华东交通大学材料力学 轴向拉压教材
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(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
《材料力学轴向拉压》PPT课件
拉压杆的内力
FN FN(x)
FNAFNAFA
dFN(x) p(x) dx
• 拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约
定使杆件受拉的轴力为正。
• 轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的 图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。
• 轴力图要画在与受力图对应的位置。
• 集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小 与集中力的大小相等。
FxFN(x)F0 xg 4(d1d2 ld1)2d0
FN(x)Fg 4[d12xd1(d2ld1)x2(d23l2 d1)2x3]
叠加原理适用
F N ( 0 ) FF N ( l) ( F P )
d d N ( x F ) x g 4[ d 1 2 2 d 1 ( d 2 l d 1 )x (d 2 ld 1 ) 2 x 2 ] g 4( d 1 d 2 ld 1 x ) 2 p ( x )
• 轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度 的大小。
• 小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用 引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。
2.2 拉压杆的应力
F F
x
σ
FN
一、平面假设 横截面上的应力
几何分析：根据实验观测，假设变形后横截 F 面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平
2.3
F
F
b b1
拉压杆的变形
l l1
F/ A
F 二、拉压杆的横向变形
bb1b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之 比的绝对值为一常数，称为泊松比。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
材料力学轴向拉压PPT课件
74.6MPa
DC段
2019/9/20
DC
FN3 A3
110.5MPa
FN1 =20kN FN2 =-15kN FN3 =-50kN
max = 176.8MPa 发生在AB段。
23
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变 形
Δl AB
F1 FN1 0
FN1
FN1 20kN
2019/9/20
F1
20
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
FRD
FN3
FN2
F1 F2
FN3 FRD 0 F 2019/9/20 N3 50kN
F1 F2 FN2 0
FN2 15kN
21
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
—
2019/9/20
50
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
20 +
FN1 =20kN
FN2 =-15kN
FN3 =-50kN
22
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（2） 杆的最大正应力max
AB段 BC段
AB
Ch2轴向拉压1-3节-2003《材料力学》课件
Ⅰ.应力的概念: 平均应力
总应力 正应力σ 为p的法向分量;剪应力τ 为p 的切向分量. 应力具有如下特征: (l)应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的, 因此,讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处. (2)在某一截面上一点处的应力是矢量.通常规定离 开截面的正应力为正,指向截面的正应力为负,即拉应 拉应 力为正,压应力为负;而对截面内部(靠近截面)的一点产 力为正,压应力为负 生顺钟向力矩的剪应力为正,反之为负. (3)应力的量纲为ML-1T-2.应力的单位为帕,其符 号为Pa ①. (4)整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合 成,即为该截面上的内力.
§2-2 内力internal force 截面法method of section 轴力axial force 及 轴力图 axial forces figure
对于压杆,也可通过上述过程求得其任一横截 面m-m上的轴力N,其指向如图2-4所示.
§2-2 内力internal force 截面法method of section 轴力axial force 及 轴力图 axial forces figure
右侧
以上为求轴力图的简便法.其要点为: 1, 直杆任一横截面上的轴力等于此横截面一侧脱离 体上所有轴向外力的代数和. 2, 代数式中各外力,当与待求轴力同指向时,为负 值;反之,为正值.
§2-3横截面(cross section)及 横截面 斜截面(oblique section)上的应力(stress)
例如,图2-5a 所示拉杆在自由端A承受集中力P,由截面 法可得:杆任一横截面m-m或 n-n 上的轴力N均等于P(图 2-5b,c).若将集中力P由自由端A沿其作用线移至杆的B点 处(图2-5d),则其AB段内任一横截面m-m上的轴力都将等 于零(图2-5e),而BC段内任一横截面 n-n 上的轴力仍等于 P(图2-5f),保持不变.这是因为集中力P由自由端 A 移至 B点后,改变了杆件AB段的变形,而并不改变BC段的变形.
总应力 正应力σ 为p的法向分量;剪应力τ 为p 的切向分量. 应力具有如下特征: (l)应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的, 因此,讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处. (2)在某一截面上一点处的应力是矢量.通常规定离 开截面的正应力为正,指向截面的正应力为负,即拉应 拉应 力为正,压应力为负;而对截面内部(靠近截面)的一点产 力为正,压应力为负 生顺钟向力矩的剪应力为正,反之为负. (3)应力的量纲为ML-1T-2.应力的单位为帕,其符 号为Pa ①. (4)整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合 成,即为该截面上的内力.
§2-2 内力internal force 截面法method of section 轴力axial force 及 轴力图 axial forces figure
对于压杆,也可通过上述过程求得其任一横截 面m-m上的轴力N,其指向如图2-4所示.
§2-2 内力internal force 截面法method of section 轴力axial force 及 轴力图 axial forces figure
右侧
以上为求轴力图的简便法.其要点为: 1, 直杆任一横截面上的轴力等于此横截面一侧脱离 体上所有轴向外力的代数和. 2, 代数式中各外力,当与待求轴力同指向时,为负 值;反之,为正值.
§2-3横截面(cross section)及 横截面 斜截面(oblique section)上的应力(stress)
例如,图2-5a 所示拉杆在自由端A承受集中力P,由截面 法可得:杆任一横截面m-m或 n-n 上的轴力N均等于P(图 2-5b,c).若将集中力P由自由端A沿其作用线移至杆的B点 处(图2-5d),则其AB段内任一横截面m-m上的轴力都将等 于零(图2-5e),而BC段内任一横截面 n-n 上的轴力仍等于 P(图2-5f),保持不变.这是因为集中力P由自由端 A 移至 B点后,改变了杆件AB段的变形,而并不改变BC段的变形.
材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩
形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；
'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：
称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10
CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
材料力学之轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§1 轴向拉伸与压缩的概念
拉伸
压缩
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决
定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
以AB杆为研究对象
mA 0
FNFBNCBC 9101k8N 5 0
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD 40kN
20kN 18kN 4m
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
FNBC ABC
CD
FNCD ACD
书中例题
注意：1.轴力是杆横截面上分布内力系的合力，其作用线也与杆件的轴
线重合，所以称为轴力。 2.静力学中的力或力偶的可传性原理，在用截面法求内力的过程
中是有限制的。
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为“正” 压力为“负”
例题 2.1
2.12
2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求
结点A的位移δA。
X 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2 C
Y 0 FNAC cos FNAB cos F 0
FNAB FNAC
αα
DLAB
§1 轴向拉伸与压缩的概念
拉伸
压缩
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决
定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
以AB杆为研究对象
mA 0
FNFBNCBC 9101k8N 5 0
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD 40kN
20kN 18kN 4m
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
FNBC ABC
CD
FNCD ACD
书中例题
注意：1.轴力是杆横截面上分布内力系的合力，其作用线也与杆件的轴
线重合，所以称为轴力。 2.静力学中的力或力偶的可传性原理，在用截面法求内力的过程
中是有限制的。
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为“正” 压力为“负”
例题 2.1
2.12
2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求
结点A的位移δA。
X 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2 C
Y 0 FNAC cos FNAB cos F 0
FNAB FNAC
αα
DLAB
材料力学课件 第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
应力非均布区
轴向拉伸与压缩
应力均布区 应力非均布区
圣维南原理 力作用于杆端的分 布方式，只影响杆端 局部范围的应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆的横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
第二章 2.2 杆的变形
轴向拉伸与压缩
h1
F
h
b b1
F
l 1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
第二章
轴向拉伸与压缩
3. 拉压杆横截面上的应力
问题提出：
P P P P
1）内力大小不能衡量构件强度的大小。
2）强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。 3）定义：由外力引起的内力集度。
第二章
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸变形
第二章
轴向拉伸与压缩
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义 不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度
1 2 1 2 2 2
第二章
轴向拉伸与压缩
FN 1 8 103 1 Pa 159MPa A1 0.0082 4
BC 段横截面上的正应力为
FN 2 15 103 2 Pa 191MPa A2 0.0102 4
第二章
4、圣维南原理 杆端应力分布
轴向拉伸与压缩
第二章
轴力的正负规定:
轴向拉伸与压缩
N N N > 0
N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力)
N N
N < 0
2. 轴力图—— N (x) 的图象表。
意 义
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值
《材料力学拉压》PPT课件
F
各点线应变相同 F
F
根据静力平衡条件： F NdF A dAA
即
FN
A
FN
A
正负号规定：拉应力为正,压应力为负.
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件,即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合.
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面.
4、 实验验证
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
卸载
卸载定律：在卸载
过程中,应力与应
变满足线性关系.
p e
应变关系
e p
拉伸与压缩/材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸时的力学行为
断裂 冷作<应变>硬化现象：
应力超过屈服极限后
卸 载 与
卸载,再次加载,材 料的比例极限提高,
再
再加载
而塑性降低的现象.
加
载
拉伸与压缩/材料的力学性能
名义屈服应力
p0.
n
（n>1） 引入安全系数的原因：
1、作用在构件上的外力常常估计不准确；构件的外形及所受 外力较复杂,计算时需进行简化,因此工作应力均有一定 程度的近似性；
2、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入,且小试样 还不能真实地反映所用材料的性质等.
构件拉压时的强度条件
maxFNAmax[]
拉伸与压缩/拉〔压〕时的强度计算
1.5m B
A 1
FN1
B
FN 2
F
2m
F
2
C
FFN2 cos 0 FN1 FN2 sin 0
解得
FN1
3 4
F（拉） ,
FN2
5 4
F（压）
各点线应变相同 F
F
根据静力平衡条件： F NdF A dAA
即
FN
A
FN
A
正负号规定：拉应力为正,压应力为负.
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件,即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合.
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面.
4、 实验验证
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
卸载
卸载定律：在卸载
过程中,应力与应
变满足线性关系.
p e
应变关系
e p
拉伸与压缩/材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸时的力学行为
断裂 冷作<应变>硬化现象：
应力超过屈服极限后
卸 载 与
卸载,再次加载,材 料的比例极限提高,
再
再加载
而塑性降低的现象.
加
载
拉伸与压缩/材料的力学性能
名义屈服应力
p0.
n
（n>1） 引入安全系数的原因：
1、作用在构件上的外力常常估计不准确；构件的外形及所受 外力较复杂,计算时需进行简化,因此工作应力均有一定 程度的近似性；
2、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入,且小试样 还不能真实地反映所用材料的性质等.
构件拉压时的强度条件
maxFNAmax[]
拉伸与压缩/拉〔压〕时的强度计算
1.5m B
A 1
FN1
B
FN 2
F
2m
F
2
C
FFN2 cos 0 FN1 FN2 sin 0
解得
FN1
3 4
F（拉） ,
FN2
5 4
F（压）
材料力学(土木类)第二章轴向拉压
FN3 =F
F
Fq
F N2
F
x1
F F Fx1
l
FN 2
F
x1
整理ppt
Fx 0
FN22F-FR-Fl1x0
FN2
Fx1 l
F
18
F q=F/l F
F
l
2l
l
FN
F
F
思考：
F
此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
作业：2-1
整理ppt
19
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整理ppt
1
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 1、工程实例
整理ppt
2
整理ppt
3
2、拉伸与压缩的特点
F
FF
F
受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与 其轴线重合的外力F作用。
变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压 杆。
整理ppt
4
§2-2 内力·截面法·轴力及轴 力图
F
F
FN图
F
FN图
整理ppt
10
注意：
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前， 作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静 力等效的相当力系替代。
F
F
(a)
(b) F
F
整理ppt
11
n
m
C nB m (a)
F
A
FN=F m
F
m
A
(b)
n Fm
C nB m
A
(d)
FN=0 m
m
材料力学轴向拉伸与压缩第三讲
FN2
x
A
F
B
DC
1
3
2
A
A'
物理及受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移。
变形协调条件是变形后三杆仍铰结在一起。
4
B
DC
1
3
2
A
F 变形几何方程为 物理方程为
得到：
（3）补充方程
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
A'
A'
Δl1 Δl3 cos
Δl1
FN1l EA
Δl3
FN3l cos
10
§2-8-2 温度应力和装配应力
1.装配应力
B
图示杆系,若3杆尺寸有
1
微小误差,则在杆系装配好 后,各杆将处于图中位置,因 而产生轴力。 3杆旳轴力为 拉力,1、2杆旳轴力为压力. 这种附加旳内力就称为装配
内力. 与之相相应旳应力称
为装配应力。
D
3
A
A
C
2
l
11
Δl3 代表杆3旳伸长
B
Δl1 代表杆1或杆2旳缩短
95.3MPa
bs
综上，键满足强度要求.
37
例题2-15 一销钉连接如图所示，
已知外力 F=18kN,被连接旳构件
A 和 B 旳厚度分别为 =8mm 和
1=5mm ,销钉直径 d=15mm ,
销钉材料旳许用切应力为
[] = 60MPa ,许用挤压应力为
d
[bs]= 200MPa .试校核销钉旳强度.
Δl2
FN2l EA
得到补充方程
材料力学第五版第二章 1
第二章 轴向拉伸和压缩
例 一等直杆受力情况如（a）图所示。试作杆的轴力图。
解：1.先求约束力。
由平衡方程
∑F
x
=0
得：FRA = 20KN
第二章 轴向拉伸和压缩
2. 计算各段的轴力。 AB段： 得 BC段： 得 CD段： 得
∑F
x
=0
FN1 = FRA = 20KN
∑F
x
=0
FN 2 = −30KN
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力：
σα = pα cosα = σ cos α
2
斜截面的切应力：
τα = pα sin α = σ cosα sin α =
σ
2
sin 2α
α正负的规定：以 x 轴为起点，逆时针转向者为正，反之为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
α = 0o 时
σα = σα max = σ τα = 0
∑F
x
=0
− FN 3 = 40KN
第二章 轴向拉伸和压缩
3.绘制轴力图
第二章 轴向拉伸和压缩
应力﹒ §2-3 应力﹒拉（压）杆内的应力 通常情况下，受力构件不同截面上内力是不相同的， 通常情况下，受力构件不同截面上内力是不相同的， 就是在同一截面各个点上内力也是不相同的。例如， 就是在同一截面各个点上内力也是不相同的。例如，图中 吊架横梁各个横截面上的内力是不相同的； 吊架横梁各个横截面上的内力是不相同的；就 是过 A 、B 两点的同一个截面上，各点的内力 两点的同一个截面上， 大小也不相同， 两点上的内力最大。 大小也不相同， A 、B 两点上的内力最大。 可见，在研究构件强度时， 可见，在研究构件强度时，对构件内各 个点受力情况十分关心，要引入应力这个概 个点受力情况十分关心，要引入应力这个概 应力 念。
材料力学第2章 轴向拉伸和压缩
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC …(2) NAB 30
y
Y =0 ∑ N BC sin 30 - P = 0
B P
x
(b)
由(2)式可得
N BC
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
6
40 106 Pa 40 MPa
杆端加载方式对正应力分布的影响
圣维南原理：若用与外力系静力等效的合力代替原力 系，则这种代替对构件内应力与应变的影响只限于原 力系作用区域附近很小的范围内。
对于杆件， 此范围相 当于横向 尺寸的 1～1.5倍。
圣维南原理：“ 力作用于杆端方式
不同，只会使与杆端距离不大于杆 的横向尺寸的范围内受影响。”
用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离 体，如图b所示。分布力的合力为
d FR ( pb d )sin pbd 0 2
π
FR pba 由SFy=0，得 FN 2 2
径向截面上的拉应力为
FN 1 pbd pd ( 2 10 Pa)(0.2 m) s ( ) A bd 2 2d 2(5 10-3 m)
符号规定：
正号轴力-- N的方向与截面外法线方向一致。
负号轴力-- N的方向与截面外法线方向相反。
也即：拉伸为正、压缩为负。
3.轴力图 例1：一直杆受力如图所示。试求各段中横截面上的 轴力。
6kN
A
I I I I
II B 10kN II
III D C 4kN 8kN III
6kN
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F
qF l
(a)
Al
B F 2l
C
D
l
(f)
131 18
F
+ -
F FN 图
F
+
08:11:27
F
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
注意事项：
08:11:27
1. 求分布荷载作用的BC段的轴力时，作截面之前
不允许用合力2lq＝2F代替分布荷载。作截面之
后，利用平衡方程求轴力时，方可用合力qx1代 替分布荷载。
F1
F3
F2
Fn
131 21
拉伸与压缩/横截面上的应力
08:11:27
M点的应力定义
F1
ΔFS
F
p lim F A0 A
(M点的 合应力)
M ΔA FN lim FN
A A0
F2
F pav A
131 22
正应力—垂直于截面的应力
lim FS
A A0
剪应力—在截面内的应力
拉伸与压缩/横截面上的应力
F2 F2
q
3
x
F
C 3D
l
2l
l
131 15
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
08:11:27
(b) FR
1 A1 B
F2 F2
q
3
x
F
C 3D
l
2l
l
1
(c) F
FN1
A1
3
(e) FN3
3
F
D
以图c为分离体，得FN1=F 以图e为分离体，得FN3=F
131 16
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
即 4、实验验证
131 26
FN
A
（2-1）
08:11:27
拉伸与压缩/横截面上的应力 正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
08:11:27
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
3、只适用于线弹性材料，即 E。
如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同部分
的横截面上有不同的轴力。
1
2
F
2F
3
2F
F
A1
1 F
B2 C
FN 3 F
FN1=F
3D
3 F
1
2 FN 2 F 3
F
2F
（压力）
131 12
2
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
08:11:27
（二）、轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。
F
2F
2F
1
F2 q
(b) FR (d) F
A1 B l
F2
C
2l F
q 2 FN2
A
BF 2
x1
3
3D l
08:11:27
x F
以图d为分离体，得
Fx
0,
FN2
qx1
2F
F
0
FN2
F l
x1
F
x1 0,
131 17
FN2 F; x1 2l,
FN2 F
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
2. 由以上结果画出轴力图如图f所示
（一）、轴力பைடு நூலகம்F
08:11:27
F
F
FN=F
F
FN=F
FN ——轴力。单位：牛顿（N）
131 10
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
轴力正负号规定：
同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。
08:11:27
FN
FN
131 11
轴力以拉为正，以压为负。
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
08:11:27
F B 1
B FAB
08:11:27
B FBC
拉伸与压缩
08:11:27
外力特征：作用于杆上的外力的合力作用线与杆件
的轴线重合。
F
F
轴向拉伸
F
F
e
轴向拉伸和弯曲变形
131 8 变形特征：杆件产生轴向的伸长或缩短。
拉伸与压缩
08:11:27
二、轴力与轴力图
131 9
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
131 23
拉伸与压缩/横截面上的应力
1
2
F
3 F
08:11:27
1
2
F
3
F dF Ad A
应力的合力=该截面上的内力
F
确定应力的分布 是静不定问题
F
131 24
拉伸与压缩/横截面上的应力
研究方法： 实验观察
作出假设
理论分析
08:11:27
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
变形前： ab // cd
08:11:27
注意点：
• 受力物体内各截面上每点的应力，一般是不相 同的，它随着截面和截面上每点的位置而改变。 因此，在说明应力性质和数值时必须要说明它所 在的位置。
• 应力是一向量，其量纲是[力]/[长度]²，单位 为牛顿/米²，称为帕斯卡，简称帕(Pa).工程 上常用兆帕(MPa)=106 Pa,或吉帕(GPa)= 109 Pa。
c c
F
d d
变形后：ab // cd // ab // cd
2、假设: 横截面在变形前后均保持为一平面——平面截面假设。
131 25
横截面上每一点的轴向变形相等。
拉伸与压缩/横截面上的应力
3、理论分析
横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
F
F
FN=F
F
根据静力平衡条件：
FN
dF d A A A
08:11:27
拉伸与压缩
一、引言
连杆
08:11:27
131 4
内燃机的连杆
拉伸与压缩
08:11:27
131 5
由二力杆组成的桥梁桁架
拉伸与压缩
由 二 力 杆 组 成 的 桁 架 结 构
131 6
08:11:27
拉伸与压缩
简易桁架
C
FBC
A F
FAB
B
FAB A
2
131 7
1
2 FBC C
08:11:27
构件－组成机器或结构物的部件
按其形状和作用可分为四大类： －杆：长度方向尺寸>>其横向尺寸 －板:一个方向的尺寸<<其他两个方向的尺寸 －壳 －块
材料力学主要研究的对象是杆件.
131 1
08:11:27
第二章
轴向拉压应力与材料的力学性能
131 2
131 3
1. 引言 2. 轴力与轴力图 3. 拉压杆的应力与圣维南原理 4. 材料拉伸时的力学性能 5. 材料拉压力学性能进一步研究 6. 应力集中概念 7. 许用应力与强度条件 8. 连接部分的强度计算
131 27
拉伸与压缩/圣维南原理
08:11:27
（二）、圣维南原理：力作用于杆端的分布方式的不同，
只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆 端1~2个杆的横向尺寸。
F
FN
F +
F
131 13
+ x
-
FN -图
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
例题
试作图a 所示杆的轴力图。
qF
F
l
(a)
Al
B F 2l
C
D
l
08:11:27
F
131 14
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力
08:11:27
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力 约束反力为FR=F
(b) FR
1 A1 B
2. 求轴力时，不允许将力沿其作用线段移动，例
如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、
BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。
qF
F
l
(a)
F
Al
B F 2l
C
D
l
131 19
08:11:27
三、拉压杆的应力与圣维南原理
131 20
拉伸与压缩/横截面上的应力
08:11:27
（一）、应 力
应力—分布内力在截面内一点的密集程度