矩阵试题题集

答：合同关系，B=CTAC
307.写出向量长度、夹角与向量内积、范数的关系。
答：长度||x||=(x,x)0.5，夹角<x，y>=arccos(x，y)/(|x||y|)， <x，y> ∈[0，π]．
308.什么是正规阵？什么是 Hermit 阵？什么是酉阵？什么是实对称阵？什么是正交阵？ 答：AHA＝AAH，AH＝A，AHA＝AAH＝I，A*＝A 且 AT＝A，ATA＝AAT＝I。
205. 206. 207.
208. 209. 210.
211.
212. 213. 214.
215. 216. 217. 218. 219.
220. 221. 222. 223. 224.
225.
226. 227. 228.
229. 230.
231. 232.
233. 234. 235. 236. 237.
n
n
答：det A= ∏ λi ， tr A= ∑ λi
i =1
i =1
312.正交相抵矩阵有相同的
值, 正交相似矩阵有相同的
值．
答：奇异，特征。
313.给出矩阵 A 的四种范数
A、 F
A、 1
A和 2
A ∞ 的定义。
314.哪种矩阵范数是酉不变的？
答：F-范数。
315.矩阵 A 的谱半径ρ(A)和谱范数
习题集 1. 2. 3.
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8.Hale Waihona Puke 9. 10.11.
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21. 22. 23.
24.
25. 26. 27.
28.
29. 答： 30. 答： 31.
答： 32. 答： 33.
答：
34.
答：（2）A 35.
答：（2）是 36.
O A −1
22
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
−I n1
A
A −1
22
21
⎤ ⎥ ⎦
∇
−1
⎡⎣−In1
(A-BCD)-1=A-1+A-1B(C-DA-1B)-1DA-1，(A+bbT)-1=A-1-A-1bbTA-1/(1-bTA-1b)。
A12
A
−1 22
⎤⎦
328.初等旋转矩阵(Givens 阵) 和初等反射矩阵(Householder 阵)有什么关系？
327.给出分块矩阵 ⎡A11 A12 ⎤ 、矩阵 A-BCD 及矩阵 A+bbT 的求逆公式.。
⎢ ⎣
A
21
A
22
⎥ ⎦
答：
⎡ A11
⎢ ⎣
A
21
A12 A 22
⎤ −1 ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A −1 11
⎣
+
A1−11A12Δ
−1A
A −1
21 11
−Δ−1A
A −1
21 11
−A1−11A12Δ−1 Δ−1
Ji=
⎢ ⎢
λi O
⎥ ⎥
O 1⎥
⎢ ⎣
λ⎥ ⎦i mi ×mi
305.n 阶矩阵一般相似于什么类型的标准形矩阵？在什么条件下相似于对角阵？
答：约当阵 J，为正规阵 306.欧氏空间 Vn 的基 X 和 Y 的度量矩阵分别为是 A 和 B，且 Y=XC，则 A 和 B 有什么关系？
写出此关系的表达式。
331.什么是矩阵 A 的奇异值分解，讨论其唯一性。
答：
A
=
U
⎡Σ ⎢⎣O
O O
⎤ ⎥⎦
V
H
= U1ΣV1H
，在仅存在方向和排序模糊性意义上唯一。
332.给出秩 r 的 m×n 阵 A 的奇异值分解式，从中找出子空间 R(A)、N(A)、R(AT)、N(AT)
的标准正交基。
答：
A
=
U
⎡Σ ⎢⎣O
O O
173.
174. 175. 176. 177. 178. 179. 180. 181.
182.
183. 184.
185. 186. 187.
188. 189.
190. 191.
192.
193. 194. 195. 196. 197. 198.
199.
200. 201. 202.
203. 204.
A
各等于什么？
2
316.矩阵 A 的谱半径与矩阵 A 为收敛矩阵有什么关系？
答：ρ(A)<1 时，A 为收敛矩阵。
+∞
317.设幂级数 f ( z ) = ∑ ck zk 的收敛半径为 r，A 为方阵，则矩阵幂级数 f(A)绝对收敛的条件 k =0 是什么？
答：满足ρ(A)＜r． 318.什么时候矩阵和或差的正余弦公式有效？ 答：两矩阵相乘可交换。
⎤ ⎥ ⎦
V
H
= U1ΣV1H
；N(A)=R(V2)、N(AH)=R(U2)、R(A)=R(U1)和
N(AH)=R(V1)。
333.给出秩 m 的 m×n 阵 A 的奇异值分解式和秩 n 的 m×n 阵 A 的奇异值分解式。
答：A=UΣV1H；U1ΣVH 334.在矩阵 B 可逆时或对称正定时，如何把矩阵对（A，B）的广义特征值问题转化为普通
答：xk+1= xk-μ xf(xk) 324.给出最小化准则函数 f(x)的高斯－牛顿法迭代计算公式。
答：xk+1= xk-[H(xk)]-1 xf(xk) 325.三角函数公式和指数函数运算公式推广到矩阵函数的条件是什么？
326.给出一般矩阵和实对称矩阵的三角分解并讨论它们的唯一性。
答：LU 分解、不唯一，Cholesky 分解，唯一。
量、特征值有什么关系？
答：
106. 107.
108. 109. 110. 111. 112. 113.
114.
115.
116. 117. 118. 119. 120. 121.
122. 123. 124. 125.
126. 127. 128. 129.
130. 131. 132.
133. 134. 135.
136. 137. 138. 139.
238.
239. 240.
241. 242. 243. 244. 245. 246.
247. 248. 249.
250.
251. 252. 253. 254. 255. 256.
257. 258. 259. 260.
261. 262.
263. 264. 265. 266. 267. 268. 269. 270.
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A −1 11
⎣O
O⎤ O⎥⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
A1−11A12 −I n2
⎤ ⎥ ⎥⎦
Δ−1
⎣⎡
A
A −1
21 11
−In2 ⎦⎤
，
⎡ ∇−1
=
⎢ ⎣
−
A−1 22
A
21∇
−1
A −1 22
+
−∇
A −1 12
A −1 22
A
A −1
22
21∇
A −1 12
A
−1 22
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡O ⎢⎣O
319.f(X)对矩阵 X 的导数 df/dX 等于什么？
答：( f/ ξij)m×n， 320.设 x=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，n 元函数 f(x)=f(ξ1，ξ2，…，ξn) ，求 df/dx 和 df/dxT。
答：df/dx=[ f/ ξ1, f/ ξ2 , …, f/ ξn]T ，df/dxT =[ f/ ξ1, f/ ξ2 , …, f/ ξn] 321.设 x=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，梯度向量 df(x)/dx 和 Hessian 阵 d2f(x)/(dxdxT)各等于什么？
答：初等旋转矩阵(Givens 阵)是两个初等反射矩阵(Householder 阵) 的乘积。
329.QR 分解是否唯一？它可用哪三种方法实现？
答：唯一，G-S 正交化，Givens 旋转，Householder 反射
330.什么是矩阵 A 的满秩分解，讨论其唯一性。
答：A=FG，其中 F 列满秩，G 行满秩。不唯一。
答：ξ=GΦ-1ΦTx=(ΦTΦ)-1ΦTx，为 GΦ可逆对角阵，ξ=ΦTx。 302.不同基的度量矩阵之间有什么关系？
答：是合同的。
303.设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为ϕ(λ)，则ϕ(A)等于什么？
答：O
304.写出 n 阶矩阵 A 对应的 Jordan 标准形。
⎡λi 1
⎤
⎢
答：diag(Jl，J2，…，Js)，其中
答： 37. 答： 38.
答： 39. 答： 40.
答：设
，
要条件是 detB＝0．
，则有
．该方程组有非零解的充
41. 42. 43. 答：
44. 45.
46. 47. 48. 答： 49.
50.
51.
52.
答; 53. 54.
55.
答： A = SAS −1
S
2
56.
答：
57. 答： 58.
答：
答： ξ = Cη 和 η = C −1ξ 297.V1 + V2 = V1 ⊕ V2 的充要条件是什么？
答：V1∩V2 ＝L{0} 298.写出零度、秩与行数 m 列数 n 的关系。 答：rankA＋n (A)＝n，rankAT＋n (AT)＝m
299.向量的和分解 z= x+y 唯一吗？唯一性的条件是什么？
特征值问题？
答：B-1Ax=λx，使得 Sy=λy，其中 y=GTx，对称阵 S=G-1AG-T，B=GGT。 335.什么是正则矩阵束，给出使正则矩阵束同时对角化的表达式。 答：A 和 B 都是 Hermite 阵，且 B 正定；XHBX=I 和 AX=BXΛ。 336.实对称矩阵 A 的 Rayleigh 商与 A 的特征向量、特征值有什么关系？ 答：若单位向量 x 是 Ax=λx 的特征向量，则 R(x)是与之对应的特征值。 337.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义 Rayleigh 商与它们的特征向
309.写出 n 阶 Hermite 阵的谱分解式和秩 r 的 m×n 阵的广义谱分解式。
答：A=PΛPH=λ1p1p1H+λ2p2p2H+…+λnpnpnH，其中 P=[p1,p2,…, pn]；A=UΣVH=σ1u1v1H+…+ σrurvrH。
310.写出 n 阶矩阵 A 的特征值、奇异值、2－范数和谱半径之间的关系。 答：||A||2=[ρ(AHA)]0.5= [ρ(AAH)]0.5=σmax(A) ，λmax(AAH)=[σmax(A)]2 311.矩阵行列式和迹与其特征值有何关系？
(2)因 95.
，所以由定理 5．9 可得 ，且 det(I－A)＝0，故 ＝l。
＜1．
答： 96.
97. 答： 98. 答：
99. 100. 101. 答：
102.
是投影矩阵．将
分解为 。
，
，
，则
答：若
103. 104. 105.
是投影矩阵，则由 ，
．反之，由
得
；两式相减得
易知
．
，分别左乘和右乘 得 。与前一式联立解得
140. 141. 142.
143. 144. 145. 146. 147.
148. 149. 150. 151.
152. 153.
154. 155.
156.
157.
158. 159. 160. 161. 162.
163. 164. 165.
166. 167. 168. 169.
170.
171. 172.
84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 答：
91.
答：令
，
，根据定理 5．4 可得
划分 A＝
由于
某
或
92.
，B＝
和
＝0(
)。
，则有：等号成立⇔某
或
＝0 (
)。
，所以：等号成立⇔
答：存在酉矩阵 P，使 A＝
(T 为上三角矩阵)．设 T＝
，并由
＝ 93.
可得 ＝
。
94.
答：(1)因 A 不可约，且
59. 答： 60. 答：
61.
答：
62. 答： 63. 答： 64. 65. 66. 答：
67. 答： 68.
答： 69.
答：
70.
答： 71.
答： 72.
答： 73.
答：
74.
答：
75. 答：
76. 答： 77. 答： 78. 79. 答：
80. 答： 81. 答： 82. 答： 83.
答：不唯一，x⊥y
300.已知线性变换 T 在基 E1 下的矩阵表示为 A ，在基 E2 下的矩阵表示为 B ，并且
E2 = E1C ，问 A 和 B 存在什么关系？ 答：B=AC，其中过渡矩阵 C＝E1 –1E2 301.已知ξ为向量 x 在基Φ下的坐标，写出Φ为非正交基、正交基和标准正交基时的ξ。
271.
272. 273.
274.
275.
276.
277.
278. 279. 280. 281. 282. 283. 284. 285. 286.
287.
288.
289. 290. 291.
292.
293. 294.
295.
296.已知矢量 x 在基 E1 下的坐标为 ξ ，在基 E2 下的坐标为 η ，并且 E2 = E1C ，问 ξ 和 η 存在什么关系？
答：[ f/ ξ1, f/ ξ2 , …, f/ ξn]T ，( 2f/( ξi ξj))n×n。 322.设 fj(x)=fj(ξ1，ξ2,…,ξn)，(j=1,2,…,n)，f(x)=(f1(x) ,f2(x),…,fn(x))T。Jacobi 阵 df/dxT 等于什
么？
答：( fi/ ξj)n×n 323.给出最小化准则函数 f(x)的最速下降迭代计算公式。