第三章3.2复数 习题课

习题课 课时目标 1.进一步理解复数代数形式的运算.2.将复数的运算和复数的几何意义相联系，加深对复数的模概念的理解．
1．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模|z |＝____________，在复平面内表示点Z (a ，b )到_______．
复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，在复平面内表示__________________________________．
2．i 4n ＝______，i 4n ＋1＝______，i 4n ＋2＝________，
i 4n ＋3＝________ (n ∈Z )，1i
＝______
一、选择题
1．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－i 1＋i 2等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
2．已知i 2＝－1，则i(1－3i)等于( )
A.3－i B ．3＋i
C ．－3－i
D ．－3＋i
3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i
＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12
B ．a ＝3，b ＝1
C ．a ＝12，b ＝32
D ．a ＝1，b ＝3 4．下列式子中正确的是( )
A ．3i>2i
B ．|2＋3i|>|1－4i|
C ．|2－i|>2·i 4
D ．i 2>－i
5．对任意复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A ．|z －z |＝2y
B ．z 2＝x 2＋y 2
C ．|z －z |≥2x
D ．|z |≤|x |＋|y |
二、填空题
6．若复数z ＝1－2i (i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝__________.
7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．
8．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝______.
三、解答题
9．已知复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，求
向量DA →对应的复数．
10．已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )有实数根b .
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．
能力提升
11．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H 12．(1)证明|z |＝1⇔z ＝1z ； (2)已知复数z 满足z ·z ＋3z ＝5＋3i ，求复数z .
1．复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法可看
作多项式的乘法，除法类比分式的分子分母有理化．
2．复数的几何意义使复数及复平面内的点的数学问题转化成一系列的实数集中的问题．
习题课
答案
知识梳理
1．a 2＋b 2 原点的距离 点Z 1(a ，b )，Z 2(c ，d )两点间的距离
2．1 i －1 －i －i
作业设计
1．A [⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣
⎡⎦⎤(3－i )(1－i )22 ＝(1－2i)2＝－3－4i.]
2．B [i(1－3i)＝i ＋3，选B.]
3．A
4．C [在A 、D 中都含有虚数．因虚数不能比较大小，故A 、D 错；在B 中：
|2＋3i|＝13，|1－4i|＝1＋16＝17，故B 错；在C 中，|2－i|＝4＋1＝5，2·i 4＝2，故C 正确．]
5．D [可对选项逐个检查，A 项，|z －z |≥2y ，故A 错，B 项，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故B 错，C 项，|z －z |≥2y ，故C 错，D 项正确．]
6．6－2i
解析 z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝6－2i.
7．2
解析 考查复数的运算、模的性质．z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.
8．34
＋i 解析 设z ＝x ＋y i ，则z ＋|z |＝x 2＋y 2＋x ＋y i ＝2＋i ，
∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝34y ＝1，∴z ＝34＋i. 9．解 设▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，由复数加减法的几何意义，得 DA →＝P A →－PD →＝12CA →－12BD →＝12
(CA →－BD →) ＝12
(－6－8i ＋4－6i)＝－1－7i ， 所以向量DA →对应的复数为－1－7i.
10．解 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )的实根，
∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，
故⎩⎪⎨⎪⎧
b 2－6b ＋9＝0a ＝b 解得a ＝b ＝3.
(2)设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，
由|z －3－3i|＝2|z |，
得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，
即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.
∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆． 如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值． ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，
∴当z ＝1－i 时，|z |min ＝ 2.
11．D [由题图知复数z ＝3＋i ，
∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i
的点为H .] 12．(1)证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )， 则|z |＝1⇔x 2＋y 2＝1，
z ＝1z
⇔z ·z ＝1⇔(x ＋y i)(x －y i)＝1 ⇔x 2＋y 2＝1，
∴|z |＝1⇔z ＝1z
. (2)解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋3(x ＋y i) ＝(x 2＋y 2＋3x )＋3y i ＝5＋3i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋3x ＝5，3y ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－4y ＝1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－4＋i.。