函数的微分
函数的微分
练习： (1)求函数y cos x在x
6 2 (2)求函数y x 当x由1变到1.01 时的微分.
处的微分.
二、微分的几何意义
如图，设M ( x0 , y0 ) 和点N ( x0 x, y0 y ) 是曲线上y f ( x )的两点。 由图可知， MQ x, QN y。 设切线MP的倾斜角是， 则
y , x 0 x 根据无穷小与函数极限的关系，上式可写成
这表明，当f '( x0 ) 0时，函数的增量 可以分为两个部分： 把它叫做y的线性主部； 另一部分是x, 当x 0时，它是比 x高阶的无穷小.
一部分是f '( x0 ) x, 它是y的主要部分，
所以当 x 很小时，可以认为y f '( x0 )x.
2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx
du
d y f (u ) du
若yf(u) u(x) 则dyf (u)du
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
பைடு நூலகம்
例3 求函数 y x 3 当 x 1, 和x 3时的微分 .
解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
dy x1 3 x 2x x1 3x dy x3 3 x 2x x3 27x
dy f ' ( x)x
当 y x时，dy dx x
于是函数的微分又可以 记为 dy f ' ( x)dx 从而
函数的微分
例
求隐函数 e
xy
xy
2 x y 的微分
3
3
解： 对方程两边分别求微分，得
d (e ) d ( 2 x y )
e d ( xy) d (2 x) d ( y )
xy
3
e
xy
( xdy ydx) 2dx 3 y dy
2
移项整理求得
xy 2
xy
d (e ) d ( 2 x y )
3
y ( x x) x 3 3 1.01 1 0.030301
3
3
dy x x 0.03
3
dy
几何意义：
y y0
f ( x0 )x
y
M 0 ( x0 , y0 )
y f ( x)
M ( x0 x, y0 y)
函数 y f ( x)在 x
sin xdx x cos xdx sin xdx
x cos xdx
函数的微分
5、dy
arctan xd e e d arctan x
x x
arctan x
x x
2
e arctan xe dx dx 2 1 x 2 arctan x e arctan xe 2 1 x dx 2 arctan x
法则可直接得到微分的基本公式和
运算法则。
1.微分的基本公式
1、d (C ) 0
2、d ( x ) x
x
x
1
dx( R)
3、d (a ) a ln adx(a 0且a 1)
1 dx(a 0且a 1) 4、d (log a x) x ln a 1 d (ln x) dx x
函数的微分
dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
10
dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
微分公式大全24个
微分公式大全24个微分公式是微积分中非常重要的一部分，下面我将列举24个常见的微分公式：1. 常数函数微分，(k)' = 0。
2. 幂函数微分，(x^n)' = nx^(n-1)。
3. 指数函数微分，(e^x)' = e^x.4. 对数函数微分，(ln(x))' = 1/x.5. 三角函数微分，(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。
6. 反三角函数微分，(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。
7. 和差函数微分，(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
8. 积函数微分，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
9. 商函数微分，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)f(x)g'(x))/g(x)^2。
10. 复合函数微分，(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)。
11. 反函数微分，如果y = f(x)和x = g(y)是互为反函数的函数，那么有dy/dx = 1/(dx/dy)。
12. 参数方程的微分，如果x = f(t)和y = g(t)是参数方程，那么dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。
13. 隐函数微分，如果F(x, y) = 0定义了y作为x的隐函数，那么dy/dx = (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
14. 对数微分，d(ln(x)) = 1/x dx.15. 指数微分，d(e^x) = e^x dx.16. 对数函数微分，d(log_a(x)) = (1/xln(a)) dx.17. 幂函数微分，d(x^n) = nx^(n-1) dx.18. 三角函数微分，d(sin(x)) = cos(x) dx，d(cos(x)) = -sin(x) dx，d(tan(x)) = sec^2(x) dx.19. 反三角函数微分，d(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2) dx，d(arccos(x)) = -1/√(1-x^2) dx，d(arctan(x)) = 1/(1+x^2) dx.20. 对数函数的微分，d(log_b(x)) = (1/xln(b)) dx.21. 反双曲函数微分，d(arcsinh(x)) = 1/√(x^2+1) dx，d(arccosh(x)) = 1/√(x^2-1) dx，d(arctanh(x)) = 1/(1-x^2) dx.22. 反双曲函数微分，d(arccsch(x)) = -1/|x|√(1+x^2) dx，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.23. 反双曲函数微分，d(arccsech(x)) = -1/(x√(1-x^2)) dx.24. 反双曲函数微分，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.这些是常见的微分公式，它们在求导过程中经常被使用。
函数的微分(精)
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求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx
例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁 度 要镀上一层铜 厚度定为0.01cm. 估计一下每只球需 用铜多少 g (铜的密度是8.9g/cm3)?
dxDx. 因此 函数yf(x)的微分又可记作
dyf (x)dx.
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•增量与微分的关系
当f (x0)0时 有
lim Dy Dx0 dy
lim
Dx0
Dy f (x0)Dx
f
1 (x0)
解 函数yx3在x1处的微分为
dy(x3)|x1Dx3Dx 函数yx3在x2处的微分为
dy(x3)|x2Dx6Dx.
例2 求函数 yx2当x1 Dx 0.02时的微分.
解 先求函数在任意点x 的微分
dy(x2)Dx2xDx. 再求函数当x1 Dx0.02时的微分
)cos w t dt.
解 (1)因为d(x3)3x2dx 所以
x2dx 1 d(x3) d(1 x3)
3
3
即 d(1 x3) x2dx . 3
一般地 有 d(2 x3 C) 2x2dx (C为任意常数).
3
(2)因为d(sin w t)w cos w tdt 所以
cosw
Dy
ADxo(Dx)
Dy Dx
A
o(Dx) Dx
lim Dx0
Dy Dx
f
函数的 微分
o x
lim x0 x
y lim x0 x
f ' x0
也就是说，如果函数y f x 在点 x0 处可微，那么函数在点 x0 处就可导， 且 A f ' x0 ；反之，如果函数 y f x 在点 x0处可导，即
lim y x0 x
f ' x0
存在，那么根据无穷小与函数极限的关系，有
高等数学
函数的微分
1.1 微分的概念
定义1.1 设函数 y f x在 点 x0 的某邻域内有定义，自变量 x 在点 x0 处
有一个改变量 Δx，如果相应的函数改变量 y f x0 x f x0
可以表示为
y Ax ox
其中，A 是不依赖于 Δx 的常数，ox 是比 Δx 高阶的无穷小 x 0时 那么称函数 y f x 在点 x0 处是可微的， Ax称为函数 y f x 在点
解 (1)先求函数的导数
y'
1
x2
1 '
2x 1 x2
2
因为 dy y' dx
所以
dy
2x 1 x2
2 dx
(2)
dy
x1
f ' 1dx
1 dx 2
(3)
dy
x1 x0.01
f ' 1
x
1 2
0.01 0.005
例1.2 求函数 y sinln的x 微分。
解法一 直接利用公式 dy y' dx ，得
dy sinlnx' dx 1 coslnxdx
x
解法二 利用微分形式不变性，得
dy dsinlnx coslnxd lnx 1 coslnxdx
微分公式大全高等数学
微分公式大全高等数学在高等数学中，微分是研究函数的变化率和导数的一门重要内容。
微分公式的正确掌握是学习和应用微分的重要基础。
下面将列举一些常见的微分公式，供大家参考。
1. 基本微分公式（1）常数函数微分：若y=C，C为常数，则dy/dx=0；（2）幂函数微分：若y=x^n，n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)；（3）指数函数微分：若y=a^x，a>0且a≠1，则dy/dx=a^x*lna；（4）对数函数微分：若y=log_a x，a>0且a≠1，则dy/dx=1/(xlna)；（5）三角函数微分：若y=sin x，则dy/dx=cos x；若y=cos x，则dy/dx=-sin x；若y=tan x，则dy/dx=sec^2 x；（6）反三角函数微分：若y=arcsin x，则dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos x，则dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若y=arctan x，则dy/dx=1/(1+x^2)；（7）双曲函数微分：若y=sinh x，则dy/dx=cosh x；若y=cosh x，则dy/dx=sinh x；若y=tanh x，则dy/dx=sech^2 x；（8）反双曲函数微分：若y=arcsinh x，则dy/dx=1/sqrt(1+x^2)；若y=arccosh x，则dy/dx=1/sqrt(x^2-1)；若y=arctanh x，则dy/dx=1/(1-x^2)。
2. 复合函数微分法则（1）链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du*du/dx；（2）乘积法则：若y=u*v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=u*(dv/dx)+v*(du/dx)；（3）商积法则：若y=u/v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2。
3. 隐函数微分若方程F(x, y)=0表示一个隐函数，其中y是x的显含函数，则通过隐函数微分可以求出dy/dx。
(完整版)函数的微分及其应用
微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
函数微分知识点总结
函数微分知识点总结一、微分的定义函数微分是指在某一点上对函数进行线性近似的过程。
具体来说，给定函数f(x)以及其在某一点x0处的函数值f(x0)，我们希望找到一个线性函数y=kx+b，使得当x接近x0时，f(x)和y的差别尽可能小。
这个线性函数的斜率k即为函数f(x)在点x0处的导数值f’(x0)，而b即为函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)。
因此，函数f(x)在点x0处的微分可以表示为：dy = f’(x0) * dx其中，dx表示自变量x的微小变化量，而dy表示函数值在此变化量下的变化量。
二、微分的性质1. 可加性对于两个函数u(x)和v(x)，它们的微分满足以下性质：d(u+v) = du + dv2. 乘法法则对于两个函数u(x)和v(x)，它们的微分满足以下性质：d(uv) = u * dv + v * du3. 除法法则对于两个函数u(x)和v(x)，它们的微分满足以下性质：d(u/v) = (vdu - udv) / v^24. 复合函数微分法则对于复合函数y = u(v(x))，它的微分可以表示为：dy = u’(v(x)) * dv其中，u’表示u对其自变量的导数。
三、微分的计算1. 导数的定义函数f(x)在点x0处的导数定义为：f’(x0) = lim(h->0) (f(x0+h) - f(x0)) / h2. 基本函数的微分常用函数的微分公式如下：常数函数：d(C) = 0幂函数：d(x^n) = nx^(n-1)dx指数函数：d(a^x) = a^xln(a)dx对数函数：d(lgx) = 1/x dx三角函数：d(sin(x)) = cos(x)dx, d(cos(x)) = -sin(x)dx, d(tan(x)) = sec^2(x)dx3. 链式法则当函数y = u(v(x))时，它的导数可以表示为：dy/dx = du/dv * dv/dx四、微分的应用1. 极值问题对于函数f(x)，它在点x0处的极值满足f’(x0) = 0。
函数的微分
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
五、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
(2)求f (x)在点x 0附近的近似值;
令 x0 0, x x. f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x,
f ( x) f (0) f (0) x.
常用近似公式 ( x 很小时)
(1) n 1 x 1 1 x; (2) sin x x ( x为弧度); n
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1 4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
3、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. 定义：如果某个量的精度值为A,它的近似值
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
函数的微分
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 2 x x ( x ) 0 x
关于△x 的线性 时为 主部 高阶无穷小
x 0
x0
2 A x0
所以
dy 2 1 0.01 0.02.
例 2 求函数 y x 3 在 x 2 处的微分; 解 函数 y x 3 在 x 2 处的微分为
dy ( x 3 )' x 2 dx 12dx.
基本初等函数的微分公式 (见 P60表)
完
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
即 d y f ( x0 ) x
可微的条件
定理 : 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是
处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
3.004938
(1 x) 1 x
2. 求函数 y 解
x x 的微分 dy .
dy
1 d(x x) 2 x x
1 (dx d x ) 2 x x 1 (dx 1 dx ) 2 x 2 x x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x 1 1 . dx 2 x x 2 x 2 x 1 dx . 4 x x x
然而, 对于较复杂的函数 f ( x ), 差值
f ( x x ) f ( x )
第二章 第5节 函数的微分
d (Cu ) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
11
例2 设 y = ln( x + e ), 求dy .
x2
解 例3
Q y′ =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
,
∴ dy =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
dx .
设 y = e 1− 3 x cos x , 求dy .
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
10
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ19
例2 计算下列各数的近似值 .
(1) 998.5;
解 (1)
3
3
( 2) e
− 0.03
.
998.5 = 3 1000 − 1.5
1.5 ) = 103 1 − 0.0015 = 1000(1 − 1000 1 ≈ 10(1 − × 0.0015) = 9.995. 3
3
( 2) e
− 0.03
= π (厘米 2 ). ∴ ∆A ≈ d = 2πr ⋅ ∆r = 2π × 10 × 0.05
16
2、计算函数的近似值
1.求 ( x)在点 = x0附近的近似值 f x ;
《函数的微分》课件
极值问题
极值的定义和性质 极值的求解方法 极值在生活中的应用 极值问题的实际案例
曲线的切线问题
切线的定义和性质
切线的求法
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 方程
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 斜率
函数的单调性判断
定义：函数在某 区间内单调增加 或单调减少
单调性的判断方 法：导数法、图 像法、表格法等
微分方程及其解法
Байду номын сангаас
微分方程的基本概念
分类：根据未知函数的个数， 微分方程可以分为一阶、二 阶和高阶微分方程
定义：微分方程是包含未知 函数及其导数的方程
形式：微分方程通常可以表 示为f(x,y',y'',...) = 0
解法：常用的解法包括分离 变量法、常数变易法、降阶
法等
一阶微分方程的解法
定义：一阶微分方 程是只含有一个自 变量和一个导数的 方程
指数函数的微分规则
函数形式：指数函数的一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠1 微分规则：指数函数的微分规则为(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a>0且a≠1 微分性质：指数函数的微分性质包括单调性、凹凸性、极值等 应用：指数函数的微分规则在经济学、物理学等领域有着广泛的应用
链式法则
添加 标题
形式：dy/dx + p(x)y = q(x)
求解方法：分离变 量法、常数变易法 、线性微分方程的 解法
举例：y' + y = 0, y' + 2y = sin(x)等
二阶微分方程的解法
常用的解法：常数变易法、 降阶法、比较法
定义和分类
特殊类型的解法：伯努利方 程、欧拉方程
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
函数求微分
函数求微分
求函数的微分是求函数的导数。
微分可以用于求解函数在某一点的斜率，也可以用于近似计算函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其微分df(x)表示函数f(x)在x 点的变化量。
微分可以通过求导数来计算，即求函数
f(x)的导函数f'(x)。
导函数f'(x)描述了函数f(x)在不同点上的斜率，也可以表示函数f(x)在每个点上的变化率。
具体计算微分的方法有以下几种：
1. 使用基本导数公式：根据常见函数的导数公式，可以直接计算出函数的导函数，然后将自变量x替换为特定的数值获得函数在该点的微分。
2. 使用导数的定义：根据导数的定义，可以通过求极限的方式计算函数的导数。
即计算函数在给定点上的左导数和右导数，并取两者的平均值作为该点的导数值，从而得到函数在该点的微分。
3. 使用微分中值定理：微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它可以用来计算函数在某一区间内的平均变化率。
根据该定理，对于连续函数f(x)，存在一个介于a和b之间的数c，使得函数在[a, b]区间上的平均变化率等于函数在c点上的导数值，即
f'(c)。
因此，可以通过求解导数方程来计算函数在某一区间内的微分。
以上是计算函数微分的一些常见方法，具体选择哪种方法取决于函数的形式和求解的要求。
函数的微分
例3 设 y esin 2x ，求 dy 。
解
dy esin 2xd(sin 2x) esin 2x 2 cos 2xd(2x) 4esin 2x cos 2xdx
四、微分在近似计算中的应用 1．计算函数改变量的近似值
如果函数 y f (x) 在点x0 处的导数 f (x0 ) 0 ，且 x 很小时，有 y dy f (x0 ) x
图2-6
过M点作曲线的切线MT，它的倾角为α ，则
QP MQ tan x f (x0 )
即
dy QP
由此可见，当 y 是曲线 y f (x) 上的M点的纵坐标的增量时， dy就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当x 很小时， y dy 比 x 小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来 近似代替曲线段。
高等数学
函数的微分
一、微分的概念
引例 【薄片面积的增量】如图2-5所示，一块正方形金属薄片 受温度变化的影响，其边长由 x0 变 x0 x，问该薄片的面积A 改变了多少？
图2-5
图2-5
若用x表示该薄片的边长，A表示面积，则A是x的函数：A x2 。 薄片受温度变化的影响时面积的该变量，可以看成是当自变量x自 x0取得增量 x 时，函数 A x2 相应的增量 A ，即 A (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 。
（3） d(ax ) ax ln adx
（5） d( loga
x)
1 x ln a
dx
（4） d(ex ) exdx
（6）
d( ln x) 1 dx x
（7） d(sin x) cos xdx
（8） d( cos x) sin xdx
（9）d( tan x) sec2 xdx
高等数学 第2章 第七节 函数的微分
2
3、问题：函数可微的条件是什么？
A?
设函数 y f ( x) 在点 x0 可微, 则有(1)成立，即 y Ax o(x)
等式两端除以
x ,得
y A o(x) .
x
x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到
f x0
ex e x ,
微分公式
d x x 1dx ,
dsin x cos xdx, dcos x sin xdx,
dtan x sec2 xdx, dcot x csc2 xdx, dsecx secx tan xdx, dcsc x csc x cot xdx,
d a x a x ln adx,
d ex e xdx, 8
loga
x
1 x lna
,
ln 1 ,
x
arcsin x 1 ,
1 x2
arccos x 1 ,
1 x2
arctan x 1 ,
1 x2
arc cot x 1 .
1 x2
2.函数的和、差、积、商的微分法则
d log a
x
1 x ln a
dx,
dln x 1 dx,
cos x e13x 3dx e13x sin xdx
e13x (3cos x sin x)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
(1)d(__) xdx;(2)d(__) costdt
解: (1)因为 d ( x 2 ) 2 xdx.
可见，xdx 1 d x2 2
1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。
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§5 函数的微分【目的要求】1、掌握函数、隐函数、复合函数的微分法则；2、熟练掌握一阶微分形式不变性求函数微分的方法． 【重点难点】微分概念、微分形式的不变性及其应用． 【教学内容】在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量在点x 处有微小增量x ∆时，求函数()y f x =相应的微小增量()()y f x x f x ∆=+∆-。
这个问题初看起来简单，然而，对于较复杂的函数()f x ，增量y ∆的值不易求出。
这时我们可以考虑求y ∆的近似值，怎样求y ∆的近似值呢？微分就是在这种背景下产生的一个概念。
一、微分的定义先分析一个具体问题。
一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由0x 变为x x ∆+0，问铁片的面积大体改变了多少？如图2-5所示,设正方形铁片的边长为x ，面积为A ，则2A x =，当边长x 由0x 变为x x ∆+0时，面积的改变量为222000()2()A x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆。
上式包含两个部分，第一部分是02x x ∆，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，是x ∆的线性函数，是A ∆的主要部分；第二部分是2()x ∆，即图中带有交叉斜线图2-5的小正方形的面积，当0x ∆→时，2()x ∆是比x ∆高阶的无穷小，是A ∆的次要部分。
由此可见，如果边长有微小改变(即||x ∆很小)时，我们可以将第二部分2()x ∆忽略，而用第一部分02x x ∆近似地表示A ∆，即02A x x ∆≈∆。
因为00()2A x x '=，所以0()A A x x '∆≈∆，即面积的增量近似等于面积函数的导数与边长增量之积。
由此我们引入微分的定义。
定义5.1 设函数()y f x =在点0x 处可导，自变量x 由0x 变到0x x +∆，则把x x f ∆')(0叫做函数()y f x =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的微分，记作0d x x y =或d ()x x f x =，即0d ()x x y f x x ='=∆或00d ()()x x f x f x x ='=∆.此时，也称函数()y f x =在点0x 处可微。
函数()y f x =在任意点x 的微分，叫做函数()y f x =的微分，记作dy 或()df x ，即d ()y f x x '=∆或d ()()f x f x x '=∆.例1 求函数2x y =当01.0,2=∆=x x 时的增量和微分。
解 函数的增量为0401.02)01.02(22=-+=∆y ，函数的微分为2d ()2y x x x x '=⋅∆=⋅∆，将01.0,2=∆=x x 代入，得d 220.010.04y =⨯⨯=.由上例结果可看出，d y y ∆≈，误差是0.0001. 对于函数x y =，它的微分是d d y x x x x '==⋅∆=∆，即d x x =∆.即自变量的微分等于自变量的增量。
于是函数的微分可以写成d ()y f x dx '=，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
从而有d ()d yf x x'=，即函数微分与自变量微分的商等于函数的导数，因此导数通常也叫做微商。
从上看到，若函数可导，则函数必可微；反之，若函数可微，则函数必可导。
因此，导数与微分是一致的，通常把导数和微分统称为微分。
二、 微分的几何意义如图2-6 ，设曲线()x f y =在点M 的坐标为))(,(00x f x ，过点M 作切线MT ，它的倾角为α，当自变量x 有微小的增量x ∆时，相应的曲线上纵坐标有增量y ∆，由图2-6可看出0d ()tan y f x x x QP α'=⋅∆=⋅∆=因此，函数()x f y =在点0x 处微分就是曲线()x f y = 在点()()00,x f x 的切线上纵坐标的增量。
由图2-5还可看出，当x ∆很小时，(1)d y y ∆≈；(2)在点M 的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即所谓的“以直代曲”。
三、 微分的基本公式与运算法则从微分的定义()d y f x dx '=可知，求函数的微分就是所给函数的导数乘以dx ，所以从导数的基本公式和运算法则就可以得到微分的基本公式和运算法则。
1. 微分基本公式：(1)d()0C =(C 为常数)； (2)1d()d x x x ααα-=； (3)d()ln d x x a a a x =； (4)d()d x x e e x =； (5)1d(log )d ln a x x x a =； (6)1d(ln )d x x x=； (7)d(sin )cos d x x x =； (8)d(cos )sin d x x x =-； (9)2d(tan )sec d x x x =； (10)2d(cot )csc d x x x =-； (11)d(sec )sec tan d x x x x =； (12)d(csc )csc cot d x x x x =-；(13)d(arcsin )x x =；(14)d(arccos )x x =；(15)21d(arctan )d 1x x x =+； (16)21d(arccot )d 1x x x =-+.图2-62. 微分的四则运算法则 设v u 、都是x 的可微函数，则有 (1)()d d d u v u v ±=±；(2)d()d d uv v u u v =+，特别地d()d C u C u =(C 是常数)；(3)2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．复合函数的微分法则设()y f u =，()u x φ=均可导，按定义,复合函数)]([x f y ϕ=的微分为d d x y y x '=⋅()()d f u x x ϕ''=，即复合函数的微分等于复合函数的导数乘以自变量的微分。
因为()d d x x u φ'=，所以上式又可写成d d u y y u '=或()d d y f u u '=.即复合函数的微分等于函数对中间变量的导数乘以中间变量的微分,这就是复合函数的微分法则。
由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式d ()d y f u u '=保持不变. 这一性质称为微分形式不变性.求导数与求微分的运算统称为微分运算。
例2 求下列函数的微分:(1)223y x x =+ (2)arcsin x y e =； (3)2ln(1)x y e =+； (4)ln sin y x x =⋅ 解 (1)利用微分的定义得2d (23d (43y x x x x x '=++=++.(2)解法1 ，利用微分的定义得d (arcsin )d ()d d x xxy e x e x x ''===.解法2，利用复合函数的微分法则得d d()()d d x xxy e e x x '===.(3)用公式()dx x f dy '=，得2222ln(1)1x x x xe dy e dx dx e'⎡⎤=+=⎣⎦+(4)利用乘积的微分法则得d d(ln sin )sin d(ln )ln d(sin )y x x x x x x =⋅=+sin sin d ln cos d (ln cos )d x xx x x x x x x x x=+⋅=+⋅. 例4 在括号里填上适当的函数，使下列等式成立： (1)d()2d x x =； (2)2d()csc d x x =；解 与d ()()d f x f x x '=比较可知，这是已知函数的导数，求原来的函数的问题。
(1)已知函数的导数为x ，因为2()2x x '=，所以2d()2d x x x =。
此外，2(1)2x x '+=，2(2)2x x '-=，……。
一般地， 有 2d()2d x C x x +=(C 为任意常数).(2)已知函数的导数为2csc x ，因为2(cot )csc x x '-=，所以2d(cot )csc d x x x -=。
此外，2d(cot 2)csc d x x x -+=，2d(cot 1)csc d x x x --=，……。
一般地，有 2d(cot )csc d x C x x -+=(C 为任意常数). 例5 在括号里填上适当的常数，使下列等式成立： (1)cos5d ()d(sin 5)x x x =； (2)23d ()d(5)x x a x =-；解 (1)因为d(sin 5)(sin 5)d 5cos5d x x x x x '==， 所以1cos5d ()d(sin 5)5x x x =。
(2)因为32d(5)15d a x x x -=-，所以231d ()d(5)15x x a x =--。
四、 微分在近似计算中的应用由微分的概念可知，当函数()f x 在点0x 的导数'0()0f x ≠且当x ∆很小时，有()0d y y f x x '∆≈=∆ (1) 即000()()()y f x x f x f x x '∆=+∆-≈∆，变形得 000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆ (2) 利用(1)式可以求函数增量y ∆的近似值，利用(2)式可以求函数)(x f 在0x 附近的近似值。
例6 计算的cos6030o '近似值解 设()cos f x x =，有()sin f x x '=-(x 为弧度)令03x π=，360x π∆=，有1()32f π=，()32f π'=-. 所以得cos6030cos()3360o ππ'=+3603sin 3cos πππ⋅-≈3602321π⋅-=.4924.0≈ 例7 一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜。
镀层厚度为0.01厘米。
估计每只球需要用铜多少克？(铜的密度为3/9.8cm g )解 需用铜的质量等于镀层的体积乘以铜的密度。
镀层的体积等于两个球体体积之差，由球的体积334r V π=得镀层的体积为334()3V r r r π⎡⎤∆=+∆-⎣⎦， 利用近似计算公式(1)，得r r r V V ∆=∆'≈∆24π，依题意，1=r ，01.0=∆r ，得32)(13.04cm r r V ≈∆≈∆π，因此每只球需要用铜约为16.19.813.0=⨯(克)。