2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十六)理科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十)理科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题（每题5分，共60分）1. 已知全集R U =，}02{2<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，则=)(B C A U A ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． （0,1）2. 已知i 是虚数单位，则=+ii12 A ．1B ．22C ．2D ．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在 任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是 A ．1514B151C.53D ．214. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且4221=+a a ，73244a a a =，则=5aA ．161B ．81C. 20D. 405. 已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且BM BC 3=，N 为DC 的中点， 则=•BN AM A ．-6B ．12C.6D ．-126. 在如图所示的程序框图中，若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=),0(2),0)((log )(21x x x x f x则输出的结果是 A ．16B ．8C. 162 D ．82（6题图） （7题图）7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即 底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分 的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 A ．50B ．75C.25.5 D ．37.58. 已知函数)cos(4)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>为奇函数，)0,(a A ，)0,(b B 是其 图像上两点，若b a -的最小值是1，则=)61(fA ．2B ． -2 C.23 D ．23- 9. 已知点P （1,2）在抛物线E ：)0(22>=p px y 上，过点M （1，0）的直线l 交抛物线E 于A 、B 两点，若AM 3=，则直线l 的倾斜角的正弦值为A ．23B ．21C.53D ．54 10. 已知函数x m x m x f sin )2(2cos 21)(-+=，其中21≤≤m .若函数)(x f 的最大值 记为)(m g ，则)(m g 的最小值为 A ．41- B ．1 C. 33- D ．13-11. 三棱锥ABC P -中，PA ，PB ，PC 互相垂直，1==PB PA ，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是26，则三棱锥 ABC P -的外接球表面积是A ．π2B ．π4 C. π8 D ．π16 12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根 同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1-9 的一种方法。
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十四)理科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.已知平面向量(1,)a m =，(3,1)b =-，且()//a b b +，则实数m 的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 23-【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b +的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,)a m =，(3,1)b =-，所以(2,1)+=-+a b m ， 又()//a b b +，所以213(1)0-⨯++=m ，解得13m =-. 故选B【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型. 3.“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75C. 90D. 105【答案】B 【解析】【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B . 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 5.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选D6.如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（ ）A ()22xy x x e -=B. 2sin 41x xy x ⋅=+C. ln x y x=D. 221x y x =--【答案】A 【解析】 【分析】根据图像判断函数的定义域可排除B,C 选项，对于选项D 分析函数值的正负可得出错误，对选项A 可通过求导，求出单调区间，极值，函数值的正负，可判断正确.【详解】选项A ：()22,(2)(2x x xy x e x x e e x y x '-==-=，令0,(,(2,),0y x x x y ''===∈-∞+∞>，(0x y '∈<，函数的单调递增区间是(,)-∞+∞，单调递减区间是(，函数的极大值点为，，函数的零点为0,2，(,0)(2,),0x y ∈-∞+∞>，(0,2),0x y ∈<，故选项A 满足题意；选项B ：函数定义域为11(,)(,)44-∞-+∞，不合题意； 选项C ：函数的定义域为(0,)+∞，不合题意； 选项D ：当31,02x y =-=-<时，不合题意. 故选:A【点睛】本题考查了函数的图像和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与值域的图像特征，是综合性题目.7.已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. p q ∨D.()p q ∨⌝【答案】B 【解析】 【分析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可.【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.8.同一平面上三个单位向量,,a b c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是( )A.3π B.23π C. 12π D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积，可得a b -，a c +，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】由21cos32a b a b π==- 21cos32a c a c π==-, 所以3ab -=,1ac =+,则()2()a a c a a b b a c b c ⋅=+⋅-⋅--+⋅ 所以()()a b a c ⋅-+112111cos 223π=+--⨯⨯ 即()13()122a b a c ⋅==-++. 设a b -与a c +的夹角为θ,则()3()2cos 3a b a c a b a cθ⋅===⨯⋅-+-+, 又0θπ≤≤,所以a b -与a c +的夹角为6π. 故选：D .【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属基础题.9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ）A. 40B. 35C. 5D. 12【答案】C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (0)>ω在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[0,2]π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得可得()2sin (0)f x x ωω=>,,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间，结合已知可得3,,2242ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可解得203ω<≤，又函数在区间[0,2]π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得3242ππω⨯≤，得14ω≥ ，进而得解． 【详解】()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin (0)x ωω=> ∴,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间． 又∵函数在3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， ∴3,,2242ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴得不等式组：324ππω-≤-，且22ππω≤， 又∵0>ω， ∴203ω<≤， 又函数在区间[0,2]π上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知1224ππω⨯≤且5224ππω⨯> 可得15,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．综上：12,43ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11.如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A. 23B. 12C. 6D. 5【答案】D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得||,||AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ .11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅， 由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而||cos ,||AO AD AO AD <>= ，故222||4||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得222||2||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ） A. ()1,+∞ B. ()(),01,-∞⋃+∞C. ()(),00,-∞⋃+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x ∈R ），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x [f （x ）+f′（x ）-1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1，∴f （x ）+f′（x ）+1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，不等式ln （f （x ）-1）＞ln2-x 等价为不等式ln[f （x ）-1]+x ＞ln2，即为ln[f （x ）-1]+lne x ＞ln2，即e x （f （x ）-1）＞2，则e x f （x ）-e x ＞2，∵y=f （x ）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f （0）-3=0，得f （0）=3，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=3-1=2，∴e x f （x ）-e x ＞2等价为g （x ）＞g （0），∴x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选D ．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1 【解析】 【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14.将函数2sin3y x =的图像向左平移12π个单位长度得到()y f x =的图像，则3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为________．【答案】【解析】 【分析】根据三角函数图像变换法则可得()2sin 34y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭,进而求值即可 【详解】由题意,()2sin 32sin 3124y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当3x π=时,2sin 32sin 3344f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查三角函数值的计算15.已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 【答案】124π+ 【解析】 【分析】由函数()f x的解析式，得到111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧⎪=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______． 【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-，又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nn a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n n n b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒= （2）1313sin 362222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】 【分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5X B ~，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为123P6412548125121251125的数学期望为13()355E X =⨯=. 考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19.如图，ABC 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 P B BE =．（1）证明： BC ⊥平面 P BE ；（2）求平面 P BE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（25【解析】 【分析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EFBC ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EFBC ，因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ， 过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =，(1,2,PF =-，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即40,20,x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 则()1,1,m =-，易知()0,1,0n =为平面PBE 的一个法向量，cos<,5m n >===， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值5．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20.已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）3y 23x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．【详解】(1) 因为23OP OA OB =+ 即()())()0000,2,030,23x y x y x == 所以002,3x x y y == 所以0013,23x x y y ==又因为1AB =,所以22001x y +=即:221123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以k =所以直线23y x =±+ 21.已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数）（1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122xh x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.（1）()22x f x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩.（2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭， 所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵ 013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭；设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，- 21 - ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(十四)理科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合2230{|}A x x x =--≤，集合2{log 1}B x x =≤|，则()UA B =( )A. (2,3]B. φC. [1,0)(2,3]-D.[1,0](2,3]-【答案】D 【解析】 【分析】根据对数不等式的解法可求得集合{|02}B x x =<<, 根据一元二次不等式的解法可求得集合13{|}A x x =-≤≤, 再根据集合的补集运算可求得{|0U C B x x =≤或2}x ≥, 从而可得选项.【详解】集合U =R,{}2|230{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}2|log 1{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0U C B x x =≤或2}x ≥,所以(){|10U A C B x x ⋂=-≤≤或23}[1,0][2,3]x ≤≤=-⋃故选：D.【点睛】本题考查对数不等式和一元二次不等式的解法，以及集合的交集、补集运算，属于基础题.2.已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =， 又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型. 3.在等比数列{}n a 中，若22a ,33a ,44a 成等差数列，则公比q 为（ ） A. 1 B. 2C. 1或12D.12【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知324624a a a =+，再代入基本量求解. 【详解】由条件可知324624a a a =+∴ 23111624a q a q a q =+ ，化简为22310q q -+= ， 解得：1q =或12q =. 故选：C【点睛】本题考查等差和等比的简单综合应用，属于基础题型.4.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为1212,,,A A A .如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【分析】首先根据程序框图的运行过程，判断程序框图的作用，结合茎叶图得到结果.【详解】由题意可知，模拟程序框图的运行过程，得到该程序框图运行的输出是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数，由茎叶图可知，9n =. 故选：A【点睛】本题考查了茎叶图和程序框图的应用问题，解题的关键是读懂应模拟程序框图的运行过程，以便得出该程序框图运行输出的是什么，属于基础题型.5.若直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，则12a b+的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出,a b 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】解：圆()()22211x y +++=的半径为1，圆心()2,1--，直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，直线经过圆的圆心，可得：220a b --+=，即22a b +=则1111(2)222422224b a a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1,12a b ==时，等号成立， 故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的判断得()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，再由当0x >时，0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，可排除D 选项，可得选项.【详解】因为()21cos 21x x f x x +=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，在0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.7.函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移( )个单位长度得到． A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,和2sin 2sin 2sin 333y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可得选项.【详解】因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,2sin 2sin 2sin 333y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移23π个单位长度得到. 故选：D.【点睛】本题考查运用辅助角公式化简和三角函数的图像的平移，在图像平移时注意平移的对象和平移的方向，属于基础题.8.若向量a 与b 的夹角为60o ，(2,0)a =，223a b +=，则b ＝( ) A.B. 1C. 4D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量的模的平方等于向量的平方,展开得到()()22222224cos 60423b ba a ab b a +=+=+⨯⨯⨯+=，代入已知条件得到关于b 的方程,解之可求得.【详解】因为()2,0a =，所以2=a ，又因为()()22222224cos 60423b ba a ab b a +=+=+⨯⨯⨯+= ,所以220b b +-=,解得1b =（-2舍去）， 故选：B.【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积运算,注意在求向量的模时常常需求向量的平方,属于基础题.9.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 21π-B.112π- C.2πD.1π【答案】A 【解析】【分析】根据圆的对称性只需看四分之一即可，利用面积比即可得到结果. 【详解】解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为214rπ，连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：221142r rπ-，∴此点取自阴影部分的概率是22211242114r rrπππ-=-．故选A．【点睛】本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．10.设函数()f x的定义域为R，满足2(1)()f x f x+=，且当(0,1]x∈时，()(1)f x x x=--.若对任意[,)x m∈+∞，都有8()9f x≤，则m的取值范围是( )A.7[,)6-+∞ B.5[,)3-+∞ C.5[,)4-+∞ D.4[,)3-+∞【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出当(]2,1x∈--时，函数()()()()()()2111112f x f x x x x x=+=-+++=-++⎡⎤⎣⎦，做出示意图如下图所示： 要使()89f x ≤，则需1x x ≥，而由()()8129x x -++=可解得143x =-，从而得出m 的范围.【详解】当(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，而(]0,1x ∈时，()()1,f x x x =--所以()()()()11111,f x x x x x +=-++-=-+⎡⎤⎣⎦又()()21f x f x +=，所以当(]1,0x ∈-时，()()()2121f x f x x x =+=-+，当(]2,1x ∈--时，()()()()()()2122111412f x f x x x x x =+=-⨯+++=-++⎡⎤⎣⎦， 做出示意图如下图所示： 要使()89f x ≤，则需1x x ≥，而由()()84129x x -++=解得143x =-，所以43m ≥-， 故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件()()21f x f x +=求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题.11.SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，3AB =30ASC BSC ∠=∠=，棱锥S ABC -3O 的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π【答案】C 【解析】 【分析】设三棱锥的高为2h ,球的半径为R ,由三棱锥的体积为13S ABC V -=×12 ×3 ×234R - 23h ⨯=，可以求得2334h R -=,再利用三角形面积公式可得12 234h R - = 2133244R R ⨯- ,即可求得球的半径,然后利用球的表面积公式即可得到答案.【详解】如下图所示,由于SC 为球O 的直径,所以903,0SAC SBC ASC BSC ︒︒∠=∠=∠=∠=，所以12CB CA SC ==， 设球O 的半径为R ,连接,OA OB 则OA OB OC AC CB R =====,取AB 的中点D ,连接,OD CD ,又3AB = ,则234OD CD R ==-， 设三棱锥S ABC -的高为2h ,又三棱锥O ABC -的高为△ODC 的边DC 上的高,所以三棱锥O ABC -的高为h ,故13S ABC V -=×12 ×3 ×234R - 23h ⨯=，所以2334h R -= ,在△ODC 中有12 234h R - = 2133244R R ⨯- ,故32 =12 R ·23344R - ,解得2R =,故球O 的表面积为2416R ππ=，故选：C.【点睛】本题考查球的内接棱锥的体积、球的表面积等知识,考查考生的空间想象能力以及基本运算能力，属于中档题. 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是( ) （1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）1()2f x x >恒成立； （4）设函数2()()4g x xf x x =-++，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，则92ln 2(110],k +∈. A. (1) (2) B. (2)(4)C. (1) (2) (4)D.(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【解析】 【分析】对于（1），对函数()f x 求导，得出函数()f x 的单调性，可判断；对于（2）令2()ln y f x x x x x =-=+-，对其求导，得出其单调性，且可得出当1x e=时,1210y e e=-->可判断；对于（3），令()()121ln 22h x f x x x x x =-=+-，对其求导，得出其单调性，取特殊函数值()2221121210,2022h e h e e e e e ⎛⎫=-->=+-< ⎪⎝⎭，可判断；对于（4），对函数()2ln 2g x x x x =-++求导可得()'ln 21g x x x =-+-，分析判断出()g x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，也即是，()g x 在1[,],2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，将已知条件转化为g()(2)x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根,可得()2g x k x =+，令()()2ln 21,222g x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭对()F x 求导，分析()F x 的单调性，可得出k 的范围，可判断命题.【详解】对于（1），由题意知,()'22x fx x-=，令()'0,f x =得2x =，所以函数()f x 在区间()0,2上单调递减,在区间(2,)+∞上单调递增， 所以2x =是()f x 的极小值点,故（1）正确;对于（2）令2()ln y f x x x x x =-=+-，则2220x x y x-+-'=<.函数y 在(0,)+∞上单调递减, 又当1x e=时,1210y e e =-->，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故（2）正确； 对于（3），令()()121ln 22h x f x x x x x =-=+-，则()2'2221124022x x h x x x x -+=-+-=-<，所以函数()h x 在()0,∞+单调递减，且()2221121210,2022h e h e e e e e ⎛⎫=-->=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()h x 在()0,∞+内()0h x >不是恒成立的， 所以()12f x x >不是恒成立的，故（3）不正确； 对于（4），因为()()22224ln 4ln 2g x xf x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+++=-++⎪⎝⎭，所以()'ln 21g x x x =-+-，令()()'ln 21m x g x x x ==-+-，则()'1212x m x x x -=-+=，所以当12x >时，()'0m x >，所以()m x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，且111ln 21ln 20222m ⎛⎫=-+⨯-=> ⎪⎝⎭，所以当12x >时，()'0g x >，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，也即是，()g x 在1[,],2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，又因为()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，所以()()()()12,2,2g a k a g b k b a b =+=+≤< ,则 g()(2)x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根, 则()2g x k x =+， 令()()2ln 21,222g x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭求导得()()2'232ln 41,22x x x F x x x +--⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭+ 令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭，则()()()'2122230x x G x x x x-+=+-=≥，所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，且10,(1)02G G ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()'0,0G x F x <∴< ，当[)1,x ∈+∞时，()()'0,0G x F x >∴>，所以()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递减，()F x 在[)1,+∞上单调递增，所以()121F k F ⎛<≤⎫⎪⎝⎭，而()11,F =2111ln 2192ln 2222,121022F ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+ 所以92ln 2110k +<≤，故（4）正确； 所以正确的命题有：（1）（2）（4）， 故选：C.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、零点、交点的个数、不等式恒成立等综合问题，在解决这些综合问题时常常需合理地构造新函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出所构造的函数的单调性，继而得出函数的极值、最值等，解决不等式的恒成立、函数的零点个数、函数图象的交点个数的问题，属于难度题. 二、填空题（本大题共4小题，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.已知单位向量a 与向量()1,2b =方向相同，则向量a 的坐标是______.【答案】⎝⎭【解析】 【分析】设向量(),a x y =，由条件列方程组求解.【详解】设向量(),a x y =，则2212x y x y ⎧+=⎨=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由于向量a 与向量b方向相同，所以5,a ⎛= ⎝⎭.故答案为：55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，意在考查基本公式和计算，属于基础题型. 14.已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若60B =︒，2b =，则sin A 的值为______. 【答案】14【解析】 【分析】首先根据正弦定理计算sin C ，再判断角C 的范围，最后根据公式()sin sin A B C =+计算结果.【详解】由正弦定理得sinsin 27c C B b ===2b =，所以b c>， 角C 为锐角，cos C ==，则()1sin sin sin cos cos sin 2714A B C B C B C=+=+=+⨯=. 故答案【点睛】本题考查解三角形，意在考查分析问题和解得问题的能力，属于基础题型. 15.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是______元. 【答案】12610 【解析】 【分析】首先由缴纳税款390元，确定其工资、薪金在8000—17000元之间，设工资、薪金为x 元，根据个人所得税税率表，列方程求解.【详解】当工资、薪金为8000元时，缴纳税款30003%90⨯=（元）；当工资、薪金为17000元时，缴纳税款30003%900010%990⨯+⨯=（元），所以他的工资、薪金在8000—17000元之间，设工资、薪金为x 元，则()30003%1000010%390x ⨯+-⨯=，13000x =，税后所得为1300039012610-=（元）. 故答案为：12610【点睛】本题考查应用问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，关键是懂得题意，属于基础题型.16.函数()15sin 7cos y x x =+的最大值是______. 【答案】645【解析】 【分析】方法一：利用导数求函数的最大值， 方法二：利用基本不等式构造22216816sin 9cos 7cos 24sin cos 7cos 255x x x x x x ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪⎝⎭，再求原式的最值.【详解】方法一：()22215cos 15sin 7sin 15cos 15sin 7sin y'x x x x x x =-+=--()()230sin 7sin 155sin 36sin 5x x x x =--+=-++，令0y'=，得3sin 5x =或5sin 6x =-，因为函数的定义域为R ，所以函数若存在最大值，则最大值应在极大值处取到，当3sin 5x =，4cos 5x =时，函数的最大值为645.方法二：因为2216sin 9cos 24sin cos x x x x +≥，当4sin 3cos x x =时，等号成立；21687cos 7cos 255x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当4cos 5x =时，等号成立，所以22216816sin 9cos 7cos 24sin cos 7cos 255x x x x x x ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪⎝⎭， 即816724sin cos 7cos 16525x x x ⨯+⨯≤+，7643sin cos cos 525x x x +≤， 6415sin cos 7cos 5x x x +≤，当4cos 5x =，3sin 5x =时，等号成立，因此函数()15sin 7cos y x x =+的最大值是645.故答案为：645【点睛】本题考查三角函数求最值，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型. 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）32n a n =-.（2）n T 31nn =+ 【解析】 【分析】（1）由条件可知()2263164a a a =+=，代入基本量求解数列的通项公式.（2）由（1）可知()()1113231n n n b a a n n +==-+，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由53535S a ==，得37a =，由2a ，31a +，6a 成等比数列，得()2263164a a a =+=， 即()()33364a d a d -+=，整理得2314150d d -+=， 又因为公差d 为整数，所以3d =， 所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-. （2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭31nn =+. 【点睛】本题考查数列基本量的计算和裂项相消法求和，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，数列求和是考查的重点，一般包含1.公式法；2.分组转化法；3.裂项消项法；4.错位相减法；5.倒序相加法.18.已知四棱锥E ABCD -，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，12cos 13ADC ∠=，EC ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ABE ⊥平面EBC ；（2）当60CE =时，求直线AC 和平面ADE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（26170【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，由条件可证明AB EC ⊥，AB BC ⊥，即证明AB ⊥平面EBC ；（2）由条件可知AC CD ⊥，所以以C 为原点，直线CD ，CA ，CE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，先求平面ADE 的法向量，利用公式sin cos ,AC n α=<>求解. 【详解】解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，知2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠， 将13AD =，12DC =，12cos 13ADC ∠=代入上式，计算得5AC =，故222AB BC AC +=， 所以AB BC ⊥.又EC ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以ECBC C =，所以AB ⊥平面EBC ， 又AB平面ABE ，故平面ABE ⊥平面BCE .（2）由（1）知，222AC CD AD +=， 故AC CD ⊥.又EC ⊥平面ABCD ，所以AC ，DC ，EC 两两垂直，以C 为原点， 直线CD ，CA ，CE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系：依题意，()0,0,0C ，()0,5,0A ，()12,0,0D ，()0,0,60E ， 则()12,5,0AD =-，()0,5,60AE =-， 假设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，由0,0,AD n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()()()()12,5,0,,0,0,5,60,,0.x y z x y z ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩即1250,5600,x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1z =，解得()5,12,1n =.而()0,5,0AC =-，设直线AC 和平面ADE 所成的角为α， 则sin AC n AC nα⋅=()()2220,5,05,12,161708555121-⋅==⨯++ 即AC 和平面ADE 6170【点睛】本题考查证明面面垂直和求线面角，意在考查推理证明和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直，还是证明线面垂直，最基础的的都是由证明线线垂直开始，所以线线垂直是证明的基础，常见线线垂直包含1、等腰三角形三线重合2.勾股定理.3.菱形的对角线互相垂直，4.正方形或长方形5.圆的直径所对的圆周角是直角6.线面垂直，线线垂直.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32，短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆T 的标准方程；（Ⅱ）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）5(,(,)-∞+∞【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意建立关于,,a b c 的方程组，解之可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线的方程和椭圆的方程，得到关于交点坐标的关系，并且由根的判别式得出关于,k m 的不等式，从而得到线段MN 的中点，和线段MN 的垂直平分线的方程，由点()1,0在其垂直平分线上得出关于,k m 的方程，可得到关于k 的不等式，解之可得k 的范围.【详解】（Ⅰ）由题意可知：22222b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程， 消去y 得()222148440kxkmx m +++-=，所以()()()2228414440km km∆=-+->，即2241m k <+…………①由根与系数关系得122814kmx x k +=-+，则122214m y y k+=+， 所以线段MN 的中点P 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭．又线段MN 的垂直平分线l '的方程为()11y x k=--， 由点P 在直线l '上，得221411414m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24310k km ++=，所以()21413m k k=-+…………②由①②得()222241419k k k+<+，所以215k >，即55k <-或55k >， 所以实数k 的取值范围是55,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查椭圆的简单的几何性质，椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，在求解此类综合题目时，常常采用联立方程，得到关于交点坐标的韦达定理的表示式，将所需求的目标条件转化到与交点有关的表达式上，属于中档题. 20.已知函数()()ln 1f x x a x =--.（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）1（2）当0a ≤或1a =时，函数()f x 有唯一零点；当01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点.【解析】 【分析】（1）令()0f x '=，求切点1x a =，再根据10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭求a 的值； （2）()1axf 'x x-=()0x >，当0a ≤时讨论函数的单调性，求零点个数，当0a >时，判断函数的单调性，可知函数的单调性，并得到函数的最大值()max 11ln f x f a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭，设()1ln h x x x =--，根据（1）的单调性，再讨论函数的零点个数.【详解】（1）()1ax f 'x x -=，令()0f x '=，则1x a=， 因为函数()f x 的图象与x 轴相切，所以10f a ⎛⎫=⎪⎝⎭， 即111ln 11ln 0f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1ln h x x x =--，则()11h'x x=-， 当01x <<时，()0h'x <，函数()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以()()min 10h x h ==， 所以1ln 0a a --=有唯一解1a =，即实数a 的值为1. （2）()1axf 'x x-=， ①当0a ≤时，()0f 'x >，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =，函数有唯一零点； ②当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 11ln f x f a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由（1）()1ln h x x x =--的单调性知：（ⅰ）当1a =时，()max 0f x =，所以函数只有一个零点；（ⅱ）当01a <<时，11ln 0f a a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10f =， 所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，2112ln f a a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()12ln p x x x x =--，则()()22211210x p'x x x x-=+-=≥， 所以函数()p x 在()0,∞+上单调递增，又()10p =，故 当01x <<时，()0p x <，所以2112ln 0f a a a a ⎛⎫=--<⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个零点， 所以函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；（ⅲ）当1a >时，()10f =，11ln 0f a a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点， 当10ea x <<时，ln x a <-，()()()ln 110f x x a x a a x ax =--<---=-<， 所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， 所以函数()f x 在()0,∞+上有两个零点， 综上，当0a ≤或1a =时，函数()f x 有唯一零点； 当01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，还需构造函数判断.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.21.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ).（2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且13122311()n nn n x x e ex x -++-=-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )当1p =验的总次数的期望值更少，求k 的最大值.【答案】（1）111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(i )证明见解析；(ii )4【解析】 【分析】（1）由题意分析可得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +,即可求得()2E ξ,再由12()()E E ξξ=求解即可；（2）(i )整理13122311()n nn n x x e e x x -++-=-可得112213311n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-,即1131131n n n n x x e x x e ++-=-,可解得113n nx e x +=,即可得证；(ii )由(i)1p =-,由于12()()E E ξξ>,则()11kk k k p >+--,整理可得1ln 03k k ->,设()()1ln 03x x x x ϕ=->,利用导函数判断()x ϕ的单调性,再根据*k N ∈即可求解. 【详解】（1）由已知得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +, 所以()()211k P p ξ==-,()()2111kP k p ξ=+=--,所以()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦, 因为12()()E E ξξ=,即()11kk k k p =+--, 所以()11kk p -=, 所以111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(i )证明:因为13122311()n n n n x x e e x x -++-=-,所以112213311n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-, 所以1131131n n n n x x e x x e ++-=-, 所以113n n x e x +=或113n nxe x -+=-（舍去）, 所以{}n x 是以1为首项,以13e 为公比的等比数列. (ii )由(i )可知()13n nx e n N -*=∈,则4x e =,即1p =, 由题意可知12()()E E ξξ>,则有()11kk k k p >+--, 整理得1ln 03k k ->, 设()()1ln 03x x x x ϕ=->,则()33x x xϕ-'=, 当()0,3x ∈时,()0x ϕ'>；当()3,x ∈+∞时,()0x ϕ'<, 故()x ϕ在()0,3上单调递增,在()3,+∞上单调递减, 又()40ϕ>,()50ϕ<, 所以k 的最大值为4.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望,考查等比数列的证明,考查利用导函数解决不等式恒成立问题,考查运算能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为()2παα≠的直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ-=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求FQ 的值.【答案】（Ⅰ）tan 1y x α=⋅+ ;24y x =（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去参数t 得直线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）根据已知条件可得直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据直线参数方程中的参数t 的几何意义和交点的中点可得FQ 的值.【详解】（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为tan 1y x α=⋅+ ，由2sin 4cos 0ρθθ-=，得22sin 4cos 0ρθρθ-=，即240y x -=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =， （Ⅱ）∵直线l 经过曲线C 的焦点()1,0F ∴tan 1α=- ，直线l 的倾斜角34πα=． ∴直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得280t +-=， 设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q对应的参数值为122t t +=- 又点()1,0F，则122t t FQ +==【点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程之间的转化，以及极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，熟练掌握其转化关系和其中的参数的几何意义是解决此类问题的关键，属于基础题.23.设函数f（x）=丨x+a+1丨+丨x-4a丨，（a＞0）．(1)证明：f（x）≥5；（2）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（1,4）【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)由题意得到关于实数a的不等式，然后求解绝对值不等式可得实数a的取值范围是（1,4）. 试题解析：f（x）=丨x+a+1丨+丨x-4a丨≥丨（x+a+1）-（x-4a）丨=丨a+1+4a丨∵a＞0，∴f（x）≥a+1+4 a（II）由f（1）＜6得：丨a+2丨+丨1-4a丨＜6∵a＞0，∴丨1-4a丨＜4-a，a-4a丨丨＜4-a①当a≥4时，不等式a4 a -丨丨＜4-a无解；②当a＜4时，不等式a44a a--丨丨＜，即1a＜1，a＞1，所以1＜a＜4综上，实数a的取值范围是（1,4）。
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷(二十五)理科数学
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷（二十五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.设集合{|(1)(2)}A x y x x ==+-，{|ln(1)}B x y x ==-，则()A RB =（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C. (1,2]-D. (1,2]【答案】B 【解析】 【分析】分别将集合A 和集合B 求出来，再求A R，最后求()A RB 即可.【详解】{| 2 1}A x x x =≥≤-或，{|1}B x x =>，{|12}RA x x =-<<，故()A B {|12}Rx x =<<.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算，属于基础题.2.若2020i 3i1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】因为2020i1=，故2020i 3i 13i12i 1i 1iz --===--++，然后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为13121iz i i-==--+，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C .【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几何意义，属于基础题. 3.已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】分别根据指对幂函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】211533311220,log 03355a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即c a b <<.故选：A【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,属于基础题.4.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2: 6: 4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，则n =（ ） A. 400 B. 200 C. 150 D. 300【答案】D 【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义计算即可.【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查， 其中青年人数为10，则1004264n =++， 解得300n =. 故选：D.【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题. 5.函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A .故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.6.在等比数列{}n a 中，241a a +=，689a a +=，则2a =（ ） A.14B.13C.12D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题得311571119a q a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解之即得2a 的值. 【详解】由题得311571119a q a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解之得23q =. 所以222211,4a a q a +=∴=. 故选：A【点睛】本题主要考查等比数列通项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7.设x y ，满足约束条件2302403x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则z x y =+的最小值为（ ）A. 2B. 0C. -1D. 1【答案】D 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求z x y =+的最小值. 【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，联立230240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得(1,2)B -.由z x y =+得y x z =-+，它表示斜率为-1，纵截距为z 的直线系， 当直线y x z =-+经过点B 时，直线的纵截距最小，z 最小. 所以min 121z =-+=. 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A. 94m >B. 94m =C. 35m =D. 35m ≤【答案】B 【解析】 【分析】由题意知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意可得出判断条件. 【详解】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”. 故选B.【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知函数()sin f x x x ωω=+(0)>ω的图象的相邻对称轴间的距离为2π，把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A. 函数()g x 是奇函数B. 其图象关于直线4x π=对称C. 在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,0]- D. 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，由题意求得ω，利用函数图象平移求得()g x ，再由sin()y A x ωϕ=+型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为()f x 的图象的相邻对称轴间的距离为2π， 故()f x 的最小正周期为T π=， 所以22Tπω==， 于是2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以()2sin 2123g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos2x =， 故()g x 为偶函数，并在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以A ，D 错误；04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以B 错误； 因为243x ππ≤≤， 所以42,23x ππ≤≤2cos 2[2,0]x ∈-， 所以C 正确.故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的性质，考查计算能力，属于常考题.10.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A. 8(623)+B. 6(823)+C. 8(6632)+D.6(8832)+【答案】A 【解析】 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为22，则该几何体的表面积为2116(222)42282322S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(623)=+.故选：A.【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.11.已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A. )+∞B.C. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D. ⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由e =计算即可.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+， 由题知2F 到直线l 的距离d a >， 即d =2b a =>，可得12b a >，所以离心率e =>故选：C.【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e =于常考题.12.若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A. 213e -B. 216e -C.216e D.213e 【答案】D 【解析】 【分析】设曲线()y f x =与()y g x =的在公共点()00,x y 处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b 的值，然后利用导数来研究b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．【详解】设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,x y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，则220230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =，所以2200046ln x ax b a x --=，2236ln 3b a a a =--(0)a >.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+， 令()0h a '=，得13ea =. 所以当103ea <<时，()0'>h a ； 当13ea >时，()0h a '<. 所以b 的最大值为2113e 3eh ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力，属于常考题. 二、填空题13.821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为_________.（用数字作答）【答案】-56. 【解析】 【分析】根据展开式的通项求解即可.【详解】821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()821631881C C (1)rr r rr r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭,令55685,(1)56r T C x x ==-=-.故答案为：56-【点睛】本题主要考查了二项展开式求指定项的系数问题,属于基础题. 14.已知向量,m n 的夹角为60︒，且1m =，3m n -=，则n =______．【答案】2 【解析】 【分析】根据向量模的运算化简已知条件，由此求得n .【详解】依题意已知向量,m n 的夹角为60︒，且1m =，3m n -=，所以23m n -=， 即2223m m n n -⋅+=，即222cos 603m m n n -⋅⋅+=，2213,20n n n n -+=--=()()210n n -+=，解得2n =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.15.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为9π，则p =_______. 【答案】4. 【解析】 【分析】根据圆的性质与抛物线的定义列式求解即可. 【详解】∵OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切, ∴OFM ∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆的面积为9π,∴圆的半径为3,又∵圆心在OF 的垂直平分线上,||2p OF =,∴3,424p pp +==.故答案为：4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的运用,属于基础题.16.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O ．若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________________． 【答案】74【解析】 【分析】如图，设该三棱锥的外接球圆心为O '',半径为r,设圆柱外接球的半径为R,先求出2213=4O F R R R O F '''=-=，OA=3R ，再在直角三角形AOO ''利用勾股定理得解.【详解】如图，设该三棱锥的外接球圆心为O '',半径为r,设圆柱外接球的半径为R, 由题得2,OP R OO PO R ''===,所以2213=42O F R R R O F '''=-=.所以.由题得2,OO R r AO r ''''=-=，在直角三角形AOO ''中，222(2)3r R r R =-+,所以74r R =. 故答案为：74【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查几何体的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、解答题17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=. （1）求A ；（2）若2b c =，点D 为边BC 的中点，且AD =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）ABC S ∆=.【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2b c =可解得2,4c b ==,再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==, 故3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+, 两边同时平方可得22242||||cos AD AB AC AB AC A =++⋅, 故2228c b bc =++.因为2b c =,所以2,4c b ==. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18.已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n Ta a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，PA PC ⊥，PA PC =，4PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱PC 上，且2MC PM =，求二面角M AB C --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30︒. 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，OB ，先证PO AC ⊥，再证PO OB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .（2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，OB ，因为ABC是正三角形，所以OB AC⊥，因为PA PC=，所以PO AC⊥.在POB中，2PO=，23OB=，4PB=，所以222PO OB PB+=，所以PO OB⊥，因为OB AC O=，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，可知(0,2,0)A-，(23,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)P，240,,33M⎛⎫⎪⎝⎭，所以(23,2,0)AB=，840,,33AM⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABM的法向量为(,,)n x y z=，所以23208433AB n x yAM n y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =，得(3,3,6)n =-.取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 记二面角M AB C --的平面角为θ，||3cos ||||2m n m n θ⋅==， 易知θ为锐角，所以二面角M AB C --为30︒.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20.某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[)[)[)[)[]9101011111212131314，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在[]914，内），得到如图所示的频率分布直方图，其中018a b -=．．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）． （2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十二)理科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则AB =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D.{|14x x ≤<} 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2.已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ） A.132i+ B. 132i -C.32i+ D.32i- 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【解析】 【分析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10 B. 24C. 32D. 56【答案】D 【解析】 【分析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x ⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案. 【详解】∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5.已知函数()xf x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处切线方程为23y x =+，则ab的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 【分析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案.【详解】∵()1xf x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6.函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 分析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A. 3AG EF =，且AG 与EF 平行B. 3AG EF =，且AG 与EF 相交C. 2AG EF =，且AG 与EF 异面D. 2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D 【解析】 【分析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案.【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A.20202021B.20182020C.20182019D.20212020【答案】A 【解析】 【分析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=， 所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+12020120212021=-=故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可.【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ．【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10.设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32p 的值为（ ） 2 B. 26D. 22【答案】C 【解析】【分析】 由题，可得()2,Ap p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，然后通过求132922ACF S p p ∆=⨯⨯=的解，即可得到本题答案. 【详解】根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11.现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）333 3【答案】B 【解析】 【分析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A. 136ω=B. 116ω=C. 74ω=D. 34ω=【答案】A 【解析】 【分析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕωππ-<-，所以5342222ππωππ-<-，即15783ω<，满足的只有A. 故选：A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若||3a =，||2b =，237a b +=，则a 与 b 的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】 【分析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+及||||cos a b a b θ⋅=⋅，即可得到本题答案. 【详解】设a与b的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =，∴4211231241332315(1)1587(1)144S a q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15.某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g .【答案】 (1). 1520 (2). 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【解析】 【分析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案.【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16.已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠.【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据需要作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．【答案】（1）3B π=（2）14【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c B C b =可求．【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？ 【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾 【解析】 【分析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望； （2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为X0 1 2 3 P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润， 则()9.4376000E n n =，解得40000n .所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量(2,2,1)n =，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值.【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥， 又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F分别为两个三角形的重心，∴23 PE PF PM PN==，//EF MN所以//EF AQ，又AQ⊂平面,PAQ EF⊄平面PAQ，所以//EF平面PAQ.（ⅱ）PO⊥平面,ABO AO垂直BO，所以以O为坐标原点，,,OA OB OP所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0) P A B PA AB=-=-，设平面PAB的法向量(,,)n x y z=，则0,0,n PAn AB⋅=⎧⎨⋅=⎩即220,220,x zx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n=，又平面PCD的法向量(0,0,1)m=，所以15cos,5||||5n mn mn m⋅〈〉===，所以25sin,n m〈〉=.所以平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △的内切圆半径的最大值为3，椭圆的离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690my my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】（1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F SPF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==， 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212121||34m AB y m +===+. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21.已知函数()2(12)ln a f x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【分析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>. ①当0a 时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增；②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<， 要证1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a a x a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a a g x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】【分析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；（2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案.【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=.（2）设212P s ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23.已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma nb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十一)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|21,}M x x n n Z ==-∈，{|41,}N x x n n Z ==-∈则（ ） A. M N ∈ B. N M ∈C. M N ⊆D. N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】对于集合M ，分n =2k 和n =2k -1，k ∈Z 两种情况讨论即可得到结果. 【详解】对于M ，当n =2k ，k ∈Z 时，x =4k -1∈M ，x =4k -1∈N ，当n =2k -1，k ∈Z 时，x =4k -3∈M ，x =4k -3∉N ，∴集合M 、N 的关系为N ⊆M ． 故选D.【点睛】本题考查的是判断集合间的关系，在处理集合间的关系时，应该理解和掌握子集和真子集的定义，注意空集在解题时的应用. 2.已知复数z满足202012z i ⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】直接解方程得2020z =⎝⎭，计算化简即得解.【详解】由题得202011212z ⎛⎫-⋅- ⎪==+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以||1z ==. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.在ABC ∆，“cos cos A B <”是“A B >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】当cos cos A B <，因为cos y x =在(0,)π内单调递减，所以A B >，所以“cos cos A B <”是“A B >”的充分条件；当A B >时，因为cos y x =在(0,)π内单调递减，所以cos cos A B <，所以“cos cos A B <”是“A B >”的必要条件. 故选：C【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.过点()1,1，且在y 轴上的截距为3的直线方程是（ ） A. 230x y +-=B. 210x y --=C. 230x y -+=D.230x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】设斜率为k ，由点斜式可得1(x 1)y k -=-，令0x =，可得13y k =-=，解得k 得解． 【详解】设斜率为k ，由点斜式可得1(x 1)y k -=-，令0x =，可得13y k =-=，解得2k =-． 12(1)y x ∴-=--，化为230x y +-=．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（ ） A.12B.35C. 2D. 38-【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值． 【详解】曲线()323f x x =，点的坐标为21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2'()2f x x = ，在点21,3⎛⎫⎪⎝⎭处切线斜率2k = ，即tan 2α= 所以222sin cos 2sin cos cos ααααα-+分子分母同时除以 2cos α可得 222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 132tan 15αα-==+ 所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题． 6.已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=( ) A. 0.84 B. 0.68C. 0.32D. 0.16【答案】B 【解析】 【分析】先计算出()()414P X P X >=-≤，由正态密度曲线的对称性得出()2P X <=()4P X >，于是得出()()()24124P X P X P X <<=-<->可得出答案．【详解】由题可知，()()41410.840.16P X P X >=-≤=-=，由于()2~3,X N σ，所以，()()240.16P X P X <=>=，因此，()()()2412410.160.160.68P X P X P X <<=-<->=--=，故选B. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题． 7.点(2,3),(3,2),A B -直线20ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A. 4132a -≤≤ B. 12a ≥或43a ≤-C. 1423a -≤≤ D. 43a ≥或12a ≤-【答案】C 【解析】 【分析】直线20ax y --=经过定点(0,2)C -，斜率为a ，数形结合利用直线的斜率公式，求得实数a 的取值范围，得到答案．【详解】如图所示，直线20ax y --=经过定点(0,2)C -，斜率为a ， 当直线20ax y --=经过点3(2,)A -时，则32122AC k -+==-, 当直线20ax y --=经过点(3,2)B 时，则22433BC k +==，所以实数a 的取值范围1423a -≤≤，故选C ．【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线的斜率公式的应用，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题． 8.已知0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,62ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足535cos 8αα+=，262ββ+=，则()cos αβ+=（ ）A.210B. 210-C.210D. 210-【答案】B 【解析】 【分析】 由535cos 8αα+=得3cos()65πα+=,由262ββ=得cos()3πβ+=，再根据()cos sin[()()]63ππαβαβ+=+++得解.【详解】由5cos 8αα+=得43sin(),(0,),(,),cos()65366265ππππππαααα+=∈∴+∈∴+=.2ββ+=得5sin()(,),(,)cos()326232632ππππππβββπβ+=∈∴+∈∴+=-所以()43cos sin[()()]()63525210ππαβαβ+=+++=⨯-+⨯=-. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式和同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知二项式21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中的常数项为327n C ，则a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】二项展开式的二项式系数和为512，可得2512n =，使其通项公式为常数项时，求得6r =，从而得到关于a 的方程. 【详解】展开式中各项的二项式系数和为512，∴2512n =，得9n =，29191()()r r r r T C ax x-+=-91839(1)(0,1,,9)r r r r C a x r --=-=，当6r =时，63379927T C a C ==，解得：3a =.【点睛】求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为2n .10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()12log 1f x x =-，则()()20192020f f +=（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对33()()22f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2020)(16733)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33()()22f x f x +=-，则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，(2020)(16733)f f f =+⨯=（1），(2019)(6733)(0)f f f =⨯=，又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则f （1）(1)1f =--=；故(2019)(2020)(0)f f f f +=+（1）1=； 故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），设左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，在双曲线C 右支上存在一点P ，使得以12F F ，2F P 为邻边的平行四边形为菱形，且1PF 所在直线与圆()222x c y c -+=相切，则该双曲线C 的离心率为（ ）D. 2【答案】B 【解析】由题设1122PF F F c ==，设直线与()222x c y c -+=相切点T ，则122,PF TF TF c ⊥=，在12Rt FTF ∆中，故211cos 60TF F PF ∠=⇒=，则由双曲线的定义可得2122PF PF a a =-=-，所以22c a c e a -=⇒==B ． 点睛：解答本题的关键是依据题设条件中的“以12F F ，2F P 为邻边的平行四边形为菱形”可以推断1122PF F F c ==，即12PF F 是等腰三角形，进而依据1PF 所在直线与圆()222x c y c -+=相切推知切点是1PF 的中点，且122,PF TF TF c ⊥=，进而推得211cos 60TF F PF ∠=⇒=，最后运用双曲线的定义建立方程1222c a c e a -=⇒==求出离心率． 12.已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A. (0,)e B. (,)e +∞C. (0,2)eD. (2,)e +∞【答案】D 【解析】 【分析】首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在()0,+∞上的零点个数，再转化成方程1e 2x x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，()00F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程()()0f x f x -+=有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2xmf x mx -=-+，所以方程可以化为：e e e 02xx x m mx x -++-=，即1e 2xx m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记()e (0)x g x x x =>，()()e 10xg x x ='+>，设直线12y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()g x 图像相切时的切点为(),e tt t ，则切线方程为()()e e 1t ty t t x t -=+-，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1e e 112t t t t t t ⎛⎫-=+-⇒= ⎪⎝⎭或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上.）13.若直线()230a x y --+=倾斜角为60︒，则实数a 的值为______.【答案】23 【解析】 【分析】由题得22(1)a a -=-=--.【详解】由题得直线的斜率k=222(1)a a a -=-=∴=+--.故答案为：2【点睛】本题主要考查直线的斜率的应用，考查倾斜角和斜率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.在一个不透明的容器中有5个小球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个，那么至少有1个红球的概率为______. 【答案】710【解析】 【分析】先求出所有的基本事件个数，再求至少有1个红球的基本事件个数，再由古典概型的概率公式得解.【详解】由题得一次随机取出2个，所有的基本事件个数为2510C =,一次随机取出2个，那么至少有1个红球的基本事件个数为1122327C C C +=, 由古典概型的概率公式得如果一次随机取出2个，那么至少有1个红球的概率为710. 故答案为：710【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.函数sin sin 2xy x =⋅的最大值为______.【解析】 【分析】由题得22(1cos )cos 22x x y =-，再令cos ,[1,1]2xt t =∈-，利用导数求函数的单调区间即得解.【详解】由题得22sin2sin cos 2sin cos 2(1cos )cos 2222222x x x x x x x y =⋅==-， 令cos ,[1,1]2xt t =∈-，所以232()2(1)22,()62f t t t t t f t t '=-=-+∴=-+，由()0f t '>得33t -<<时函数f(t)单调递增，由()0f t '<得函数f(t)13t -<<-和13t <<时单调递减，又(1)0f f =-=，所以函数sin sin 2x y x =⋅【点睛】本题主要考查二倍角公式，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在平面直角坐标系xOy 中，以()1,1C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于A ，B 两点，点M ，N 分别在线段OA ，OB 上，若MN 与圆C 相切，则MN 的最小值为______.【答案】2 【解析】 【分析】由题意，根据圆的对称性，可得当OC MN ⊥时，||MN 取最小值．详解】在平面直角坐标系xOy 中，以(1,1)C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于A ，B 两点，点M ，N 分别在线段OA ，OB 上，MN 与圆C 相切，∴根据圆的对称性，当OC MN ⊥时，||MN 取最小值，如图，||OC ==，4COA π∠=，||MN 的最小值为1)2=．故答案为：222-．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()21cos 3cos 2f x x x x =-，x ∈R . （1）求函数()f x 的最大值；（2）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，3a =，cos cos b C c B =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）1；（2934【解析】 【分析】（1）先化简得()sin(2)6f x x π=+，即得函数的最大值；（2）先推理得到三角形是等边三角形，再求三角形的面积得解. 【详解】（1）()1cos 2313122cos 2sin(2)2226x f x x x x x π+=-=+=+， 所以函数()f x 的最大值为1；（2）因为()12f A =，所以17sin(2),0,2(,)622666A A A πππππ+=<<∴+∈， 所以52,663A A πππ∴+=∴=. 因为cos cos b C c B =，所以sin cos sin cos ,sin()0,B C C B B C B C =∴-=∴=. 所以三角形是等边三角形，所以ABC ∆的面积为13322⋅⋅⋅【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理和三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1l ：270x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点. （1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程.【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）2x =-或3460x y -+=. 【解析】 【分析】（1）设出圆A 的半径，根据以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l 过点(2,0)B -，求出直线的斜率，进而得到直线l 的方程.【详解】（1）设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线1:270l x y ++=相切，R ∴== ∴圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=；（2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知2x =-符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，连接AQ，则AQ MN ⊥||219MN =，||20191AQ ∴=-=，则由2||11AQ k ==+，得34k =，∴直线:3460l x y -+=．故直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.【点睛】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用、直线的一般式方程和圆的标准方程，其中（1）的关键是求出圆的半径，（2）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离）．19.新中国昂首阔步地走进2019年，迎来了她70岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国70周年知识问答”活动，规则如下：共有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.（1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知识说明理由）（2）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不会的题目的数量比是3:2:1.请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？【答案】（1）选择放弃作答；（2）72 【解析】 【分析】（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0，若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，ξ取5，-2，列出其分布列，求出期望即可； （2）依题意，分别求出可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项的每道题目的可获得红星数的期望，由（1）知完全不会的题目可选择放弃，再求每类题目数与该类题目每道题的期望的乘积，最终求和即可得到结果.【详解】（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0； 若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，其分布列为：所以()131520444E ξ=⨯-⨯=-<，故应该选择放弃作答； （2）由题意知，可以排除一个选项的题目有()330129321-⨯=++道， 设这9道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为X ，其分布列为：所以：()12152333E X =⨯-⨯=； 可以排除两个选项的题目有()230126321-⨯=++道，设这6道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为Y ，其分布列为：()11352222E Y =⨯-⨯=；完全不会的题目有()130123321-⨯=++道，由（1）知应选择放弃，这3道题中每道题得到的红星数的期望为0． 因此，小明在本次活动中可以获得的最多红星数的期望是：1312596307232⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||?TP TQ =若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2)见解析【解析】 【分析】（1）由题可得当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆的面积有最大值，根据椭圆的性质得到a 、b 、c 的方程，解方程即可得到椭圆C 的方程；（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立消去y ，得到关于x 的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到PQ 的中点坐标，要使||||?TP TQ =，则直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到t 关于k 的式子，再利用基本不等式即可求出t 的取值范围．【详解】解（1）当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入22143x y +=，得()22223484120k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，()212120002243,1234234x x y y k kx y k x k k ++-====-=++， 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为||TPTQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则1TN PQk k =-，即2223431443kt k k k k --+⋅=-+， 所以213434k t k k k==++， 当0k >时，因为34k k +≥，所以t ⎛∈ ⎝⎦， 当k 0<时，因为34k k +≤-,012t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭. 综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t的取值范围为3,00,1212⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性． 21.设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）【答案】（Ⅰ）0x =或ln2x =-（Ⅱ）当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞.（III ）λ的最小值为0.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）代入化简方程得22()310x xe e -+=，由二次方程解得1x e =或12x e =，再根据指对数关系得0x =或ln2x =-.（Ⅱ）先求函数导数并明确函数定义域：2211((1))(1)()a ax a x x a x x x ϕ--'--+=+=，0x >；再讨论导函数不变号情况：当01a ≤≤时，()0x ϕ'>，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；最后讨论导函数变号时符号变化规律：当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->；当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a -<<.（III ）存在性问题，一般转化为对应函数最值问题：min 2()h x λ≥，利用导数先求函数()()()h x f x g x =⋅最小值：本题难点是最小值点0x 不能解出，只能得到其所在区间，为使λ值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如0(1,)x e ∈细化到3(,2)2试题解析：解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230xx e e+-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， 故所求方程的根为0x =或ln2x =-.（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x xϕ-=+=++->， 所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x xϕ-+----+'=+-==（0x >）， ①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->； ③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a-<<.综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-； 当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. （3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->， 所以存在唯一03(,2)2∈x ，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， 当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+， 记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， 所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--， 由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥， 所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-， 由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解，下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立. 显然当(0,1][3,)x ∈+∞时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立. 即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-， 所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得4x =当(1,4x ∈，()0m x '>；当(4x ∈，()0m x '<；所以max 21()(4ln(4ln(42)ln 2103m x m +==<--=-<.所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐sin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 【答案】(1) 12+；(2) (0, 【解析】 【分析】(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为d =数的性质可得曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为22+. (2)原问题等价于对R α∀∈，有30tcos sin αα+-<恒成立，结合恒成立的条件可得实数t 的取值范围是(0,.【详解】（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离d == 当14sin πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d ==，即曲线C 上的点到直线l（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对R α∀∈，有30tcos sin αα+-<恒成立，()3αϕ-<（其中1tan t ϕ=）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<，∴实数t的取值范围为(0,.【点睛】本题考查了参数方程、直线的极坐标方程与直角方程的互化，注意利用参数方程求点到直线的距离，本题属于中档题.23.己知函数()1f x x x a =--+且不等式()5f x a ≤-对任意x ∈R 成立.（1）求实数a 的取值范围；（2）设a 取最大值时，求不等式()23f x x -+>的解集.【答案】（1）2a ≤；（2）()(),80+-∞-∞，. 【解析】【分析】（1）先求出max ()|1|f x a =+，解不等式|1|5a a +≤-得解；（2）分类讨论解不等式|1|2|+2|3x x -->得解集.【详解】（1）()1|(1)()||1|f x x x a x x a a =--+≤--+=+，所以max ()|1|f x a =+，所以|1|5a a +≤-，当5a ≤时，a 515,2a a a -≤+≤-∴≤，所以2a ≤.当5a >时，不等式无解.综合得2a ≤.（2）当a=2时，|1|2|+2|3x x -->，当x ＜-2时，|5|3,x 2x +>∴>-或8x <-，所以8x <-；当21x -≤≤时，|1|1,0x x +>∴>或2x <-，所以01x <≤；当x ＞1时，|5|3,2x x +>∴>-或8x <-，所以x ＞1.综合得不等式的解集为()(),80+-∞-∞，. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，考查分类讨论解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.。
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(十二)理科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：1.已知集合A＝{x∈Z|x2－1≤0}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝（）A. ∅B. {2}C. {0}D. {－1}【答案】D【解析】【分析】试题分析：由题意，A＝{x∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}B＝{x|（x－2）（x＋1）＝0}＝{－1，2}所以，A∩B＝{－1}，选D考点：集合的运算，一元二次方程与一元二次不等式【详解】请在此输入详解！2.下列说法中正确的是（ ）A. 命题“(0)x ∞∀∈+，，21x >”的否定是“0(0)x ∃∉+∞，，02x ≤1” B. 命题“(0)x ∞∀∈+，，21x >”的否定是“0(0)x ∃∈+∞，，02x ≤1” C. 命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是“若22a b <，则a b <” D. 命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是“若2a ≥2b ，则a ≥b ” 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题判断A 、B 选项，利用逆否命题的定义判断C 、D 选项可得答案.【详解】解：命题“(0)x ∞∀∈+，，21x >”的否定是“0(0)x ∃∈+∞，，02x ≤1”， 故A 不正确，B 正确；命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是“若2a ≤2b ，则a ≤b ”，.故C 、D 选项错误； 故选：B.【点睛】本题主要考查命题的否定与逆否命题的相关知识及命题真假的判断，属于基础题型.3.设各项均不为0的数列{a n }满足1n n a +=（n ≥1），S n 是其前n 项和，若2452a a a =，则S 4=（ ）B.C.3+ D. 6+【答案】D 【解析】 【分析】由1n n a +可得数列{a n }为等比数列，且公比q =，由2452a a a =可得1a ，可得4S 的值.【详解】解：由数列{a n }满足1n n a +（n ≥1），可得数列{a n }为等比数列，且公比q =由2452a a a =，可得341112a q a q a q ⋅=，化简可得12a =，或10a =(舍去)，可得12342,22,4,42a a a a ====， 可得41234662S a a a a =+++=+, 故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的定义与基本量的计算、等比数列前n 项的和，属于基础题型. 4.如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AD DB ⋅=（ ）A. 3B. 3C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】正六边形ABCDEF 的边长为1， 则2AD =,3DB =()3cos 2336AD DB AD DB ππ⎛⎫⋅=⋅-==- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的定义，解题的关键是求出向量的模以及向量的夹角，并且熟记向量数量积的定义，属于基础题.5.3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A. 1825 B. 2425±C. 725-D.725【答案】C 【解析】 【分析】由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.已知x ，y 满足1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则2x -y 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域内的各个点，然后将其代入2x -y 中，求出2x -y 的最大值即可.【详解】设2z x y =-，则2y x z =-，作出不等式对应的平面区域如图BCD ， 平移直线2y x z =-，由图像可知当直线2y x z =-经过点()1,0C 时， 直线2y x z =-的截距最小，此时z 最大， 把()1,0C 代入直线2z x y =-得2z =， 所以2x y -的最大值为2.故选：B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域以及目标函数表示的几何意义，属于基础题. 7.已知x ∈[－π，π]，则“x ∈”是“sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 试题分析：当x ∈时，sinx ＋22π<所以0≤sinx ＜2π－cosx≤2π 于是sin （sinx ）＜sin （2π－cosx ）＝cos （cosx ），充分性成立.取x ＝－23π，有sin （sinx ）＝sin 330 cos （cosx ）＝cos （－12）＝cos 12＞0 所以sin （sinx ）＜＜cos （cosx ）也成立，必要性不成立 故选C考点：三角函数的性质，充要条件8.()f x 是定义在非零实数集上的函数，()f x '为其导函数，且0x >时，()()0xf x f x '-<，记0.3220.322(log 5)(2)(0.2)20.2log 5f f f a b c ===，，，则 （ ） A. a b c << B. b a c << C. c a b << D. c b a <<【答案】C 【解析】 分析】构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】解:令()()f x g x x =，可得'2()()()g x xf xx f x '-=，由0x >时，()()0xf x f x '-<，可得'()0g x ＜，()g x 在(0,)+∞上单调递减， 又22log 5log 42=＞，0.3122＜＜，240.20.0=，可得0.322log 520.2＞＞，故0.322(log 5)(2()0.2g g g ＜)＜，故c a b <<， 故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，属于基础题.9.已知函数()()sin 1,02log 0,1,0ax x f x x a a x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. ⎫⎪⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以求出函数()()sin 102f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数()g x 的解析式，然后根据题意得出函数()g x 与函数()()log 0a f x x x =>的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果．【详解】若0x >，则0x -<，因为0x <时，() sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以() sin 1sin 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以若()()sin 102f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称， 则有()()sin 12f x x f x π⎛⎫-=--=⎪⎝⎭，即()sin 102y x x π⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，设()()sin102g x x xπ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，画出函数()g x的图像，结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点()5,2P-处相交为临界情况，即要使()()sin102g x x xπ⎛⎫=-->⎪⎝⎭与()()log0af x x x=>的图像至少有3个交点，需要01a<<且满足()()55g f<，即2log5a-<，解得50a<<，故选D．【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题．10.已知a b∈，R，且1e x+≥ax b+对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A. 312e B. 322e33D. 3e【答案】A【解析】【分析】由题意可得0a≥，可得12e xa aa xb+-≤，设12e()xf a ax x+=-，对其求导可得()f x最小值的表示式22min()(1)2f x f lna a a lna=-=-，令22()2g a a a lna=-，对其求导，可得ab 的最大值.【详解】解：由1e x+≥ax b+对x∈R恒成立，若0a＜，函数y ax b=+单调递减，不符合题意，故0a≥；故1e x ax b +-≤，若0a =，则0ab =，若0a ＞，则12e x a a a x b +-≤，设函数12e ()x f a a x x +=-，可得1'2e ()x af x a +-=，令'()0f x =，可得：1x lna =-，当(,1)x lna ∈-∞-，'()0f x ＜，()f x 单调递减；当(1,)x lna ∈-+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增；可得22min ()(1)2f x f lna a a lna =-=-，设22()2g a a a lna =-，可得'()32g a a alna =-，令'()0g a =，可得：32a e =，当32(0,)x e ∈，'()0g a ＞，()g a 单调递增； 当32(,)x e ∈+∞，'()0g a ＜，()f x 单调递减；可得332max 1()()2g a g e e ==，即ab 的最大值为312e ，此时：32a e =，3212b e =，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的单调性及利用导数求函数的最值，渗透了分类讨论的思想和构造函数的思想，属于难题.二、填空题：11.若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 【答案】35【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解. 【详解】将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.12.已知向量(1,2)a =，(2,0)b =，若向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，则实数λ=______． 【答案】-1 【解析】 【分析】由向量(1,2)a =，(2,0)b =，可得a b λ+，由向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，列出关于λ的方程，可得答案.【详解】解:由向量(1,2)a =，(2,0)b =，可得：(,2)(2,0)(2,2)a b λλλλλ+=+=+， 由向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，可得：2212λλ+=-， 解得：1λ=-， 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查平面共线向量的性质，属于基础题型.13.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C 与产量q （q ∈N *）的函数关系式为C ＝100＋4q ，销售单价p 与产量q 的函数关系式为．要使每件产品的平均利润最大，则产量q 等于_______． 【答案】40 【解析】试题分析：每件产品的利润y ＝25－116q －1004q q -＝29－（10016q q +）≤29－10016q q⋅24 当且仅当10016q q=且q ＞0，即q ＝40时取等号. 考点：基本不等式，函数在现实生活中的应用 14.若32()21x f x x -=-，则12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．【答案】3021 【解析】 【分析】由()3221x f x x -=-可得()()13f x f x +-=，从而可得结果. 【详解】()3221x f x x -=-，()()()()312321321211x x f x f x x x ---∴+-=+=---， 1232014...2015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭120142************...100733021201520152015201520152015f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为3021.【点睛】本题主要考查函数的解析式，意在考查转化与划归思想的应用，以及灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中 15.定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[]a b ，上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．例如y =| x |是[22]-，上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题： ①函数()cos 1f x x =-是[22]ππ-，上的“平均值函数”． ②若()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，则它的均值点x 0≥2a b+． ③若函数2()1f x x mx =--是[11]-，上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是(02)m ∈，．④若()ln f x x =是区间[a.，b ] （b >a.≥1）上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，则0ln x <． 其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）【答案】①③④ 【解析】 【分析】直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m 的范围判断③的正误；利用分析法直接证明，结合导数可证明④的正误. 【详解】解：①由()cos 1f x x =-，可得0(2)(2)()022f f f x ππππ--==+由[22]x ππ∈-，，可得031132222x ππππ=-、-、、满足“平均值函数”，故①正确； ②举反例，令()12x f x =--，[22]x ∈-，，可得01x =-，又02a bx +=0＞，故②错误； ③ 由函数2()1f x x mx =--是[11]-，上的“平均值函数”，所以关于x 的方程： 2(1)(1)11(1)f f x mx ----=--在区间(11)-，内有实数根， 由2(1)(1)11(1)f f x mx ----=--，可得210x mx m -+-=，可得1x m =-，或1x =，又1(1,1)∉-，故1x m =-必为均值点，即1m --1＜＜1，可得02m ＜＜，故③ 正确； ④由题意得：0lnb lna lnx b a-=-，要证明0ln x ，即证明：lnb lna b lnb a a -<⇔<=-，1t =＞，原式子等价于：21120lnt t lnt t t t <-⇔-+<，令1()2()1h t lnt t t t =-+＞，可得2'2221(1)()10t h t t t t-=--=-<， 故()h t 在区间(1,)+∞是减函数，故()(1)0h t h <=，故④正确； 故答案为：①③④.【点睛】本题主要考查新定义的应用，函数的导数及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力.三、解答题：16.已知向量m =（sin ωx ，cos ωx ），n =（cos ωx ，cos ωx ），其中ω>0，函数()f x =2m ·n -1的最小正周期为π． （Ⅰ） 求ω的值； （Ⅱ） 求函数()f x 在[6π，4π]上的最大值．【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）12【解析】 【分析】（Ⅰ）由()f x =2m ·n -1，求出()f x 的表达式，化简，由其最小正周期为π，可得ω的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x 的表达式，可得其单调区间，结合x ∈[6π，4π]，可得函数的最大值. 【详解】（Ⅰ）()f x =2m ·n -122sin cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-=sin 2cos 2)4x x x πωωω+=+．由题意知：T π=，即22ππω=，解得1ω=．（Ⅱ） 由（Ⅰ）知())4f x x π=+，∵6π≤x ≤4π，得712π≤24x π+≤34π， 又函数y =sinx 在[712π，34π]上是减函数，∴ max 7()sin()1243f x πππ==+cossin4343ππππ==12． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角函数周期性，单调性等知识，属于基本知识的考查，属于基础题.17.已知函数2()log (2)f x x =-的定义域为D .（1）求D ；（2）若函数22()2g x x mx m =+-在D 上存在最小值2，求实数m 的值.【答案】（1）[)1,2D =；（2）1m =. 【解析】 【分析】（1）利用函数定义域的求法，求得D .（2）根据()g x 的开口方向，结合对称轴x m =-与D 的位置关系进行分类讨论，由最小值为2列方程，解方程求得m 的值.【详解】（1）依题意2010x x ->⎧⎨-≥⎩，解得[)1,2D =.（2）函数22()2g x x mx m=+-的开口向上，对称轴为x m =-.当1,1m m -≤≥-时，()g x 在D 上递增，最小值为()21122g m m =+-=，解得1m =.当12m <-<时，()g x 在D 上最小值为()2222222g m m m m m -=--=-≠，不符合题意. 当2m -≥时，()g x 在D 上递减，但()g x 在2x =处没有定义，故没有最小值，不符合题意. 综上所述，1m =.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查二次函数最值有关问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18.在△A.BC 中，A.，b ，c 分别是内角A.，B ，C 的对边，15cos 5AB ABC =∠=，．（Ⅰ） 若2BC =，求sin ACB ∠的值； （Ⅱ） 若D 是边AC 中点，且72BD =，求边AC 的长． 【答案】（Ⅰ）265（Ⅱ）33AC =【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理求出AC 的值，然后利用正弦定理可得sin ACB ∠的值；（Ⅱ）以BABC ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ,在△BCE 中，由余弦定理可得BC 的值，在ABC ∆中，由余弦定理可得AC 的长.【详解】解：（Ⅰ） 15cos 5AB ABC =∠=，，2BC =， 由余弦定理：2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅⋅∠=52+22-2×5×2×15=25， ∴ 5AC =．由正弦定理：sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得sin 26sin AB ABC ACB AC ⨯∠∠==． （Ⅱ） 以BABC ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则1cos cos 5BCE ABC ∠=-∠=-，BE =2BD =7，CE =A.B =5， 在△BCE 中，由余弦定理：2222cos BE CB CE CB CE BCE =+-⋅⋅∠． 即21492525()5CB CB =+-⨯⨯⨯-， 解得：4CB =．△ABC 中，2222212cos 54254335AC BA BC BA BC ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 即33AC =【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中档题. 19.记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，358a a a ，，成等比数列． （Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ） 若22()nn nc a λ=⋅-，n =1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{}n c 为单调递减数列？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1n a n =+，2322n n S n =+（Ⅱ）存在，13λ>【解析】 【分析】（Ⅰ）由39S =，358a a a ，，成等比数列，列出关于1d a 、的方程组，求出1d a 、的值，可得数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）数列{}n c 为单调递减数列，可得10n n c c +-＜，即42021n n λ+--+＜，分离出λ求出4221n n -++的最大值，可得答案. 【详解】解：(Ⅰ) 由39S =,2538a a a =⋅,可得：132392a d ⨯+= ，2111(4)(2)(7)a d a d a d +=++ 解得：12,1a d ==．故：1,n a n =+2(21)3222n n n n S n ++==+(Ⅱ) 由题知22()nn nc a λ=⋅-． 若使{}n c 为单调递减数列，则：1122422()2(2121)2()0n n n n n c c n n n n λλλ++=⋅---+⋅-=--+++＜， 对一切*n ∈N 恒成立，即：max 21424)2120n n n n λλ---++++⇔＜＞( 又22121422222()()323n n n n n nn n n n -===++++++++ 当1n =或2n =，max 421()213n n -=++ 故：13λ＞【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的相关知识，注意灵活运用其性质解题. 20.已知函数f （x ）＝e x －ax －1（e 为自然对数的底数），a ＞0． （1）若函数f （x ）恰有一个零点，证明：a a ＝e a －1；（2）若f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值集合． 【答案】（1）见解析；（2）{1}. 【解析】试题分析：（1）先判断f （x ）的单调性，根据“f （x ）前有一个零点”，找到关于a 的等式，化简整理可得需证结论；（2）根据（1），只需f （x ）的最小值不小于0即可. 试题解析：（1）证明： 由，得．由＞0，即＞0，解得x ＞lna ，同理由＜0解得x ＜lna ，∴ f （x ）在（－∞，lna ）上是减函数，在（lna ，＋∞）上是增函数， 于是f （x ）在x ＝lna 取得最小值． 又∵ 函数f （x ）恰有一个零点，则，即．化简得：， ∴．（2）解：由（1）知，在取得最小值，由题意得≥0，即≥0， 令，则， 由可得0＜a ＜1，由可得a ＞1．∴ h （a ）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，即，∴ 当0＜a ＜1或a ＞1时，h （a ）＜0， ∴ 要使得f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，a ＝1 ∴ a 的取值集合为{1}考点：导数，函数的零点，恒成立问题 21.已知函数()ln xm x n f x e+=（,m n为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是2y e=.（1）求,m n 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()()()ln 12x e x g x f x '+=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）．证明：对任意0x >，()21g x e -<+【答案】（1）2m n ==;（2）()f x 单调递增区间是0,1，单调递减区间是1,;（3）见解析. 【解析】【试题分析】（1）依据题设导数的几何意义建立方程分析求解；（2）依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（3）先将不等式进行等价转化，再借助导数分析推证：（1）由()ln x m x n f x e +=得()ln (0)x m nx mx x f x x xe '--=>.由已知得()10m n f e -'==，解得m n =.又()21n f e e ==，即2n =，2m n ∴==.（2）由（1）得()()21ln x f x x x x xe=--'，令()()1ln ,0,p x x x x x =--∈+∞，当()0,1x ∈时，()0p x >；当()1,x ∈+∞时，()0p x <，又0,xe >∴当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴的单调递增区间是()0,1，()f x 的单调递减区间是()1,+∞（3）由已知有()()()()ln 11ln ,0,x g x x x x x x+=--∈+∞，于是对任意()20,1x g x e -><+等价于()()21ln 1ln 1xx x x e x ---<++，由（2）知()()1ln ,0,p x x x x x =--∈+∞，()()()2ln 2ln ln ,0,p x x x e x -∴=--=--∈'+∞，易得，当()20,x e -∈时，()0p x '>，即()p x 单调递增；当()2,x e -∈+∞时，()0p x '<，即()p x 单调递减.()p x ∴的最大值为()221p e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+.设()()ln 1,q x x x =-+则()01xq x x +'=>，因此，当()0,x ∈+∞，()q x 单调递增，()()00q x q >>，故当()0,x ∈+∞时，()()ln 10q x x x =-+>，即()1ln 1x x >+.()()221ln 11ln 1xx x x e e x --∴--≤+<++.∴对任意()20,1x g x e -><+点睛：导数是研究函数的单调性、几何意义以极值（最值）等方面的综合运用的重要工具．解答本题的第一问时先依据导数的几何意义，建立方程，通过解方程使得问题获解；解答第二问时，通过对函数求导借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调区间使得问题获解；解答第三问时，充分借助题设中的条件，先将不等式进行等价转化，再借助导数知识分析推证，从而使得问题获解．。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(十五)理科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（十五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. 4D. 4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3.以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.则下列选项错误的是（ ）A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计表和分布图中的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为80.4%，硕士生选择就业的比例为89.2%，所以判断正确.B. 根据统计表，本科生就业率17.3%, 硕士生的就业率为为89.2%.判断正确.C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海；本科生的就业城市相对比较分散.判断正确.D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的本科生占18.2%，而硕士生和博士生分别占43.0%、51.2%， 所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D【点睛】本题考查对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，属于基础题.4.若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值A. 4B. C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号， 此时，min219a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5.要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤B. 4x y +C. 6x y +D.6x y + 【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可；【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故d ===，所以6c =或2c =-(舍去).故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6.若{}n a 是公比为()0q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若{}n a 是递增数列，则10a <，0q <B. 若{}n a 是递减数列，则10a >，01q <<C. 若0q >，则4652S S S +>D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项,,A B C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项,,A B C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确.【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误； C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，()1110n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7.为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案.【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9.如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,13，，A J C⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,233OJ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以233032nm m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选：B .【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10.区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率0c e a ===≈，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A.13B.4C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x-+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)rr rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.16.已知函数()(2)1x f x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为_________. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】把()0f x <转化为(2)1xkx k e x +<+，即1(2)x x k x e++<，然后，利用数形结合法求解即可.【详解】由()(2)10xf x kx k e x =+--<得，(2)1xkx k e x +<+，即1(2)xx k x e ++<，在平面直角坐标系中画出函数g()(2)x k x =+和1()+=xx h x e 的图象如图所示，为了满足不等式()0f x <的解集中恰有三个整数，只需要满足(2)(2)(3)(3)h g h g >⎧⎨⎩，解得324354k e e <故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用数形结合，求参数范围的问题，本题采用数形结合法求解，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，属于中档题三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）sin ACE ∠=【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ==【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则cos 5BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD 的一个法向量为()111,,n x y z =， 平面ABD 的一个法向量为()222,,m x y z =则00CD n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00BD m BA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即11100x y z =⎧⎨+=⎩，22200x y z -=⎧⎨=⎩，令121,1y x ==可得(0,1,1),(1,1,0)n m =-= 所以1cos ,2n m n m n m⋅<>==由图知，二面角B AD C --的平面角为锐角，所以二面角B AD C --的大小为60︒. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19.2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞.【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】 【分析】（1）易知c =，设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可.【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()t H t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220t H t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-= 因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.(二)选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线DMN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】 【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=可算出MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D建立方程求解即可. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-=设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集为1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立.②当[1,1)x 时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考八省名校冲刺大联考-数学试题(含答案)
4, DE_lAB, 垂足为E,F 是DE 中点，则
DB =
()
A.
— 1 2
B.
— 3 2
C.— 23
D.1
8.巳知 函数f(x)
=产 kx2
(
1
-;:-
+lnx),若
函数f
(
x
)
有三个极值
点，则实数K的取值范围为
（
）
数学试题卷 笫1页（共4页）
A.[4e,2e勹UC2e2,+=) C.(4e,2e勹U(2e2, 十=)
O
x
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E F G! - #$ +(#. +%#+*$ #+*. +(J *
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2021届全国百所名校新高考原创预测试卷(二十二)理科数学
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N ⋂= A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 命题的否定为 A ．:,sin p x R x x ⌝∃∈< B ．:,sin p x R x x ⌝∀∈< C ．:,sin p x R x x ⌝∃∈≤ D ．:,sin p x R x x ⌝∀∈≤3．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =A ．2B ．2C ．1D ．224．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．8π3B ．16π3C ．8πD ．16π5．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为 A ．108B ．90C ．72D ．246．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE = A ．12AB AD -+ B ．12AB AD - C ．12AB AD + D ．12AB AD - 7．若1tan 2α=-，则cos2=αA ．35B ．35C ．34D ．34-8．设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．53B ．73C ．3D ．59．已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b<成立”是“a b >成立”的 A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．非充分非必要条件10．双曲线2214x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，12F PF ∆的面积为5，则12PF PF 等于A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()()21x f x a a R e =-∈+是奇函数，则函数()f x 的值域为 A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()3,3-D ．()4,4-12．若对l x ∀，()2,x m ∈+∞，且2l x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是( )注：(e 为自然对数的底数，即 2.71828)e =⋯A ．1eB ．eC ．1D ．3e第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(十六)理科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数cos3sin3z i =+(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】本题考查三角函数的符号,复数的几何意义.复数cos3sin3z i =+在复平面内对应点坐标为(cos3,sin 3);因为3,2ππ<<所以cos30,sin30;则(cos3,sin 3)是第二象限点.故选B2.设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当||||a a b b > ①若0a >,0b >,则有22a b >,于是33a b >;②若0a >,0b <,则有||0,||0a a b b ><,可知||||a a b b >显然成立,于是33a b >; ③若0a <,0b >,则||||a a b b >不成立,不满足条件; ④若0a <,0b <,由||||a a b b >,可得22a b ,即22a b <,所以有330a b >>.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的充分条件.必要性证明:当33a b >①若0a b >>,则有||||a b >,于是||||a a b b >;②若0a b >>,则有||0,||0,a a b b ><于是||||a a b b >; ③若0a b >>,则有22a b <,于是22a b ,因为2||a a a =-,2||b b b =-,所以有||||a a b b >成立.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的必要条件.综上所述,“||||a a b b >”是“33a b >”的充要条件. 故选:C.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.3.在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ） A .B. C. 5D. 10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S=+=.或者注意到·0AC BD=分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.4.若x,y满足约束条件x0x+y-30z2x-2y0x y≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 34π+B. 3πC. 2πD. π【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体的体积. 【详解】根据三视图画出其立体图形:由三视图可知,其底面面积为:2π,其柱体的高为:2 ∴ 根据柱体的体积公式求得其体积为:π故选:D.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.6.函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【详解】根据函数2()1log f x x =+过1,02⎛⎫⎪⎝⎭排除A; 根据1()2x g x -+=过()0,2排除B 、D,故选C ．7.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()0.51ln ,(ln 2018),2019a f b f c f e ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,化简a ,b ,c 即可求得答案. 【详解】根据奇函数性质: ()()f x f x -=-化简()11lnln ln 2019,20192019a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 0.5ln 2019ln 2018e >>根据()f x 在R 上是增函数∴ ()()0.5ln 2019(ln 2018)f f f e >>即()0.51ln(ln 2018)2019f f f e ⎛⎫->> ⎪⎝⎭故: c b a << 故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,要熟练掌握奇函数的性质()()f x f x -=-,属于综合题.8.设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知221,m mm m C a C b +==,137a b =,221137m m m m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算．9.已知点P 是直线:4370l x y --=上动点,过点P 引圆222:(1)(0)C x y r r +-=>两条切线,PM PN ,,M N 为切点,当MPN ∠的最大值为2π时,则r 的值为( )C.D. 1【答案】A 【解析】 【分析】因为点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC ,当PC l ⊥时,MPN ∠最大,再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC当PC l ⊥时, MPN ∠最大, 由题意知,此时MPN ∠最大值为2π时,∴ 4CPM π∠=,||PC =圆222:(1)(0)C x y r r +-=>,可得其圆心为:()0,1根据点到直线距离公式可得圆心()0,1到l 距离为:1025d -== ∴2=,故r =故选:A.【点睛】本题考查求圆的半径,解题关键是结合题意用数形结合,用几何知识来求解,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A. 11x y <，22x y <，x y > B. 11x y <，22x y <，x y < C. 11x y >，22x y >，x y > D. 11x y >，22x y >，x y <【答案】D 【解析】 【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为1x ，1y ，行政庭维持原判的案件率2x ，2y ，总体上维持原判的案件率为x y ，的值，即可得到答案．【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==； 法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==．所以11x y >，22x y >，x y <．选 D ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A. 1,2B. 1,4⎛ ⎝⎦C. 4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D. 2,【答案】B 【解析】由题意得，(,0),(2,0)A a F a ，设00(,)bP x x a，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+= ,因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即2222222994209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则14e <≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.12.在正四棱锥P ABCD -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为060，给出下面三个命题：1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧面积为4+； 2p ：若,E F 分别为,PC AD 的中点，则//EF 平面PAB ；3p ：若,,,,P A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π倍.在下列命题中，为真命题的是（ ） A. 23p p ∧B. 12()p p ∨⌝C. 13p p ∧D.23()p p ∧⌝【答案】A 【解析】因为异面直线PB 与AD 所成的角为60︒，AD 平行于BC ，故角PBC=60︒，正四棱锥-ABCD P中，PB=PC ，故三角形PBC 是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为1p 是假命题；取BC 的中点G ，,E F 分别为,PC AD 的中点故得//,//AB FG PB EG ，故平面EFG//平面PAB ，从而得到EF//平面PAB ，故2p 是真命题；设AB=a, AC 和BD 的交点为O ，则PO 垂直于地面ABCD ，PA ＝ａ，AO ，POO 为球心，球的半径为２，表面积为22πa ,又正方形的面积为2a ,故3p 为真． 故23p p ∧为真； ()12p p ∨⌝ 13p p ∧ ()23p p ∧⌝均为假． 故答案为A ．二、填空题：本大题有4个小题，每题5分，满分20分13.已知α为三角形内角，sin cos 2αα-=，则cos2=α__________．【答案】 【解析】 【分析】因为sin cos 2αα-=,故()22sin cos 2αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,可得12sin cos 02αα=>,而sin 0,cos 0αα>>,即可求得sin cos αα+,根据余弦二倍角公式即可求得答案.【详解】sin cos 2αα-=可得()22sin cos 2αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭故:12sin cos 02αα=> 而sin 0,cos 0αα>>，∴ sin cos αα+==，则cos 2(cos sin )(sin cos )ααααα=-+==故答案为:. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握余弦二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.14.已知函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,若存在四个不同的实数1234|,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则1234x x x x +++=__________．【答案】8【解析】【分析】因为函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,画出其函数图像,当存在四个不同的实数1234,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<结合图像求解1234x x x x +++的值.【详解】 函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 画出函数图像:12,,x x 在二次函数22y x x =-,其对称轴为:1x = ∴ 12212x x +=⨯= ，34,x x 在sin ,2y x π=在24x <<,其对称轴为:3x =∴34236x x +=⨯= ，∴1234268x x x x +++=+=故答案为:8.【点睛】本题考查了根据分段函数图像应用,解题关键是画出函数图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:（i ）老年人的人数多于中年人的人数;（ii ）中年人的人数多于青年人的人数;（iii ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.②抽取的总人数的最小值为__________．【答案】 (1). 6 (2). 12【解析】【分析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z ,①4z =,则8x x y>⎧⎨>⎩ ,即可求得中年人的人数的最大值. 由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N ,即可求得抽取的总人数的最小值.【详解】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z①4z =,则8x x y>⎧⎨>⎩ ,则y 的最大值为6 ②由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N22z z ∴>+ 解得2z >∴ 当3,4,5z y x ===时x y z ++取最小值12.故答案为:①6.②12. 【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件确定可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,从而确定目标函数在何处取得最优解. 16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数； ③直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆()()()222:210O x y R R -+-=>的太极函数；④若函数()()3f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2.k ∈- 所有正确的是__________．【答案】（2）（3）（4）【解析】【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可【详解】①显然错误，如图②点()01，均为两曲线的对称中心，且()sin 1f x x =+能把圆()2211x y +-=一分为二，故正确③直线()()12110m x m y +-+-=恒过定点()21，，经过圆的圆心，满足题意，故正确④函数()()3f x kx kx k R =-∈为奇函数，3221y kx kx x y ⎧=-∴⎨+=⎩， 则()2624222110k x k x kx -++-= 令2t x =，得()232222110k t k t kt -++-= 即()()2222110t k t k t --+= 1t ∴=即1x =±对22221k t k t -+，当0k =时显然无解，0<即204k <<时也无解即()22k ∈-，时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分 若2k =±时，函数图象与圆有四个交点，若24k >时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二综上所述，故正确的是②③④【点睛】本题主要考查了关于圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学过的知识来判定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可判定结果三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且sin sin 3sin sin a A c C a C b B +=.(1)求角B 的大小;(2)若23()sin cos 3f x x x x =+,求()2A f 的取值范围. 【答案】（1）6π； （2）1(,1]2-. 【解析】【分析】(1)因为sin sin sin sin a A c C C b B +-=,根据正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==,可得222a c b +=,即可求得角B的大小; (2)2()sin cosf x x x x =化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即可求得()2A f 的取值范围. 【详解】(1)sin sin sin sin a A c C C b B += 根据正弦定理:sin sin sin a b c A B C== 222a c b ∴+=,即:222a c b +-=222cos 22a cb B ac +-∴==, 又(0,),B π∴∈6B π∴=(2)2()sin cos 2f x x x x =-11cos 2sin 222x x +=+-1sin 2222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 570,,,6336A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin ,132A π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ()f A ∴取值范围为1(,1]2-. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C ==边化角,再利用和角正弦公式化简所给式子,属于基础题.18.已知正项数列{}n a 中,221111,230n n n n a a a a a ++=--=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n b a -是等差数列,且12b =,314b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a ； （2）23122n n +-. 【解析】【分析】(1)将2211230n n n n a a a a ++-⋅-=化简为()()1130n n n n a a a a +++-=,结合已知即可求得答案;(2)令n n n c b a =-,则1133341,5c a c b a =-==-=,31231c cd -==-,所以1(1)221n c n n =+-⋅=-,可得1213n n n n b c a n -=+=-+,根据分组求和,即可求得答案.【详解】(1)2211230n n n n a a a a ++-⋅-=()()1130n n n n a a a a ++∴+-=0n a >,110,30n n n n a a a a ++∴+>-=可得:13n na a += 11a =,11133n n n a --∴=⋅=.(2)令n n n c b a =-,则1133341,5c a c b a =-==-=,31231c cd -==- 1(1)221n c n n ∴=+-⋅=-,1213n n n n b c a n -∴=+=-+123n n S b b b b ∴=++++()21(13521)3333n n -=++++-+++++23122n n =+- 【点睛】本题考查根据递推公式求通项公式和数列求和.解题关键是掌握分组求和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.19.已知菱形ABCD 的边长为4,ACBD O =,60ABC ∠=︒,将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,使AC a =,得到三棱锥A BCD -,如图所示.⇒(1)当22a =时,求证:AO ⊥平面BCD ;(2)当二面角A BD C --的大小为120︒时,求直线AD 与平面ABC 所成的正切值.【答案】（1）见解析； （2）3010. 【解析】【分析】(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.(2)由于平面ABC 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以O 为原点建系,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴,求出平面ABC 的法向量n ,求解AD 和n 的夹角,即可求得答案.【详解】(1)在AOC △中,2,22OA OC AC a ====,222OA OC AC ∴+=90AOC ︒∴∠=,即AO OC ⊥,AO BD ⊥,且AO BD O =,AO ∴⊥平面BCD .(2)由(1)知,OC OD ⊥,以O 为原点,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -:则(0,0,0),(0,23,0),(2,0,0),(0,23,0)Q B C D -.,AO BD CO BD ⊥⊥AOC ∴∠为二面角A BD C --的平面角,120AOC ︒∴∠=∴点(A -(1,AD =,(1,BA =-,(2,BC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =,则∴ 00n BC n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩故200x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取1x =,则,3y z =-= ∴31,3n ⎛=- ⎝ 设直线AD 与平面ABC 所成的角为θ, ||sin ||||134AD n ADn θ⋅===cos θ∴==sintan cos θθθ∴===∴ 直线AD 与平面ABC 所成的正切值【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.20.半圆22:1(0)O x y y +=≥的直径的两端点为(1,0),(1,0)A B -,点P 在半圆O 及直径AB 上运动,若将点P 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线C 的“直径”.【答案】（1）答案见解析 （2. 【解析】【分析】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭,即可求得答案; (2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,()()22200||GH x x y y =-+-,根据不等式性质,即可求得曲线C 的“直径”.【详解】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭, ∴ 曲线C 的方程为0(11)y x =-<<或221(0)4y x y +=≥. (2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,则()()()()()22222220000||41GH x x y y x x y x x x =-+-≤-+=-+-,()()222200041324x x x x x x x -+-=--++ 22200044416344433333x x x x ⎛⎫=-+++≤+≤+= ⎪⎝⎭ 216||3GH ∴≤等号成立时:13G ⎫⎪⎪⎝⎭,(1,0)H -或13G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H ,由两点距离公式可得:max ||GH =故曲线C 的“直径”为3. 【点睛】本题考查了求解曲线轨迹方程和曲线C 的“直径”.在求曲线上两点间距离最大时,将两点设出,用两点间距离列出表达式,通过不等式放缩求其最值,考查了分析能力和计算能力.21.某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于30℃,则销售5000件;若气温位于25,[)30℃℃,则销售3500件;若气温低于25℃,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y (单位:元),当8月份这种食品一天生产量n (单位:件)为多少时,y 的数学期望值最大,最大值为多少？【答案】（1）见解析，3800； （2）当3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900. 【解析】【分析】(1)今年8月份这种食品一天的销量X 的可能取值为2000、3500、5000件,求出(2000)P X =,(3500)P X =和(5000)P X =,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,所以只需要考虑20005000n ≤≤.分别讨论,35005000n ≤≤和20003500n ≤<,即可求得y 的数学期望最大值.【详解】(1)今年8月份这种食品一天的销量X 的可能取值为2000、3500、5000件,414(2000)0.290P X +=== 36(3500)0.490P X === 2115(5000)0.490P X +=== 于是X 的分布列为:X 的数学期望为()20000.235000.450000.43800E X =⨯+⨯+⨯=.(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,∴ 只需要考虑20005000n ≤≤,当35005000n ≤≤时,若气温不低于30度,则4Y n =;若气温位于[25,30),则35004(3500)3245003Y n n =⨯--⨯=-;若气温低于25度,则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-;此时()22114(245003)(140003)12600119005555E Y n n n n =⨯+⨯-+-=-≤, 当20003500n ≤<时,若气温不低于25度,则4Y n =;若气温低于25度,则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-;此时()41134(140003)280011900555E Y n n n =⨯+-=+<; ∴ 3500n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为11900.【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.22.已知函数()f x 为反比例函数,曲线()()cos g x f x x b =+在2x π=处的切线方程为62y x π=-+.（1）求()g x 的解析式;（2）判断函数3()()12F x g x π=+-在区间(0,2]π内的零点的个数,并证明. 【答案】（1）3cos ()1x g x x =-； （2）函数()F x 在(0,2)π上有3个零点. 【解析】【分析】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+,直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2(sin cos )()a x x x g x x '-+=,所以3a =,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,即可求得()g x 的解析式;(2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.因为33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=-,则23(sin cos )()x x x F x x '-+=,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案. 【详解】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+, 直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2(sin cos )()a x x x g x x '-+=, 则26,2a g πππ-⎛⎫'==- ⎪⎝⎭, 3a ∴=,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴ 3cos ()1x g x x=-. (2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.证明:33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=- 则23(sin cos )()x x x F x x '-+=又330,06222F F ππππ⎛⎫⎛⎫=->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()F x 在(0,]2π上至少有一个零点, 又()F x 在(0,]2π上单调递减,故在(0,]2π上只有一个零点, 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,cos 0x <,故()0F x <, 所以函数()F x 在3(,)22ππ上无零点. 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,令()sin cos ,()cos 0h x x x x h x x x '=+=>, ∴ ()h x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,3(2)0,02h h ππ⎛⎫>< ⎪⎝⎭, ∴ 03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()F x 在03,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在(]0,2x π上单调递减. 又3(2)0,02F F ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭, ∴函数()F x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上所述,函数()F x 在(0,2)π上有3个零点.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十五)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（ ）． A. {}2a a ≤ B. {}1a a < C. {}2a a ≥ D. {}2a a >【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得{}12RB x x x =≤≥或，再由()RAB R =，即可求得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12RB x x x =≤≥或，又由()RAB R =，所以2a ≥．故选C ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2.下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤” C. p q ∨为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D. 向量(1,2)a =-，()3,b m =，R m ∈，则“m 6=-”是“()a a b +”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对每一个选项依次进行判断，得到正确答案.【详解】命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是：若a b <，则22am bm <，当0m =时不成立，错误B. 命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，正确C. p q ∨为真命题，则命题p 或者命题q 为真命题，错误D.向量(1,2)a =-，()3,b m =，R m ∈，()a a b +等价于：m 6=-则“m 6=-”是“()a a b +”的充分必要条件.错误故答案选B【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，p q ∨，充分必要条件，综合性较强.3.已知实数x ，y 满足约束条件230330230x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点()3,0处取得最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)0,2B. ()0,2C. (),2-∞D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x ay +=到点()3,0的位置，根据目标函数z x ay =+仅在点()3,0处取得最大值，求得实数a 的取值范围.【详解】画出可行域如下图所示，基准直线为0x ay +=，平移基准直线0x ay +=到点()3,0的位置，由于目标函数z x ay =+仅在点()3,0处取得最大值.当0a =时，直线3x =符合题意，当0a <时，110,0a a <->，1zy x a a =-+，仅在点()3,0处取得最大值，符合题意. 当0a >时，110,0a a >-<，要使1zy x a a=-+，仅在点()3,0处取得最大值，则需112BC k a -<=-，解得02a <<. 综上所述，a 的取值范围是(),2-∞. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值情况求参数的取值范围，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 4.函数()()sin ln 2xf x x =+的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】考查函数()y f x =的定义域、在()1,0-上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数()y f x =，2021x x +>⎧⎨+≠⎩，解得2x >-且1x ≠-，该函数的定义域为()()2,11,---+∞，排除B 、D 选项.当10x -<<时，sin 0x <，122x <+<，则()ln 20x +>，此时，()()sin 0ln 2xf x x =<+，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5.(022sin x x dx ππ--=⎰ （ ）A. 34πB.324π+ C.324π- D. 2【答案】C【解析】 【分析】根据定积分的计算公式进行计算，得到答案.【详解】(00sin sin x dx xdx πππ---=+⎰⎰⎰sin xdx π-⎰()0cos |2x π-=-=-，π-⎰是半径为π的圆的面积的四分之一，为34π，所以，(sin x dx π-+=⎰324π=-，故选C 项. 【点睛】本题考查定积分的计算，属于简单题.6.将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A. 12-B.12C.【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数， 所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.7.如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9cm ，高为36cm .玻璃杯内水深为33cm ，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为（ ）A. 2900cm π B. 2450cm π C. 2800cm π D. 2400cm π【答案】A 【解析】 【分析】画出球和圆柱的轴截面，利用勾股定理列方程，解方程求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】画出球和圆柱的轴截面如下图所示，设球的半径为r ，在直角三角形OAB 中，3,9,OA r AB OB r =-==，由勾股定理得()22239r r -+=，解得15r =.所以球的表面积为224π900πcm r =. 故选：A【点睛】本小题主要考查球和圆柱截面有关计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知等比数列{}n a 中，0n a >，1281284,16a a a a a a +++=⋅=，则128111a a a +++的值为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】A 【解析】由等比数列的性质得到817245128187245111....a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=+++ 又因为81723645a a a a a a a a ===故得到原式等于12845454a a a a a a a +++=41284516()a a a a a ⋅==代入上式得到1281112a a a +++= 故答案为A ．点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律．9.已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则||AG 的最小值是（ ）A.3B.2C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG 的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+,120,2A AB AC ∠=⋅=-，根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-, 设,AB x AC y ==，则4AB AC xy ⨯==，2211233AG AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22112424333x y xy =+-≥-=， 当且仅当x y =，即AB AC =，△ABC 是等腰三角形时等号成立. 综上可得AG 的最小值是23. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A. ()4,1-B. (1,4)-C. (,4)(1,)-∞-+∞ D.(,1)(4,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】首先构造函数()()x f x G x e =，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++<解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.7B.7 C.72D. 7【答案】C 【解析】试题分析：因为060PAQ ∠=且3OQ OP =，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，，取的中点，则，由勾股定理可得，所以①，在中，，所以②，①②结合，可得．故选A ．考点：双曲线的简单性质.12.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）D. 0【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义即可得到结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1），3，0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y ，因此只有当6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选B ．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数()21z a =+的模等于______.【解析】 【分析】 化简2i a i -+，根据2ia i-+为纯虚数求得a 的值，进而求得z 的模. 【详解】依题意()()()()()2221221i a i a a i i a i a i a i a ----+-==++-+为纯虚数，所以1210,2a a -==，所以2,z z ===【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，考查复数模的计算，属于基础题.14.已知抛物线21:20C ypx p 的焦点F 与双曲线2222:13x y C b -=的一个焦点重合，若点F 到双曲线2C 的一条渐近线的距离为1，则1C 的焦点F 到其准线的距离为__________________. 【答案】4 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点，可得p ＝2c ，再由焦点到渐近线的距离为1可得b 值，结合222c a b =+，得到c ，从而得到答案.【详解】抛物线()21C :y 2px p 0=>的焦点与双曲线2222x y C :13b -=的一个焦点重合,则2p c =，又22234p c b =+=，点F (),0c 到双曲线渐近线0bx =的距离为1，1=，又223c b =+，解得1b =,即c=2,所以p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离p=4. 故答案为4.【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．15.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭满足下列两个条件：①函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；②()()12max 2f x f x -=，且()12min3x x π-=.若函数()f x 在,4t π⎛⎤- ⎥⎝⎦上存在最小值，则实数t 的最小值为______. 【答案】512π 【解析】 【分析】根据题目所给两个条件求得()f x 的解析式，画出()f x 的图像，结合图像求得t 的最小值.【详解】由于()()12max 2f x f x -=且()12min3x x π-=，所以1A =，π2π2π,,3233T T ωω====，所以()()sin 3f x x ϕ=+.ππsin 3124f x x ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，且π02ω<<，所以ππ0,44ϕϕ-+==，所以()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.画出()f x 图像如下图所示，其中π5π,1,,1412A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知，要使函数()f x 在,4t π⎛⎤- ⎥⎝⎦上存在最小值，则实数t 的最小值为512π. 故答案为：512π【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查三角函数最值、周期等知识的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足2(1)12()()f x f x f x +=-，则2019()2f =________. 【答案】222+【解析】 【分析】先由已知可得22(1)2(1)[()2()]1f x f x f x f x +-+=---，再构造2()()2()g x f x f x =-，然后可得函数()g x 的周期性和奇偶性，再利用函数()g x 的性质得2201920191()2()222f f -=-，再求解即可.【详解】解：因为(1)1f x +=(1)1f x +-=， 即22((1)1)2()()f x f x f x +-=-，即22(1)2(1)[()2()]1f x f x f x f x +-+=---， 令2()()2()g x f x f x =-，则(1)()1g x g x +=--，可得函数()g x 的周期为2，所以201911()(2505)()222g g g =⨯-=-， 又为()f x 偶函数，则2()()2()g x f x f x =-为偶函数，又因为11()()122g g =---，所以11()22g -=-， 即20191()22g =-，即2201920191()2()222f f -=-，解得2019()2f =，又(1)11f x +=≥， 即2019()12f ≥，即2019()2f =，故答案为22+【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属难度较大的题型.三、解答题（17-21题每题12分，22题10分，共70分） 17.函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示．（1）求()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）若()f x 在[2,]a -有5个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为212,233k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）172366a ≤<. 【解析】 【分析】（1）先根据图中数据计算出周期即可计算出ω的值，再根据最值点1,13⎛⎫⎪⎝⎭即可计算出ϕ的值，根据正弦函数的单调增区间公式求解出()f x 的单调增区间；（2）分析x ωϕ+的取值范围，借助sin y x =的函数图象分析当有5个零点的时候，a 的取值范围.【详解】（1）由图可得22T πω==，∴ωπ=，∵()f x 过点1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵||ϕπ<，∴32ππϕ+=，∴6π=ϕ，∴()sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由()22262k x k k Z ππππππ-≤≤+∈+得()212233k x k k Z -≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为()212,233k Z k k ⎡⎤-+⎢⎥⎦∈⎣． （2）∵[2,]x a ∈-，∴2,666x a ππππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦， 由题意结合函数sin y x =的图像可得346a ππππ≤+<，∴172366a ≤<．【点睛】（1）由三角函数图像确定三角函数解析式时，第一步先通过图像的最值确定A 的值，第二步通过周期确定ω的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及ϕ的取值范围确定ϕ的值；（2）已知三角函数的零点个数求解参数范围，可通过图像写出对应零点个数时参数满足的不等式，从而求解出参数范围.18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1+a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11()n n n b n N a a *+=∈，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1143n T ≤<． 【答案】（1）32n a n =-（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证试题解析：（1）依题意，得21321232(1){12a a a a a a +=++=，即111(21)8{4a a d a d ++=+=，得2120d d +-=．0d >，∴13,1d a ==．∴数列{}n a 的通项公式13(1)32n a n n =+-=-．（2）111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， ∴123111111[(1)()()]34473231n n T b b b b n n =++++=-+-++--+11(1)33131n n n =-=++． n N *∈，∴1031n >+，故13n T <，又n T 为单调递增，所以当1n =时，取最小值14，故1143n T ≤< 考点：等差数列及数列的求和19.已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AF 的斜率为3求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF 的斜率为3，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQS d PQ k∆==+， 0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.20.如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，22AB AD ==，M 为CD 边的中点，沿BM 将CBM ∆折起使得平面BMC ⊥平面ABMD .（1）求证：平面AMC ⊥平面BMC ； （2）求四棱锥C ADMB -的体积；（3）求折后直线AB 与平面ADC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）38（3）3913【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，证得AM ⊥平面BMC ，由此证得平面AMC ⊥平面BMC . （2）MB 的中点O ，根据等比三角形的性质得到CO MB ⊥由面面垂直的性质定理得CO ⊥平面ABMD ，也即CO 是四棱锥C ADMB -的高.进而求得四棱锥C ADMB -的体积. （3）以M 为空间坐标系原点建立空间直角坐标系，利用直线AB 的方向向量和平面ADC 的法向量，计算出直线AB 与平面ADC 所成的角的正弦值. 【详解】（1）证明：∵平面BMC ⊥平面ABMD ，平面BMC 平面ABMD MB =，由题易知AM MB ⊥，且AM ⊂平面ABMD . ∴AM ⊥平面BMC ，而AM ⊂平面AMC ， ∴平面AMC ⊥平面BMC .（2）由已知有CMB ∆是正三角形，取MB 的中点O ，则CO MB ⊥，又平面BMC ⊥平面ABMD 于MB ，则CO ⊥平面ABMD ，且32CO =，易求得()1333122ABMD S =⨯+⨯=梯形， ∴133333428C ADMB V -⨯⨯==. （3）作//Mz CO ，由（1）知可如图建系， 则()3,0,0A，()0,1,0B ，130,,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AB =-，又12MD BA =，得31,,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭， 133,,2CA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭，33,1,CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则13302233022n CA x y z n CD x y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，不妨取()1,3,3n =-.设折后直线AB 与平面ADC 所成的角为θ，则39sin n AB n ABθ⋅==.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查四棱锥的体积计算，考查线面角正弦值的计算，属于中档题.21.已知函数()()()22ln f x ax a x x a R =+--∈，又函数()321132m x g x x x =+++的两个极值点为1212,()x x x x <，且满足12322x x +≥，12,x x恰为()()ln h x x f x bx =-+的零点． （1）当()2,0a ∈-时，求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求证：()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭． 【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅱ）证明略． 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()()()211'x ax f x x-+=，解导不等式可得()f x 的单调区间；（Ⅱ）先确定0＜12x x ≤12，再利用y=()12122x x x x h +'⎛⎫- ⎪⎝⎭=()411t t -+﹣2lnt （0＜t ≤12），即可求y=()12122x x x x h +'⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值，从而得证． 【详解】（Ⅰ）∵()()()22ln f x ax a x x a R =+--∈∴()()()()()22212111'22ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--== 又()2,0x 0a ∈-，＞ 令()'0f x ＞，解得11x 2a-＜＜， 令()'0f x ＜，解得0＜x ＜12或x ＞1a - ∴函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （Ⅱ）()321132m g x x x x =+++，()2'?m 1g x x x =++,由题意12212122401x x m x x mx x ⎧+≥⎪⎪⎪=-⎨⎪+=-⎪=⎪⎩＞，∴221212()x x m x x +=≥92，解得0＜12x x ≤12，当1a =时，即证：()()()2ln 2ln 1h x x f x bx x x b x =-+=-+-()2'21h x x b x=-+-，()()()()22111122222ln 1,?2ln 1h x x x b x h x x x b x =-+-=-+-, 两式相减得：2ln12x x ﹣（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+()1b -（x 1﹣x 2）=0， ∴()()121241221t x x x x h lnt t -+⎛⎫-=- +⎝⎭'⎪（0＜t ≤12）， 记()()41φ21t t lnt t -=-+，则()222(1)φ'0(1)t t t t --=+＜， ∴()()41φ21t t lnt t -=-+在（0，12]递减， ∴()φt 的最小值为14φ2ln223⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥- ⎪⎝'⎭，得证. 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（第22题和23题二选一，如两题都做，按22题给分）22.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数，a 是大于0的常数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆1C 的极坐标方程和圆2C 的直角坐标方程；（2）分别记直线l ：12πθ=，ρ∈R 与圆1C 、圆2C 的异于原点的交点为A ，B ，若圆1C 与圆2C 外切，试求实数a 的值及线段AB 的长.【答案】（1）圆1C的极坐标方程为22sin 204a πρθ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭，2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=（2）a =AB =【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1θθ+=消去参数θ，求得圆1C 的普通方程，进而转化为极坐标方程.利用cos x ρθ=，sin y ρθ=以及两角差的余弦公式，将圆2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程.（2）先求得两个圆的圆心和半径，利用两圆外切，圆心距等于两圆半径之和列方程，解方程求得a 的值.将12πθ=分别代入12,C C 的极坐标方程，利用ρ的几何意义，求得线段AB 的长.【详解】（1）圆1C ：1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）消去参数θ， 得其普通方程为()()22211x y a +++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式并化简，得圆1C的极坐标方程为22sin 204a πρθ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭. 由圆2C的极坐标方程4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得22cos 2sin =+ρρθρθ. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=代入上式， 得圆2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.（2）由（1）知圆1C 的圆心()11,1C --，半径1r a =；圆2C 的圆心()21,1C ，半径2r = 12C C ==∵圆1C 与圆2C 外切，a =a =即圆1C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 将12πθ=代入1C ，得124ππρ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 得ρ=将12πθ=代入2C ，得124ππρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得ρ=，故12AB ρρ=-=【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程互化，考查圆与圆的位置关系，考查利用极坐标方程计算两点间的距离，属于中档题.23.设函数()82f x x x m m=++-. （1）求证：()8f x ≥恒成立；（2）求使得不等式()110f >成立的正实数m 的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2)()() 0,14,.∞⋃+【解析】（1）()()2222f x x x m x x m m m m m m m =++-≥+--=+=+≥８８８８ 8=， 当且仅当82m m=时取等号，所以()8f x ≥. （2）由0m >得()81112f m m=++-， 当120m -<时，由()112110f m m =++->８，解得112m <<或4m >； 当120m -≥时，由()111210f m m =++->８，解得102m <≤， 综上，实数m 的取值范围是()()0,14,∞⋃+.。
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷(二十九)理科数学
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷（二十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 虚数单位，复数z 满足(12i)2i z +=-+，则z =（ ）5 B. 15 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令z a bi =+，得出,a b ,再计算22z a b =+【详解】解：令z a bi =+，则(12)(12)()2(2)2i z i a bi a b b a i i +=++=-++=-+，∴2221a b b a -=-⎧⎨+=⎩解得01a b =⎧⎨=⎩ ，∴1z == ，故选B. 【点睛】本题考查复数模的运算，属于基础题．2.已知集合{}2|log (1)A x y x ==-，{|(1)(2)0}B x x x =+-，则A B =（ ）A. (]0,2B. ()0,1C. (]1,2 D.[)+2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】分别化简集合A 和B ,再求交集即可．【详解】解：{}|1)A x x =>，{}|12B x x =-≤≤, ∴{}|12A B x x ⋂=<≤, 故选C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．3.已知01a b <<<，则在a a ，b a ，a b ，b b 中，最大的是（ ） A. a a B. b aC. a bD. b b【答案】C 【解析】 【分析】用做商法，两两比较大小，最后得出最大值． 【详解】解：∵01,0a a b <<-<，∴1aa b b a a a-=>，即a b a a >，同理可得，a b b b >， 又∵1aa a a ab b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴a a b a >，即a b 最大． 故选C ．【点睛】考查了有理数大小比较，在比较较为复杂的式子时，对于选择题最好的方法是举出具体的数值，利用特殊值进行比较即准确又快捷．4.用模型kxy ce =拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.32z x =+，则c =（ ） A. 2e B. 4eC. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】通过对数函数的运算性质，求得ln 2c =，即可得出答案．【详解】解：2ln ln ln()ln ln 0.3kx kxce c e z y kx c x =+====++，∴ln 2c = 即 2c e = 故选A.【点睛】本题考查对数函数的运算性质，属于基础题． 5.已知,m n ∈R ，则“10mn->”是“0m n ->”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题只需解出条件和结论对应的,m n 的取值范围，再从集合的角度，即可得出答案． 【详解】解：前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或0m n <<， 后者：0m n m n ->⇒>； 所以“10mn->”是“0m n ->”既不充分也不必要条件 【点睛】本题结合解不等式，考查充分必要条件，属于基础题．6.执行如程序框图所示的程序，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果． 【详解】解：执行程序框图，输入x ， 当i =1时，得到2x -1；当i =2时，得到2（2x -1）-1=4x -3， 当i =3时，得到4（2x -1）-3=8x -7， 当i =4时，退出循环，输出8x -7=82-7=9⨯， 故选D ．【点睛】本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7.若直线:21l y kx k =-+将不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示平面区域的面积分为1：2两部分，则实数k 的值为（ ） A. 1或14B.14或34C.13或23D.14或13【答案】A 【解析】 【分析】根据线性约束条件，画出可行域，根据直线l 过定点，通过数形结合，即可求解． 【详解】如图所示，∵直线l 恒过点()2,1B ，故当直线l 过AB 的三等分点2241,,,3333D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,此时可行域的面积被分为1:2的两部分，此时1k =或14. 故选A.【点睛】本题考查线性规划问题，属于基础题． 8.定积分)22324sin x x x dx --+⎰的值是（ ）A. πB. 2πC. 2π+2cos2D.π+2cos2【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的性质，将定积分)22324sin x x x dx --+⎰可以展开为：22223224(sin )x dx x dx x dx ----+-+⎰⎰⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．【详解】解：利用定积分的运算法则，将定积分)22324sin x x x dx --+⎰展开为：22223224(sin )x dx x dx x dx ----+-+⎰⎰⎰，∴224x dx --⎰表示以()0,0为圆心，2为半径12圆的面积， ∴2214422x dx ππ--=⨯=⎰2222(sin )cos cos 2cos(2)0x dx x ---==--=⎰22344422112(2)044x dx x --⎡⎤==--=⎣⎦⎰ ∴()22324sin 2x x x dx π---+=⎰故选B ．【点睛】本题考查定积分的性质，学生应熟练掌握定积分的运算法则和几何意义，属于中档题．9.已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，若三棱锥P ABC -的体积为233，则球O 的表面积为（ ） A. 16π B. 20πC. 28πD. 32π【答案】B 【解析】 【分析】一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径r ，最后即可求出外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中h 为三棱柱垂直底面的棱长），再结合球的表面积公式2=4S R π球,即可求解． 【详解】解：如图所示，三棱锥P ABC -的外接球就是三棱柱''PB C ABC -的外接球， ∵三棱锥P ABC -的体积为11123sin120332ABC S PA AB AC PA ∆==， ∴2PA =由正弦定理得：ABC ∆外接圆的直径24sin sin 30AB cr ACB ===∠∴三棱锥P ABC -的外接球的半径2252PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴球O 的表面积为20π，故选B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，确定三棱锥的外接球的半径是关键．10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为23，椭圆C 与圆22(3)16x y ++=交于M ，N 两点，且4MN =，则椭圆C 的方程为（ ）A. 2211512x y +=B. 221129x y +=C. 22163x y +=D.22196x y += 【答案】D 【解析】 【分析】先画出草图，通过计算，便可得到MN 的中点即为椭圆的另一个焦点，再利用椭圆的几何性质，即可求出．【详解】解：如图所示：∵2,4MD MC ==,∴224223CD =-=,∴点D 就是椭圆的另一个焦点，∴26a MC MD =+=,即3a =, 又∵3c =2226b a c =-=，∴椭圆的标准方程为：22196x y += ，故选D ．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程和作图能力，充分利用题目所给条件，挖掘基本量,,a b c 的关系，即可求解． 11.已知函数()sin cos f x a x x =+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若12x x ∃≠，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0,2⎛ ⎝⎭B. (C. 3⎛ ⎝D. 0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】本题可转化为函数()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，即对称轴要落在,6πϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上，即可求解．【详解】解：依题意得1()sin cos )(tan )f x a x x x a ϕϕ=++=在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，即 2()62k k Z k πϕπππϕπ⎧<+⎪⎪∈⎨⎪+>+⎪⎩化简得：()32k k k Z πππϕπ+<<+∈，tan ϕ<1a <，解得0,3a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题考查辅助角公式和正弦函数的基本性质，属于中档题．12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，点P 是四边形11BB D D 内（含边界）任意一点，Q 是11B C 中点，有下列四个结论：①=0AC BP ；②当P 点为11B D 中点时，二面角P AD C --的余弦值12；③AQ 与BC 所成角的正切值为；④当CQ AP ⊥时，点P 的轨迹长为32. 其中所有正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④【答案】B【解析】【分析】①利用线面平行，得到线线平行．②要求二面角的余弦值，转化为求二面角的平面角余弦值．③要求线线角，将其平移至一个三角形中，即可求解．④证明CQ⊥平面AHB，则HB即为点P的运动路径，通过计算即可求解．【详解】解：如图所示，①根据正方体的几何性质，易得AC⊥平面11BB D D,又因为BP⊆平面11BB D D, 故AC BP⊥，即=0AC BP，故①对．②当P点为11B D中点时，PA PD=,且OA OD=,所以二面角P AD C--的平面角为OFP∠,连接OP,又90POF∠=，故所求二面角的余弦值为5cosOFOFPFP∠== .故②错．③因为AD BC∥,所以AQ 与BC所成角即为AQ与AD所成角，即为DAC∠,连接,QD QF,在等腰三角形AQD中，F为底边中点，所以90AFQ∠=，所以AQ与BC所成角的正切值为2tan2212FQDACAF∠===故③对．④点H为1DD中点，所以CQ AH⊥，又因为,CQ AB⊥所以CQ⊥平面AHB, 即点P在线段HB上运动时，CQ AP⊥，所以点P的轨迹长为32HB=，故④对．故选B.【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判定、二面角（范围[]0,π）以及异面直线的夹角（范围0,2π⎛⎤⎥⎝⎦）．属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十四)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}01M =，，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由M N M ⋃=得到集合N 为集合M 的子集，根据子集的定义写出其子集，即可得到集合N 的个数. 【详解】M N M ⋃=N M ∴⊆，即集合N 为集合M 的子集则集合N 可以为：{1}{0},{1,0}∅，， ，共四个【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题. 2.复数52i -的共轭复数是( ) A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力. 3.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a = A. 3- B. 5-C. 3D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的性质得到4S =()232a a +，9S =59a ，5235205,2592a a a a d =+==-，联立两式可得到公差，进而得到结果. 【详解】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S ==()232a a +，920S ==59a ,5235205,2592a a a a d =+==-,联立两式得到7,18d =75+2 3.a a d == 故答案为C.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 4.下列函数中是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数的是（ ） A. 1y x =+ B. 2yx C. 1y x x=- D. 2xy =【答案】B 【解析】根据函数表达式，判断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果. 【详解】A.()1f x x =+,()()1f x x f x -=-+=,函数是偶函数，在()0,+∞上是增函数，故不正确；B. 2y x -=,是偶函数，()()()2-f x x f x --==，在区间()0,+∞上是减函数，故正确；C. 1y x x =-，()()1f x x f x x-=-+=-，是奇函数，故不正确； D. 2xy =，()()2xf x f x --==，是偶函数，但是在()0,+∞上是增函数，故不正确；故答案为B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证()f x 和 ()-f x 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x 变大时y 的变化趋势，从而得到单调性.5.函数()2lg 54y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则()tan αβ+=（ ）A.53B. 53-C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理求得tan tan αβ+和tan tan αβ⋅的值，再利用两角和的正切公式求得()tan tan tan 1tan ?tan αβαβαβ++=-的值.【详解】因为函数()2lg 54y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以tan α和tan β是2541x x ++=的两个实数根，所以tan tan 5αβ+=-，tan ?tan 3αβ=，则()tan tan 5tan 1tan ?tan 2αβαβαβ++==-，故选C.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及两角和的正切展开，着重考查了学生公式的应用，属于基础题.6.若中心在原点，焦点坐标为（0）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2＝0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为（ ） A. 22222575x y +=1B. 22227525x y +=1C. 2212575x y +=D. 2217525x y +=【答案】C 【解析】 【分析】先根据焦点坐标得出a 2﹣b 2＝50，根据直线方程求出AB 中点为（12，12-）．再设而不求的方法求得AB 的斜率与中点坐标之间的关系式，求出a 2＝3b 2，联解两式即可得到该椭圆的标准方程．【详解】解：设椭圆：2222y x a b+=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2＝50①又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 012=，∴代入直线方程得y 032=-212=- 由22112222222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2222121222y y x x a b --=- ∴AB 的斜率k 212212y y a x x b -==--•212212x x a y y b+=-+•00x y =3 ∵0x y =-1，∴a 2＝3b 2② 联解①②，可得a 2＝75，b 2＝25，得椭圆的方程为：222575x y +=1故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．7.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 8.在61(2)x x+-的展开式中，含x 5项的系数为（ ） A. 6 B. ﹣6C. 12D. ﹣12【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式的应用求出结果． 【详解】解：61(2)x x +-的展开式中6161()(2)r r r r T C x x-+=+-， 当r ＝0时，()6001612T C x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以61()x x +的展开式为()61612sss s T C x x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当s ＝1时，系数为116(2)12C -=-．故选：D ．【点睛】本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查配对问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．9.已知角ø是曲线f （x ）＝ln （e x +1）的切线的倾斜角，则ø的取值范围为（ ） A. 04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B. 42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 04π⎛⎫⎪⎝⎭，D. 02π⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】C 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到曲线f （x ）的切线的斜率的范围，进一步求得ø的取值范围．【详解】解：由f （x ）＝ln （e x +1），得f ′（x ）1111x x xe e e==++，∵ex ＞0，∴11x e+＞1，则f ′（x ）111x e=+∈（0，1）， 即tanø∈（0，1），又直线倾斜角的范围为[0，π）， ∴ø的取值范围为（0，4π）． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了由直线的斜率求倾斜角，是中档题．10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为，A. 4.5B. 6C. 7.5D. 10【答案】D 【解析】分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的,n s 的值，当4n =时，不满足条件4n <，推出循环，输出s 的值为4k，即可求解. 详解：模拟程序运行，可得1,n S k ==， 满足条件4n <，执行循环体，2,22k k n S k ==-=；满足条件4n <，执行循环体，23,233k k k n S ==-=； 满足条件4n <，执行循环体，34,344k k k n S ==-=； 此时，不满足条件4n <，推出循环，输出s 的值为4k ， 根据题意可得2.54k=，解得10k =，故选D. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合． 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A. [2,4]ππB. 9[2,)2ππ C. 1325[,)66ππD.25[2,)6ππ 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图象确定ω满足条件，解得结果. 【详解】由题意得591325,323266ππππππωωω+≥+<∴≤<，选C. 【点睛】本题考查三角函数图象与性质，考查基本求解能力.12.设函数f （x ）()2213x g x ax a x=+=+-，，若对任意x 1∈[1，2]，总存在x 0∈[0，a ]，使得g （x 0）＝f （x 1）成立，则a 的取值范围为（ ） A. a ≥4 B. 0≤a ≤4 C. a ≥1 D. 0＜a ≤1【答案】A 【解析】 【分析】求出f （x ），g （x ）的值域，根据题意，[3，5]⊆[1﹣3a ，a 2﹣3a +1]，a ＞0，求出a 即可．【详解】解：若对任意x ∈[1，2]，f （x ）22x x =+，f '（x ）＝2x ()322212x x x--=≥0，f （x ）递增， 故f （x ）∈[3，5]， 在x ∈[0，a ]，a >0，则g （x ）＝ax +1﹣3a ，在[0，a ]单调递增，g （x ）∈[1﹣3a ，a 2﹣3a +1]， 根据题意，[3，5]⊆[1﹣3a ，a 2﹣3a +1]，a ＞0，2133315a a a -≤⎧⎨-+≥⎩，解得a ≥4， 综上，a ≥4， 故选：A ．【点睛】本题考查函数的存在性问题和恒成立问题，考查利用导数处理函数的最值问题，考查分类讨论思想与转化思想，中档题． 二、填空题13.有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm ），则该几何体的表面积为：_____.【答案】24πcm 2 【解析】 【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ．据此即可计算出答案．【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ． ∴该三棱锥的表面积S ＝π×321652π+⨯⨯=24πcm 2．故答案为：24πcm 2．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查锥体的表面积的计算，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．14.若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 (1). 2- (2). 8 【解析】 【分析】 先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.【详解】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点()2,2A 时z 取最大值max 2328z =+⨯=，过点()4,2B -时z 取最小值()min 4322z =+⨯-=-.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得. 15.双曲线=1(b ∈N)的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________. 【答案】1【解析】解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ), 则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2, 又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|="4," 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜, 又∵c 2=4+b 2＜,∴b 2＜53,∴b 2="1. " 答案：1 16.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是__________．【答案】13- 【解析】 【分析】由()f x 为偶函数， ()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得()()1f x fx m -≤+，等价于1x x m -≥+，即有()()2110x m m -++≤，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.【详解】因为当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩， 所以可得01x ≤<时，()21f x x =-递减，()(]0,1f x ∈；当1x ≥时，()f x 递减，且()()(]10,,0f f x =∈-∞， ()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立， 等价于()()1f x fx m -≤+，可得1x x m -≥+，两边平方、移项分解因式可得()()2110x m m -++≤， 由一次函数的单调性，可得()()2110m m m -++≤，且()()22110m m m +-++≤， 即为113m -≤≤且113m -≤≤-，即有113m -≤≤-，则m 的最大值为13-，故答案为13-.【点睛】化简函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 三、解答题17.在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．【答案】（1）π3A =（2 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值． （Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a 的最小值． 【详解】解：(1) ∵ABC 中，cos 2c b a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--=当且仅当b c =时取等号，所以a【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[)40,45内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）39，39（2）见解析 【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 详解：解：(Ⅰ)平均值的估计值27.50.0132.50.0437.50.0742.50.0647.50.02538.539x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=≈（）中位数的估计值：因为50.0150.040.250.5⨯+⨯=<，50.0650.020.40.5⨯+⨯=<所以中位数位于区间[)35,40年龄段中，设中位数为x ，所以()0.250.07350.5x +⨯-=，39x ≈.(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于[)40,45年龄段内，14人位于[)40,45年龄段外．依题意，X的可能值为0,1,2()0261422091190C CP XC===,()1161422042195C CP XC===,()206142203238C CP XC===X分布列为0 1 291423301219095385EX=⨯+⨯+⨯=.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np=)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD3F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥； (3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为45°. 【答案】(1)EF//面PAC (2)见解析(3)32BE =【解析】【详解】试题分析：⑴当E 是BC 中点时，因F 是PB 的中点，所以EF 为PCB ∆的中位线， 故EF//PC ，又因PC ⊂面PAC ，EF ⊄面PAC ，所以EF//面PAC⑵证明：因PA⊥底面ABCD ，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB ， 又DA//CB ，所以CB⊥面PAB ，而AF ⊂面PAB ，所以AF CB ⊥， 又在等腰三角形PAB 中，中线AF⊥PB，PB CB=B ，所以AF⊥面PBC. 而PE ⊂面PBC ，所以无论点E 在BC 上何处，都有PE AF ⊥⑶以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴建立坐标系，设BE m =， 则(0,0,1)P ，3,0,0)D ，(,1,0)E m ，设面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，由0{0PE n PD n ⋅=⋅=，得0{30mx y z x z +-=-=，取(1,33)n m =-，又(0,0,1)AP =，则由0cos ,sin 45PA n 〈〉=2324(3)m =+-，解得32m =. 故当32BE =-PA 与面PDE 成045角 考点：线面平行垂直的判定及线面角的求解点评：证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行，第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入公式即可20.已知平面上两定点M （0，﹣2）、N （0，2），P 为一动点，满足MP •MN =|PN |•|MN | （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）若A 、B 是轨迹C 上的两不同动点，且AN =λNB .分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设其交点Q ，证明NQ AB ⋅为定值. 【答案】（I ）x 2＝8y （II ）见解析 【解析】 【分析】（I ）先设P （x ，y ），求动点P 的轨迹C 的方程，即寻找x ，y 之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．（II ）先设出A ，B 两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A ，B 的坐标表示出NQ AB ⋅，最后看其是不是定值即可． 【详解】（I ）设P （x ，y ）.由已知 MP =（x ，y +2），MN =（0，4），PN =（﹣x ，2﹣y ），MP •MN =4y +8.|PN |•|MN |＝∵MP •MN =|PN |•|MN |∴4y +8＝x 2＝8y 即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝8y . （II ）由已知N （0，2）.即得（﹣x 1，2﹣y 1）＝λ（x 2，y 2﹣2）()121222x x y y λλ-=⎧⎨-=-⎩设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由AN =λNB 即得（﹣x 1，2﹣y 1）＝λ（x 2，y 2﹣2）， ∴﹣x 1＝λx 2...（1）， 2﹣y 1＝λ（y 2﹣2） (2)将（1）式两边平方并把x 12＝8y 1，x 22＝8y 2代入得y 1＝2λy 2解得 y 1＝2λ，y 22λ=，且有x 1x 2＝﹣λx 22＝﹣8λy 2＝﹣16.抛物线方程为 y ＝218x ，求导得y ′14=x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y 14=x 1（x ﹣x 1）+y 1，y 14=x 2（x ﹣x 2）+y 2， 即y 14=x 1x 18-x 12，y 14=x 2x 18-x 22 解出两条切线的交点Q 的坐标为 （122x x +，128x x ）＝（122x x+，﹣2）所以 NQ •AB =（122x x +，﹣4）•（x 2﹣x 1，y 1﹣y 2） 12=（x 22﹣x 12）﹣4（18x 2218-x 12）＝0 所以 NQ AB ⋅为定值，其值为0.【点睛】求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系． 21.已知函数f （x ）＝[x 2﹣（a +4）x +3a +4]e x， （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证不等式（x 3﹣6x 2+10x ）e x ＞10（lnx +1）成立. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导，讨论a 与2的大小关系，解导不等式，得出结论；（2）根据题意，当a ＝2时，f （x ）＝（x 2﹣6x +10）e x ，故原不等式可化为f （x ）＞g （x ），其中g （x ）＝10（1lnx x+），求出f （x ）和g （x ）的值域，比较即可． 【详解】（1）f '（x ）＝e x（x ﹣a ）（x ﹣2），x ∈R ，当a ＜2时，当x ∈（﹣∞，a ]，（2，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增；当x ∈（a ，2）时，f '（x ）＜0，f （x ）递减；当a ＞2时，当x ∈（﹣∞，2]，（a ，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增；当x ∈（2，a ）时，f '（x ）＜0，f （x ）递减；当a ＝2时，f '（x ）≥0，f （x ）在R 上递增； （2）当a ＝2时，f （x ）＝（x 2﹣6x +10）e x ，故原不等式可化为f （x ）＞g （x ），其中g （x ）＝10（1lnx x+）， 由（1）知，函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，故当x ＞0时，f （x ）＞f （0）＝10， 对于g （x ）＝10（1lnx x +），g '（x ）210lnxx-=⋅， 当x ∈（0，1）时，g '（x ）＞0，g （x ）递增；当x ∈（1，+∞）时，g '（x ）＜0，g （x ）递减；故g （x ）的最大值为g （1）＝10， 故f （x ）＞g （x ）成立， 原命题得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l，求a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-． 【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos ,sin )θθ，由点到直线距离公式求参数．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为()3,0，2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d =16a =-. 综上，8a =或16a =-.点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．23.已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤. 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．- 21 -。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(十七)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对应的边分别为a,b,c ,若30,2C a c ︒∠==，则B 等于（ ） A. 45︒B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，结合正弦定理，先求出A ∠，再由三角形内角和为180︒，即可求出结果. 【详解】因为在ABC ∆中，30,C a ︒∠==，由正弦定理可得sin sin a c A C =，所以sin 1sin 2a C A c ===， 所以45A ∠=或135，因此1804530105B ∠=--=或1801353015B ∠=--=. 故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 2.在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，则2169a a a 的值为（ ）A.B.或【答案】D 【解析】 【分析】利用方程的根与等差数列的性质，求解即可.【详解】解：等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根1622a a ∴⋅=216922a a a ⋅==∴9a ∴=故选D.【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力.3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于4a 的方程，由此解得4a 的值，利用等差数列前n 项和的性质，求得7S 的值. 【详解】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 4.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.5.已知等差数列{}n a 满足12332,40a a a =+=，则{}n a 前12项之和为（ ） A. 144- B. 80 C. 144 D. 304【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出408,5408840,6n n n a n n n -⎧=-=⎨->⎩，，利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.【详解】为23123643408a a a d d d+=+=+=⇒=-，所以408na n=-.所以408,5408840,6nn na nn n-⎧=-=⎨->⎩，，所以前12项之和为5(320)7(856)8022430422⨯+⨯++=+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.6.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB 、AD上的点，且45AE AB=，连接AC、EF交于点P，若411AP AC=，则点F在AD上的位置为（）A. AD边中点B. AD边上靠近点D的三等分点C. AD边上靠近点D的四等分点D. AD边上靠近点D的五等分点【答案】B【解析】【分析】设AF xAD=，可得出1AD AFx=，由()441111AP AC AB AD==+，并将AB用AE表示，将AD用AF表示，利用E、P、F三点共线求出x的值，即可得出点F在边AD上的位置.【详解】设AF xAD=，可得出1AD AFx=，45AE AB=，54AB AE∴=.()444515411111141111AP AC AB AD AE AF AE AFx x⎛⎫==+=+=+⎪⎝⎭，E 、P 、F 三点共线，5411111x ∴+=，解得23x =，即23AF AD =， 因此，点F 在AD 边上靠近点D 的三等分点. 故选B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==，则sin :sin :sin A B C =（ ）A. 9:7:8C. 6:8:7D.【答案】B 【解析】 【分析】设•••543AB BC BC CA CA ABt ===，求出,,a b c ===，再利用正弦定理求解. 【详解】设•••543AB BC BC CA CA ABt ===，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=， 所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-，得,,a b c ===所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==故选B【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理边角互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围为（ ） A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,6⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】将()f x 整理为3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得,333x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦；根据()302f =，结合()f x 的值域和sin x 的图象，可知2233ππππω≤+≤，解不等式求得结果. 【详解】()sin cos sin cos cos sin cos 666f x x x x x xπππωωωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3cos 23x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当[]0,x π∈时，,333x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦又()3032f π==2332π=2π=由()f x 在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣ 2233ππππω∴≤+≤解得：11,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.9.在ABC ∆中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A. 5B. D. 【答案】C 【解析】【分析】由向量AB 在AC 上的投影的数量为2-可得||cos 2AB A =-，由3ABC S ∆=可得1||||sin 32AB AC A =，于是可得3,||224A AB π==BC 的长度．【详解】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-．① ∵3ABC S ∆=， ∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==， ∴||sin 2AB A =．② 由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34A π=， ∴2||3sin4AB π==ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323(294BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=， ∴BC =故选C ．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题．10.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A. 253B.503C.507D.1007【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出1a，进而求出马主人应该偿还的量2a.【详解】因为5斗=50升，设羊、马、牛主人应偿还的量分别为123,,a a a，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S=则31(21)5021a-=-，解得1507a=，所以马主人要偿还的量为：2110027a a==，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.11.已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）D.【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cosb Cc B=，∴2sin cos sinCcosB C B=，∴tan2tanC B=.又A B Cπ++=，∴()()tan tan tanA B C B Cπ=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan3tan3tan1tan tan12tan2tan1B C B BB C B B+=-=-=---，∴21112tan111tan tan tan3tan tan2tanBA B C B B B-++=++27tan36tanBB=+.又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是（ ） A. 1(,) 4+∞ B. 1[,) 4+∞ C. 3[,) 8+∞ D. 3(,)8+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求出{}n a 的通项，再求出{}n b 的通项，从而可求n T ，利用参变分离可求λ的取值范围.【详解】因1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，所以1212a a ++…()()2*1111(,2)1n a n n n N n n -+=-+-∈≥-， 故12n a n n=即22n a n =，其中2n ≥. 而令1n =，则22111221a =+==⨯，故22n a n =，1n ≥.()()2222211114411n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥⨯++⎢⎥⎣⎦， 故()2222221111111412231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()()22211214141n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故*()1n n T n N n λ<∈+恒成立等价于()222141n n n n n λ+<++即()241n n λ+<+恒成立， 化简得到()11441n λ+<+，因为()11113441488n +≤+=+，故38λ>. 故选D.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.第Ⅱ卷 非选择题（共64分）二、填空题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分.）13.若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.【答案】23【解析】【详解】由题意可得：212cos 1cos sin sin 6263233παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即：212cos 1623πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. 14.函数2()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0,2]π的单调递增区间是__________. 【答案】0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】变换得到2()3sin 23f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，取23222232k x k πππππ+≤-≤+，计算得到答案. 【详解】22()3sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取23222232k x k πππππ+≤-≤+， 解得713,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当1k =-时，0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；当0k =时，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；当1k =时，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足； 故答案为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n nS +=-，若()()21363n a n λ->-对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．【答案】13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【详解】111233,2936,3n n S a a +=-∴=-== ，当1n > 时，112223323,3n n n n n n n n a S S a +-=-=-=⨯= . 又113a = 且()()21363n a n λ->- ，()363213n n λ-∴->，得()183123n n λ->+ ，因为()()()111821831872333n n n n n n ++----=，所以当4n = 时，()183123n n -+ 取得最大值，最大值为()4184311313,231818λ-+=> ，故答案为13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC上一点，满足BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0)λ>，4PA PB -=，10PA PB -=，则BI BA BA⋅的值为__________.【答案】3 【解析】 【分析】确定I 是PAB ∆内心，如图所示，得到4AF BF -=，10AF BF +=，得到3BF =，化简BI BA BF BA⋅=得到答案.【详解】BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+⎪⎝⎭(0)λ>，即||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，表示I 在PAB ∠的角平分线上，故I 是PAB ∆内心.如图所示：4AF BF AG BH AP BP -=-=-=；10AF BF +=，故3BF =.cos 3BI BA ABIBI BA BF BABA⋅∠⋅===故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形内心，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题：（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知()()33sin 2f x x x πωπω⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭()2cos 0x ωω->的最小正周期为T π=．(1)求43f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是为a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．【答案】(1) 12;(2) 3B π=,()11,2f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1） 根据三角恒等变换的公式，得()1sin(2)62f x wx π=--，根据周期，得1w =，即()1sin(2)62f x x π=--，即可求解3(4)f π的值； （2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简()2cos cos a c B b C -=，可得1cos 2B =，可得3B π=，进而求得1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解()f A 的取值范围. 试题解析：(1)∵()()3sin 2f x x x ππωω⎛⎫=+-⎪⎝⎭22cos cos cos x x x x ωωωω-=-11cos2222x x ωω=-- 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由函数()f x 的最小正周期为T π=，即22ππω=，得1ω=，∴()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴441sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 511sin222π=-=． （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理可得()2sin sin cos A C B - sin cos B C =，∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+ ()sin sin B C A =+=．∵sin 0A >，∴1cos 2B =．∵()0,B π∈，3B π=．∵23A C B ππ+=-=，∴20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．18.设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）求n T ；（2）若对于任意的*n N ∈，13n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3(23)n nT n =+（2）180t <【解析】 【分析】（1）根据题意得到313315S a d =+=，()()2111312a d a a d +=⋅+，计算得到21n a n =+，再利用裂项求和得到n T . （2）化简得到1312612102n n a t n T n +<=++，设()()12612102,0f x x x x=++>，根据函数性质得到3n =时，12612102n n++有最小值为180，得到答案. 【详解】（1）313315S a d =+=，1413,,a a a 成等比数列，则24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+，解得2d =或0d =（舍去），13a =，故21n a n =+.()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 1111111111...23557212323233(23)n T n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=+⎦ （2）13n n tT a <+，即()()214691312612102n n n n a t n T n n+++<==++ 设()()12612102,0f x x x x=++>，根据双勾函数性质知：函数在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 计算()3180f =，()4181.5f =，故当3n =时，12612102n n++有最小值为180. 故180t <.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，数列恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c已知222a c b +=，cos 0A B +=.（1）求cos C ； （2）若ABC ∆的面积52S =，求b . 【答案】（1）cos A C ==；（2）5b = 【解析】【详解】试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出sin A ，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得ac ，利用正弦定理即可求出.试题解析：（1）由222a c b ++=，得222a c b +-=，∴222cos 2a c b B ac +-===. ∵0B π<<，∴34B π=.cos 0A B +=，得sin A B ⎛=== ⎝⎭，∴10cosA ===.∴cos cos cos 422C A A A π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭2102105=⨯+⨯=. （2）由（1），得sin C ===由1sin 2S ac B =及题设条件，得135sin242ac π=，∴ac =. 由sin sin sin a b cA B C==2==，∴225b ===， ∴5b =.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小. 20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足12n a n n b b +⋅=，且12b =（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设*22122log ,n n n N b c b n ++=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =，12222,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数；（2）332n n n T +=-.【解析】 【分析】（1）化简得到11n n a a +-=，得到n a n =，化简得到22n nb b +=，分别计算n 为奇数和n 为偶数的通项公式得到答案.（2）()112nn n c ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）()21111,n n n a S S a ++=+=，故()21n n n S S a -+=，2n ≥. 两式相减得到()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，因为10n n a a ++>，故11n n a a +-=. 故n a n =，验证1n =时成立，故n a n =.122n a n n n b b +⋅==，122n a n n n b b +⋅==，则1122n n n b b +++⋅=，两式相除得到22n nb b +=，12b =，21b =， 故当n 为奇数时，1122122n n n b b -+=⋅=；当n 为偶数时，2222222n n n b b --=⋅=.综上所述：12222,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数（2）()2212122log l 1122og 2n nn n nn b n c b +++⎛⎫===+⨯ ⎪⎝⎭. 故()211123...1222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()231111123...12222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减得到：()()2311111111312...1322222222nn n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故332n nn T +=-. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(十七)理科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷（十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知2020(2z =（i 是虚数单位），则z=（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．i2. 已知集合 A = {x ｜y=lo g 2(x -2)},B={x ｜x 2≥9},则A ∩C R B=（ ） A. [2,3]B. (2,3)C. (3,+∞)D. (2，+∞)3. 设12log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b a c<<4. 已知直线b a ,表示不同的直线，则b a //的充要条件是（ ）A ．存在平面α，使αα//,//b aB ．存在平面α，使αα⊥⊥b a ,C ．存在直线c ，使 c b c a ⊥⊥,D ．存在直线c ，使b a ,与直线c 所成角都是060 5．已知袋中有6个除颜色外，其余均相同的小球，其中有4个红球，2个白球，从中任意取出2个小球，已知其中一个为红球，则另外一个是白球的概率为（ ）8.15A 7.15B 4.7C 3.7D6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4，(1)2+=nn n a S （n ∈N *），则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．a n =2nB ．a n =2nC ．a n =n+2D ．a n =n 2 7．函数)()(R a xax x f ∈-=的图象不可能是8．如图所示是某三棱锥的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为 俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该三棱锥的四个面中面积的 最大值为A ．22B ．6C ．32D ．29．已知抛物线2:43C y x =的准线为l ，过C 的焦点F 的直线交l 于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，若F 为线段AB 的中点，BH AB ⊥交l 于H ，则BHF △的面积为（ ）A ．123B ．163C ．243D ．32310.已知函数)0)(6cos()(>+=ωπωx x f ，21)(=x f 在],0[π上有且仅有2个实根，则下面4个结论：①)(x f 在区间)0(π，上有最小值点；②)(x f 在区间)0(π，上有最大值点；③ω的取值范围是)613,23[；④)(x f 在区间），（30π上单调递减.所有正确结论的编号为（ ）.A. ①②③B.②④C.①③④D.①③11．设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[,]m n 上的单调性相同，则把区间[,]m n 叫做()y f x =的“稳定区间”．已知区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]--B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．[1,2]12. 已知函数3()sin cos ()(0)4f x x x a x a π=+-->有且只有三个零点123,,x x x (123x x x <<)，则32tan()x x -属于（ ）A. (0,)2πB. (,)2ππ C. 3(,)2π+∞ D. 3(,)2ππ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 6展开式中，3x 的系数等于 ．（用数字作答） 14. 设点A 、F （c,0）分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点，直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ，若△PAF 是等腰三角形，则此双曲线的离心率为 . 15. 在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，若BD ⊥CE ，则cosA 的最小值为 .16．在三棱锥A —BCD 中，，BD=A —BD —C 是钝角。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十七)理科数学
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A. {1}B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：22122221i i i i z i i i ++-====--，则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量(,1)m a =-，(21,3)n b =-(0,0)a b >>，若m n ，则21a b+的最小值为（ ）A. 12B. 8+C. 15D.10+【答案】B 【解析】 【分析】由m ∥n 可得3a +2b ＝1，然后根据21a b +=（21a b+）（3a +2b ），利用基本不等式可得结果． 【详解】解：∵m =（a ，﹣1），n =（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m ∥n ， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1，∴21a b +=（21a b +）（3a +2b ） ＝843b a a b++≥8432b a a b+⋅ ＝843+，当且仅当43b a a b =，即a 33-=，b 31-=，时取等号， ∴21a b+的最小值为：843+． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．4.已知,x y 满足208020,x x y y -≥+-≤⎧-≥⎨⎩时, ()0z ax by a b =+≥>的最大值为2,则直线10ax by +-=过定点（ ）A. ()3,1B. ()1,3-C. ()1,3D. ()3,1-【答案】A 【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a b ， 的关系，再代入直线ax by 10+-=由直线系方程得答案．详解：由z ax by(a b 0)=+≥>，得a z a y x 1b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数形结合可知点()B 6,2处取得最大值，6a 2b 2+=，即： 3a b 1+=，直线ax by 10+-=过定点()3,1. 故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】由题可知其立体图形C-DEFG ：可得面积小于6的有,,CFGCFECDGSSS6.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断0ab =和函数()f x x x a b =++是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性. 【详解】由0ab =,a b ⇒中至少有一个为零；由函数()f x x x a b =++是奇函数，()0()x x a b x x a b x x a b x x a b a b f x f x --++=-+-⇒--=++⇒⇒-⇒===-，显然由,a b 中至少有一个为零，不一定能推出0ab ，但由0a b ，一定能推出0ab =，故“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，由函数()f x x x a b =++是奇函数，推出0a b 是解题的关键.7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有 A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种【答案】B 【解析】 分类：（1）小李和小王去甲、乙两个展区，共222242A C C 12=种安排方案； （2）小王、小李一人去甲、乙展区，共1112222442C C C C C 96=种安排方案； （3）小王、小李均没有去甲、乙展区，共2424A A 48=种安排方案，故一共N 129648156=++=种安排方案，选B ．8.已知数列：()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项【答案】C 【解析】 【分析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定89的项数. 【详解】观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，把数列重新分组：11212312(),(,),(,,),(,,,)12132111kk k -，可看出89第一次出现在第16组，因为12315120++++=，所以前15组一共有120项； 第16组的项为1278(,,,,)1615109，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1BB P 面积最小值为（ ）A.3B. 1C.3 D.12【答案】A 【解析】 【分析】找出平面EFG 与长方体的截面，然后再找出过D 1与平面EFG 平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD 上的位置． 【详解】解：如图，补全截面EFG 为截面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，设BR ⊥AC 于点R ， ∵直线D 1P ∥平面EFG ，∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小，由等积法：12BR ×AC 12=BA ×BC 得BR =BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，故112BB PS=×BB 1×BP 4= 故选：A ．【点睛】本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用，考查空间想象能力与转化能力．10.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象过点(0,1)B -，且在区间,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调.又()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值．【详解】解：由函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象过点B （0，﹣1）， ∴2sin φ＝﹣1，解得sin φ12=-， 又|φ|2π＜，∴φ6π=-，∴f （x ）＝2sin （ωx 6π-）； 又f （x ）的图象向左平移π个单位之后为g （x ）＝2sin[ω（x +π）6π-]＝2sin （ωx +ωπ6π-）， 由两函数图象完全重合知ωπ＝2k π，∴ω＝2k ，k ∈Z ； 又3182T πππω-≤=，∴ω185≤，∴ω＝2； ∴f （x ）＝2sin （2x 6π-），其图象的对称轴为x 23k ππ=+，k ∈Z ； 当x 1，x 2∈（1712π-，23π-），其对称轴为x ＝﹣37236πππ⨯+=-，∴x 1+x 2＝2×（76π-）73π=-，∴f （x 1+x 2）＝f （73π-）＝2sin[2×（73π-）6π-]＝2sin （296π-）＝﹣2sin 296π＝﹣2sin 56π=-1． 应选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，记BCF ∆面积为1S ，ACF ∆面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为A. 22y x = B. 28y x =C. 24y x =D. 2y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p 的值．【详解】因为直线斜率为2，经过定点()2,0D所以直线方程为()22y x=-，即240x y--=作BM y⊥轴，AN y⊥轴因为1214SS=，即14CBCA=，所以14BMAN=联立方程22402x yy px--=⎧⎨=⎩，化简得()22880x p x-++=根据一元二次方程的求根公式，得2816p p px+±+=所以2212816816,,,p p p p p pA yB y⎛⎫⎛⎫++++-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭因14BMAN=，所以2281614816p p pp p p+-+=+++化简得216360p p+-=，即()()1820p p+-=因为0p>，所以2p=即，24y x=所以选C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题．12.已知函数31,0(){9,0x xf x xx x+>=+≤，若关于的方程2(2)()f x x a a R+=∈有六个不同的实根，则的取值范围是( )A. B. (]8,9 C. (]2,9 D. (]2,8【答案】B【解析】【详解】令222(1)1t x x x=+=+-，则1t≥-，则31,0(){9,10t tf tttt+>=+-≤≤，由题意可得，函数()f t的图象与直线y a=有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示，故a的取值范围是(]8,9。
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(十一)理科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}260A x x x =--<，{}10B x x =-<，则A B ⋂的值是 A ．()-,1∞B ．()-2,1C ．()-3,-1D ．()3,+∞2．若复数312a iz i+=-（a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 的虚部为 A ．3-B ．3iC ．3D ．3i -3．已知向量1(8,)2a x =，(,1)b x =，0x >，若2a b -与2a b +共线，则x 的值为 A ．4B ．8C ．0D ．24．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是A ．这10天中，12月5日的空气质量超标B ．这10天中有5天空气质量为二级C ．从5日到10日，PM 2.5日均值逐渐降低D ．这10天的PM 2.5日均值的中位数是475．在ABC 中，D 在BC 边上，且2BD DC =，E 为AD 的中点，则BE =A ．1136AC AB - B ．1536AC AB -+ C ．1136AC AB -+ D ．1536AC AB - 6．已知随机变量()~2,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为 附：若随机变量()2~N ,εμσ，则()0.6826P μσεμσ-<≤+=，()220.9544P μσεμσ-<≤+=.A ．4772B ．5228C ．1359D ．34137．已知0.22018a =，20180.2b =，2018log 0.2c =，则 A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>8．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥C ．若//,l m m α⊂，则//l αD ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m9．已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，A ，B 为抛物线C 上两点，且6AF BF +=．则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．3B ．2C ．25 D ．23 10．在ABC △中，)sin(3)2sin(3A A -=-ππ，)cos(3cos B A --=π则ABC △为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．已知抛物线1C ：2y tx =(0,0)y t >>在点4(,2)M t处的切线与曲线2C ：x y e =相切，若动直线y a =分别与曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为A ．ln 313+ B ．ln 313- C ．1ln 22+ D ．1ln 22- 12．过点(1,0)P -的直线与圆22:(3)4E x y -+=相切于M ，N 两点，且这两点恰好在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为A ．7B ．2C ．35D ．7二、填空题第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N ⋂的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|21M x x =-≤≤，再由集合的交集的运算M N ⋂={1,0,1}-,再由n 元集合的子集个数为2n ，代入运算即可得解.【详解】解:解二次不等式220x x +-≤得(2)(1)0≤x x +-，解得21x -≤≤,即{}|21M x x =-≤≤,又{1,0,1,2}N =-,所以M N ⋂={1,0,1}-,即M N ⋂的子集个数为328=,故选C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、集合交集的运算及集合真子集的个数，重点考查了集合的思想，属基础题. 2.已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则算出1zi +即可 【详解】2z i =+，2131122z i i i i -∴==-++， 在复平面对应的点的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所在象限是第四象限. 故选：D【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单. 3.在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A. ﹣5 B. ﹣7 C. ﹣9 D. ﹣11【答案】B 【解析】 【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案.【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 则a 9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A. 3()f x x x =+ B. ()31xf x =- C. 1()f x x=- D. 3()log f x x =【答案】A 【解析】 【分析】考查选项A ，检验()()f x f x =--是否恒成立，再利用导数来判断函数的单调性即可； 考查选项B ，(1)(1)f f ≠--,即()()f x f x =--不恒成立，即函数()f x 不为奇函数， 考查选项C ，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，则函数在定义域上不单调， 考查选项D ，(3)(3)f f ≠--,即()()f x f x =--不恒成立，即函数()f x 不为奇函数， 得解.【详解】解：对于选项A ，()()f x f x =--恒成立，且'2()310f x x =+>，即函数()f x 为奇函数且为增函数，对于选项B ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 对于选项C ，'21()0f x x=>，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，函数在()(),00,-∞⋃+∞不为增函数，对于选项D ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了函数的单调区间与函数的定义域，属中档题.5.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）A. 15B.14C.13D.12【答案】D【解析】【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C=种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P=-=故选：D 【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单. 6.设,αβ是两平面，,a b是两直线.下列说法正确的是（）①若//a b，//a c，则//b c②若aα⊥，bα⊥，则//a b③若aα⊥，aβ⊥，则//αβ④若αβ⊥，bαβ=，aα⊂，a b ⊥，则aβ⊥A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】根据平行和垂直的有关定理逐一判断即可【详解】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对，垂直于同一直线的两个平面平行，故③对，由面面垂直性质定理知④对.故选：D【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直有关的定理，属于基础题.7.下图是一程序框图，若输入的12A=，则输出的值为（）A.25B.512C.1229D.2960【答案】C 【解析】 【分析】依次列出此程序框图的运行步骤即可 【详解】运行程序框图，25A =，2k =；512A =，3k =；1229A =，43k =>， 输出1229A =. 故选：C【点睛】本题考查的是程序框图的知识，较简单. 8.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把()13sin cos 2g x x x ωω=-的图象上所有点（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移3π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移3π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可 【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=， 故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()1sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 故选：B【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.9.8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（ ）A. 420B. ﹣420C. 1680D. ﹣1680【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数.【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则 故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2， 其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，故选：A ．【点睛】本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.10.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,1111x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是()A. [25--5] B. [25-5] C. [5-25]+ D. [4-，25]+【答案】C【解析】【分析】结合图形，平移直线2z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．【详解】如图，作直线20x y+=，当直线上移与圆22(1)1yx+-=相切时，2z x y=+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y=+的距离等于115=，解得z的最大值为：25，当下移与圆224x y+=相切时，2x y+取最小值，25=，即z的最小值为：25-所以[5,25]z∈-+．故选C ．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ） 2 B. 3C. 25【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件求出AF 的中点M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可.【详解】解：由双曲线2222:1x y C a b-=，则其渐近线方程为by x a=±， 因0AF BF ⋅=由图可知：AO BO FO c ===不妨设A (),a b -,则B (),a b -, 又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22b bc aa -=⨯，解得：2ce a==， 故选C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题.12.已知函数()()xe a e xf m x a =--+，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. [,)eC. 1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】先求出()f x 的单调性，得出11ln 0ma a e --+≤-，即1ln()()a e m a e a a-≥-->，然后求出右边的最小值即可【详解】()()xe a e xf m x a =--+，则()()1xe e x af =-+'，若0e a -≥，可得0fx，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()f x →+∞，不满足()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立； 若0e a -<，由0fx，得1x e a e =-，则1ln x a e=-，∴当1,ln x a e ⎛⎫∈-∞ ⎪-⎝⎭时，0f x，当1ln,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，0f x ，()1ln max1ln ()a ef x f e a e ma a e -⎛⎫∴==-- ⎪-⎝⎭11ln 1ln ma a e a e +=--+--， 若()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，1ln()()a e m a e a a -∴≥-->， 令1ln()()a e F a a a-=--，则22ln()1()aa e a e F a a a ---'=-2()ln()()a e a e ea a e ---=-.∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>，则min 1()(2)F a F e e==-.1m e ∴≥-.即实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题，属于较难题 2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.平面内不共线的三点,,O A B ，满足1OA =，2OB =，点C 为线段AB 的中点，若3OC =，则AOB ∠=__________. 【答案】120° 【解析】 【分析】由1()2OC OA OB =+平方即可算出1cos 2AOB ∠=-，然后即可得出答案 【详解】点C 为线段AB 的中点，1()2OC OA OB ∴=+，()222124OC OA OB OA OB =++⋅1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∴∠=︒.故答案为：120︒【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算，较简单.14.已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________. 【答案】48- 【解析】 【分析】由123n n a a +=--得()1121n n a a ++=-+，即数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，即可求出n a ，进而求得6S【详解】因为123n n a a +=--，所以()1121n n a a ++=-+，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)n n a -+=⨯-，即12(2)1n n a -=⨯--，()21(2)3n n S n =---，所以()662126483S =--=-. 故答案为：48-【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n 项和的求法，属于基础题.15.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．【答案】()()22445x y -+-= 【解析】 【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D到直线l的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC与1B C 所成角的余弦值等于__________.【答案】514【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，先得出4ah =，然后222433h R r =+≥=，即3a h =时其外接球的表面积取最小值。