正反抛物线极值变化情况

假设2条抛物线分别为f 1和f 2

⎩⎨⎧++=++=2

222211211c x b x a f c x b x a f 两条抛物线应满足2个条件：1）相交；2）交点处导数相同，推导得出

⎪⎩

⎪⎨⎧---=---=--=-⎩⎨⎧⇒'='=2121212121212212121)(2)(2))((4)(b b c c a a b b x c c a a b b f f f f

下图反映了左侧抛物线不变时，右侧抛物线的变化情况

※左侧抛物线数据：

1）极小点（100，4000）；2）交点（300，4200）

通过这2个数据可以确定左侧抛物线，以及交点的导数（注：极值点的导数为0） ※右侧抛物线数据：

1）交点（300，4200）；2）极大点（]2000,800[∈x ）

⎪⎩

⎪⎨⎧+-=+=⇒...40500.1005.036000.232120f f f x x f x y 、、右侧抛物线：左侧抛物线：交点处的切线：

左侧抛物线不变，右侧抛物线的极大点变化图

下图反映了左侧抛物线不变，右侧抛物线的极大点x 坐标不变，y 坐标变化时，左右抛物线的变化情况

※左侧抛物线数据：

2）极小点（100，4000）；2）交点（300，4200）

通过这2个数据可以确定左侧抛物线，以及交点的导数（注：极值点的导数为0） ※右侧抛物线数据：

2）交点（300，4200）；2）极大点（]8500,4500[;1000∈=y x ）

⎪⎩

⎪⎨⎧==+-=+=⇒...40500.1005.036000.232120f f f x x f x y 右侧抛物线：左侧抛物线：交点处的切线：

从下图可以看出，已知左侧抛物线和交点，只需给定右侧抛物线的极大点

x 坐标，即可确定唯一的右侧抛物线。

左侧抛物线不变，右侧抛物线的极大点x 坐标不变，y 坐标变化时，左右抛物线的变化情况

下图反映了交点处的导数变化时，左右侧抛物线的变化情况

※左侧抛物线数据：

1）坐标点（100，4000）；2）交点（300，4200）；3）交点导数（]0.4,0.2[∈k ） ※右侧抛物线数据：

1）交点（300，4200）；2）极大点（1000=x ）；3）交点导数（]0.4,0.2[∈k ） ⎪⎩

⎪⎨⎧++-=+-=+=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧++-=+-=+=⇒143.3362286.3002.04095

6.1006.035103.2429.347185

7.2001.04050

0.1005.036000.223222120x x f x x f x y x x f x x f x y 右侧抛物线：左侧抛物线：交点处的切线：右侧抛物线：左侧抛物线：交点处的切线：

交点处的导数变化时，左右侧抛物线的变化情况

下图反映了左侧抛物线的极小点y 坐标变化时，左右侧抛物线的变化情况 ※左侧抛物线数据：

1）极小点（100，]4200,3600[∈y ）；2）交点（300，4200）

※右侧抛物线数据：

1）交点（300，4200）；2）极大点（1000=x ）

⎪⎩

⎪⎨⎧++-=+-=+=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧++-=+-=+=⇒571.2378143.7004.03825

5.2012.027000.528

6.2014571.8004.03750

0.3015.024000.623222120x x f x x f x y x x f x x f x y 右侧抛物线：左侧抛物线：交点处的切线：右侧抛物线：左侧抛物线：交点处的切线：

左侧抛物线的极小点y 坐标变化时，左右侧抛物线的变化情况

附：上述的图形结果是采用Python+SageMath 编写代码生成的。

Python 是一种编程语言，SageMath 则是基于Python 的数学软件，涵盖了很多的数学功能，例如符号计算，数值计算（微积分，插值，常微分方程求解，傅里叶变换等），线性代数，最优化，2D/3D 绘图，离散数学，图论，代数几何，拓扑几何，数论，群论，复分析等等。它的最初目标是创造一个“Magma 、Maple 、Mathematica 和MATLAB 的开源替代品”。