1(1)x x x x -=

<-，然后令1

2

x =． 2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）

提示：证出22

1

3(21),1(1)n

n x x n x x x ∞

=-+=<-∑，然后令1

2x =．