概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．

(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；

(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．

解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有

30)(=X E ，1.29)(=X D ，

由切比雪夫不等式，得

)

3040303020()4020(-<-<-=<

1.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有

100)(=X E ，50)(=X D ，

由切比雪夫不等式，得

)

10012010010080()12080(-<-<-=<

7205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<

解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则

61)(=

=k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，

故有

14)(=X E ，3

35)(=X D ．由切比雪夫不等式，得

)

1418141410()1810(-<-<-=<

414(<-=X P 271.04

335

12=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．

解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知

∑==200

1i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．

因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则

20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(200

1==∑=i i X D X D ．

)

()(20500)()((

)20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)10

20020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2

251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，

1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2

251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？

解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有

20)(=X E ，16)(=X D ，

由棣莫弗—拉普拉斯定理，得

)

30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)

()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．

5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．

记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(16

1==∑=i i X D X D ．

))()(1920)()((

)1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，1600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.0400

1600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．

解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有

0)(=i X E ，12

10)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200

110)()(-===∑i i X D X D ．

由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是

)03.0(

()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=

12

101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．

(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？

(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，

(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，

由棣莫弗—拉普拉斯定理，得

)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))

()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，

由棣莫弗—拉普拉斯定理，得

)

75(1)75(≤-=>X P X P 21

7075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．

8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X

678910P 05.005.01.03.05

.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？

(2)超过950环的概率是多少？

解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则

∑==100

1i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，