矩阵试题题集
矩阵及其运算练习题
第二章 矩阵及其运算 习题 2.1 矩阵及其运算 【基本题】
1 2 1 0 1 4 一、设 A= 3 1 4 ，B= 2 1 3 ，求 0 -1 2 1 2 1
(1) 2A-B； (2) 2A+3B； (3) 满足 A+X=2B 的 X.
9. 设 A, B, C 均为 n 阶方阵， 且 A 可逆， 则下列结论必成立的是 （ ） . (A) 若 AC=BC，则 A=B； (C) 若 BA=CA，则 B=C； (B) 若 BA=O，则 A=O 或 B=O； (D) 若 A1B CA1 ，则 B=C.
A B 10. 设 M ，其中设 A,B,C,D 为 n(n>1)阶方阵，则 MT=（ ）. C D A A C (A) ； (B) T B D B AT CT ； (C) T D B AT CT (D) T ； DT C BT . DT
（1）A T +B; （2）AB;
（3）BA.
二、将矩阵适当分块后计算
2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 0 1 0 1 1 1 1 1 1 . 1 0 0 1
(3) 设 A 为 3 阶方阵且 A 3 ，求 3 A1 2 A ；
( 5A )1 ；
1 1 1 (4) 设 A1 1 2 1 ，求 ( A )1 ； 1 1 3
线性代数习题集
0 0 1 2 3 0 (5) 设 A 0 4 5 0 0 6
1 3 0 （ 2） 2 6 1 . 0 1 1
矩阵位移法考研真题集合,李其林老师整理
1.图示平面刚架的缩减后的总刚的阶数为___________。
（中南大学2011）4.（14分）图示平面结构用矩阵位移法计算，引入支承条件的总体刚度矩阵是多少阶？求结点2、结点5的综合结点荷载列阵。
（中南大学2011）q5.（13分）图示平面结构用矩阵位移法计算，原始刚度矩阵是多少阶？试求结点2、结点3的综合结点荷载列阵。
（中南大学2012）4m4m4. 矩阵位移法只能计算超静定结构，不能计算静定结构。
（）（中南大学2012）6.（13分）图示平面结构用矩阵位移法计算，求结点3、结点4和结点5的综合结点荷载列阵。
（中南大学2013）2.已求得图示梁3个结点的转角列阵为{ }=[0i/ql-562i/ql16852]T，EI为常数。
则B支座的反力为___________。
（中南大学2013）3. 在矩阵位移法中将单元集合成整体时应引入结构的物理关系和变形连续条件。
（）（中南大学2013）7.（15分）计算图示结构结点2和结点6的综合结点荷载列阵{}2P和{}6P。
（中南大学2014）3.图示结构的原始刚度矩阵的最大带宽为___________。
（中南大学2014）109876111315181917161412543213. 已用矩阵位移法求得图a所示结构单元③的杆端力（整体坐标）为{}=F[-3 -1 -4 3 1 -2]T（单位：mkN,Nk⋅），则单元③的弯矩图为图b。
（）（中国矿业大学2011）（中南大学2014）24M图（kN·m）(a)(b)七、已知图示连续梁结点位移列阵{}θ如下所示，试用矩阵位移法求出23杆件的杆端弯矩，并画出该连续梁的弯矩图。
已知图中m/kNq20=，23杆的线刚度cmkN.i⋅⨯=6101{}θ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧862725147653..-..-（中国矿业大学2012）q3m6m3m7-1、用矩阵位移法分别计算图（a）所示连续梁在图（b）和图（c）两种荷载作用下的结点角位移和各单元杆端力，边界采用后处理法，略去轴向变形影响。
结构力学习题集(下)矩阵位移法习题及答案
第八章 矩阵位移法一、(O) 二、(X) 3、(O) 4、(X) 五、(X) 六、(O) 7、(O) 八、(X) 九、(O) 10、(O) 1一、(A)一、判定题：1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
二、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
五、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应知足的变形条件。
6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数量为8个。
7、在直接刚度法的先处置法中，定位向量的物理意义是变形持续条件和位移边界条件。
8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
九、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原那么”是指与非结点荷载的结点位移相等。
10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采纳先处置法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.2134123412341234( )二、计算题：12、用先处置法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。
123ll4l5EI2EIEA(0,0,0)(0,0,1)(0,2,3)(0,0,0)(0,2,4)(0,0,0)EI13、用先处置法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。
EI ，EA 均为常数。
l14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。
E 为常数。
l l1342A , I AA /222A I , 2A1五、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224,。
线性代数习题集
全国2007年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，R （A ）表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
1．二阶行列式1k 221k --≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠32．设A 为三阶矩阵，|A|=a ≠0，那么其伴随矩阵A *的行列式|A *|=（ ） A ．a B ．a 2 C ．a 3D ．a 43．设A 、B 为同阶可逆矩阵，那么以下结论正确的选项是（ ） A ．|AB|=|BA| B ．|A+B|=|A|+|B| C ．（AB ）-1=A -1B -1D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 24．设A 可逆，那么以下说法错误．．的是（ ） A ．存在B 使AB=E B ．|A|≠0C ．A 相似于对角阵D ．A 的n 个列向量线性无关5．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0112的逆矩阵的（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2110D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2110 6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，那么向量组α1，α2，α3的秩是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，那么Ax=b必有一个解是（ ） A ．α1+α2 B ．α1-α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α8．假设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010002B x 10100002与相似，那么x=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29．假设A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，那么|A-E|=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．210．设有实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2322x x +，那么f （ ）A ．正定B ．负定C ．不定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。
智能矩阵超级学习系统配套教材与习题集2(数三)高等数学下
z = f (x, y) ， (x, y) ∈ D (或 z = f (P) ， P ∈ D ).
1.多元函数的定义及定义域：类似一元函数的定义域，使得表达式有意义的点的全体，称 为二元函数的定义域.
2.二元函数的几何意义：二元函数的图形通常是空间直角坐标系中的一张曲面. (二)二元函数的极限的定义
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨
1
智能矩阵超级学习系统
设二元函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D, P0 (x0 , y0 ) 是 D 的聚点.如果存在常数 A ，对于
任意给定的正数 ε ，总存在正数δ ，使得当点 P(x, y) ∈ D ∩U (P0 ,δ ) 时，都有 f (P) − A = f (x, y) − A < ε
值有关，则极限 lim (x, y)→(0,0)
x2
xy + 2y2
不存在.
故选 A. 2.【答案】B
【解析】 lim x + y = lim x = 1， lim x + y = lim y = −1 ； (x, y) 沿上述两种路径趋
y=0,x→0 x − y x→0 x
x=0,y→0 x − y y→0 − y
(2
+
x) sin(x2 x2 + y2
+
y2)
(
)
D.不存在
A.等于 0
B.等于 2
C.等于1
D.不存在
5.
二元函数
⎧ x3
f
(
x,
y
)
=
⎪ ⎨
离散数学习题集(十五套) - 答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10．下图所示的偏序集中，是格的为。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
矩阵运算练习题及
矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。
本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。
1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。
解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。
根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。
A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。
2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。
解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。
3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。
解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。
A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。
A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。
解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。
5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。
近世代数期末考试题库1
三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H=｛I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E,）是一个代数系统，问（E,）是不是群，为什么？
3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环.
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a—1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-—--—---—。
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想,那么a，由理想的定义，因而R的任意元
这就是说=R，证毕。
2、证必要性：将b代入即可得.
充分性:利用结合律作以下运算:
ab=ab(ab2a)=（aba）b2a=ab2a=e，
二填空题本大题共10小题每空3分共30三解答题本大题共3小题每小题10分共30是对称矩阵而c是反对称矩阵且四证明题本大题共2小题第1题10小题15分共251对于g中任意元xy由于所以yxxyxyab有意义作f的子集近世代数模拟试题二参考答案一单项选择题本大题共5小题每小题3分共15二填空题本大题共10小题每空3分共30等于零的元
b=3×102+85
102=1×85+17
《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)
第七章 矩阵位移法一、就是非题1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间得关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性与奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间得坐标变换矩阵T 就是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间得关系。
5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。
6、结 构 刚 度 矩 阵 就是 对 称 矩 阵 ,即 有K i j = K j i ,这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。
7、结构刚度方程矩阵形式为:,它就是整个结构所应满足得变形条件。
8、在直接刚度法得先处理法中,定位向量得物理意义就是变形连续条件与位移边界条件。
9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力得代数与。
10、矩阵位移法中,等效结点荷载得“等效原则”就是指与非结点荷载得结点位移相等。
11、矩阵位移法既能计算超静定结构,也能计算静定结构。
二、选择题1、已知图示刚架各杆EI = 常数,当只考虑弯曲变形,且各杆单元类型相同时,采用先处理法进行结点位移编号,其正确编号就是:(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.21341234123412342、平面杆件结构一般情况下得单元刚度矩阵,就其性质而言,就是:A.非对称、奇异矩阵;B.对称、奇异矩阵;C.对称、非奇异矩阵;D.非对称、非奇异矩阵。
3、单元i j 在图示两种坐标系中得刚度矩阵相比:A.完全相同;B.第2、3、5、6行(列)等值异号;C.第2、5行(列)等值异号;D.第3、6行(列)等值异号。
4、矩阵位移法中,结构得原始刚度方程就是表示下列两组量值之间得相互关系:A.杆端力与结点位移;B.杆端力与结点力;C.结点力与结点位移;D.结点位移与杆端力。
线性代数习题集 第七章
第七章 欧几里得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个非零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（ ）⑴线性相关 ⑵线性无关 ⑶互相可以线性表示 ⑷两两夹角为零2. 给定两个向量1123a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，23241α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且内积12,1αα=-，则a 为（ ） ⑴2- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意一组标准正交基的矩阵是（ ）⑴可逆变换 ⑵对称变换 ⑶正交变换 ⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（ ）⑴初等矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（ ）⑴正交矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶对称矩阵 ⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（ ） ⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换是正交变换 ⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意一组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（ ）⑴正定矩阵 ⑵对称矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷转置矩阵 8. 实上三角矩阵为正交矩阵时，必为对角矩阵，其对角线上的元素为（ ） ⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（ ）⑴σ为对称变换 ⑵σ保持向量的长度不变 ⑶σ保持向量间的夹角不变 ⑷保持向量间的正交关系不变10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的行向量组是（ ）⑴正交组 ⑵标准正交组 ⑶线性无关组 ⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（ ）⑴正实数 ⑵负实数 ⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵11211211213121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是（ ） ⑴正交矩阵 ⑵非正交矩阵 ⑶正定矩阵 ⑷实反对称矩阵13. 设1111A ⎛⎫=⎪⎝⎭，P 为二阶正交阵，且'0002P AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P =（ ）⑴12121212⎛⎫⎪-⎝⎭⑵⎛ -⎝⑶⎛-⎪⎝⎭ ⑷12121212-⎛⎫⎪⎝⎭14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（ ） ⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______.2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成立的充要条件是_________.3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλς∈∈∈如果(),σςλς=且ς________，则称λ为________，ς为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为非奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因而它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的一个n 阶方阵T 满足'',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的一个线性变换，若σ对一组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的一个n 阶方阵，如果________，则称A 是一个对称矩阵，如果________，则称A 是一个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的行列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的一个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是一个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对角形矩阵. 16. 设V 是一个n 维欧式空间，令()0n 表示V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________.17. 设σ是欧式空间V 内的一个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασβαβ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的一个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为一个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的一个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0β≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体二维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某一组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意一组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11， 在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹角.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4R 的一组基.5. 求线性方程组123452111311101032112x x x x x ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T ，使'T AT 成对角形.7. 求下列矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. 用正交变换化二次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. 用正交变换化二次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵U ，使'U AU 成对角形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的一组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=⎰，求[]4R x 的一组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求一个正交变换，把二次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知二次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵.*15. 设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且方阵B 与A 相似. 求B E +，这里E 为n 阶单位矩阵.*16. 设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X UY =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵.试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵； ⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3ςςς=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ⎛⎫=⎪⎝⎭. 求2R 的一个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ⎛⎫=⎪⎝⎭. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的一个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一个标准正交基.*20. 设M 是欧式空间3R 的二维子空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的一个标准正交基，子空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的子空间M 是齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性方程组.*23. 已知'100030007Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0Q ⎛⎫- =- ⎪⎝⎭，302032225A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1ς=是属于特征值6的一个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成立：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个非零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性无关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,mααα是欧式空间V内的一个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mααααααααααααααα⎛⎫⎪⎪∆= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明：当且仅当0∆≠时，12,,,m ααα线性无关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,ςς彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是非奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为非奇异方阵. 证明：1A -也是反对称方阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的一个非零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的子空间.22. 证明：第二类正交变换一定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵. 24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--.25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的一个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的一个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的一个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的一个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成立：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在n R 一个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的行向量构成欧式空间nR 的一个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的一个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性方程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次方程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的行列式大于1.。
高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析
第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。
因对于，有，，所以。
（Ⅱ）；解：是的线性变换。
设，其中，，则有，。
（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。
（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。
因为取，时，有，，即。
（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。
解：是的线性变换。
对，，有，。
习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。
证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。
证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。
因为，，所以。
因为，，所以。
因为，，所以。
习题7.1.3在中，，，证明。
证明：在中任取一多项式，有。
所以。
习题7.1.4设，是上的线性变换。
若，证明。
证明：用数学归纳法证明。
当时，有命题成立。
假设等式对成立，即。
下面证明等式对也成立。
因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。
证明：（1）设都是的逆变换，则有，。
进而。
即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。
证明，，，线性无关。
证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。
数据结构试题集(含答案)
第一章概论一、选择题1、研究数据结构就是研究（ D ）。
A. 数据的逻辑结构B. 数据的存储结构C. 数据的逻辑结构和存储结构D. 数据的逻辑结构、存储结构及其基本操作2、算法分析的两个主要方面是（A）。
A. 空间复杂度和时间复杂度B. 正确性和简单性C. 可读性和文档性D. 数据复杂性和程序复杂性3、具有线性结构的数据结构是（ D ）。
A. 图B. 树C. 广义表D. 栈4、计算机中的算法指的是解决某一个问题的有限运算序列，它必须具备输入、输出、（B）等5个特性。
A. 可执行性、可移植性和可扩充性B. 可执行性、有穷性和确定性C. 确定性、有穷性和稳定性D. 易读性、稳定性和确定性5、下面程序段的时间复杂度是（C）。
for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++)a[i][j]=i*j;A. O(m2)B. O(n2)C. O(m*n)D. O(m+n)6、算法是（ D ）。
A. 计算机程序B. 解决问题的计算方法C. 排序算法D. 解决问题的有限运算序列7、某算法的语句执行频度为（3n+nlog2n+n2+8）,其时间复杂度表示（ C ）。
A. O(n)B. O(nlog2n) C. O(n2) D. O(log2n)8、下面程序段的时间复杂度为（ C ）。
i=1;while(i<=n)i=i*3;A. O(n)B. O(3n)C. O(log3n) D. O(n3)9、数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的数据元素以及它们之间的（ B ）和运算等的学科。
A. 结构B. 关系C. 运算D. 算法10、下面程序段的时间复杂度是（ C ）。
i=s=0;while(s<n){i++;s+=i;}A. O(n)B. O(n2)C. O(√n)D. O(n3)11、抽象数据类型的三个组成部分分别为（ A ）。
A. 数据对象、数据关系和基本操作B. 数据元素、逻辑结构和存储结构C. 数据项、数据元素和数据类型D. 数据元素、数据结构和数据类型12、通常从正确性、易读性、健壮性、高效性等4个方面评价算法的质量，以下解释错误的是（ A ）。
考研专项练习 线性代数--习题集
第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .4. 在函数 xx x x xx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---ab b a .6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.二．计算证明题1. 设4322321143113151||-=A2. 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.3. 计算n 阶行列式nx x x nx x x n x x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥ 2).4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.5. 试证: 如果n 次多项式n n x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)6. 设).(',620321)(232x F x x x x x xx F 求=第二章 矩阵一. 填空题1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______.2. 若对任意n ×1矩阵X , 均有AX = 0, 则A = ______.3. 设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是______.4. 设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充分条件是______.5. []42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = ______. 6. 设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则= ______.7. 设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A则= ______.8. 设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.9. 设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则10. 设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A , 则A 的逆矩阵1-A = ______.二. 单项选择题 1. 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P , 使B AP P=-1 (C) 存在可逆矩阵C , 使B AC CT = (D) 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ =2. 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T 等于(A) 12||||)2(--B A n (B) 1||||)2(--B A n (C) ||||2B A T - (D) 1||||2--B A3. 设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆. (B) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆.(C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆. (D) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆.4. 设n 维向量)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααTE A -=, ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D) ααT E +5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , 设有P 2P 1A = B , 则P 2=(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000101016. 设A 为n 阶可逆矩阵, 则(－A )*等于(A) －A * (B) A * (C) (－1)n A * (D) (－1)n －1A *7. 设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥ 2), A *是A 的伴随矩阵, 则(A) A A A n 1**||)(-= (B) A A A n 1**||)(+=(C) A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=8. 设A 为m ×n 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r 1, 矩阵B = AC 的秩为r , 则(A) r > r 1 (B) r < r 1 (C) r = r 1 (D) r 与r 1的关系依C 而定9. 设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n , 一个等于n (D) 都等于n三. 计算证明题1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B . 求: i. AB －BA ii. A 2－B 2 iii. B T A T2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111 ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000 iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-11002100001200253. 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i iαα. 其中T )2,2,1(1=α, T )1,2,2(2-=α, T )2,1,2(3--=α. 试求矩阵A .4. k 取什么值时, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆, 并求其逆.5. 设A 是n 阶方阵, 且有自然数m , 使(E + A )m = 0, 则A 可逆.6. 设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵.7. 若A , B 都是n 阶方阵, 且E + AB 可逆, 则E + BA 也可逆, 且 AAB E B E BA E 11)()(--+-=+8. 设A , B 都是n 阶方阵, 已知|B | ≠ 0, A －E 可逆, 且(A －E )－1 = (B －E )T , 求证A 可逆.9. 设A , B , A + B 为n 阶正交矩阵, 试证: (A + B )－1 = A －1 + B －1.10. 设A , B 都是n 阶方阵, 试证明: ||E AB B E E A -=.11. 设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k Bi. 试计算|E +AB |, 并指出A 中元素满足什么条件时, E + AB 可逆;ii. 当E + AB 可逆时, 试证明(E + AB )－1A 为对称矩阵.12. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A , 求A n .13. A 是n 阶方阵, 满足A m = E , 其中m 是正整数, E 为n 阶单位矩阵. 今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替, 得到的矩阵记为A 0. 证明E A m =0.14. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i. 证明: n ≥ 3时, E A A A n n -+=-22(E 为三阶单位矩阵) ii. 求A 100.15. 当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时, A 6 = E . 求A 11.16. 已知A , B 是n 阶方阵, 且满足A 2 = A , B 2 = B , 与(A －B )2 = A + B , 试证: AB = BA = 0.第三章 向量一. 填空题1. 设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk , 则k = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.2. 设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k , 5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα 线性表示.4. 已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.5. 设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A , 则秩(A) = ______.7. 已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.二. 单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3(C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α12. 设矩阵A m ×n 的秩为R (A ) = m < n , E m 为m 阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 若矩阵B 满足BA = 0, 则B = 0 (D) A 通过行初等变换, 必可以化为(E m , 0)的形式3. 设向量组 (I): TT Ta a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组 (II):TTT a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ, 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2 线性表示5. 设A , B 是n 阶方阵, 且秩(A ) = 秩(B ), 则(A) 秩(A －B ) = 0 (B) 秩(A + B ) = 2秩(A)三. 计算证明题1. 设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时 i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论3. 已知m 个向量α1, α2, …αm 线性相关, 但其中任意m －1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0则这些系数k 1, k 2, …k m 或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0l 1α1 + l 2α2 + … + l m αm = 0其中l 1 ≠ 0, 则m m l k l k l k === 2211.4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a , b , c 满足什么条件a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关.5. 设A 是n 阶矩阵, 若存在正整数k , 使线性方程组A k x = 0有解向量α, 且A k －1α ≠ 0, 证明: 向量组α, A α, ⋯, A k －1α是线性无关的.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. )3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii. ).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα7. 已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x y y y x A , 讨论秩(A)的情形.8. 设三阶矩阵A 满足A 2 = E(E 为单位矩阵), 但A ≠ ± E , 试证明 (秩(A －E )－1)(秩(A + E )－1) = 09. 设A 为n 阶方阵, 且A 2 = A , 证明: 若A 的秩为r , 则A －E 的秩为n －r , 其中E 是n 阶单位矩阵.10. 设A 为n 阶方阵, 证明: 如果A 2 = E , 则秩(A + E ) + 秩(A －E ) = n.第四章 线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.2. 若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.4. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A , 则A x = 0的通解为______.6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______.7. 方程组A x = 0以T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.8. 设A x = b, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 则使方程组有解的所有b 是______.9. 设A, B 为三阶方阵, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________.二. 单项选择题1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T , ξ2 = (－2, 0, 1)T 都是线性方程组0=Ax 的解, 只要系数矩阵A 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0200102. 设0,,321=Ax是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成 (A)321,,ξξξ的一个等阶向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组 (C)321211,,ξξξξξξ+++ (C) 133221,,ξξξξξξ---3. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解 (D) 当0≠x 时, 0≠Ax , 其中T n x x x ),,(1 =4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r, 则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 ( A )n r = ( B ) n r ≥ ( C ) n r < ( D ) n r >5. 设n m A ⨯为矩阵, m n B ⨯为矩阵, 则线性方程组0)(=x AB( A ) 当m n >时仅有零解. ( B ) 当m n >时必有非零解.( C ) 当n m >时仅有零解. ( D ) 当n m >时必有非零解.6. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量三. 计算证明题1. 求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解, 并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.2. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++k mx x x x x x x x x 3213213214132303, 问m, k 为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.3. 问λ为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解, 并求出解的一般形式.4. 已知)0,2,1(1=α, )3,2,1(2a a -+=α, )2,2,1(3b a b ++-=α及)3,3,1(-=β.i. a, b 为何值时, β不能表示成321,,ααα的线性组合.ii. a, b 为何值时, β有321,,ααα的惟一线性表示, 并写出该表示式.5. 知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++1322422432143214321cx x x x x bx x x x x ax x 与⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-+-=+++12221434324321x x x x x x x x x 同解, 试确定a, b, c.6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II ) ( I ) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+3314623214321421x x x x x x x x x x ( II )⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+121125434324321t x x x x nx x x mx x i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t 为何值时, 方程组( I )与( II )同解.7. 设A 是m ×n 矩阵, R 是m ×n 矩阵, x =T n x x x ),,,(21 , B 是m ×m 矩阵, 求证: 若B 可逆且BA 的行向量都是方程组0=Rx 的解, 则A 的每个行向量也都是该方程组的解.8. A 是n 阶矩阵, 且A ≠ 0. 证明:存在一个n 阶非零矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是0||=A .9. 假设A 是m ×n 阶矩阵,若对任意n 维向量x , 都有0=Ax , 则A = 0.10. 假设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111,010,1113102112ηb c a A . 如果η是方程组b Ax =的一个解, 试求b Ax =的通解.11. 假设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222141,111111B aa a A . 如果矩阵方程B AX =有解, 但解不惟一, 试确定参数a .第五章 特征值和特征向量一. 填空题1. 设A 是n 阶方阵, *A 为A 的伴随矩阵, |A | = 5, 则方阵*AA B =的特征值是______, 特征向量是______.2. 三阶方阵A 的特征值为1, －1, 2, 则2332A A B -=的特征值为_______.3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031141,201034011B A 且A 的特征值为2和1(二重), 那么B 的特征值为_______.4. 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000000210100002y B x A 与相似, 则x = _____, y = ______.5. 设A , B 为n 阶方阵, 且0||≠A , 则AB 与BA 相似, 这是因为存在可逆矩阵P = ______, 使得BA ABP P =-1.二. 单项选择题1. 零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件2. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, ηξ,是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则(A) 对任意0,021≠≠k k , ηξ21k k +都是A 的特征向量.(B) 存在常数0,021≠≠k k , ηξ21k k +是A 的特征向量.(C) 当0,021≠≠k k 时, ηξ21k k +不可能是A 的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数0,021≠≠k k , 使ηξ21k k +是A 的特征向量.3. 设0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 且齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 则A 的属于0λ的全部特征向量是(A) 21ηη和 (B) 21ηη或(C) 2211ηηC C +(21,C C 为任意常数) (D) 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数)4. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, βα与是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则有βα与是5. 与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是(A) 数量矩阵)1(≠k kE (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n 阶矩阵A6.B A ,是n 阶方阵, 且B A ~, 则(A) B A ,的特征矩阵相同 (B) B A ,的特征方程相同 (C)B A ,相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得B AT T =-1三. 计算证明题 1. 设1=λ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410213t A 的特征值, 求: i. t 的值; ii. 对应于1=λ的所有特征向量.2. 求n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010 A 的特征值与特征向量.3. 假定n 阶矩阵A 的任意一行中, n 个元素的和都是a , 试证a =λ是A 的特征值, 且(1, 1, …, 1)T 是对应于a =λ的特征向量, 又问此时1-A 的每行元素之和为多少?4. 设B A ,均是n 阶方阵, 且n B r A r <+)()(, 证明B A ,有公共的特征向量.5. 设三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα, 其中列向量T )2,2,1(1=α, T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α, 试求矩阵A .6. 设矩阵A 与B 相似, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=x A 00010221, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10001000y B ,i. 求x 和y 的值; ii. 求可逆矩阵P , 使得B AP P =-1.7. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A , 矩阵2)(A kE B +=, 其中k 为实数, E 为单位矩阵, 求对角矩阵Λ, 使得B 与Λ相似, 并求k 为何值时, B 为正定矩阵.8. 设n 阶矩阵A 的特征值为1, 2, …, n , 试求|2|E A +.12. 设21,λλ是方阵A 的两个不同的特征值, r ηη,,1 是A 的对应于1λ的线性无关的特征向量,s ξξ,,1 是A 的对应于2λ的线性无关的特征向量, 证明r ηη,,1 ,s ξξ,,1 线性无关.9. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将61熟练工支援其它生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有52成为熟练工, 设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y , 记成向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x i. 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写出矩阵形式: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x = A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x ; ii. 验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡=141η, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112η是A 的两个线形无关的特征向量, 并求出相应的特征值; iii. 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡11y x = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121时, 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .21 第六章 二次型一. 填空题1. 二次型322123222143212432),,,(x x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵是______.2. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=314122421A 对应的二次型是________.3. 当_______时, 实二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定的.4. 设A 是实对称可逆矩阵, 则将Ax x f T =化为y A y f T 1-=的线性变换为______.5. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …, n , 则当t ______ 时,A tE -是正定的.二. 单项选择题1. 设B A ,均为n 阶方阵, T n x x x x ),,,(21 =, 且Bx x Ax x T T =, 当( )时, B A =(A) 秩(A ) = 秩(B ) (B)A A T = (C)B B T = (D) A A T =且B B T =2. 下列矩阵为正定的是(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200032021 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200042021 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200052021 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5202100023. 设B A ,均为n 阶正定矩阵, 则( )是正定矩阵. (A)**B A + (B) **B A - (C) **B A (D) *2*1B k A k +三．计算证明题1. 用配方法将下列二次型化为标准形112221221),,,(+-+++=n n n n n x x x x x x x x x f22 2. 用正交变换将下列实二次型化为标准形i. 323121232221321204162511),,(x x x x x x x x x x x x f -++++=ii. 323121232221321444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=3. 设A 为n 阶实对称矩阵, 且满足E A A A 323=++, 证明A 是正定矩阵.4. 设实对称矩阵A 的特征值全大于a , 实对称矩阵B 的特征值全大于b , 证明A + B 的特征值全大于a + b .5. 设A 为n 阶实对称矩阵, 证明: 秩(A ) = n 的充分必要条件为存在一个n 阶实矩阵B , 使A B AB T +是正定矩阵.。
矩阵向量及其运算练习题
矩阵向量及其运算练习题1. 矩阵与向量的定义- 问：请简要定义矩阵和向量。
答：矩阵是由一组数按照固定的形式排列成的矩形阵列。
向量是一组按照特定顺序排列的数。
2. 矩阵的加法和减法- 问：请阐述矩阵的加法和减法规则。
答：矩阵的加法规则是对应位置上的元素相加，得到新的矩阵。
矩阵的减法规则是对应位置上的元素相减，得到新的矩阵。
3. 矩阵的数乘- 问：请说明矩阵的数乘运算。
答：矩阵的数乘运算是将矩阵的每个元素与一个数相乘，得到新的矩阵。
4. 矩阵的乘法- 问：请解释矩阵的乘法规则。
答：矩阵的乘法规则是按照行乘以列的方式，将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列相乘，并将结果相加得到新的矩阵。
5. 矩阵乘法的性质- 问：请列举并解释矩阵乘法的性质。
答：矩阵乘法的性质包括结合律、分配律和单位矩阵的作用。
- 结合律：对于三个矩阵A、B、C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。
- 分配律：对于三个矩阵A、B、C和一个数k，满足(A+B)*C= A*C + B*C，以及A*(B+C) = A*B + A*C。
- 单位矩阵：单位矩阵I与任何矩阵A相乘，得到的结果仍为A。
6. 矩阵向量乘法- 问：请说明矩阵与向量的乘法规则。
答：矩阵与向量的乘法规则是将矩阵的每一行与向量的对应元素相乘，并将结果相加得到新的向量。
7. 矩阵的转置- 问：请解释矩阵的转置操作。
答：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
8. 矩阵的逆- 问：请说明什么是矩阵的逆。
答：矩阵的逆是指存在一个矩阵B，使得矩阵A与B的乘积为单位矩阵I。
若矩阵A有逆，则称矩阵A为可逆矩阵。
9. 矩阵的行列式- 问：请阐述矩阵的行列式的概念。
答：矩阵的行列式是一个与矩阵相关的数值，它包含了矩阵的行与列之间的关系。
10. 矩阵的秩- 问：请说明矩阵的秩。
答：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
矩阵的秩可以用来表示矩阵的维数和相关性。
以上是关于矩阵向量及其运算的练习题内容。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
矩阵的运算与性质练习题及解析
矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。
表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。
例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。
规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。
逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
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答：合同关系，B=CTAC
307.写出向量长度、夹角与向量内积、范数的关系。
答：长度||x||=(x,x)0.5，夹角<x，y>=arccos(x，y)/(|x||y|)， <x，y> ∈[0，π]．
308.什么是正规阵？什么是 Hermit 阵？什么是酉阵？什么是实对称阵？什么是正交阵？ 答：AHA＝AAH，AH＝A，AHA＝AAH＝I，A*＝A 且 AT＝A，ATA＝AAT＝I。
205. 206. 207.
208. 209. 210.
211.
212. 213. 214.
215. 216. 217. 218. 219.
220. 221. 222. 223. 224.
225.
226. 227. 228.
229. 230.
231. 232.
233. 234. 235. 236. 237.
n
n
答：det A= ∏ λi ， tr A= ∑ λi
i =1
i =1
312.正交相抵矩阵有相同的
值, 正交相似矩阵有相同的
值．
答：奇异，特征。
313.给出矩阵 A 的四种范数
A、 F
A、 1
A和 2
A ∞ 的定义。
314.哪种矩阵范数是酉不变的？
答：F-范数。
315.矩阵 A 的谱半径ρ(A)和谱范数
习题集 1. 2. 3.
4. 5. 6. 7.
8.Hale Waihona Puke 9. 10.11.
12. 13.
14. 15. 16. 17. 18.
19.
20.
21. 22. 23.
24.
25. 26. 27.
28.
29. 答： 30. 答： 31.
答： 32. 答： 33.
答：
34.
答：（2）A 35.
答：（2）是 36.
O A −1
22
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
−I n1
A
A −1
22
21
⎤ ⎥ ⎦
∇
−1
⎡⎣−In1
(A-BCD)-1=A-1+A-1B(C-DA-1B)-1DA-1，(A+bbT)-1=A-1-A-1bbTA-1/(1-bTA-1b)。
A12
A
−1 22
⎤⎦
328.初等旋转矩阵(Givens 阵) 和初等反射矩阵(Householder 阵)有什么关系？
327.给出分块矩阵 ⎡A11 A12 ⎤ 、矩阵 A-BCD 及矩阵 A+bbT 的求逆公式.。
⎢ ⎣
A
21
A
22
⎥ ⎦
答：
⎡ A11
⎢ ⎣
A
21
A12 A 22
⎤ −1 ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A −1 11
⎣
+
A1−11A12Δ
−1A
A −1
21 11
−Δ−1A
A −1
21 11
−A1−11A12Δ−1 Δ−1
Ji=
⎢ ⎢
λi O
⎥ ⎥
O 1⎥
⎢ ⎣
λ⎥ ⎦i mi ×mi
305.n 阶矩阵一般相似于什么类型的标准形矩阵？在什么条件下相似于对角阵？
答：约当阵 J，为正规阵 306.欧氏空间 Vn 的基 X 和 Y 的度量矩阵分别为是 A 和 B，且 Y=XC，则 A 和 B 有什么关系？
写出此关系的表达式。
331.什么是矩阵 A 的奇异值分解，讨论其唯一性。
答：
A
=
U
⎡Σ ⎢⎣O
O O
⎤ ⎥⎦
V
H
= U1ΣV1H
，在仅存在方向和排序模糊性意义上唯一。
332.给出秩 r 的 m×n 阵 A 的奇异值分解式，从中找出子空间 R(A)、N(A)、R(AT)、N(AT)
的标准正交基。
答：
A
=
U
⎡Σ ⎢⎣O
O O
173.
174. 175. 176. 177. 178. 179. 180. 181.
182.
183. 184.
185. 186. 187.
188. 189.
190. 191.
192.
193. 194. 195. 196. 197. 198.
199.
200. 201. 202.
203. 204.
A
各等于什么？
2
316.矩阵 A 的谱半径与矩阵 A 为收敛矩阵有什么关系？
答：ρ(A)<1 时，A 为收敛矩阵。
+∞
317.设幂级数 f ( z ) = ∑ ck zk 的收敛半径为 r，A 为方阵，则矩阵幂级数 f(A)绝对收敛的条件 k =0 是什么？
答：满足ρ(A)＜r． 318.什么时候矩阵和或差的正余弦公式有效？ 答：两矩阵相乘可交换。
⎤ ⎥ ⎦
V
H
= U1ΣV1H
；N(A)=R(V2)、N(AH)=R(U2)、R(A)=R(U1)和
N(AH)=R(V1)。
333.给出秩 m 的 m×n 阵 A 的奇异值分解式和秩 n 的 m×n 阵 A 的奇异值分解式。
答：A=UΣV1H；U1ΣVH 334.在矩阵 B 可逆时或对称正定时，如何把矩阵对（A，B）的广义特征值问题转化为普通
答：xk+1= xk-μ xf(xk) 324.给出最小化准则函数 f(x)的高斯－牛顿法迭代计算公式。
答：xk+1= xk-[H(xk)]-1 xf(xk) 325.三角函数公式和指数函数运算公式推广到矩阵函数的条件是什么？
326.给出一般矩阵和实对称矩阵的三角分解并讨论它们的唯一性。
答：LU 分解、不唯一，Cholesky 分解，唯一。
量、特征值有什么关系？
答：
106. 107.
108. 109. 110. 111. 112. 113.
114.
115.
116. 117. 118. 119. 120. 121.
122. 123. 124. 125.
126. 127. 128. 129.
130. 131. 132.
133. 134. 135.
136. 137. 138. 139.
238.
239. 240.
241. 242. 243. 244. 245. 246.
247. 248. 249.
250.
251. 252. 253. 254. 255. 256.
257. 258. 259. 260.
261. 262.
263. 264. 265. 266. 267. 268. 269. 270.
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A −1 11
⎣O
O⎤ O⎥⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
A1−11A12 −I n2
⎤ ⎥ ⎥⎦
Δ−1
⎣⎡
A
A −1
21 11
−In2 ⎦⎤
，
⎡ ∇−1
=
⎢ ⎣
−
A−1 22
A
21∇
−1
A −1 22
+
−∇
A −1 12
A −1 22
A
A −1
22
21∇
A −1 12
A
−1 22
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡O ⎢⎣O
319.f(X)对矩阵 X 的导数 df/dX 等于什么？
答：( f/ ξij)m×n， 320.设 x=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，n 元函数 f(x)=f(ξ1，ξ2，…，ξn) ，求 df/dx 和 df/dxT。
答：df/dx=[ f/ ξ1, f/ ξ2 , …, f/ ξn]T ，df/dxT =[ f/ ξ1, f/ ξ2 , …, f/ ξn] 321.设 x=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，梯度向量 df(x)/dx 和 Hessian 阵 d2f(x)/(dxdxT)各等于什么？
答：初等旋转矩阵(Givens 阵)是两个初等反射矩阵(Householder 阵) 的乘积。
329.QR 分解是否唯一？它可用哪三种方法实现？
答：唯一，G-S 正交化，Givens 旋转，Householder 反射
330.什么是矩阵 A 的满秩分解，讨论其唯一性。
答：A=FG，其中 F 列满秩，G 行满秩。不唯一。
答：ξ=GΦ-1ΦTx=(ΦTΦ)-1ΦTx，为 GΦ可逆对角阵，ξ=ΦTx。 302.不同基的度量矩阵之间有什么关系？
答：是合同的。
303.设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为ϕ(λ)，则ϕ(A)等于什么？
答：O
304.写出 n 阶矩阵 A 对应的 Jordan 标准形。
⎡λi 1
⎤
⎢
答：diag(Jl，J2，…，Js)，其中
答： 37. 答： 38.
答： 39. 答： 40.
答：设
，
要条件是 detB＝0．
，则有
．该方程组有非零解的充
41. 42. 43. 答：
44. 45.
46. 47. 48. 答： 49.
50.
51.
52.
答; 53. 54.
55.
答： A = SAS −1
S
2
56.
答：
57. 答： 58.
答：
答： ξ = Cη 和 η = C −1ξ 297.V1 + V2 = V1 ⊕ V2 的充要条件是什么？
答：V1∩V2 ＝L{0} 298.写出零度、秩与行数 m 列数 n 的关系。 答：rankA＋n (A)＝n，rankAT＋n (AT)＝m