截面应力的计算汇总.
材料力学公式汇总
1材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、拉压 []max maxN A σσ=≤横截2、剪切 []maxQ A ττ=≤受剪挤压 P A σσ⎡⎤=≤⎣⎦挤压挤压挤压挤压投3、圆轴扭转[]max max maxT T P P M M I W ρττ⎛⎞⎛⎞==≤ 4、平面弯曲 ①[]max nmaxn M W σσ=≤②[]max max max nz z M y I σσ+++=≤[]max maxmax nz zM y I σσ−−−=≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5、斜弯曲[]nynz maxnz nymaxM M W W σσ=+≤；6、拉(压)弯组合[]maxmaxn nM N A W σσ=+≤;[]max max z nz M N y A I σσ+++=+≤;[]nz max max z M N y I Aσσ−−−=−≤. 注：“5,6”两式仅供参考.7、轴向拉压斜截面上应力：2cos ;sin 22αασσσατ==横横α8、圆轴弯扭组合： ①第三强度理论[]eq3nnσσ===≤②第四强度理论[]eq4nnσσ===≤9、圆轴拉(压)弯扭组合：①第三强度理论 []eq3σσ=≤ ②第四强度理论 []eq4σσ=≤ 二、变形及刚度条件１、拉压 ∑∫===ΔLEAxx ) N EAL N EANLL d (ii ２、扭转 ()()弧度； T T i i T p p pM x dx M L M LGI GI GI Φ==Σ=∫0180p T L GI θπΦ==⋅（m /D ） ３、弯曲(1)积分法:()'''()();()()()d ;()()d d .n n nEIy x M x EIy x EI x M x x C EIy x M x x x Cx D θ===+=+∫∫∫+边界条件：铰支：挠度为零；固支：挠度和转角都为零。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
截面应力的计算PPT课件
，只是Ip值不同。
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剪应力的计算公式：
1、横截面上任意一点剪应力计算：
Mn
Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
max
Mn Ip
Mn Wp
R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
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圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面系数
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实
心
o
圆
o
d
轴
D
D
II p
DD44
3322
( (1 1 4
)4
)
=d/D=0
Ip
D4
7
两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等
可知：横截面上只有正应力σ，
且大小相等。
FP
s FN
FN
sdA s A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
s 轴心拉压应力公式：
FN
A
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1MPa=106Pa＝1N/mm2
1GPa=109Pa
6
二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
横截面上的应力知识点总结
横截面上的应力知识点总结1. 横截面应力的定义横截面应力是指作用在材料截面上的内部力对单位面积的作用。
它是一个矢量，具有大小和方向。
在力学分析中，横截面应力通常用符号σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。
横截面应力的大小和方向取决于截面上的受力情况，包括拉伸、压缩、弯曲和剪切等。
2. 横截面应力的计算方法计算横截面应力的方法有很多种，常用的包括静力学方法、弹性力学方法和有限元法等。
在静力学方法中，可以使用平衡方程和横截面的几何形状来计算应力。
在弹性力学方法中，可以利用材料的弹性性质和变形关系来计算应力。
有限元法是一种数值计算方法，通过离散化截面和应力场来求解应力分布。
3. 横截面应力的分布规律横截面应力的分布规律是指应力在截面上的分布情况。
在拉伸和压缩的情况下，横截面应力通常呈现线性分布，即在截面上的应力随着距离的增加而线性变化。
在弯曲和剪切的情况下，横截面应力则呈现非线性分布，即应力随着距离的增加而不断变化。
4. 横截面应力的影响因素横截面应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括受力的形式、材料的性质和截面的几何形状。
在拉伸和压缩的情况下，应力的大小取决于受力材料的强度和刚度。
在弯曲和剪切的情况下，应力的分布受到截面几何形状和横截面惯性矩的影响。
5. 横截面应力的实际应用横截面应力的研究在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。
比如，在结构设计中，需要通过计算横截面应力来确定构件的尺寸和材料的选择，以确保结构的安全性和稳定性。
在材料科学中，研究横截面应力可以帮助理解材料的力学性能和断裂行为。
总之，横截面应力是力学和材料科学领域中重要的研究内容，它涉及到材料的强度、稳定性和工程设计的安全性。
通过对横截面应力的研究，可以更好地理解材料的受力情况，并为工程设计和材料选择提供依据。
截面混凝土的正应力验算
截面混凝土的正应力验算根据《公预规》7.1.5条，使用阶段正截面应力应符合下列要求：MPa f ck kc pt cu 2.165.0=≤+=σσσ式中：kc σ——在作用标准效应组合下混凝土的法向压应力，按下式计算：332211ouG ou G nu G kc W M W M W M ++=σ (2-32）1G M 、2G M 、3G M ——标准效应组合的弯矩值，见表2-11的①、②、③栏； 1nu W 、2nu W 、3nu W ——分别取表2-17，截面特性的第一、第二、第三阶段的值。
pt σ——由预应力产生的混凝土法向拉应力，按下式计算：nupn p n P ptW e N A N ∏∏-=σ (2-33）∏p N ——s l P p p A A N ⋅-⋅=∏∏6σσn A 、nu W ——取表2-17，第一阶段的截面特性； pn e ——sl p p s nb s l p nb p p pn A A A y A a y A e ⋅-⋅-⋅--⋅=∏∏66)()(σσσσ。
表2-35示出了正截面混凝土压应力验算的计算过程和结果，最大压应力在3号梁跨中截面下缘，为4.153 MPa>16.2MPa ，可见其结果符合规范要求。
2-35 正截面混凝土压应力验算表项目边梁3号梁跨中 4/L 变化点 支点 跨中4/L 变化点支点 1G M )(m kN ⋅2155.6 1617.67 943.16 0 2286.88 1715.16 1000.62 0 2G M )(m kN ⋅115.15 86.37 50.39 0 230.31 172.73 100.77 0 3G M )(m kN ⋅1061.33 796.00 464.38 0 1061.33 796.00 464.38 0 1nu W )(3m0.5580.5570.5590.6190.5270.5160.5180.5822nu W )(3m 0.590 0.585 0.577 0.627 0.547 0.543 0.535 0.588 3nu W )(3m 0.631 0.625 0.616 0.662 0.628 0.623 0.614 0.659 ∏p N )(kN3071.30 3041.74 3008.85 3176.78 3133.47 3100.40 3064.89 3212.88n A )(2m 0.8140 0.8140 0.8140 1.2496 0.7786 0.7786 0.7786 1.216 pn e )(m1.083 0.981 0.840 0.233 1.063 0.963 0.825 0.226 kc σ)(MPa 5.740 4.3262.527 0 6.451 4.919 2.877 0 pc σ)(MPa-2.188 -1.624 -0.823 1.345 -2.297 -1.802 -0.947 1.394 cu σ)(MPa3.5522.7031.7041.3454.1533.1171.9301.394。
材料力学公式汇总
材料力学公式汇总一、轴向拉压。
1. 轴力计算。
- 截面法：F_N=∑ F_i（F_N为轴力，F_i为截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 正应力计算。
- σ=(F_N)/(A)（σ为正应力，A为横截面面积）3. 胡克定律。
- Δ L=(F_NL)/(EA)（Δ L为轴向变形量，L为杆件原长，E为弹性模量）4. 泊松比。
- ν =-(varepsilon')/(varepsilon)（ν为泊松比，varepsilon为轴向线应变，varepsilon'为横向线应变）二、扭转。
1. 扭矩计算。
- 截面法：T=∑ M_i（T为扭矩，M_i为截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正）2. 切应力计算（圆轴扭转）- τ=(Tρ)/(I_p)（τ为切应力，ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 对于圆轴最大切应力：τ_max=(T)/(W_t)（W_t=(I_p)/(R)，R为圆轴半径）- 对于实心圆轴：I_p=(π D^4)/(32)，W_t=(π D^3)/(16)（D为圆轴直径）- 对于空心圆轴：I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（d为空心圆轴内径）3. 扭转角计算（圆轴扭转）- φ=(TL)/(GI_p)（φ为扭转角，L为轴长，G为切变模量）三、弯曲内力。
1. 剪力和弯矩计算。
- 截面法：F_Q=∑ F_i（F_Q为剪力，截面左侧向上的外力或右侧向下的外力为正）- M=∑ M_i（M为弯矩，使梁下侧受拉的弯矩为正）2. 剪力图和弯矩图绘制。
- 利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系：(dF_Q)/(dx)=q(x)，(dM)/(dx)=F_Q，frac{d^2M}{dx^2} = q(x)（q(x)为分布载荷集度）四、弯曲应力。
1. 正应力计算（梁的纯弯曲）- σ=(My)/(I_z)（σ为正应力，M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z=(I_z)/(y_max)）- 对于矩形截面：I_z=frac{bh^3}{12}，W_z=frac{bh^2}{6}（b为截面宽度，h 为截面高度）- 对于圆形截面：I_z=(π D^4)/(64)，W_z=(π D^3)/(32)2. 切应力计算（矩形截面梁）- τ=frac{F_QS_z^*}{bI_z}（S_z^*为所求点以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 最大切应力（矩形截面）：τ_max=(3F_Q)/(2bh)（发生在中性轴上）五、弯曲变形。
拉压杆斜截面上的应力
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拉压杆应力与材料力学性能的关系
材料力学性能包括弹性模量、 泊松比和剪切模量等参数，这 些参பைடு நூலகம்与拉压杆应力之间存在
密切关系。
泊松比是描述材料横向变形与 纵向变形关系的参数，泊松比 越大，材料横向变形越小，拉 压杆的应力越大。
弹性模量是描述材料抵抗变形 能力的参数，弹性模量越大， 材料抵抗变形的能力越强，因
稳定性分析
为了防止失稳现象的发生，需要对拉压杆进行稳 定性分析，确定其临界载荷和失稳形态。
3
稳定性分析方法
可以采用静力学方法和动力学方法进行稳定性分 析，以确定拉压杆的临界载荷和失稳形态。
04 斜截面上的应力计算
斜截面应力的计算公式
公式推导
斜截面应力计算公式是通过材料力学 中的应力分析方法推导得出的，考虑 了杆件受力、截面尺寸等因素的影响 。
拉压杆斜截面上的应 力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中， 由于受到外力作用而产生的内部 应力，表现为杆件内部相邻部分 之间的相互挤压或拉伸。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的切向应力，其方向与 切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、 截面的形状、外力的大小和方向等因 素有关。
截面剪切应力计算公式
截面剪切应力计算公式在我们学习力学的过程中，截面剪切应力计算公式可是个相当重要的家伙！这玩意儿就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解物体内部受力情况的大门。
咱先来说说啥是截面剪切应力。
想象一下，你拿着一把剪刀去剪一张纸，纸被剪断的那个地方，受到的就是剪切力。
而截面剪切应力呢，就是在某个横截面上面，单位面积所受到的这种剪切力。
那截面剪切应力计算公式到底是啥呢？它通常可以表示为τ = VQ /Ib 。
这里面，V 表示的是剪力，Q 是所求应力点到截面形心的距离与该点所在截面一侧部分的面积对形心的静矩的乘积，I 是整个截面对于中性轴的惯性矩，b 则是所求应力点处截面的宽度。
就拿我们生活中的一个例子来说吧，有一次我去工地，看到工人师傅们在搭建钢梁。
那钢梁长长的，承受着各种力。
我就好奇地问师傅，这钢梁会不会被剪断啊？师傅笑着说，这就得看截面剪切应力啦。
他们在设计的时候，就得用这个公式来算一算，确保钢梁能稳稳地支撑起整个建筑。
比如说这钢梁是个矩形截面的，宽是 b ，高是 h 。
那它对中性轴的惯性矩 I 就等于 bh³ / 12 。
要是剪力 V 已经知道了，再根据具体受力点的位置算出 Q ，就能算出截面剪切应力τ 了。
如果算出来的应力超过了材料能承受的极限，那可就危险啦，钢梁可能就会出问题。
在实际工程中，比如桥梁的建造，要是没算好截面剪切应力，那后果不堪设想。
桥可能在使用过程中突然断裂，这得多吓人啊！所以这个公式对于工程师们来说，那可真是宝贝，得精确计算，一点儿都不能马虎。
咱们再回到学习中来，同学们在学习这个公式的时候，可别被那些字母和符号给吓住了。
其实啊，只要多做几道题，多结合实际想一想，就会发现它也没那么难。
比如说，给你一道题，告诉你一个钢梁的尺寸和所受的剪力，让你算截面剪切应力。
这时候，别慌，先把公式写出来，把已知的数值代入进去，一步一步来。
算的时候要仔细，单位可别弄错了。
而且啊，这个公式还和其他的力学知识有关系呢。
切应力公式推导
图6－4
3、静力学方面
由图6−4可以看出，梁横截面 上各微面积上的微内力dFN=σdA
图6－4
构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量
FN
σdA ， My
A
zσdA ，
A
Mz
yσdA
A
由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩 M，所以有
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
mp
nq
(a)
F
F
C
mp
D
nq (b)
图6－2
4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
（1）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕
垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面 与梁弯曲后的轴线保持垂直。
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为
σ tm , aM I x z B y 1 1 .8 0 .5 13 7 1 0 0 . 0 5 3 0 7 2.5 2 2 16 P 0 2 a.5 M 2 [σ P t] a
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分
将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
σ K M Iz Cy 0 . 5 3 8 1 1 3 3 4 0 0 ( 0 .0) 6 3 .0 1 96 P 0 a 3 .0M 9 P
K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。
§6－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最
截面剪应力计算公式
截面剪应力计算公式截面剪应力计算公式1. 扭转截面剪应力计算公式公式：τzd=TJ×ℎ2解释：截面扭转剪应力是指在柱或梁的横截面上产生的剪应力，它的计算公式为将扭矩T除以截面惯性矩J并乘以截面高度的一半h。
例子：假设一根方形截面的梁，其边长为2cm，梁上受到的扭矩为500N*m，则计算过程如下：1.计算截面惯性矩J：J=a 412=(2cm)412=163cm42.计算截面剪应力τzd：τzd=TJ ×ℎ2=500N∗m163cm4×2cm2=375Ncm2所以，这根方形截面的梁上的扭转截面剪应力为375N/cm²。
2. 剪切形成结构的截面剪应力计算公式公式：τzd=V Q解释：剪切形成结构的截面剪应力是指在柱或梁的横截面上产生的剪应力，它的计算公式为将剪力V除以截面形心距离Q。
例子：假设一根矩形截面的梁，其宽度为10cm，高度为20cm，梁上受到的剪力为2000N，则计算过程如下：1.计算截面形心距离Q：Q=bℎ26=10cm×(20cm)26=40003cm32.计算截面剪应力τzd：τzd=VQ =2000N40003cm3=32N/cm2所以，这根矩形截面的梁上的剪应力为/cm²。
3. 螺旋剪应力计算公式公式：τ=2M πd3解释：螺旋剪应力是指在螺旋传动装置的剪应力，它的计算公式为将扭矩M乘以螺旋半径d然后除以螺旋半径的三次方。
例子：假设某螺旋传动装置的螺旋半径为5cm，承受的扭矩为1000N*m，则计算过程如下：1.计算螺旋剪应力τ：τ=2Mπd3=2×1000N∗mπ(5cm)3=8πN/cm2所以，这个螺旋传动装置的剪应力为约/cm²。
通过以上列举的计算公式，可以计算出截面剪应力的值，这些公式在工程领域中具有广泛的应用。
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。
杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。
对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。
当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。
当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。
在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。
在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。
同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。
希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。
开裂截面钢筋应力计算公式
开裂截面钢筋应力计算公式在工程结构设计中，钢筋的应力计算是非常重要的一部分。
而对于开裂截面钢筋的应力计算，更是需要特别注意。
因为开裂截面钢筋的应力计算不仅涉及到钢筋的受力情况，还需要考虑到混凝土的开裂情况。
本文将介绍开裂截面钢筋应力计算的相关公式和计算方法。
开裂截面钢筋的应力计算公式如下：\[ \sigma_s = \frac{N}{A_s} + \frac{M}{W_s} \]其中，σs为钢筋的应力，N为轴向力，As为钢筋的截面面积，M为弯矩，Ws为钢筋的抗弯模量。
在计算开裂截面钢筋的应力时，需要根据具体的结构情况确定N和M的数值，并且需要考虑到混凝土的开裂情况对钢筋应力的影响。
在实际工程中，开裂截面钢筋的应力计算通常需要考虑以下几个方面的因素：1. 混凝土的开裂宽度，混凝土的开裂宽度对钢筋的应力有着直接的影响。
一般来说，混凝土的开裂宽度越大，钢筋的应力就会越小。
因此，在计算开裂截面钢筋的应力时，需要根据混凝土的开裂情况对钢筋的应力进行修正。
2. 钢筋的受力情况，钢筋的受力情况对其应力的计算也有着重要的影响。
在实际工程中，钢筋可能同时承受轴向力和弯矩，因此需要根据具体的受力情况确定N 和M的数值，并进行合理的计算。
3. 钢筋的截面形状，钢筋的截面形状对其应力的计算也有着一定的影响。
一般来说，截面形状越复杂，计算就会越复杂。
因此在计算开裂截面钢筋的应力时，需要考虑到钢筋的截面形状对应力的影响。
在进行开裂截面钢筋应力计算时，需要根据具体的结构情况和受力情况确定相关的参数，并进行合理的计算。
同时，还需要考虑到混凝土的开裂情况对钢筋应力的影响，并进行相应的修正。
只有在综合考虑了以上因素之后，才能得到准确的开裂截面钢筋应力。
总之，开裂截面钢筋的应力计算是一个复杂而重要的工作。
只有在充分考虑了混凝土开裂情况、钢筋受力情况和截面形状等因素之后，才能得到准确的钢筋应力。
希望本文介绍的开裂截面钢筋应力计算公式和相关计算方法能对工程设计和实际工程中的钢筋应力计算有所帮助。
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式
径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力[t ] = 40 MPa，切
变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax =
(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j 角，这种
角位移称为相对扭转角。
(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是
不沿壁厚变化的，故有 g
均半径。
jr0
，此处r0为薄壁圆筒的平 l
扭转
Me
g
AD BC
Me
j
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过 材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T ) 与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线
其中 A 2 d A称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
tρ
G
T GIp
T
Ip
T
t max
d T
t max
D
扭转
t max
t
T
Ip
横截面周边上各点处( r)的最大
切应力为
t max
d
t max
Tr Ip
T Ip r
T Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。
扭转
圆截面的极惯性矩 Ip 和扭转截面系数 Wp
实心圆截面：
d
Ip
2 d A
A
(完整版)梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下，剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的前提下，剪应力一般都满足要求。
一、矩形截面梁的剪应力 利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为：*z Z QS I b τ=； 公式中：Q ——为横截面上的剪力；*z S ——为横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分面积A*对中性轴的静矩；I Z ——为横截面对中性轴的惯性矩；b ——矩形截面宽度。
计算时Q 、*z S 均为绝对值代入公式。
当横截面给定时，Q 、I Z 、b 均为确定值，只有静矩*z S 随剪应力计算点在横截面上的位置而变化。
222**2214()[()]()(1)222248z h h h h bh y S A y b y y y y h =⨯=-⨯+-=-=- 把上式及312z bh I =代入*z Z QS I bτ=中得到：2234(1)2Q y bh h τ=- 可见，剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘处（y=±0.5h ），剪应力为零；在中性轴处（y=0）处，剪应力最大，其值为：33 1.522Q Q Q bh A A τ=⨯=⨯= 由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍，发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K 处剪应力为：*1z Z QS I b τ=； 公式中：b 1——腹板的宽度（材料表中工字钢腹板厚度使用字母d 标注的）；*z S ——为横截面上阴影部分面积A*对中性轴的静矩；工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处，其值为：*max max1z Z QS I b τ=； 公式中：*max z S ——为半个截面（包括翼缘部分）对中性轴的静矩。
三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为：*max max max max *[](/)z Z Z Z Q S Q I b b I S ττ==≤。
危险截面应力计算
危险截面应力的计算需要考虑多种因素，包括截面的形状、尺寸、材料属性、外力大小和方向等。
以下是一些常见的计算方法：
1.静力分析法：通过建立平衡方程来求解截面上的应力。
这种方法适用于静载作用下的简单截面，
如矩形、圆形等。
对于复杂的截面形状，需要将其划分为多个简单的部分，分别进行计算。
2.弹性力学法：适用于各种形状的截面，考虑了材料的弹性性质，能够得到更精确的应力分布情况。
常用的方法有有限元法、差分法等。
3.实验法：通过实验测试来获取截面应力分布情况。
常用的实验方法有拉伸试验、弯曲试验等。
这
种方法可以得到真实情况下的应力分布，但实验成本较高。
需要注意的是，不同的计算方法适用范围和精度要求不同，需要根据实际情况选择合适的方法。
同时，危险截面的应力分布并不是固定不变的，会随着外力的大小和方向的变化而变化，因此在实际应用中需要不断调整和优化计算方法，以确保安全性和经济性。
应力计算公式及单位
应力计算公式及单位
应力（Stress）是指物体受到的外部力对单位面积的作用力，可以用以下公式来计算：
应力=受力/面积
其中，受力是物体所受到的外部力的大小，面积是受力作用的区域的面积。
应力的公式还可以进一步扩展，根据受力的方向和物体的形状不同，可以计算出不同的类型的应力：
1. 张应力（Tensile stress）：物体受到沿拉伸方向的力时产生的应力。
可以用以下公式来计算：
张应力=拉力/横截面积
其中，拉力是拉伸力的大小，横截面积是力作用的截面的面积。
压应力=压力/横截面积
其中，压力是压缩力的大小，横截面积是力作用的截面的面积。
3. 剪应力（Shear stress）：物体受到切割力时产生的应力。
可以用以下公式来计算：
剪应力=剪切力/横截面积
其中，剪切力是切割力的大小，横截面积是力作用的截面的面积。
需要注意的是，应力的计算公式和单位只适用于各向均匀的物体，即物体的各个方向应力相等。
对于复杂形状的物体，需要考虑材料的弹性模量等因素来计算应力。
在实际计算中，可以使用力学实验的测量数据或通过模拟分析来确定受力和面积的大小，从而计算出应力。
T形截面梁的弯曲切应力汇总
主持单位: 黄河水利职业技术学院
福建水利水电职业技术学院
湖南水利水电职业技术学院
参建单位: 四川水利职业技术学院
山西水利职业技术学院 长江工程职业技术学院 重庆水利电力职业技术学院
工程力学工程力学平面弯曲梁的切应力黄河水利职业技术学院201409工程力学弯曲变形平面弯曲梁的切应力工程力学平面弯曲梁的切应力t形和工形截面梁的切应力公式fq所求点所在横截面上的剪力iz整个横截面对中性轴的惯性矩dt形或工形梁的腹板宽度sz所求切应力作用点处横线以下或以上的面积对中性轴的静矩
工程力学
平面弯曲梁的切应力
主 讲 人： 张翌娜 黄河水利职业技术学院 2014.09
工程力学
弯曲变形
平面弯曲梁的切应力
工程力学
平面弯曲梁的切应力
T形和工形截面梁的切应力公式
FQ S z Izd
FQ—所求点所在横截面上的剪力 IZ—整个横截面对中性轴的惯性矩 d—T形或工形梁的腹板宽度 SZ—所求切应力作用点处横线以下（或
(完整版)梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下，剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的 前提下，剪应力一般都满足要求一、矩形截面梁的剪应力利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为:公式中：Q ――为横截面上的剪力;S ；――为横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分面积A*对中性轴的静矩；I Z ――为横截面对中性轴的惯性矩;b ――矩形截面宽度。
计算时Q S ；均为绝对值代入公式。
当横截面给定时，Q l z 、b 均为确定值，只有静矩S ；随剪应力计算点在横截面上的位置而变化* *h1 h h h2 2bh 2 4y 2S ； A yb(- y) [y (- y)]-(-y )(1 2 )2 2 22 48h 把上式及I ;bh 3 代入虫 中得到：3Q(1 4^)12I Z b2bhh 2可见，剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘 处（y=± 0.5h ），剪应力为零；在中性轴处（y=0）处，剪应力最大，其值为：由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍，发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K处剪应力为:公式中：b i――腹板的宽度（材料表中工字钢腹板厚度使用字母S z ――为横截面上阴影部分面积A对中性轴的静矩;公式中：S zmax ――为半个截面（包括翼缘部分）对中性轴的静矩。
Cb）图皐工字卑梁横苗面的应力计算图三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为:*QmaxSzmax Zmaxmax I z b b（l z/S；）[]d标注的）；工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处，其值为:max* QS z max .；I Z b1。
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A
d
3 00
C
a
B F
一、应力的概念
10KN A=10mm2
10KN
10KN 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密 程度，内力集度. A=100mm2
两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等 可知：横截面上只有正应力σ， 且大小相等。 F
FN
P
FN dA取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
轴心拉压应力公式：
FN A
三、低碳钢拉伸性能
材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度 条件有关）—是材料在受力过程中表现出的各种物理性 质。 在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时 的力学性能。 圆截面 l=10d l=5d 拉伸标准试件： k=11.3 k= 5.6 矩形截面 l k A
1. 拉伸图和应力——应变图 试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程 中，自动绘出试件所受应力 =P/A与标距 段相 应的伸长量 △ l/L 的关系曲线。通常称它为拉伸 图。下图为低碳钢的拉伸图。
（6）掌握弯曲正应力分布规律及计算公式； （7）掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式； （8）掌握斜弯曲、拉(压)弯杆、偏心压缩 杆的正应力、截面核心 ； （9）理解平面应力状态分析的解析法、图解法。
1）具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力； 学 （ （2）会计算简单图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径， 习 能用平行移轴公式 计算组合图形的形心主惯性矩。 目 （3）熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式。 （4）能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布。 标： 弯曲正应力分布规律及计算公式；偏心压缩杆的正应力。。
轴心拉压应变公式：
FN L DL EA
DL L E
A C d
300
完成任务：图示支架，AB杆为圆截面杆，
L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截面杆，其边长 a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆 和BC杆横截面上的正应力和伸缩量。
a
B F
解：
1、以B点为研究对象
17.3 103 4.8MPa 2 60
2 0 1 03 4 1 03 0.5 6 6 mm 2 3.1 4 3 0 2 0 0 1 03 4
FNBAL1 EA 1
DLBC L2
L2
E
4.8 2 3 103 0.083 mm 3 20010
重点：轴心拉压应力、应变计算；平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。 难点：剪切胡克定律；惯性半径；弯曲剪应力的分布规律及计算公式；平面应力
状态分析的解析法、图解法。
【任务1】：轴心拉压
知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律 及低碳钢拉伸性能。 能力目标：能求解轴心拉压杆的应力和应变
10KN
哪个杆先破坏?
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
应力就是单位面积上的力?
F1
P
DF
ΔA
σ
DF P DA
F2
p lim
DF DA
DA0
dF dA
（总应力）
σ —垂直于截面的应 力称为“ 正应力”
.
1
模块四：截面应力计算
【任务1】：轴心拉压的应力与应变 【任务2】：圆轴扭转横截面上的应力与应变 【任务3】：平面弯曲正应力计算 【任务4】：平面弯曲剪应力计算 【任务5】：组合变形应力计算 【任务6】：平面应力状态应力计算
模块四;截面应力的计算
学 （1）了解全应力、正应力、切应力的概念及单位； （2）掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律； 习 （3）掌握轴向拉 伸 压缩时材料的力学性能、工作许用应力； 内 （4）理解扭转圆轴横截面上应力分布规律，掌握切应力的计算； （5）平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算； 容：
3、卸载定律及冷作硬化
d
e
b
e P
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。
a c
d
s
2、低碳钢拉伸时的力学性能
变形发展的四个阶段:ob;bc;cd;de
d
e
10拉 伸试验 .swf
b
b a
s e p
O
c
o1 f
e g
明显的四个阶段
10拉 伸试验 .swf
1、弹性阶段ob
E
e
b
P — 比例极限
b
f
e P
c a
s
o
e — 弹性极限 E tan 2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力） s — 屈服极限
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
0
两个塑性指标:
断后伸长率 伸长率
A0 A1 l1 l0 100% 100% 断面收缩率 A0 l0 5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
FN AB sin 30 0 F 0 FN AB 20 KN
FNBA
FNBC
FN BACOS300 FN BC 0 FN BC 17.3KN
2、求应力
F=10
AB
FN AB 20 103 28.3MPa 2 30 AAB 4
BC
DLBA
3、求变形量
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡） 1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
—位于截面内的应
力称为“ 切应力”
二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。