六年级数论综合

六年级数论综合
《兴趣篇》
4；一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字；十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47；27；24)。

已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是
6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？
《分析与解》一个是5的倍数, 各4位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。

能被7整除有14；21；28；35；42；49；56；63。

被5整除有15；25；35；45；55；65；75；85；95，
能被6整除有12；18；24；36；42；48；54；66。

经试得满足条件的三位数是656。

6．一个自然数N共有9个约数，而N—1共有8个约数。

满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
《分析与解》N要约数为9。

N分解质因数指数必定是2与2，N—1要约数为8，N—1分解质因数指
数必定是1；1与1，N要最小，所以从2的2次乘3的3次，可是，N—1不符合，经试，只有196才符合，用同样的方法，得到第二小的是256。

10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。

对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用；有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字；如果知道密码满足如下条件:
①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同;
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数；
你能破解此密文吗?
《分析与解》由①得，A不能为3；7，B不能为4；8，C不能为2；1，21C÷12，当C为5时，余数是11，当C为8时，余数是2，当C为9时，余数是3，其它的不符合。

8B4÷12，当B为5时，余数是2，其它的不符合，所B只能是5， C只能是9。

B；C是奇数，所以A只
能是是偶数，A37÷12，有且只当A是4时，余数是5。

密文:A37|8B4|21C为437 854 219。

《拓展篇》
8；一个合数,其最大的两个约数之和为1164；求所有满足要求的合数；
《分析与解》一个合数,其最大的两个约数之和为1164，这两个数之间可以是两倍；三倍；
或11倍的关系，这样1164除去3乘2得第一个合数776，1164除去4乘3得第二个合数873，1164除
去12乘11得第三个合数1067。

所有满足要求的合数是776；873；1067。

9；已知a与b是两个正整数,且A＞B；请问:
⑴如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况?
⑵如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况?
《分析与解》⑴36分解质因数，a＞b，当a=36时，b有8种情况，当a=18时，b有2种情况，当
a=12时，b有1种情况，当a=9时，b有1种情况，所以最小公倍数是36,那么这两个正整数有12种情况。

⑵120分解质因数，用⑴中的方法能解得最小公倍数是120,这两个正整数有31种情况。

12；如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个)；小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔；他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔；最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔；问这个圆圈上共有多少个孔?
《分析与解》设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1；n能被
7整除．则将n-1是3；5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系
数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和；对应孔数为15×6+l=91或91与
105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．
《超越篇》
1．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6
的倍数。

请问：这6个数的和最小是多少？
《分析与解》我们由题可以想到，这6个数能被7整除，被6除余3,可以得出这6个数分别是:21；63；105；147；189；231。

这6个数的和最小是756。

2．设N=301×302×…×2005×2006，请问：
(1) N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
(2) 用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
《分析与解》(1) 要求N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”，我们只要计算N有多少个2乘5，在N中5的因数比2少,所以就只要求出多少个因数5就可以了；305-2005有341个5的倍数,325-2000
有68个25的倍数,375-2000有14个125的倍数,625-1925有3个125的倍数,所以一共有
341+68+14+3=426个；N的末尾一共会出现426个连续的数字“0”；
(2) 12=2×2×3, 要求N一共可以除以多少次12,只要求N含有多少个2×2×3因式就可以了,用(1)的方
法算出有多个2；4；8；16；32；64；128；256；512；1024的倍数的数,一共算得有1700个，3的倍数
的有1526，2×2的因式有850个，3的因式有1526，所以一共可以除以850次12。

3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数。

这个四位数是5的倍数。

贝贝计算出它与5！的最
小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍。

请问：这
个四位数是多少？
《分析与解》贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍，这个四位数与5！的最小公倍数是贝贝的计算结果，
显然这个数为4！的倍数，所知又为5！的倍数，因为这个数与5！最小公倍数就是它本身，它与10！的
最大公约数最小也是120，它本身必须包含600这个约数，而600也是10！的约数，所以这个四位数就是3000。

4．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除。

这个正整数最小是多少？
《分析与解》设这个正整数为A,则(75+A)×(48+A)=3600+A(75+48+A)是120的倍数,则A(75+48+A)=
A(123+A), A(123+A)是120的倍数,则A是120的倍数或(123+A) 是120的倍数,是要使正整数最小,我们
只要使(123+A)是120的倍数,得A是240-123=117；这个正整数最小是117；
5．a；b；c是三个非零自然数。

a和b的最小公倍数是300，c和a，c和b的最大公约数都是20，
且a﹥b﹥c。

请问：满足条件的a；b；c共有多少组？
《分析与解》 300=20×3×5，是 a；b 的最小公倍数，而20是 a和c；b 和c的最大公约数，所以a；b；c 有7种可能，即
a 20×5 20×3×5 20×3×5 20×520×3×5 20×3×520×3×5
b 20×3 20 ×3 20
×5 20×320 ×320 ×5 20×5
C 20 20 20 40 40 40 80
a﹥b﹥c，满足条件的a；b；c共有7组。

6．有一类三位数，它们除以2；3；4；5；6所得到的余数互不相同《可以含0》。

这样的三位数中
最小的三个是多少？
《分析与解》除以2；3；4；5；6所得到的余数互不相同《可以含0》，要求找到一个数能整除2；3；4；5；6后有余数的数，所以先求最小公倍数，2×3×4×5×6=60，又因为是最小三位数，所以是120。

当120减1得119，让119除以2；3；4；5；6，所得的余数分别为：1；2；3；4；5；当120减2得118，让118除以2；3；4；5；6，所得的余数分别为：0；1；2；3；4，当120减3得117，让117除以2；3；4；5；6，所得的余数分别为：1；0；1；2；3，不符合，所以余数0不是除以4；6，而除以2；3都有了，所以只有除以5得0了，个位不能是0，因为是0的话能被动整除，所以个位只能是5了。

经算只有155
符合，所以第三小的是155，这样的三位数中最小的三个是118；119；155。

7．有一个自然数除以15；17；19所得到的商与余数之和都相等并且商和余数都大于1，那么这个自
然数是多少？
《分析与解》没有详细过程, 这个自然数是1082；
8．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除。

请
写出这4个数。

《分析与解》没有详细过程, 这4个数是108；117；135；180。